Najděte největší výšku trojúhelníku. Výška trojúhelníku. Vizuální průvodce (2020) Jak zjistit výšku, pokud jsou strany známé

Výška trojúhelníku je kolmice sestupující z libovolného vrcholu trojúhelníku na opačnou stranu nebo k jeho prodloužení (strana, ke které kolmice klesá, se v tomto případě nazývá základna trojúhelníku).

V tupoúhlém trojúhelníku připadají dvě výšky na prodloužení stran a leží mimo trojúhelník. Třetí je uvnitř trojúhelníku.

V ostrém trojúhelníku leží všechny tři výšky uvnitř trojúhelníku.

V pravoúhlém trojúhelníku nohy slouží jako výšky.

Jak zjistit výšku od základny a oblasti

Připomeňme si vzorec pro výpočet plochy trojúhelníku. Plocha trojúhelníku se vypočítá podle vzorce: A = 1/2 bh.

• A je plocha trojúhelníku
• b je strana trojúhelníku, na které je výška snížena.
• h - výška trojúhelníku

Podívejte se na trojúhelník a přemýšlejte o tom, jaké veličiny již znáte. Pokud dostanete oblast, označte ji „A“ nebo „S“. Měli byste také dostat význam strany, označte ji "b". Pokud vám není dána oblast a není dána strana, použijte jinou metodu.

Mějte na paměti, že základna trojúhelníku může být jakákoliv strana trojúhelníku, na kterou je výška snížena (bez ohledu na to, jak je trojúhelník umístěn). Abyste tomu lépe porozuměli, představte si, že můžete tento trojúhelník otáčet. Otočte jej tak, aby strana, kterou znáte, směřovala dolů.

Například obsah trojúhelníku je 20 a jedna z jeho stran je 4. V tomto případě „A = 20″“, „b = 4′“.

Dosaďte zadané hodnoty do vzorce pro výpočet plochy (A = 1/2bh) a zjistěte výšku. Nejprve vynásobte stranu (b) 1/2 a poté vydělte plochu (A) výslednou hodnotou. Tímto způsobem zjistíte výšku trojúhelníku.

V našem příkladu: 20 = 1/2(4)h

20 = 2 hodiny
10 = h

Pamatujte na vlastnosti rovnostranného trojúhelníku. V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny strany a všechny úhly stejné (každý úhel je 60˚). Nakreslíte-li výšku v takovém trojúhelníku, dostanete dva stejné pravoúhlé trojúhelníky.
Uvažujme například rovnostranný trojúhelník se stranou 8.

Pamatujte na Pythagorovu větu. Pythagorova věta říká, že v každém pravoúhlém trojúhelníku s rameny „a“ ​​a „b“ je přepona „c“ rovna: a2+b2=c2. Tuto větu lze použít k nalezení výšky rovnostranného trojúhelníku!

Rozdělte rovnostranný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky (k tomu nakreslete výšku). Poté označte strany jednoho z pravoúhlých trojúhelníků. Boční strana rovnostranného trojúhelníku je přepona „c“ pravoúhlého trojúhelníku. Rameno „a“ se rovná 1/2 strany rovnostranného trojúhelníku a rameno „b“ je požadovaná výška rovnostranného trojúhelníku.

Takže v našem příkladu rovnostranného trojúhelníku se známou stranou 8: c = 8 a a = 4.

Zapojte tyto hodnoty do Pythagorovy věty a vypočítejte b2. Nejprve uvádějte druhou mocninu „c“ a „a“ (každou hodnotu vynásobte samostatně). Potom odečtěte a2 od c2.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Vezměte druhou odmocninu z b2 a zjistěte výšku trojúhelníku. K tomu použijte kalkulačku. Výsledná hodnota bude výška vašeho rovnostranného trojúhelníku!

b = √48 = 6,93

Jak zjistit výšku pomocí úhlů a stran

Přemýšlejte o tom, jaké významy znáte. Výšku trojúhelníku můžete najít, pokud znáte hodnoty stran a úhlů. Například pokud je znám úhel mezi základnou a stranou. Nebo pokud jsou známy hodnoty všech tří stran. Označme tedy strany trojúhelníku: „a“, „b“, „c“, úhly trojúhelníku: „A“, „B“, „C“ a oblast - písmeno „S“.

Pokud znáte všechny tři strany, budete potřebovat oblast trojúhelníku a Heronův vzorec.

