Když se tuhé těleso s rotační osou z otáčí vlivem momentu síly Mz práce se provádí vzhledem k ose z

Celková práce vykonaná při otočení o úhel j se rovná

Při konstantním momentu síly má poslední výraz tvar:

Energie

energie - měřítko schopnosti těla konat práci. Pohybující se těla mají kinetický energie. Protože existují dva hlavní typy pohybu – translační a rotační, kinetická energie je reprezentována dvěma vzorci – pro každý typ pohybu. Potenciál energie je energie interakce. Ke ztrátě potenciální energie systému dochází v důsledku práce potenciálních sil. V diagramu jsou uvedeny výrazy pro potenciální energii gravitačních sil, gravitaci a elasticitu a také pro kinetickou energii translačních a rotačních pohybů. Plný Mechanická energie je součtem kinetické a potenciální.

Hybnost a moment hybnosti

Impulsčástice p Součin hmotnosti částice a její rychlosti se nazývá:

moment impulsuLvzhledem k bodu O se nazývá křížový součin vektoru poloměru r, který určuje polohu částice a její hybnost p:

Modul tohoto vektoru je roven:

Nechť má tuhé těleso pevnou osu otáčení z, podél kterého směřuje pseudovektor úhlové rychlosti w.

Tabulka 6

Kinetická energie, práce, hybnost a moment hybnosti pro různé modely předměty a pohyby

Perfektní	Fyzikální veličiny
Modelka	Kinetická energie	Puls	Momentum	Práce
Hmotný bod nebo tuhé těleso pohybující se translačně. m- hmotnost, v - rychlost.			,	. Na
Tuhé těleso se otáčí úhlovou rychlostí w. J- moment setrvačnosti, v c - rychlost pohybu těžiště.				. Na
Tuhé těleso prochází složitým rovinným pohybem. J ñ je moment setrvačnosti kolem osy procházející těžištěm, v c je rychlost pohybu těžiště. w je úhlová rychlost.

Moment hybnosti rotujícího tuhého tělesa se shoduje ve směru s úhlovou rychlostí a je definován jako

Definice těchto veličin (matematické výrazy) pro hmotný bod a odpovídající vzorce pro pevné těleso při různé formy pohyby jsou uvedeny v tabulce 4.

Prohlášení zákonů

Věta o kinetické energii

částice se rovná algebraickému součtu práce všech sil působících na částici.

Přírůstek kinetické energie systémy těla rovná práci všech sil působících na všechna tělesa soustavy:

. (1)

Rotační práce. Moment síly

Uvažujme vykonanou práci, když se hmotný bod otáčí po kružnici vlivem průmětu působící síly na posuv (tangenciální složku síly). V souladu s (3.1) a Obr. 4.4, přechod od parametrů translačního pohybu k parametrům rotačního pohybu (dS = Rdcp)

Zde se zavádí pojem moment síly vzhledem k ose otáčení OOi jako součin síly F s za rameno síly R:

Jak je vidět ze vztahu (4.8), moment síly v rotačním pohybu je analogický síle v translačním pohybu, protože oba parametry jsou vynásobeny analogy dcp A dS dát práci. Je zřejmé, že moment síly musí být také specifikován vektorově a vzhledem k bodu O je jeho definice dána vektorovým součinem a má tvar

Konečně: práce při rotačním pohybu je rovna skalárnímu součinu momentu síly a úhlové výchylky:

Kinetická energie při rotačním pohybu. Moment setrvačnosti

Uvažujme absolutně tuhé těleso rotující kolem pevné osy. Pojďme mentálně rozbít toto těleso na nekonečně malé kousky s nekonečně malými rozměry a hmotnostmi mi, m2, Шз..., umístěné ve vzdálenosti R b R 2, R3 ... od osy. Najdeme kinetickou energii rotujícího tělesa jako součet kinetických energií jeho malých částí

kde Y je moment setrvačnosti pevného tělesa vzhledem k dané ose OOj.