Pokud znáte obě strany a úhel mezi nimi, můžete k nalezení oblasti použít následující vzorec: S=1/2ab(sinC).

Pokud jsou uvedeny hodnoty všech tří stran, použijte Heronův vzorec. Pomocí tohoto vzorce budete muset provést několik kroků. Nejprve musíte najít proměnnou „s“ (tímto písmenem označujeme polovinu obvodu trojúhelníku). Chcete-li to provést, nahraďte známé hodnoty do tohoto vzorce: s = (a+b+c)/2.

Pro trojúhelník se stranami a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Výsledek je: s=12/2, kde s=6.

Poté jako druhý krok najdeme plochu (druhá část Heronova vzorce). Plocha = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Místo slova "area" vložte ekvivalentní vzorec pro nalezení oblasti: 1/2bh (nebo 1/2ah, nebo 1/2ch).

Nyní najděte ekvivalentní výraz pro výšku (h). Pro náš trojúhelník bude platit následující rovnice: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Kde 3/2h=√(6(2(3(1))). Ukáže se, že 3/2h = √(36). Pomocí kalkulačky vypočítejte druhou odmocninu. V našem příkladu: 3/2h = 6. Ukazuje se, že výška (h) je rovna 4, strana b je základna.

Pokud jsou podle podmínek úlohy známy dvě strany a úhel, můžete použít jiný vzorec. Nahraďte oblast ve vzorci ekvivalentním výrazem: 1/2bh. Získáte tedy následující vzorec: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Lze jej zjednodušit do následujícího tvaru: h = a(sin C) pro odstranění jedné neznámé proměnné.

Teď už zbývá jen vyřešit výslednou rovnici. Například nechť "a" = 3, "C" = 40 stupňů. Potom bude rovnice vypadat takto: „h“ = 3 (sin 40). Pomocí kalkulačky a tabulky sinus vypočítejte hodnotu „h“. V našem příkladu h = 1,928.

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Výpočet výšky trojúhelníku závisí na samotném obrazci (rovnostranný, rovnostranný, zmenšený, obdélníkový). V praktické geometrii se složité vzorce zpravidla nenacházejí. Stačí znát obecný princip výpočtů, aby byl univerzálně použitelný pro všechny trojúhelníky. Dnes vám představíme základní principy výpočtu výšky postavy, výpočetní vzorce založené na vlastnostech výšek trojúhelníků.

co je výška?

Výška má několik charakteristických vlastností

1. Bod, kde se všechny výšky spojují, se nazývá ortocentrum. Pokud je trojúhelník špičatý, pak je ortocentrum umístěno uvnitř obrázku, pokud je jeden z úhlů tupý, pak je ortocentrum zpravidla umístěno venku.
2. V trojúhelníku, kde jeden úhel je 90°, se ortocentrum a vrchol shodují.
3. V závislosti na typu trojúhelníku existuje několik vzorců pro zjištění výšky trojúhelníku.

Tradiční výpočetní technika

1. Je-li p polovina obvodu, pak a, b, c jsou označení stran požadovaného obrazce, h je výška, pak první a nejjednodušší vzorec bude vypadat takto: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
2. Ve školních učebnicích lze často najít úlohy, ve kterých je známa hodnota jedné ze stran trojúhelníku a velikost úhlu mezi touto stranou a základnou. Pak vzorec pro výpočet výšky bude vypadat takto: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Když je uvedena plocha trojúhelníku - S, stejně jako délka základny - a, pak budou výpočty co nejjednodušší. Výška se zjistí pomocí vzorce: h = 2S/a.
4. Když je dán poloměr kruhu popsaného kolem obrázku, vypočítáme nejprve délky jeho dvou stran a poté přistoupíme k výpočtu dané výšky trojúhelníku. K tomu použijeme vzorec: h = b ∙ c/2R, kde b a c jsou dvě strany trojúhelníku, které nejsou základnou, a R je poloměr.

Jak zjistit výšku rovnoramenného trojúhelníku?

Všechny strany tohoto obrazce jsou ekvivalentní, jejich délky jsou stejné, takže úhly na základně budou také stejné. Z toho plyne, že výšky, které na podstavy nakreslíme, se budou také rovnat, jsou to také mediány a zároveň osy. Jednoduše řečeno, výška v rovnoramenném trojúhelníku rozděluje základnu na dvě části. Trojúhelník s pravým úhlem, který získáme po nakreslení výšky, budeme uvažovat pomocí Pythagorovy věty. Označme stranu a a základnu b, pak výšku h = ½ √4 a2 − b2.

Jak zjistit výšku rovnostranného trojúhelníku?

Vzorec pro rovnostranný trojúhelník (obrázek, kde jsou všechny strany stejně velké) lze nalézt na základě předchozích výpočtů. Je pouze nutné změřit délku jedné ze stran trojúhelníku a označit ji jako a. Potom je výška odvozena podle vzorce: h = √3/2 a.

Jak zjistit výšku pravoúhlého trojúhelníku?

Jak víte, úhel v pravoúhlém trojúhelníku je 90°. Výška snížená o jednu stranu je zároveň druhou stranou. Na nich budou ležet výšky trojúhelníku s pravým úhlem. Chcete-li získat údaje o výšce, musíte mírně transformovat stávající Pythagorejský vzorec, označit nohy - a a b, a také změřit délku přepony - c.

Zjistíme délku nohy (stranu, ke které bude výška kolmá): a = √ (c2 − b2). Délka druhé větve se zjistí pomocí přesně stejného vzorce: b =√ (c2 − b2). Poté můžete začít vypočítat výšku trojúhelníku s pravým úhlem, nejprve vypočítat plochu obrázku - s. Hodnota výšky h = 2s/a.

Výpočty se scalenovým trojúhelníkem

Když má scalene trojúhelník ostré úhly, je viditelná výška snížená k základně. Pokud má trojúhelník tupý úhel, pak výška může být mimo postavu a musíte v ní pokračovat, abyste získali spojovací bod výšky a základny trojúhelníku. Nejjednodušší způsob, jak změřit výšku, je vypočítat ji pomocí jedné ze stran a velikosti úhlů. Vzorec je následující: h = b sin y + c sin ß.

Při řešení různých druhů úloh, jak čistě matematického, tak aplikovaného charakteru (zejména ve stavebnictví), je často nutné určit hodnotu výšky určitého geometrického útvaru. Jak vypočítat tuto hodnotu (výšku) v trojúhelníku?

Pokud spojíme 3 body ve dvojicích, které se nenacházejí na jedné přímce, pak výsledný obrazec bude trojúhelník. Výška je část přímky z libovolného vrcholu obrazce, která při protnutí s opačnou stranou svírá úhel 90°.

Najděte výšku scalenového trojúhelníku

Určeme hodnotu výšky trojúhelníku v případě, kdy má obrazec libovolné úhly a strany.

Heronův vzorec

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, kde

p – polovina obvodu obrazce, h(a) – segment ke straně a, nakreslený v pravém úhlu k ní,

p=(a+b+c)/2 – výpočet půlobvodu.

Pokud existuje plocha obrázku, můžete použít vztah h(a)=2S/a k určení jeho výšky.

Goniometrické funkce

Pro určení délky úsečky, která při průsečíku se stranou a svírá pravý úhel, můžete použít následující vztahy: pokud je známa strana b a úhel γ nebo strana c a úhel β, pak h(a)=b*sinγ popř. h(a)=c *sinβ.
Kde:
γ – úhel mezi stranou b a a,
β je úhel mezi stranou c a a.

Vztah s poloměrem

Pokud je původní trojúhelník vepsán do kruhu, můžete k určení výšky použít poloměr takového kruhu. Jeho střed se nachází v bodě, kde se protínají všechny 3 výšky (z každého vrcholu) - ortocentrum a vzdálenost od něj k vrcholu (jakémukoli) je poloměr.

Potom h(a)=bc/2R, kde:
b, c – 2 další strany trojúhelníku,
R je poloměr kružnice opsané trojúhelníku.

Najděte výšku v pravoúhlém trojúhelníku

U tohoto typu geometrického obrazce svírají 2 strany při protínání pravý úhel - 90°. Pokud v něm tedy chcete určit hodnotu výšky, pak je třeba vypočítat buď velikost jedné z nohou, nebo velikost segmentu tvořícího 90° s přeponou. Při určení:
a, b – nohy,
c – přepona,
h(c) – kolmo na přeponu.
Potřebné výpočty můžete provést pomocí následujících vztahů:

• Pythagorova věta:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, protože S=ab/2, potom h(c)=ab/c.