Z porovnání vzorců pro kinetickou energii translačních a rotačních pohybů je zřejmé, že moment setrvačnosti v rotačním pohybu je analogický s hmotou v translačním pohybu. Vzorec (4.12) je vhodný pro výpočet momentu setrvačnosti soustav skládajících se z jednotlivých hmotných bodů. Pro výpočet momentu setrvačnosti pevných těles pomocí definice integrálu převedeme (4.12) do tvaru

Je snadné si všimnout, že moment setrvačnosti závisí na volbě osy a mění se s jejím paralelním posunem a rotací. Uveďme hodnoty momentů setrvačnosti pro některá homogenní tělesa.

Z (4.12) je zřejmé, že moment setrvačnosti hmotného bodu rovná se

Kde T- hmotnost bodu;

R- vzdálenost k ose otáčení.

Je snadné vypočítat moment setrvačnosti pro dutý tenkostěnný válec(nebo speciální případ válce s nízkou výškou - tenký kroužek) poloměr R vzhledem k ose symetrie. Vzdálenost k ose otáčení všech bodů pro takové těleso je stejná, rovná se poloměru a lze ji odečíst pod znaménkem součtu (4.12):

Pevný válec(nebo speciální případ válec s nízkou výškou - disk) poloměr R pro výpočet momentu setrvačnosti vzhledem k ose symetrie vyžaduje výpočet integrálu (4.13). Hmota je v tomto případě v průměru koncentrována poněkud blíže než v případě dutého válce a vzorec bude podobný (4.15), ale bude obsahovat koeficient menší než jedna. Pojďme najít tento koeficient.

Nechť má pevný válec hustotu R a výška h. Pojďme to rozebrat

duté válce (tenké válcové plochy) tl Dr(obr. 4.5) znázorňuje průmět kolmý k ose symetrie). Objem takového dutého válce o poloměru G rovná se povrchové ploše vynásobené tloušťkou: hmotnost: a okamžik

setrvačnost v souladu s (4.15): Celkový moment

setrvačnost plného válce se získá integrací (součtem) momentů setrvačnosti dutých válců:

. S přihlédnutím ke skutečnosti, že hmotnost pevného válce souvisí s

hustotní vzorec T = 7iR 2 hp Konečně máme moment setrvačnosti pevného válce:

Hledejte stejným způsobem moment setrvačnosti tenké tyče délka L a mše T, je-li osa otáčení kolmá k tyči a prochází jejím středem. Rozdělme takovou tyč podle obr. 4.6

na tlusté kusy dl. Hmotnost takového kusu se rovná dm=mdl/L, a moment setrvačnosti v souladu s Pavlem

Přesný moment setrvačnosti tenké tyče se získá integrací (součtem) momentů setrvačnosti kusů:

Práce a síla při rotaci tuhého tělesa.

Najdeme výraz pro práci, kdy se tělo otáčí. Nechť sílu působí v bodě umístěném ve vzdálenosti od osy - úhel mezi směrem síly a vektorem poloměru. Protože je těleso absolutně pevné, rovná se práce vykonaná touto silou práci vynaložené na otáčení celého tělesa. Když se těleso otáčí o nekonečně malý úhel, působiště urazí dráhu a práce se rovná součinu průmětu síly na směr posunutí o velikost posunutí:

Modul momentu síly se rovná:

pak dostaneme následující vzorec pro výpočet práce:

Práce vykonaná při rotaci tuhého tělesa je tedy rovna součinu momentu působící síly a úhlu natočení.

Kinetická energie rotujícího tělesa.