• Goniometrické funkce:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

Najděte výšku rovnoramenného trojúhelníku

Tato geometrická postava se vyznačuje přítomností dvou stran stejné velikosti a třetí - základny. K určení výšky nakreslené na třetí, zřetelnou stranu, přichází na pomoc Pythagorova věta. S notovým zápisem
stranou,
c – základna,
h(c) je úsečka k c pod úhlem 90°, pak h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Za prvé, trojúhelník je geometrický obrazec, který je tvořen třemi body, které neleží na stejné přímce a jsou spojeny třemi segmenty. Chcete-li zjistit výšku trojúhelníku, musíte nejprve určit jeho typ. Trojúhelníky se liší velikostí svých úhlů a počtem stejných úhlů. Podle velikosti úhlů může být trojúhelník ostrý, tupý a obdélníkový. Na základě počtu stejných stran se trojúhelníky rozlišují na rovnoramenné, rovnostranné a skalnaté. Nadmořská výška je kolmice, která je snížena na opačnou stranu trojúhelníku od jeho vrcholu. Jak zjistit výšku trojúhelníku?

Jak zjistit výšku rovnoramenného trojúhelníku

Rovnoramenný trojúhelník je charakterizován rovností stran a úhlů ve své základně, proto jsou výšky rovnoramenného trojúhelníku nakresleného k bočním stranám vždy stejné. Výška tohoto trojúhelníku je také mediánem i osektorem. Podle toho výška rozděluje základnu na polovinu. Uvážíme výsledný pravoúhlý trojúhelník a najdeme stranu, tedy výšku rovnoramenného trojúhelníku, pomocí Pythagorovy věty. Pomocí následujícího vzorce vypočítáme výšku: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, kde: a je strana tohoto rovnoramenného trojúhelníku, b je základna tohoto rovnoramenného trojúhelníku.

Jak zjistit výšku rovnostranného trojúhelníku

Trojúhelník se stejnými stranami se nazývá rovnostranný. Výška takového trojúhelníku je odvozena ze vzorce pro výšku rovnoramenného trojúhelníku. Vyjde to: H = √3/2*a, kde a je strana tohoto rovnostranného trojúhelníku.

Jak zjistit výšku scalenového trojúhelníku

Skálena je trojúhelník, ve kterém žádné dvě strany nejsou stejné. V takovém trojúhelníku budou všechny tři výšky různé. Délky výšek můžete vypočítat pomocí vzorce: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, kde a je strana trojúhelníku nebo nejprve vypočítejte obsah konkrétního trojúhelníku pomocí Heronova vzorce, který vypadá takto: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, kde a, b, c jsou strany scalenového trojúhelníku a p je jeho půlobvod. Každá výška = 2*plocha/strana

Jak zjistit výšku pravoúhlého trojúhelníku

Pravoúhlý trojúhelník má jeden pravý úhel. Výška, která jde k jedné z nohou, je zároveň druhou nohou. K nalezení výšek ležících na nohou je tedy třeba použít upravený pythagorejský vzorec: a = √(c 2 − b 2), kde a, b jsou nohy (a je noha, kterou je třeba najít), c je délka přepony. Abyste našli druhou výšku, musíte umístit výslednou hodnotu a na místo b. Pro zjištění třetí výšky ležící uvnitř trojúhelníku se používá následující vzorec: h = 2s/a, kde h je výška pravoúhlého trojúhelníku, s je jeho obsah, a je délka strany, ke které bude výška kolmý.

Trojúhelník se nazývá ostrý, pokud jsou všechny jeho úhly ostré. V tomto případě jsou všechny tři výšky umístěny uvnitř ostrého trojúhelníku. Trojúhelník se nazývá tupý, pokud má jeden tupý úhel. Dvě výšky tupého trojúhelníku jsou mimo trojúhelník a připadají na pokračování stran. Třetí strana je uvnitř trojúhelníku. Výška je určena pomocí stejné Pythagorovy věty.

Obecné vzorce pro výpočet výšky trojúhelníku

• Vzorec pro zjištění výšky trojúhelníku přes strany: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), kde h je výška, která má být nalezena, a, b a c jsou strany daný trojúhelník, p je jeho půlobvod, .
• Vzorec pro zjištění výšky trojúhelníku pomocí úhlu a strany: H=b sin y = c sin ß
• Vzorec pro zjištění výšky trojúhelníku přes plochu a stranu: h = 2S/a, kde a je strana trojúhelníku a h je výška sestrojená ke straně a.
• Vzorec pro zjištění výšky trojúhelníku pomocí poloměru a stran: H= bc/2R.