Moment setrvačnosti mat.t. volal fyzický hodnotu číselně rovnou součinu hmotnosti mat.t. druhou mocninou vzdálenosti tohoto bodu k ose otáčení.W ki =m i V 2 i /2 V i -Wr i Wi=miw 2 r 2 i /2 =w 2 /2*m i r i 2 I i =m i r 2 i moment setrvačnosti tuhého tělesa rovný součtu všech mat.t I=S i m i r 2 i moment setrvačnosti tuhého tělesa se nazývá. fyzikální veličina rovna součtu součinů matematického t. pomocí čtverců vzdáleností od těchto bodů k ose. W i -I i W 2 /2 W k =IW 2 /2

W k =S i W ki moment setrvačnosti při rotačním pohybu jevu. analogický hmotě v translačním pohybu. I=mR2/2

21. Neinerciální vztažné soustavy. Setrvačné síly. Princip ekvivalence. Pohybová rovnice v neinerciálních vztažných soustavách.

Neinerciální vztažná soustava- libovolný referenční systém, který není inerciální. Příklady neinerciálních vztažných soustav: soustava pohybující se v přímce s konstantním zrychlením, stejně jako rotační soustava.

Při uvažování pohybových rovnic tělesa v neinerciální vztažné soustavě je nutné vzít v úvahu další setrvačné síly. Newtonovy zákony jsou splněny pouze v inerciálních vztažných soustavách. K tomu, abyste našli pohybovou rovnici v neinerciální vztažné soustavě, potřebujete znát zákony transformace sil a zrychlení při přechodu z inerciální soustavy do jakékoli neinerciální.

Klasická mechanika předpokládá následující dva principy:

čas je absolutní, to znamená, že časové intervaly mezi libovolnými dvěma událostmi jsou stejné ve všech libovolně se pohybujících referenčních soustavách;

prostor je absolutní, to znamená, že vzdálenost mezi libovolnými dvěma hmotnými body je stejná ve všech libovolně se pohybujících vztažných soustavách.

Tyto dva principy umožňují zapsat pohybovou rovnici hmotného bodu vzhledem k jakékoli neinerciální vztažné soustavě, ve které není splněn první Newtonův zákon.

Základní rovnice pro dynamiku relativního pohybu hmotného bodu má tvar:

kde je hmotnost tělesa, je zrychlení tělesa vzhledem k neinerciální vztažné soustavě, je součet všech vnějších sil působících na těleso, je přenosné zrychlení tělesa, je Coriolisovo zrychlení tělesa .

Tato rovnice může být zapsána ve známé formě druhého Newtonova zákona zavedením fiktivních setrvačných sil:

Přenosná setrvačná síla

Coriolisova síla

Setrvačná síla- fiktivní síla, kterou lze zavést do neinerciální vztažné soustavy tak, aby se zákony mechaniky v ní shodovaly se zákony inerciálních soustav.

V matematických výpočtech dochází k zavedení této síly transformací rovnice

F 1 +F 2 +…F n = ma zobrazit

F 1 +F 2 +…F n –ma = 0 Kde F i je skutečná síla a –ma je „síla setrvačnosti“.

Mezi setrvačné síly se rozlišují:

jednoduchý setrvačná síla;

odstředivá síla, která vysvětluje touhu těles odletět od středu v rotujících vztažných soustavách;

Coriolisova síla, která vysvětluje tendenci těles opustit poloměr během radiálního pohybu v rotujících vztažných soustavách;

Z pohledu obecná teorie relativita, gravitační síly v libovolném bodě- to jsou síly setrvačnosti v daném bodě Einsteinova zakřiveného prostoru

Odstředivá síla- setrvačná síla, která je zaváděna do rotující (neinerciální) vztažné soustavy (za účelem uplatnění Newtonových zákonů, počítaných pouze pro inerciální vztažné soustavy) a která směřuje od osy rotace (odtud název).

Princip ekvivalence gravitačních a setrvačných sil- heuristický princip použitý Albertem Einsteinem při vyvozování obecné teorie relativity. Jedna z možností jeho prezentace: „Síly gravitační interakce jsou úměrné gravitační hmotnosti tělesa, zatímco setrvačné síly jsou úměrné setrvačné hmotnosti tělesa. Pokud jsou setrvačné a gravitační hmotnosti stejné, pak nelze rozlišit, na kterou sílu působí dané tělo- gravitační nebo setrvačná síla."

Einsteinova formulace

Historicky byl princip relativity formulován Einsteinem takto:

Všechny jevy v gravitačním poli probíhají úplně stejně jako v odpovídajícím poli setrvačných sil, pokud se intenzity těchto polí shodují a výchozí podmínky pro tělesa soustavy jsou stejné.

22.Galileův princip relativity. Galileiho proměny. Klasická věta o sčítání rychlosti. Invariance Newtonových zákonů v inerciálních vztažných systémech.

Galileův princip relativity- jde o princip fyzikální rovnosti inerciálních vztažných soustav v klasické mechanice, který se projevuje tím, že zákony mechaniky jsou ve všech takových soustavách stejné.

Matematicky Galileův princip relativity vyjadřuje neměnnost (neměnnost) rovnic mechaniky vzhledem k transformacím souřadnic pohybujících se bodů (a času) při přechodu z jedné inerciální soustavy do druhé - Galileovy transformace.
Nechť existují dva inerciální vztažné systémy, z nichž jeden, S, souhlasíme s tím, že budeme uvažovat v klidu; druhý systém, S", se pohybuje vzhledem k S konstantní rychlostí u, jak je znázorněno na obrázku. Pak budou mít Galileovy transformace pro souřadnice hmotného bodu v systémech S a S" tvar:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(stínované hodnoty se vztahují k systému S, nezadané - k S.) Čas v klasické mechanice, stejně jako vzdálenost mezi libovolnými pevnými body, je tedy ve všech referenčních systémech považován za stejný.
Z Galileových transformací lze získat vztah mezi rychlostmi bodu a jeho zrychleními v obou systémech:
v" = v - u, (2)
a" = a.
V klasické mechanice je pohyb hmotného bodu určen druhým Newtonovým zákonem:
F = ma, (3)
kde m je hmotnost bodu a F je výslednice všech sil, které na něj působí.
Navíc síly (a hmotnosti) jsou v klasické mechanice invarianty, tedy veličiny, které se nemění při přechodu z jednoho referenčního systému do druhého.
Proto se při Galileových transformacích rovnice (3) nemění.
Toto je matematické vyjádření Galileiho principu relativity.

GALILEOVY PROMĚNY.

V kinematice jsou si všechny vztažné soustavy navzájem rovny a pohyb lze popsat v kterékoli z nich. Při studiu pohybů je někdy nutné přejít z jednoho referenčního systému (se souřadným systémem OXYZ) do druhého - (O'X'U'Z'). Uvažujme případ, kdy se druhá vztažná soustava pohybuje vzhledem k první rovnoměrně a přímočarě rychlostí V=konst.

Pro relaxaci matematický popis Předpokládejme, že příslušné souřadnicové osy jsou vzájemně rovnoběžné, že rychlost směřuje podél osy X a že v počátečním časovém okamžiku (t=0) se počátky souřadnic obou systémů vzájemně shodovaly. Za předpokladu, který v klasické fyzice platí o stejném toku času v obou systémech, můžeme zapsat vztahy spojující souřadnice určitého bodu A(x,y,z) a A(x`,y`,z` ) v obou systémech. Takový přechod z jednoho referenčního systému do druhého se nazývá Galileova transformace):

ОХУZ О`Х`У`Z`

x = x` + V x t x` = x - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Zrychlení v obou systémech je stejné (V=konst). Hluboký význam Galileovské transformace budou objasněny v dynamice. Galileova transformace rychlostí odráží princip nezávislosti posunů nalezený v klasické fyzice.

Přidání rychlostí na čerpací stanici

Klasický zákon sčítání rychlostí nemůže platit, protože je v rozporu s tvrzením o stálosti rychlosti světla ve vakuu. Pokud se vlak pohybuje rychlostí proti a světelná vlna se šíří ve vagónu ve směru, kterým se vlak pohybuje, pak je jeho rychlost vůči Zemi stálá C, ale ne v+c.

Uvažujme dva referenční systémy.

V systému K 0 tělo se pohybuje rychlostí proti 1. Ohledně systému K pohybuje se rychlostí proti 2. Podle zákona o přidávání rychlostí na čerpací stanici:

Li proti<<C A proti 1 << C, pak lze tento termín zanedbat a pak získáme klasický zákon sčítání rychlostí: proti 2 = proti 1 + proti.

Na proti 1 = C Rychlost proti 2 se rovná C, jak to vyžaduje druhý postulát teorie relativity:

Na proti 1 = C a při proti = C Rychlost proti 2 se opět rovná rychlosti C.

Pozoruhodnou vlastností zákona sčítání je, že při jakékoli rychlosti proti 1 a proti(ne více C), výsledná rychlost proti 2 nepřesahuje C. Rychlost pohybu skutečných těles větší než rychlost světla je nemožná.

Přidání rychlosti

Při uvažování o komplexním pohybu (to znamená, když se bod nebo těleso pohybuje v jedné vztažné soustavě a pohybuje se vzhledem k jiné), vyvstává otázka, jaká je souvislost mezi rychlostmi ve 2 vztažných soustavách.

Klasická mechanika

V klasické mechanice je absolutní rychlost bodu rovna vektorovému součtu jeho relativních a přenosných rychlostí:

Jednoduše řečeno: Rychlost pohybu tělesa vzhledem ke stacionární vztažné soustavě je rovna vektorovému součtu rychlostí tohoto tělesa vzhledem k pohyblivé vztažné soustavě a rychlosti nejpohyblivějšího vztažného systému vzhledem ke stacionární soustavě.

Zde je moment hybnosti vzhledem k ose rotace, tedy průmět na osu momentu hybnosti definovaného vzhledem k nějakému bodu náležejícímu k ose (viz přednáška 2). - to je moment vnějších sil vzhledem k ose rotace, to znamená průmět výsledného momentu vnějších sil na osu, určeného vzhledem k nějakému bodu patřícímu do osy, a volba tohoto bodu na ose , stejně jako v případě c, nezáleží. Skutečně (obr. 3.4), kde je složka síly působící na tuhé těleso, kolmá k ose rotace, a je rameno síly vzhledem k ose.

Rýže. 3.4.

Protože ( je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace), pak místo toho můžeme psát

(3.8)

Vektor je vždy směrován podél osy otáčení a je složkou vektoru momentu síly podél osy.

V případě, že získáme, je moment hybnosti vzhledem k ose zachován. Navíc samotný vektor L, definovaný vzhledem k libovolnému bodu na ose rotace, se může změnit. Příklad takového pohybu je na obr. 3.5.

Rýže. 3.5.

Tyč AB, zavěšená v bodě A, se setrvačností otáčí kolem svislé osy tak, že úhel mezi osou a tyčí zůstává konstantní. Vektor hybnosti L, vzhledem k bodu A, se pohybuje po kuželové ploše s polovičním úhlem otevření, ale průmět L na vertikální ose zůstává konstantní, protože moment gravitace kolem této osy je nulový.

Kinetická energie rotujícího tělesa a práce vnějších sil (osa rotace je stacionární).

Rychlost i-té částice těla

(3.11)

kde je vzdálenost částice k ose rotace Kinetická energie

(3.12)

protože úhlová rychlost rotace pro všechny body je stejná.

V souladu s zákon změny mechanické energie systému se elementární práce všech vnějších sil rovná přírůstku kinetické energie tělesa:

předpokládejme, že kotouč ostřičky se otáčí setrvačností úhlovou rychlostí a zastavíme jej přitlačením předmětu k okraji kotouče konstantní silou. V tomto případě bude na disk působit konstantní síla směřující kolmo k jeho ose. Práce této síly

kde je moment setrvačnosti ostřícího kotouče spolu s kotvou elektromotoru.

Komentář. Pokud jsou síly takové, že neprodukují práci.

Volné nápravy. Stabilita volného otáčení.

Když se těleso otáčí kolem pevné osy, je tato osa držena v konstantní poloze ložisky. Při rotaci nevyvážených částí mechanismů dochází k určitému dynamickému zatížení os (hřídel), dochází k vibracím, otřesům a může dojít ke kolapsu mechanismů.

Pokud se pevné těleso roztočí kolem libovolné osy pevně spojené s tělesem a osa se uvolní z ložisek, pak se jeho směr v prostoru, obecně řečeno, změní. Aby si libovolná osa rotace tělesa zachovala svůj směr nezměněn, musí na ni působit určité síly. Situace, které v tomto případě nastávají, jsou znázorněny na obr. 3.6.

Rýže. 3.6.

Jako rotační těleso je zde použita masivní homogenní tyč AB, připevněná k dosti pružné ose (znázorněné dvojitými čárkovanými čarami). Elasticita nápravy vám umožňuje vizualizovat dynamické zatížení, které zažívá. Ve všech případech je osa otáčení svislá, pevně spojená s tyčí a zajištěná v ložiskách; tyč je rozkroucena kolem této osy a ponechána svému osudu.

V případě znázorněném na Obr. 3.6a je osa otáčení hlavní pro bod B tyče, nikoli však středová Osa se ohýbá, ze strany osy na tyč působí síla zajišťující její otáčení (v NISO sdružené s tyčí tato síla vyrovnává odstředivou sílu setrvačnosti). Ze strany tyče působí na osu síla, která je vyvážena silami od ložisek.

V případě Obr. 3.6b osa otáčení prochází těžištěm tyče a je pro ni centrální, ale není hlavní. Moment hybnosti vzhledem k těžišti O není zachován a popisuje kuželovou plochu. Osa se složitě deformuje (láme), na tyč působí ze strany osy síly, jejichž moment poskytuje přírůstek (V NISO spojeném s tyčí moment pružných sil kompenzuje moment odstředivé setrvačné síly působící na jednu a druhou polovinu tyče). Ze strany tyče působí síly na osu a směřují opačně k silám a Moment sil a je vyvážen momentem sil a vznikajících v ložiskách.

A pouze v případě, kdy se osa otáčení shoduje s hlavní středovou osou setrvačnosti tělesa (obr. 3.6c), nemá nezkroucená a ponechaná tyč na ložiska žádný vliv. Takové osy se nazývají volné osy, protože pokud jsou ložiska odstraněna, zachovají si svůj směr v prostoru beze změny.

Zda bude tato rotace stabilní vzhledem k malým poruchám, ke kterým v reálných podmínkách vždy dochází, je věc druhá. Experimenty ukazují, že rotace kolem hlavní centrální osy s největším a nejmenším momentem setrvačnosti je stabilní a rotace kolem osy se střední hodnotou momentu setrvačnosti je nestabilní. To lze ověřit vyhozením tělesa ve tvaru kvádru, nekrouceného kolem jedné ze tří vzájemně kolmých hlavních centrálních os (obr. 3.7). Osa AA" odpovídá největšímu, osa BB" - průměr a osa CC" - nejmenší moment setrvačnosti kvádru. Pokud takové těleso hodíte, dáte mu rychlou rotaci kolem osy AA" popř. kolem osy CC", můžete se ujistit, že tato rotace je celkem stabilní. Pokusy donutit tělo k rotaci kolem osy BB" nevedou k úspěchu - tělo se pohybuje složitě, za letu se klopí.

- tuhé těleso - Eulerovy úhly

Viz také: