Ano ang aritmetika? Ang pangunahing teorama ng aritmetika. Binary arithmetic. Ang Pinagmulan ng Matematika sa Sinaunang Silangan na Plano ng Pag-aaral

Ipadala ang iyong mahusay na trabaho sa base ng kaalaman ay simple. Gamitin ang form sa ibaba

Ang mga mag-aaral, nagtapos na mag-aaral, mga batang siyentipiko na gumagamit ng base sa kaalaman sa kanilang pag-aaral at trabaho ay labis na nagpapasalamat sa iyo.

Nai-post sa http://www.allbest.ru/

Panimula

1. Ang simula ng matematika sa primitive na lipunan

2. Ang pinagmulan ng matematika sa sinaunang Silangan

2.1 Ehipto

2.2 Babilonia

Konklusyon

Listahan ng mga sanggunian

Panimula

Ang Matematika (Griyego - kaalaman, agham) ay agham ng mga relatibong dami at spatial na form ng totoong mundo.

Ang isang malinaw na pag-unawa sa malayang posisyon ng matematika bilang isang espesyal na agham na may sariling paksa at pamamaraan ay naging posible lamang matapos ang akumulasyon ng isang sapat na malaking halaga ng katotohanan na materyal at lumitaw sa kauna-unahang pagkakataon kay Dr. Greece noong ika-6 at ika-5 na siglo. BC. Ang pag-unlad ng matematika hanggang sa oras na ito ay maaaring likas na maiugnay sa panahon ng kapanganakan ng mga matematiko at, at sa ika-6 at ika-5 na siglo. BC. sa oras ang simula ng panahon ng elementarya na matematika, na tumagal hanggang sa ika-16 na siglo. Sa mga unang dalawang panahong ito, ang pagsasaliksik sa matematika ay nauugnay sa isang napaka-limitadong supply ng mga pangunahing konsepto na lumitaw sa napaka-aga ng pag-unlad ng kasaysayan na nauugnay sa pinakasimpleng pangangailangan ng buhay pang-ekonomiya, na binawasan sa pagbibilang ng mga bagay, pagsukat sa dami ng mga produkto, mga lugar ng lupa, pagtukoy sa laki mga indibidwal na bahagi ng mga istruktura ng arkitektura, pagsukat ng oras, mga kalkulasyon sa komersyo, pag-navigate, atbp. Ang mga unang problema ng mekanika at pisika, maliban sa mga indibidwal na pag-aaral ng Archimedes (ika-3 siglo BC), na kinakailangan na ng mga panimula sa pagkalkula ng infinitesimal, ay nasiyahan pa rin sa parehong stock ng pangunahing mga konsepto ng matematika. Ang nag-iisang agham na, bago pa ang malawak na pag-unlad ng pag-aaral ng matematika ng mga likas na phenomena noong ika-17 at ika-18 na siglo. sistematikong ipinakita sa matematika ang sarili nitong espesyal at napakahusay na mga kinakailangan, mayroong astronomiya, na ganap na natukoy, halimbawa, ang maagang pag-unlad ng trigonometry.

Noong ika-17 siglo. pinipilit ng mga bagong kahilingan ng natural na agham at teknolohiya ang mga matematiko na ituon ang kanilang pansin sa paglikha ng mga pamamaraan na nagpapahintulot sa matematika na pag-aaral ng paggalaw, ang mga proseso ng pagbabago ng dami, binabago ang mga geometric na hugis (sa panahon ng disenyo, atbp. Gamit ang paggamit ng mga variable na dami sa analytical geometry ng R. Descartes at ang paglikha ng kaugalian at integral na calculus, nagsisimula ang panahon ng matematika ng mga variable na dami.

Ang karagdagang pagpapalawak ng saklaw ng mga relasyong dami at spatial na form na pinag-aralan ng matematika na humantong sa simula ng ika-19 na siglo. ang pangangailangan na sadyang gamutin ang proseso ng pagpapalawak ng paksa ng pananaliksik sa matematika, na nagtatakda sa ating sarili ng gawain ng sistematikong pag-aaral mula sa isang medyo pangkalahatang pananaw ng mga posibleng uri ng mga relatibong dami at mga puwang na spatial. Ang paglikha ng N.I. Ang Lobachevsky ng kanyang "haka-haka na geometry", na kasunod na nakatanggap ng tunay na mga aplikasyon, ay ang unang makabuluhang hakbang sa direksyon na ito. Ang pag-unlad ng ganitong uri ng pananaliksik na ipinakilala sa istraktura ng matematika tulad ng mahalagang mga tampok na matematika sa ika-19 at ika-20 siglo. natural na maiugnay sa isang espesyal na panahon ng modernong matematika.

1. Ang simula ng matematika sa primitive na lipunan

Ang aming paunang ideya tungkol sa numero at form ay nagsimula sa isang napakalayong panahon ng sinaunang Panahon ng Bato - ang Paleolithic. Sa daan-daang libo ng panahong ito, ang mga tao ay nanirahan sa mga yungib, sa mga kundisyon na hindi gaanong naiiba sa buhay ng mga hayop, at ang kanilang enerhiya ay ginugol ng pangunahin sa pagkuha ng pagkain sa pinakasimpleng paraan - pagkolekta nito saanman posible. Ang mga tao ay gumawa ng mga tool para sa pangangaso at pangingisda, bumuo ng isang wika upang makipag-usap sa bawat isa, at sa huli na panahon ng Paleolithic pinalamutian nila ang kanilang pag-iral, lumilikha ng mga gawa ng sining, mga figurine at guhit. Marahil ang mga guhit sa mga kuweba ng Pransya at Espanya (mga 15 libong taong gulang) ay may kahalagahan sa ritwal, ngunit walang alinlangan na isiwalat nila ang isang kamangha-manghang pakiramdam ng anyo.

Hanggang sa nagkaroon ng paglipat mula sa simpleng pagtitipon ng pagkain patungo sa aktibong paggawa nito, mula sa pangangaso at pangingisda patungo sa agrikultura, ang mga tao ay gumawa ng kaunting pag-unlad sa pag-unawa sa mga halagang bilang at mga ugnayan sa spatial. Sa simula lamang ng pangunahing puntong ito ng pagbago, isang rebolusyon, kapag ang passive na pag-uugali ng tao sa kalikasan ay pinalitan ng isang aktibo, pumapasok tayo sa isang bagong Panahon ng Bato, ang Neolithic.

Ang dakilang pangyayaring ito sa kasaysayan ng sangkatauhan ay naganap mga sampung libong taon na ang nakalilipas, nang magsimulang matunaw ang ice sheet sa Europa at Asya at magbigay daan sa mga kagubatan at disyerto. Unti-unting tumigil ang mga paglalakad sa paghahanap ng pagkain. Ang mga mangingisda at mangangaso ay lalong pinalitan ng mga sinaunang magsasaka. Ang nasabing mga magsasaka, na nananatili sa isang lugar habang ang lupa ay nagpapanatili ng pagkamayabong, nagtayo ng mga tirahan na dinisenyo para sa isang mas mahabang panahon. Nagsimulang lumitaw ang mga nayon upang maprotektahan ang kanilang sarili mula sa panahon at mula sa mga mandaragit na kaaway. Maraming mga nasabing Neolithic settlement ang nahukay. Ipinapakita ng kanilang labi kung paano unti-unting nabuo ang mga simpleng sining tulad ng palayok, paghabi at karpintero. Mayroong mga kamalig, upang ang populasyon ay maaaring, sa pamamagitan ng paggawa ng sobra, mag-iimbak ng pagkain para sa taglamig at sa kaso ng pagkabigo sa pag-ani. Nagluto sila ng tinapay, nagtimpla ng beer, natunaw at pinroseso ang tanso at tanso sa huli na panahon ng Neolithic. Ang mga natuklasan ay nagawa, ang gulong ng magkokolon at gulong ng cart ay imbento, ang mga bangka at tirahan ay pinabuting. Ang lahat ng mga kahanga-hangang makabagong ito ay lumitaw lamang sa loob ng isang partikular na zone at hindi palaging kumalat sa labas nito. Halimbawa, nalaman ng mga American Indian ang tungkol sa pagkakaroon ng cart wheel pagkatapos lamang dumating ang mga puti. Gayunpaman, ang bilis ng pag-unlad ng teknolohiya ay bumilis sa isang malaking lawak sa paghahambing sa sinaunang Panahon ng Bato.

Ang mga nayon ay nagsagawa ng makabuluhang kalakal sa kanilang mga sarili, na umunlad nang labis na ang isang tao ay maaaring masubaybayan ang pagkakaroon ng mga ugnayan ng kalakalan sa pagitan ng mga lugar na daan-daang kilometro ang layo sa bawat isa. Ang aktibidad na pang-komersyo na ito ay malakas na na-stimulate ng pagtuklas ng pamamaraan ng pagtunaw ng tanso at tanso at paggawa ng unang tanso at pagkatapos ay mga tool at armas na tanso. Ito naman ay nag-ambag sa karagdagang pagbuo ng mga wika. Ang mga salita ng mga wikang ito ay nagpahayag ng mga konkretong bagay at kakaunti ng mga abstract na konsepto, ngunit ang mga wika ay mayroon nang isang tiyak na bokabularyo para sa mga simpleng term na pang-numero at para sa ilang mga spatial na imahe. Maraming mga tribo sa Australia, Amerika at Africa ang nasa antas na ito noong una nilang nakilala ang mga puting tao, at ang ilang mga tribo ay naninirahan pa rin sa mga ganitong kondisyon, kaya't posibleng pag-aralan ang kanilang kaugalian at paraan ng pagpapahayag ng mga saloobin.

Mga terminong pang-numero na nagpapahiwatig ng ilan sa mga "pinaka-abstrak na konsepto na nagawang likhain ng isip ng tao," tulad ng sinabi ni Adam Smith D.Ya. Stroyk. Isang maikling balangkas ng kasaysayan ng matematika .- M, 1984 .- P.23. , dahan-dahang nagamit. Sa kauna-unahang pagkakataon, lumilitaw ang mga ito bilang husay kaysa sa mga term na dami, na nagpapahiwatig ng pagkakaiba sa pagitan lamang ng isa (o, sa halip, "ilang" - "ilang" sa halip na "isang tao") at dalawa at marami. Ang sinaunang kualitatibong pinagmulan ng mga konseptong pang-numero ay ipinapakita pa rin ngayon sa mga espesyal na terminong binary na matatagpuan sa ilang mga wika, tulad ng Greek at Celtic. Sa pagpapalawak ng konsepto ng bilang, malalaking numero ang unang nabuo sa pamamagitan ng pagdaragdag: 3 sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 2 at 1, 4 sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 2 at 2, 5 sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 2 at 3.

Narito ang mga halimbawa ng pagbibilang ng ilang mga tribo ng Australia:

Ang Tribu ng Murray River: 1 \u003d Enea, 2 \u003d Petcheval, 3 \u003d Petcheval-Enea, 4 \u003d Petcheval-Petcheval.

Kamilaroi: 1 \u003d maliit, 2 \u003d bulan, 3 \u003d guliba, 4 \u003d bulan-bulan, 5 \u003d bulan-guliba, 6 \u003d guliba-guliba.

Ang pagpapaunlad ng mga sining at kalakal ay nag-ambag sa pagkikristal ng konsepto ng bilang. Ang mga numero ay naka-grupo at pinagsama sa malalaking mga yunit, karaniwang ginagamit ang mga daliri ng isang kamay o parehong kamay - isang pangkaraniwang pamamaraan sa commerce. Ito ay humantong sa pagbibilang muna sa base limang, pagkatapos ay sa base sampung, na pupunan ng pagdaragdag at kung minsan ay binabawas, upang ang labindalawa ay napansin bilang 10 + 2, at siyam bilang 10 - I2). Minsan 20 ang kinuha bilang batayan - ang bilang ng mga daliri at daliri ng paa. Sa 307 numeral system ng mga sinaunang Amerikanong mamamayan na pinag-aralan ng Eals, 146 ay decimal, 106 ay lima at limang-decimal, ang natitira ay twenties at five-twenties. Sa pinaka-katangian nitong anyo, ang batayang sistema ng dalawampu't mayroon sa mga Maya sa Mexico at mga Celts sa Europa. Ang mga numerong talaan ay ginawa gamit ang mga bungkos, notch sa mga stick, buhol sa mga lubid, maliliit na bato o mga shell na nakasalansan sa tambak na limang, sa paraang katulad sa mga ginamit noong sinaunang panahon ng may-ari ng bahay na gumagamit ng mga tag. Upang pumunta mula sa mga naturang trick sa mga espesyal na character para sa 5, 10, 20, atbp. isang hakbang lamang ang kailangang gawin, at tiyak na ang mga naturang simbolo na nakita natin na ginagamit sa simula ng nakasulat na kasaysayan, sa tinaguriang bukang-liwayway ng sibilisasyon.

Ang pinakalumang halimbawa ng paggamit ng mga tag ay nahulog sa Paleolithic era. Ito ang radial bone ng isang batang lobo, may haba na 17 sent sentimo, na may 55 malalalim na notch, na natuklasan sa Vestonice (Moravia) noong 1937. Ang unang dalawampu't limang mga notch ay inilalagay sa mga pangkat ng limang, na sinusundan ng isang dobleng haba ng bingaw upang wakasan ang hilera na iyon, at pagkatapos ay isang bagong dobleng haba ng bingaw ay nagsisimula ng isang bagong hilera ng mga notch) Kaya, malinaw na ang lumang pahayag, na nakita natin sa Jacob Grimm, at kung saan ay madalas na paulit-ulit, na ang pagbibilang ay lumitaw tulad ng pagbibilang sa mga daliri, ay mali. Ang pagbibilang ng daliri, iyon ay, pagbibilang ng takong at sampu, lumitaw lamang sa isang tiyak na yugto ng pag-unlad ng lipunan. Ngunit sa sandaling napunta sila rito, naging posible na ipahayag ang mga numero sa isang system ng numero, na naging posible upang makabuo ng malalaking numero. Ganito lumitaw ang isang primitive na uri ng arithmetic. Labing-apat ay ipinahayag bilang 10 + 4, minsan ay 15-1. Nagsimula ang pagpaparami nang ang 20 ay ipinahayag hindi bilang 10 + 10, ngunit bilang 2 x 10. Ginawa ang mga katulad na pagkilos na binary sa loob ng libu-libong taon, na kumakatawan sa isang krus sa pagitan ng pagdaragdag at pagpaparami, partikular sa Egypt at sa kultura ng Mohenjo-Daro bago ang Arya. Ang dibisyon ay nagsimula sa 10 na ipinahayag bilang "kalahating katawan", bagaman ang may malay na paggamit ng mga praksyon ay nanatiling napakabihirang. Halimbawa, sa mga tribo ng Hilagang Amerika, ilang mga kaso lamang ng paggamit ng mga praksiyon ang alam, at halos palaging ito ay isang maliit na bahagi lamang, kahit na minsan nangyayari ito

Nakakaintindi na sila ay nadala ng napakaraming bilang, na, marahil, ay sinenyasan ng isang karaniwang pagnanasa ng tao na palakihin ang bilang ng kawan o pumatay na mga kaaway; ang mga labi ng bias na ito ay nakikita sa Bibliya at sa iba pang mga librong panrelihiyon.

Kinakailangan ding sukatin ang haba at kakayahan ng mga bagay. Ang mga yunit ng pagsukat ay magaspang at madalas batay sa laki ng katawan ng tao. Pinapaalalahanan tayo nito ng mga naturang yunit tulad ng daliri, paa (iyon ay, ang paa), at ang siko. Nang magsimulang itayo ang mga bahay, tulad ng mga magsasaka ng India o mga naninirahan sa mga gusali ng tumpok sa Gitnang Europa, nagsimulang binuo ang mga patakaran sa kung paano magtayo sa mga tuwid na linya at sa tamang mga anggulo. Ang salitang Ingles na "tuwid" ay nauugnay sa pandiwa na "kahabaan", na nagsasaad ng paggamit ng isang lubid). Ang salitang Ingles na "linya" ay magkatulad sa salitang "linen" (tela), na nagsasaad ng koneksyon sa pagitan ng paghabi ng bapor at pagsilang ng geometry. Ito ay isa sa mga landas na pinuntahan ng pag-unlad ng mga interes sa matematika.

Ang Neolithic man ay mayroon ding isang masigasig na pakiramdam ng geometric na hugis. Ang pagkasunog at pagpipinta ng mga daluyan ng luwad, ang paggawa ng mga banig na tambo, basket at tela, at kalaunan - ang pagproseso ng mga metal ay nakabuo ng isang ideya ng mga relasyon sa planar at spatial.

Kailangan ding gampanan ng mga nagsasayaw ang kanilang bahagi. Ang mga neolitiko na burloloy ay nakalulugod sa mata, na inilalantad ang pagkakapantay-pantay, mahusay na proporsyon at ang katulad ng mga numero. Ang mga numerong ratios ay maaari ring lumitaw sa mga bilang na ito, tulad ng ilang mga sinaunang sinaunang palamuting ornament na naglalarawan ng mga tatsulok na bilang; sa iba pang mga disenyo nakita natin ang mga "sagrado" na numero. Ang ganitong uri ng mga burloloy ay nanatiling ginagamit sa mga panahong pangkasaysayan. Nakakakita kami ng magagandang halimbawa sa mga vase ng dipylon ng panahon ng Minoan at maagang Griyego, na kalaunan sa Byzantine at Arab mosaics, sa Persian at Chinese carpets. Sa una, ang mga maagang burloloy ay maaaring magkaroon ng isang relihiyoso o mahiwagang kahulugan, ngunit unti-unting naging nangingibabaw ang kanilang layuning pang-estetiko.

Sa relihiyon ng Panahon ng Bato, mahuhuli natin ang mga unang pagtatangka na pumasok sa isang pakikibaka sa mga puwersa ng kalikasan. Ang mga ritwal ng relihiyon ay lubusang natapunan ng mahika, ang elemento ng mahika ay bahagi ng mga representasyong pang-numero at heometriko na umiiral sa oras na iyon, na nagpapakita rin ng sarili nitong iskultura, musika, pagguhit.

Mayroong mga magic number tulad ng 3, 4, 7, at mga magic figure tulad ng five-tulis na bituin at swastika; ang ilang mga may-akda kahit na naniniwala na ang aspetong ito ng matematika ay isang mapagpasyang kadahilanan sa muling pag-unlad1), ngunit kahit na ang mga ugat ng panlipunan ng matematika sa modernong panahon ay maaaring maging hindi gaanong kapansin-pansin, ang mga ito ay halata sa maagang panahon ng kasaysayan ng tao. Ang modernong "numerolohiya" ay isang labi ng mga mahiwagang ritwal na nagsimula pa noong Neolithic, at marahil kahit sa panahon ng Paleolithic.

Kahit na sa mga pinaka-paatras na tribo, nakakahanap kami ng ilang uri ng tiyempo at, dahil dito, ilang impormasyon tungkol sa paggalaw ng Araw, Buwan at mga bituin. Ang impormasyon ng ganitong uri ay unang nakuha ang isang mas pang-agham na karakter nang magsimulang umunlad ang agrikultura at kalakal. Ang paggamit ng lunar kalendaryo ay nagmula sa isang napaka sinaunang panahon sa kasaysayan ng sangkatauhan, dahil ang pagbabago sa kurso ng paglaki ng halaman ay naiugnay sa mga yugto ng buwan. Ang mga taong sinauna ay nagbigay pansin sa parehong solstice at pagtaas ng Pleiades sa takipsilim. Ang pinakalumang sinaunang mamamayan ay naiugnay ang impormasyong astronomiya sa pinakalayong, sinaunang-panahon na panahon ng kanilang pag-iral. Ang iba pang mga sinaunang tao ay gumamit ng mga konstelasyon kapag ang paglalayag bilang mga palatandaan. Ang astronomiya na ito ay nagbigay ng ilang impormasyon tungkol sa mga katangian ng isang globo, bilog, at mga anggulo.

Ang maikling impormasyon mula sa panahon ng matematika sa primitive na lipunan ay nagpapakita na ang agham sa pag-unlad nito ay hindi kinakailangang dumaan sa lahat ng mga yugto na bumubuo ngayon ng pagtuturo nito. Kamakailan lamang na ang mga siyentipiko ay nagbigay ng tamang pansin sa ilan sa mga pinakalumang geometric na pigura na kilala sa sangkatauhan, tulad ng mga buhol o burloloy. Sa kabilang banda, ang ilan sa mas maraming mga sangay sa elementarya ng aming matematika, tulad ng graphing o mga elementikal na static, ay kamakailang nagmula. Sinabi ni A. Shpeizer na may isang katiyakan: "Para sa huli na pinanggalingan ng elementarya na elementarya, kahit papaano ang malinaw na hilig na maging mainip ay maliwanag - isang pag-aari, maliwanag na likas dito - habang ang isang malikhaing matematiko ay palaging gugustuhin na harapin ang mga nakakainteres at magagandang problema" A.N. Matematika // Mahusay na Russian Encyclopedia / Ed. Ang B.A. Vvedensky .- M, 1998 .- P.447. ...

2. Ang pinagmulan ng matematika sa sinaunang Silangan

2.1 Egypt

Ang pagbibilang ng mga bagay sa pinakamaagang yugto ng pag-unlad ng kultura ay humantong sa paglikha ng pinakasimpleng konsepto ng arithmetic ng mga natural na numero. Batay lamang sa nabuo na sistemang pang-numero ng bibig na lilitaw ang mga nakasulat na mga system ng numero, at ang mga pamamaraan para sa pagsasagawa ng apat na pagpapatakbo ng aritmetika sa natural na mga numero ay unti-unting nabuo (kung saan ang paghahati lamang ang nagpakita ng malalaking paghihirap sa loob ng mahabang panahon). Ang mga pangangailangan ng pagsukat (ang dami ng butil, ang haba ng kalsada, atbp.) Humahantong sa paglitaw ng mga pangalan at pagtatalaga para sa pinakasimpleng mga numero ng praksyonal at sa pagbuo ng mga diskarte para sa pagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga praksyon. Samakatuwid, ang materyal ay naipon, unti-unting nabubuo sa pinaka sinaunang matematika sa agham - aritmetika. Ang pagsukat ng mga lugar at dami, ang mga pangangailangan ng kagamitan sa konstruksyon, at medyo kalaunan ng astronomiya, ay sanhi ng pagbuo ng mga panimula ng geometry. Ang mga prosesong ito ay nangyayari sa maraming mga tao na higit na nakapag-iisa at magkapareho. Ang partikular na kahalagahan para sa karagdagang pag-unlad ng agham ay ang akumulasyon ng arithmetic at geometric na kaalaman sa Dr. Egypt at Babylon. Sa Babylon, batay sa advanced na diskarte ng mga kalkulasyon ng arithmetic, lumitaw din ang mga pagsisimula ng algebra, at kaugnay ng mga hinihingi ng astronomiya, ang mga pagsisimula ng trigonometry.

Ang pinakalumang nakaligtas na mga teksto sa matematika ni Dr. Egypt, mula pa noong simula ng ika-2 sanlibong taon BC. e., binubuo pangunahin ng mga halimbawa para sa paglutas ng mga indibidwal na problema at, sa pinakamaganda, mga recipe para sa paglutas nito, na kung minsan ay mauunawaan lamang sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga halimbawang halimbawa na ibinigay sa mga teksto; ang mga pasyang ito ay madalas na may kasamang pagpapatunay ng sagot. Dapat nating partikular na pag-usapan ang tungkol sa mga recipe para sa paglutas ng ilang mga uri ng mga problema, dahil teorya ng matematika sa kahulugan ng isang sistema ng magkakaugnay at, sa pangkalahatan, sa isang paraan o iba pang napatutunayang pangkalahatang mga teorya, maliwanag na wala talaga. Pinatunayan ito, halimbawa, sa pamamagitan ng ang katunayan na ang eksaktong mga solusyon ay ginamit nang walang anumang pagkakaiba mula sa tinatayang mga. Gayunpaman, ang napaka-stock ng mga itinatag na matematika katotohanan ay, alinsunod sa mataas na diskarte sa konstruksiyon, ang pagiging kumplikado ng mga relasyon sa lupa, ang pangangailangan para sa isang tumpak na kalendaryo, atbp, medyo malaki. Ayon sa papyri 1st floor. Ika-2 sanlibong taon BC ang estado ng Egypt matematika sa oras na iyon ay maaaring mailalarawan sa mga sumusunod na term. Ang pagkakaroon ng pagtagumpayan ang mga paghihirap ng pagtatrabaho sa mga integer batay sa non-posisyonal decimal number system, tulad ng naintindihan mula sa halimbawa.

Ang mga Egypt ay lumikha ng isang kakaiba at sa halip kumplikadong patakaran ng pamahalaan para sa mga aksyon na may mga praksiyon, na nangangailangan ng mga espesyal na talahanayan ng pandiwang pantulong. Ang pangunahing papel dito ay ginampanan ng pagpapatakbo ng pagdodoble at pagdodoble ng mga integer, pati na rin ang representasyon ng mga praksyon sa anyo ng mga kabuuan ng mga praksyon ng isa at, bilang karagdagan, mga praksyon 2/3. Ang pagdodoble at bifurcation, bilang isang espesyal na uri ng pagkilos, sa pamamagitan ng isang serye ng mga intermediate na link ay nakarating sa Europa ng Middle Ages. Ang mga problema sa paghanap ng hindi kilalang mga numero ay sistematikong nalutas, na isusulat ngayon sa anyo ng isang equation sa isang hindi kilalang. Ang Geometry ay nabawasan sa mga patakaran para sa pagkalkula ng mga lugar at dami. Ang mga lugar ng isang tatsulok at isang trapezoid, ang mga dami ng isang parallelepiped at isang pyramid na may isang square base ay kinakalkula nang tama. Ang pinakamataas na nakamit ng mga taga-Egypt na kilala sa amin sa direksyon na ito ay ang pagtuklas ng isang pamamaraan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na pyramid na may isang square base, na naaayon sa pormula

Ang mga panuntunan para sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog at ang mga dami ng isang silindro at isang kono ay tumutugma minsan sa isang humigit-kumulang na tinatayang halaga ng bilang p \u003d 3, kung minsan sa isang mas tumpak

Ang pagkakaroon ng isang patakaran para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na pyramid, mga tagubilin sa kung paano makalkula, halimbawa, ang lugar ng isang isosceles trapezoid sa pamamagitan ng pagbabago nito sa isang pantay na lugar na rektanggulo, at isang bilang ng iba pang mga pangyayari na nagpapahiwatig na ang pagbuo ng pag-iisip na nakakabawas sa matematika ay nakabalangkas na sa matematika ng Ehipto. Ang mga sinaunang papyri mismo ay mayroong isang hangaring pang-edukasyon at hindi ganap na nasasalamin ang dami ng kaalaman at pamamaraan ng mga matematiko ng Egypt. praksyon ng numero ng matematika

2.2 Babilonia

Mayroong walang kapantay na higit pang mga teksto sa matematika na ginagawang posible na hatulan ang matematika sa Babylon kaysa sa mga Ehipto. Ang mga Babylonian cuneiform na matematika na teksto ay sumasaklaw sa panahon mula sa simula ng ika-2 sanlibong taon BC. e. (ang panahon ng dinastiyang Hammurabi at Kassites) bago ang paglitaw at pag-unlad ng matematika ng Griyego. Gayunpaman, kahit na ang una sa mga teksto na ito ay tumutukoy sa kasagsagan ng matematika ng Babilonia, ang mga karagdagang teksto, sa kabila ng pagkakaroon ng ilang mga bagong sandali, ay nagpatotoo, sa kabuuan, sa halip tungkol sa pagwawalang-kilos nito. Ang mga taga-Babilonia ng dinastiyang Hammurabi na natanggap mula sa panahon ng Sumerian ay isang binuo sistemang halo-halong decimal-animagesimal na pagnunumero, na naglalaman na ng isang posisyong prinsipal na may mga palatandaan para sa 1 at 60, pati na rin 10 (ang parehong mga palatandaan ay nagpapahiwatig ng parehong bilang ng mga yunit ng iba't ibang mga sexagesimal na numero) ... Halimbawa:

Ang mga fragment na sexagesimal ay naipahiwatig nang katulad. Ginawang posible upang magsagawa ng mga aksyon na may buong numero at mga maliit na bahagi ng sexagesimal ayon sa parehong mga patakaran. Sa ibang oras, lumilitaw din ang isang espesyal na pag-sign upang ipahiwatig ang kawalan ng mga intermediate na numero sa isang naibigay na numero. Ang dibisyon na gumagamit ng mga talahanayan ng mga bilang na katumbasan ay nabawasan sa pagpaparami (ang diskarteng ito minsan ay matatagpuan sa mga tekstong Ehipto) Sa mga susunod na teksto, ang pagkalkula ng mga bilang na katumbas na iba sa 2 a, З b, 5 g, ibig sabihin hindi ipinahayag sa huling anim na bahagi ng maliit na bahagi, minsan dinadala ito sa ikawalong sexagesimal sign; Posibleng natuklasan ang pagiging regular ng naturang mga praksiyon; halimbawa, sa kaso ng 1/7. Bilang karagdagan sa mga talahanayan ng mga bilang na katumbasan, may mga talahanayan ng mga produkto, parisukat, cubes, atbp. Ang isang malaking bilang ng mga tala ng pang-ekonomiya ay nagpapatunay ng malawakang paggamit ng lahat ng mga pamamaraang ito sa kumplikadong mga gawaing pang-ekonomiya ng palasyo at templo. Ang mga kalkulasyon ng interes sa mga utang ay malawak ding binuo. Mayroon ding isang bilang ng mga teksto mula sa oras ng Hammurabi dinastya na nakatuon sa paglutas ng mga problema na, mula sa isang modernong pananaw, ay nabawasan sa mga equation ng una, pangalawa at kahit ikatlong degree. Ang mga problema para sa mga quadratic equation ay lumitaw, marahil, sa pamamagitan ng pag-convert ng pulos praktikal na mga problema sa geometric, na sa maraming mga kaso ay nagpapatotoo sa makabuluhang pag-unlad ng abstract na kaisipang matematika. Tulad nito, halimbawa, ang problema ng pagtukoy sa gilid ng isang rektanggulo sa pamamagitan ng lugar at perimeter nito. Gayunpaman, ang problemang ito ay hindi nabawasan sa isang three-term quadratic equation, ngunit nalutas, tila, gamit ang isang pagbabago na isusulat namin (x + y) 2 \u003d (xy) 2 + 4xy, na humantong halos kaagad sa isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam. Ang isa pang problema na nauugnay sa tinaguriang teyema ng Pythagorean, na kilala sa Babilonya mula pa noong sinaunang panahon, upang matukoy ang mga binti mula sa hypotenuse at data ng lugar, ay kinatawan ng isang tatlong-term na equation na may isang solong positibong ugat. Napili ang mga problema upang ang mga ugat ay palaging buong positibo at para sa pinaka bahagi ay pareho. Ipinapakita nito na ang mga natitirang tablet na luwad ay nagtuturo ng ehersisyo; ang turo ay tila bibig. Ngunit alam din ng mga taga-Babilonia ang mga pamamaraan ng tinatayang pagkalkula ng parisukat na ugat, halimbawa, ang haba ng dayagonal ng isang parisukat na may isang naibigay na panig. Kaya, ang bahagi ng algebraic ng Babylonian matematika ay makabuluhan at umabot sa isang mataas na antas. Kasama nito, alam ng mga taga-Babilonia kung paano magbubu ng mga pagsulong sa aritmetika, hindi bababa sa pinakasimpleng pagwawakas na mga pag-unlad na geometriko, at alam pa ang panuntunan para sa pagbuo ng magkakasunod na mga parisukat na numero, simula sa 1. Mayroong palagay na ang mas maraming abstract na interes ng siyentipiko, hindi limitado sa resipe na direktang kinakailangan sa pagsasanay, ngunit humahantong sa paglikha ng pangkalahatang mga pamamaraan ng algebraic para sa paglutas ng mga problema, lumitaw sa "mga paaralan ng mga eskriba", kung saan ang mga mag-aaral ay naghahanda para sa mga aktibidad sa accounting at pang-ekonomiya. Ang mga teksto ng ganitong uri ay nawawala sa paglaon. Sa kabilang banda, ang pamamaraan ng pag-compute na may mga multi-digit na numero ay nalilikha pa lalo na nauugnay sa pag-unlad sa ika-1 milenyo BC. e. mas tumpak na pamamaraan sa astronomiya. Batay sa astronomiya, lilitaw ang mga unang malawak na talahanayan ng mga natagpuang empirically dependency na lilitaw, kung saan makikita ang isang prototype ng ideya ng isang pagpapaandar. Ang tradisyunal na matematika ng cuneiform na matematika ay nagpapatuloy sa Asirya, estado ng Persia, at kahit na sa panahon ng Hellenistic hanggang sa ika-1 siglo. BC. Mula sa mga nakamit ng Babylonian matematika sa larangan ng geometry, na lampas sa kaalaman ng mga taga-Egypt, dapat pansinin ang nabuong pagsukat ng mga anggulo at ilang mga panimula ng trigonometry, malinaw na nauugnay sa pag-unlad ng astronomiya; kalaunan, ang ilang mga regular na polygon na nakasulat sa isang bilog ay lilitaw sa mga teksto ng cuneiform.

Kung ihinahambing natin ang agham ng matematika ng Ehipto at Babilonya sa pamamagitan ng pag-iisip, kung gayon hindi magiging mahirap na maitaguyod ang kanilang pagkakapareho sa mga tuntunin ng mga katangiang tulad ng pagiging mapag-awtoridad, hindi pagiging kritiko, pagsunod sa tradisyon, at labis na mabagal na pag-unlad ng kaalaman. Ang mga parehong tampok ay matatagpuan sa pilosopiya, mitolohiya, at relihiyon ng Silangan. Tulad ng isinulat ni E. Kolman tungkol dito, "sa lugar na ito, kung saan ang kalooban ng despot ay itinuturing na isang batas, walang lugar para sa pag-iisip, na hinahanap ang mga sanhi at katwiran ng mga phenomena, mas mababa para sa libreng talakayan" Kolmogorov AN Matematika // Mahusay na Russian Encyclopedia / Ed. Ang B.A. Vvedensky .- M, 1998 .- P.447. ...

Konklusyon

Tulad ng nabanggit na, ang matematika ay agham ng mga porma na spatial (aspeto ng geometriko) at mga relasyong may dami (numerong aspeto) ng mga bagay na pinag-aaralan. Sa parehong oras, inilalabas ito mula sa husay na kahulugan ng mga bagay, samakatuwid ang mga resulta sa matematika ay unibersal, nalalapat sa anumang mga bagay at anumang mga problemang pang-agham. Ang bilang na "20" ay maaaring kumatawan sa bilang ng mga pangunahing amino acid (biochemistry); ang edad ng Uniberso, bilyun-bilyong taon (cosmology); tagal ng isang heolohikal na kapanahunan, milyun-milyong taon (heolohiya); edad ng tao, taon (anthropology); ang bilang ng mga empleyado sa firm (pamamahala); ang bilang ng mga neurons sa utak ng tao; bilyun-bilyon (pisyolohiya); porsyento ng kakayahang kumita ng produksyon (ekonomiya), atbp. Ito ay dahil sa pagiging unibersal ng aplikasyon nito, pati na rin na may kaugnayan sa pag-aaral ng pinakamahalagang dami ng aspeto ng anumang mga proseso, ang papel na ginagampanan ng matematika sa pag-unlad ng lahat ng agham ay napakataas. Ito ay matagal nang halata sa mga kilalang siyentista.

Iyon ang dahilan kung bakit ang antas ng pag-unlad ng anumang kilalang agham ay maaaring maitaguyod lalo na sa antas ng paggamit ng matematika dito. Hindi lamang ito tungkol sa paggamit ng mga numero (kung gayon ang kasaysayan ay maaaring isaalang-alang ang pinaka-napaunlad na agham), ngunit tungkol sa antas ng mathematization ng mga tiyak na nakamit na pang-agham.

Ang mga domestic methodologist (Akchurin A.I.) ay nakikilala ang tatlong antas ng mathematization ng kaalaman:

1. Ang unang (pinakamababang) antas ay ang paggamit ng matematika sa pagproseso ng mga resulta ng dami ng mga eksperimento.

2. Ang pangalawang (gitna) na antas ay ang pagbuo ng mga modelo ng teoretikal at matematika.

3. Ang pangatlo (pinakamataas) na antas ay ang paglikha ng isang teoryang matematika ng mga bagay na pinag-aaralan.

Iba't ibang mga agham, kapwa natural at makatao, at kahit na mga seksyon ng mga indibidwal na agham ay may iba't ibang antas ng mathematization:

1. Ang pinakamababang antas ay katangian ng naturang mga agham tulad ng jurisprudence, linguistics (hindi kasama ang linguistics ng matematika), historiography, pedagogy, psychology, sosyolohiya, at iba pa.

2. Ang gitnang antas ay tipikal para sa mga nasabing agham tulad ng biophysics, genetika, ecology, military science, economics, management, geology, chemistry, atbp.

3. Ang pinakamataas na antas ay katangian ng naturang mga agham tulad ng astronomiya, geodesy, physics (lalo na ang mekanika, acoustics, hydrodynamics, electrodynamics, optika), atbp.

Ang mga agham na kasalukuyang may pinakamataas na antas ng mathematization ay tinatawag na eksaktong. Siyempre, ang matematika mismo ay isang eksaktong agham din.

Sa gayon, ang pagmomodelo sa matematika ay isang mabisang paraan ng pag-alam, ngunit hindi ito naaangkop sa lahat ng agham at kanilang mga sangay, ngunit sa mga lamang kung saan ang paggamit ng matematika ay sumulong nang sapat.

Listahan ng mga sanggunian

1. Mga Demonyo K. Kasaysayan ng agham at teknolohiya mula sa mga sinaunang panahon hanggang sa katapusan ng ikadalawampu siglo - M: UNITI, 1997. - P.14-16.

2. Kolmogorov A.N. Matematika // Mahusay na Russian Encyclopedia / Ed. Ang B.A. Vvedensky .- M: TSB, 1998 .- P.446-449.

3. Ang konsepto ng modernong likas na agham / Ed. S.I. Samygin .- Rostov-on-Don: Phoenix, 1997 .- S. 8-12.

4. Lipovko P.O. Ang konsepto ng modernong likas na agham .- Rostov n / a: Phoenix, 2004 .- P.41-45.

5. Polikarpov V.S. Kasaysayan ng agham at teknolohiya .- Rostov-on-Don: Phoenix, 1999 .- P.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Isang maikling sanaysay sa kasaysayan ng matematika. - M: Pangunahing edisyon ng pisikal at agham matematika, 1984.- P.21-53.

Nai-post sa Allbest.ru

Katulad na mga dokumento

Pag-aaral ng makasaysayang pag-unlad ng matematika sa Russian Empire sa panahon ng 18-19th siglo bilang isang agham ng dami ng mga relasyon at spatial form ng totoong mundo. Pagsusuri sa antas ng edukasyon sa matematika at pag-unlad nito ng mga siyentista sa Russia.

abstract, idinagdag 01/26/2012


Preconditions para sa pinagmulan ng matematika sa Sinaunang Egypt. Mga gawain para sa pagkalkula ng "aha". Agham ng Sinaunang Egypt. Ang problema mula sa papyrus ni Rynd. Geometry sa Sinaunang Ehipto. Mga pahayag ng mahusay na siyentipiko tungkol sa kahalagahan ng matematika. Ang kahalagahan ng mga matematika ng Egypt sa ating panahon.

idinagdag ang abstract noong 05.24.2012


Ang paglitaw at pangunahing yugto ng pag-unlad ng matematika bilang isang agham ng mga istraktura, kaayusan at mga relasyon batay sa pagpapatakbo ng pagbibilang, pagsukat at paglalarawan ng mga anyo ng mga totoong bagay. Pag-unlad ng kaalaman sa arithmetic at geometry sa Sinaunang Silangan, Babilonya at Sinaunang Greece.

idinagdag ang pagtatanghal noong 12/17/2010


Pag-aaral ng pinagmulan ng matematika at ang paggamit ng mga pamamaraan ng matematika sa sinaunang Tsina. Mga kakaibang problema ng Tsino para sa numerong solusyon ng mga equation at mga problemang geometric na humahantong sa mga equation ng pangatlong degree. Natitirang mga matematiko ng sinaunang Tsina.

abstract, idinagdag 09/11/2010


Pangkalahatang katangian ng kulturang matematika ng mga sinaunang sibilisasyon. Ang pangunahing kronolohikal na panahon ng pinagmulan at pag-unlad ng matematika. Mga tampok ng matematika sa Egypt, Babylon, India at China noong unang panahon. Kulturang matematika ng mga Indiano ng Mesoamerica.

idinagdag ang pagtatanghal noong 09/20/2015


Ang kasaysayan ng pagbuo ng matematika bilang isang agham. Ang panahon ng elementarya na matematika. Panahon ng paglikha ng matematika ng mga variable. Paglikha ng analytical geometry, kaugalian at integral na calculus. Ang pag-unlad ng matematika sa Russia noong siglo XVIII-XIX.

abstract, idinagdag noong 10/09/2008


Mga tampok ng pinagmulan at paggamit ng mga praksiyon sa Egypt. Mga tampok ng paggamit ng mga fraksyon ng sexagesimal sa Babylon, Greek at Arabic na mga matematiko at astronomo. Natatanging mga tampok ng mga praksiyon sa sinaunang Roma at Russia. Mga praksyonal na numero sa modernong mundo.

idinagdag ang pagtatanghal noong 04/29/2014


Ang robot ay nakatalaga sa kahalagahan ng matematika, sa kasaysayan ng mga anak ng agham. Ang impormasyon, na higit na kapaki-pakinabang para sa pag-aaral ng mga iskolar sa pagsasanay sa matematika. Pataasin ang pag-unlad ng matematika. Pilosopiya ng bilang ng mga Pifagorians. Mga pormula ng matematika sa pisika, kimika, sikolohiya.

term paper, idinagdag 09/12/2009


Ang panahon ng kapanganakan ng matematika (hanggang sa ika-7 hanggang ika-5 siglo BC). Ang oras ng matematika ng patuloy na mga halaga (VII-V siglo BC - XVII siglo AD). Matematika ng Mga variable (XVII-XIX siglo). Ang modernong panahon sa pagbuo ng matematika. Mga tampok ng computer matematika.

idinagdag ang pagtatanghal noong 09/20/2015


Greek matematika. Middle Ages at Renaissance. Ang simula ng modernong matematika. Kasalukuyang matematika. Ang matematika ay hindi batay sa lohika, ngunit sa mahusay na intuwisyon. Ang mga pundasyon ng matematika ay pilosopiko.

18

idagdag sa Mga Paborito sa Mga Paborito mula sa Mga Paborito7

Paunang salita ng editoryal: Sa higit sa 500 libong mga tabletang luwad na natagpuan ng mga arkeologo sa panahon ng paghuhukay sa Sinaunang Mesopotamia, halos 400 ang naglalaman ng impormasyong matematika. Karamihan sa kanila ay na-decipher at pinapayagan kang makakuha ng isang malinaw na ideya ng kamangha-manghang mga nagawa ng algebraic at geometric ng mga siyentipikong taga-Babilonia.

Ang mga opinyon ay naiiba tungkol sa oras at lugar ng kapanganakan ng matematika. Maraming mga mananaliksik ng isyung ito ang inilarawan ang paglikha nito sa iba't ibang mga tao at itinakda ito sa iba't ibang mga panahon. Ang mga sinaunang Greeks ay wala pang iisang pananaw tungkol sa bagay na ito, na kabilang sa kung saan ang bersyon ay lalo na kalat na ang geometry ay naimbento ng mga Egypt, at ang arithmetic ay naimbento ng mga mangangalakal na Phoenician, na nangangailangan ng ganitong kaalaman para sa mga kalkulasyon sa kalakalan.

Si Herodotus sa Kasaysayan at Strabo sa Heograpiya ang nagbigay ng priyoridad sa mga Phoenician. Si Plato at Diogenes Laertius ay isinasaalang-alang ang Egypt na ang tinubuang bayan ng parehong arithmetic at geometry. Ito rin ang opinyon ni Aristotle, na naniniwala na ang matematika ay nagmula sa oras ng paglilibang ng mga pari doon. Ang pangungusap na ito ay sumusunod sa daanan na sa bawat sibilisasyon, ang mga praktikal na sining ay unang ipinanganak, pagkatapos ang mga sining na nagsisilbi ng kasiyahan, at pagkatapos lamang ay ang mga agham na naglalayon sa katalusan.

Si Evdem, isang mag-aaral ng Aristotle, tulad ng karamihan sa kanyang mga hinalinhan, ay isinasaalang-alang din ang Egypt na lugar ng kapanganakan ng geometry, at ang dahilan para sa hitsura nito ay ang praktikal na pangangailangan ng pagsisiyasat sa lupa. Sa pagpapabuti nito, pumasa ang geometry, ayon kay Evdem, tatlong yugto: ang paglitaw ng mga praktikal na kasanayan sa pagsisiyasat sa lupa, ang paglitaw ng isang praktikal na oriented na inilapat na disiplina at ang pagbabago nito sa isang teoretikal na agham. Maliwanag, ang unang dalawang yugto na naiugnay ni Evdem sa Egypt, at ang pangatlo - sa Greek matematika. Totoo, gayunpaman inamin niya na ang teorya ng pagkalkula ng mga lugar ay lumitaw mula sa solusyon ng mga quadratic equation, na nagmula sa Babylonian.

Ang mananalaysay na si Josephus Flavius \u200b\u200b("Sinaunang Judea", v. 1, kab. 8) ay may kanya-kanyang opinyon. Bagaman tinawag niya ang mga Ehiptohanon na una, sigurado siyang itinuro sa kanila ang aritmetika at astronomiya ng ninuno ng mga Hudyo na si Abraham, na nagtago sa Ehipto sa panahon ng taggutom na sumapit sa lupain ng Canaan. Sa gayon, ang impluwensyang Ehiptohanon sa Greece ay sapat na malakas upang magpataw sa mga Griyego ng isang katulad na opinyon, na, sa kanilang magaan na kamay, ay nagpapalipat-lipat sa panitikang makasaysayang hanggang ngayon. Mahusay na napanatili na mga tabletang luwad na sakop ng mga teksto ng cuneiform, na matatagpuan sa Mesopotamia at mula pa noong 2000 BC. at bago ang 300 AD, magpatotoo sa kapwa isang bahagyang magkakaibang estado ng mga gawain, at kung ano ang matematika tulad ng sa sinaunang Babylon. Ito ay isang kumplikadong pagsasanib ng arithmetic, algebra, geometry, at kahit na ang mga pagsisimula ng trigonometry.

Ang Matematika ay itinuro sa mga eskuwelahan ng iskolar, at ang bawat nagtapos ay may isang seryosong seryosong halaga ng kaalaman para sa oras na iyon. Maliwanag, ito ang sinabi ni Ashurbanipal, hari ng Asiria noong ika-7 siglo. Ang BC, sa isa sa kanyang mga inskripsiyon, ay nag-uulat na natutunan niyang hanapin

"Mga kumplikadong suklian at dumami".

Upang magamit ang mga kalkulasyon, pinilit ng buhay ang mga taga-Babilonia sa bawat hakbang. Kailangan ang arithmetic at simpleng algebra sa pag-aalaga ng bahay, kapag nagpapalitan ng pera at magbabayad para sa mga kalakal, kinakalkula ang simple at tambalang interes, buwis at ang bahagi ng ani na ipinasa sa estado, templo o may-ari ng lupa. Ang mga kalkulasyon sa matematika, at medyo kumplikado, ay nangangailangan ng mga malalaking proyekto sa arkitektura, gawaing engineering sa panahon ng pagtatayo ng isang sistema ng patubig, ballistics, astronomiya, astrolohiya. Ang isang mahalagang gawain ng matematika ay upang matukoy ang oras ng gawaing pang-agrikultura, mga pista opisyal sa relihiyon, at iba pang mga pangangailangan sa kalendaryo. Gaano kataas sa mga sinaunang lungsod-estado sa pagitan ng mga ilog ng Tigris at Euphrates ang mga nakamit sa kung ano ang tatawagin ng mga Griyego sa gayon nakakagulat na tumpak na μαθημα ("kaalaman"), posible na hatulan ang mga decipherment ng Mesopotamian clay cuneiforms. Sa pamamagitan ng paraan, sa mga Greko, ang term na μαθημα ay paunang nagsasaad ng isang listahan ng apat na agham: arithmetic, geometry, astronomy at harmonics; nagsimula siyang tukuyin ang tamang matematika nang huli.

Sa Mesopotamia, natagpuan na at patuloy na nahanap ng mga arkeologo ang mga tablet na cuneiform na may mga tala na may likas na matematika, bahagyang sa Akkadian, bahagyang sa Sumerian, pati na rin mga sangguniang matematika. Ang huli ay lubos na pinadali ang mga kalkulasyon na dapat gawin sa araw-araw, kaya't ang bilang ng mga na-decrypt na teksto ay kadalasang naglalaman ng pagkalkula ng porsyento. Ang mga pangalan ng pagpapatakbo ng arithmetic ng mas maaga, panahon ng Sumerian ng kasaysayan ng Mesopotamian ay nakaligtas. Kaya, ang pagpapatakbo ng pagdaragdag ay tinawag na "akumulasyon" o "pagdaragdag", kapag binawas, ginamit ang pandiwa "pluck", at ang term para sa pagpaparami ay nangangahulugang "kumain."

Nakatutuwa na sa Babilonia ay gumamit sila ng isang mas malawak na talahanayan ng pagpaparami - mula 1 hanggang 180,000 kaysa sa isa na dapat nating malaman sa paaralan, ibig sabihin dinisenyo para sa mga numero mula 1 hanggang 100.

Sa Sinaunang Mesopotamia, ang pare-parehong mga patakaran para sa pagpapatakbo ng arithmetic ay nilikha hindi lamang sa mga integer, kundi pati na rin sa mga praksiyon, sa sining ng pagpapatakbo kung saan ang mga taga-Babilonia ay higit na nakahihigit sa mga Egypt. Halimbawa, sa Egypt, ang mga pagpapatakbo na may mga praksyon sa loob ng mahabang panahon ay nagpatuloy na manatili sa isang primitive na antas, dahil ang alam nila ay mga aliquot lamang (ibig sabihin, mga praksyon na may isang numerator na katumbas ng 1). Mula noong panahon ng mga Sumerian sa Mesopotamia, ang bilang 60 ang pangunahing yunit ng pagbibilang sa lahat ng mga gawaing pang-ekonomiya, bagaman ang sistemang numero ng decimal ay kilala rin, na ginagamit sa mga Akkadians. Malawakang ginamit ng mga matematiko ng Babilonya ang anim na anim na posisyonal (!) Sistema ng pagbibilang. Sa batayan nito, ang iba't ibang mga talahanayan ng pagkalkula ay naipon. Bilang karagdagan sa mga talahanayan ng pagpaparami at mga talahanayan ng mga katumbasan, sa tulong ng kung aling paghahati ang ginanap, may mga talahanayan ng mga square root at cubic number.

Ang mga teksto ng Cuneiform na nakatuon sa paglutas ng mga problema sa algebraic at geometric na nagpapahiwatig na ang mga taga-matematika ng Babilonya ay nakapaglutas ng ilang mga espesyal na problema, kabilang ang hanggang sa sampung mga equation na may sampung hindi alam, pati na rin ang ilang mga uri ng mga equation na cubic at equation ng ikaapat na degree. Sa simula, ang mga quadratic equation ay nagsilbi higit sa lahat pulos praktikal na layunin - pagsukat ng mga lugar at dami, na makikita sa terminolohiya. Halimbawa, kapag nilulutas ang mga equation na may dalawang hindi alam, ang isa ay tinawag na "haba" at ang isa ay tinawag na "lapad". Ang gawain ng mga hindi kilalang tao ay tinawag na "parisukat". Tulad ng ngayon! Sa mga problemang humahantong sa isang cubic equation, mayroong isang pangatlong hindi kilalang dami - "lalim", at ang produkto ng tatlong hindi kilalang tinawag na "dami". Nang maglaon, sa pag-unlad ng pag-iisip sa algebraic, ang hindi kilalang sinimulang maintindihan sa isang mas abstract na paraan.

Minsan ang mga guhit na geometriko ay ginamit upang ilarawan ang mga ugnayan sa algebraic sa Babylon. Nang maglaon, sa Sinaunang Greece, sila ang naging pangunahing elemento ng algebra, habang para sa mga taga-Babilonia, na naisip na pangunahin sa algebra, ang mga guhit ay isang paraan lamang ng pagpapakita, at ang mga salitang "linya" at "lugar" ay madalas na nauunawaan bilang walang dimensyon na mga numero. Iyon ang dahilan kung bakit may mga solusyon sa mga problema kung saan ang "lugar" ay idinagdag sa "gilid" o binawas mula sa "dami", atbp.

Ang partikular na kahalagahan sa mga sinaunang panahon ay ang tumpak na pagsukat ng mga bukirin, hardin, mga gusali - ang taunang pagbaha ng mga ilog ay nagdala ng isang malaking silt, na sumakop sa mga bukirin at sinira ang mga hangganan sa pagitan nila, at pagkatapos ng pag-urong ng tubig, ang mga surveyor ng lupa, ayon sa pagkakasunud-sunod ng kanilang mga may-ari, ay madalas na muling sukatin ang mga pag-aalaga. Sa mga archive ng cuneiform, maraming mga tulad ng mga pagsisiyasat sa lupa na mga mapa na naipon nang higit sa 4 na libong taon na ang nakakaraan.

Sa una, ang mga yunit ng pagsukat ay hindi masyadong tumpak, dahil ang haba ay sinusukat sa mga daliri, palad, siko, na naiiba para sa iba't ibang mga tao. Ang sitwasyon ay mas mahusay na may malaking halaga, para sa pagsukat kung saan ginamit nila ang isang tambo at isang lubid ng isang tiyak na laki. Ngunit kahit dito ang mga resulta ng pagsukat ay madalas na magkakaiba sa kanilang mga sarili, nakasalalay sa kung sino ang sumukat at saan. Samakatuwid, ang iba't ibang mga sukat ng haba ay kinuha sa iba't ibang mga lungsod ng Babylonia. Halimbawa, sa lungsod ng Lagash ang "siko" ay katumbas ng 400 mm, at sa Nippur at Babylon mismo - 518 mm.

Marami sa mga natitirang materyal na cuneiform ay nagtuturo ng mga pantulong para sa mga batang mag-aaral sa Babilonya, na nagbibigay ng mga solusyon sa iba't ibang mga simpleng problema na madalas na nakatagpo sa praktikal na buhay. Gayunpaman, hindi malinaw kung nalutas ng mag-aaral ang mga ito sa kanyang ulo o gumawa ng paunang mga kalkulasyon na may isang maliit na sanga sa lupa - ang mga kondisyon lamang ng mga problema sa matematika at ang kanilang solusyon ang nakasulat sa mga tablet.

Ang pangunahing bahagi ng kurso sa matematika sa paaralan ay inookupahan ng solusyon ng mga problema sa arithmetic, algebraic at geometric, sa pagbabalangkas kung saan kaugalian na gumana kasama ang mga tiyak na bagay, lugar at dami. Sa isa sa mga cuneiform tablet, ang sumusunod na problema ay napanatili: "Ilang araw ang aabutin upang makagawa ng isang piraso ng tela ng isang tiyak na haba, kung alam natin na napakaraming mga siko (isang sukat ng haba) ng telang ito ay ginagawa araw-araw?" Ang iba pang mga listahan ng mga gawain na may kaugnayan sa gawaing konstruksyon. Halimbawa, "Gaano karaming lupa ang kakailanganin para sa isang pilapil, na ang mga sukat nito ay kilala, at kung gaano karaming lupa ang dapat i-drag ng bawat manggagawa kung ang kabuuang bilang ay kilala?" o "Gaano karaming luwad ang dapat ihanda ng bawat manggagawa na bumuo ng isang pader ng isang tiyak na laki?"

Kailangang makalkula ng mag-aaral ang mga coefficients, kalkulahin ang kabuuan, malutas ang mga problema sa pagsukat ng mga anggulo, pagkalkula ng mga lugar at dami ng mga numero ng rectilinear - ito ay isang karaniwang hanay para sa elementarya na elementarya.

Ang mga pangalan ng mga geometric na pigura na napanatili mula sa mga oras ng Sumerian ay kawili-wili. Ang tatsulok ay tinawag na "kalso", ang trapezium ay tinawag na "noo ng toro", ang bilog ay "hoop", ang kapasidad ay itinalaga ng term na "tubig", ang dami ay "lupa, buhangin", ang lugar ay tinawag na "bukid".

Ang isa sa mga teksto ng cuneiform ay naglalaman ng 16 mga problema sa mga solusyon na nauugnay sa mga dam, shafts, balon, orasan ng tubig at mga gawa sa lupa. Ang isang problema ay ibinibigay sa isang guhit na nauugnay sa isang pabilog na poste, isa pa ang isaalang-alang ang isang pinutol na kono, tinutukoy ang dami nito sa pamamagitan ng pagpaparami ng taas ng kalahati ng kabuuan ng mga lugar ng itaas at mas mababang mga base. Nalutas din ng mga taga-matematika na taga-Babelonia ang mga problema sa planimetric gamit ang mga katangian ng mga tatsulok na may tamang anggulo, na binuo ng Pythagoras kalaunan sa anyo ng isang teorama sa pagkakapantay-pantay sa isang may kanang-sulok na tatsulok ng parisukat ng hypotenuse sa kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Sa madaling salita, ang bantog na teorama ng Pythagorean ay kilala ng mga taga-Babilonia kahit isang libong taon bago ang Pythagoras.

Bilang karagdagan sa mga problema sa planimetric, nalutas din nila ang mga stereometric, na nauugnay sa pagtukoy ng dami ng iba`t ibang mga puwang, katawan, pagguhit ng mga plano sa bukirin, mga lugar, indibidwal na mga gusali, ngunit kadalasan ay hindi sukatin, ay malawak na isinagawa.

Ang pinaka-makabuluhang nakamit ng matematika ay ang pagtuklas ng katotohanan na ang ratio ng dayagonal sa gilid ng isang parisukat ay hindi maaaring ipahayag bilang isang buong numero o isang simpleng maliit na bahagi. Kaya, ang konsepto ng kawalang-katwiran ay ipinakilala sa matematika.

Pinaniniwalaan na ang pagtuklas ng isa sa pinakamahalagang mga numero na hindi makatuwiran - ang bilang π, na nagpapahiwatig ng ratio ng paligid ng isang bilog sa diameter nito at katumbas ng isang walang katapusang maliit na bahagi \u003d 3.14 ..., ay kabilang sa Pythagoras. Ayon sa ibang bersyon, para sa bilang π, ang halagang 3.14 ay unang iminungkahi ng Archimedes 300 taon na ang lumipas, sa ika-3 c. BC. Isa pa, ang unang nakalkula ito ay si Omar Khayyam, sa pangkalahatan ay 11-12 na siglo. Alam lamang para sa tiyak na ang ratio na ito ay unang itinalaga ng titik na Griyego π noong 1706 ng Ingles na dalub-agbilang na si William Jones, at pagkatapos lamang hiramin ng dalubhasang Swiss na si Leonard Euler ang pagtatalaga na ito noong 1737, naging pangkalahatan itong tinanggap.

Ang bilang π ay isang sinaunang matematika na bugtong; ang pagtuklas na ito ay dapat ding hanapin sa Sinaunang Mesopotamia. Ang mga taga-matematika na taga-Babilonia ay lubos na may kamalayan sa pinakamahalagang mga hindi makatuwirang numero, at ang solusyon sa problema sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog ay maaari ding matagpuan sa pag-decode ng mga cuneiform clay tablet ng nilalaman ng matematika. Ayon sa data na ito, ang π ay kinuha na katumbas ng 3, kung saan, gayunpaman, ay sapat na para sa mga praktikal na layunin sa pagsisiyasat sa lupa. Naniniwala ang mga mananaliksik na ang sistemang sexagesimal ay napili sa Sinaunang Babilonya para sa mga kadahilanang metrolohiko: ang bilang 60 ay mayroong maraming divisor. Ang pagtatanda ng sexagesimal ng mga integer ay hindi nakatanggap ng pamamahagi sa labas ng Mesopotamia, ngunit sa Europa hanggang sa ika-17 siglo. ang parehong mga praksyon ng sexagesimal at ang karaniwang paghati ng isang bilog ng 360 degree ay malawakang ginamit. Ang oras at minuto, na nahahati sa 60 bahagi, ay nagmula rin sa Babilonya. Kapansin-pansin ang mapanlikha na ideya ng mga taga-Babilonia na gamitin ang minimum na bilang ng mga digital na character upang magsulat ng mga numero. Halimbawa, ang mga Romano ay hindi naisip na ang parehong bilang ay maaaring magpahiwatig ng iba't ibang mga halaga! Upang magawa ito, ginamit nila ang mga titik ng kanilang alpabeto. Bilang isang resulta, ang isang apat na digit na numero, halimbawa, 2737, naglalaman ng hanggang labing isang mga letra: MMDCCXXXVII. At bagaman sa ating panahon ay may matinding matematiko na magagawang hatiin ang LXXVIII ng CLXVI sa isang haligi o i-multiply ang CLIX ng LXXIV, mananatili lamang itong maawa sa mga naninirahan sa Eternal City na kailangang gumawa ng mga kumplikadong kalkulasyon sa kalendaryo at astronomikal na gumagamit ng naturang aksyon sa pagbabalanse ng matematika o nakalkula ang malakihang arkitektura mga proyekto at iba`t ibang mga bagay sa engineering.

Ang sistema ng numero ng Griyego ay batay din sa paggamit ng mga titik ng alpabeto. Sa una, ang sistema ng Attic ay pinagtibay sa Greece, na gumagamit ng isang patayong bar upang italaga ang yunit, at para sa mga bilang na 5, 10, 100, 1000, 10000 (sa katunayan, ito ay isang decimal system) - ang mga paunang titik ng kanilang mga Greek name. Mamaya, sa tungkol sa ika-3 siglo. Ang BC, ang sistemang numero ng Ionic ay laganap, kung saan 24 na letra ng alpabetong Griyego at tatlong mga titik na archaic ang ginamit upang italaga ang mga numero. At upang makilala ang mga numero mula sa mga salita, ang mga Greek ay naglalagay ng isang pahalang na linya sa itaas ng kaukulang titik.

Sa puntong ito, ang agham ng matematika sa Babilonia ay tumayo sa itaas ng kalaunan ng Griyego o Roman, dahil siya ang nagmamay-ari ng isa sa mga pinakahuhusay na nagawa sa pagpapaunlad ng mga sistemang notasyon ng numero - ang prinsipyo ng posisyonalidad, na kung saan ang magkatulad na palatandaan ng bilang (simbolo) ay may iba't ibang kahulugan depende sa ang lugar kung saan ito matatagpuan.

Sa pamamagitan ng paraan, ang sistemang numero ng Ehipto ay mas mababa kaysa sa mga taga-Babilonia at kasabay nito. Gumamit ang mga Egypt ng isang hindi posisyong decimal system, kung saan ang mga numero mula 1 hanggang 9 ay ipinahiwatig ng kaukulang bilang ng mga patayong bar, at ang mga indibidwal na hieroglyphic na simbolo ay ipinakilala para sa sunud-sunod na kapangyarihan ng bilang 10. Para sa mga maliliit na numero, ang sistema ng numero ng Babilonya ay karaniwang katulad sa isa sa Ehipto. Ang isang linya ng hugis na patayo na hugis (sa maagang mga tablet ng Sumerian - isang maliit na kalahating bilog) ay nangangahulugang isa; inulit ang kinakailangang bilang ng beses na nagsilbi ang karatulang ito upang magtala ng mga bilang na mas mababa sa sampu; upang italaga ang bilang 10, ang mga taga-Babilonia, tulad ng mga taga-Egypt, ay nagpakilala ng isang bagong simbolo - isang malawak na hugis-kalso na pag-sign na may isang punto na nakadirekta sa kaliwa, na kahawig ng isang anggulo na bracket na hugis (sa maagang mga teksto ng Sumerian - isang maliit na bilog). Paulit-ulit na naaangkop na bilang ng beses, nagsilbi ang karatulang ito upang ipahiwatig ang mga bilang na 20, 30, 40 at 50.

Karamihan sa mga modernong istoryador ay naniniwala na ang sinaunang pang-agham na kaalaman ay pulos empirical. Na patungkol sa pisika, kimika, natural na pilosopiya, na batay sa mga obserbasyon, tila wasto ito. Ngunit ang ideya ng karanasan sa pandama bilang isang mapagkukunan ng kaalaman ay nahaharap sa isang hindi malulutas na tanong pagdating sa isang abstrak na agham tulad ng matematika na nagpapatakbo ng mga simbolo.

Ang mga nakamit ng Babylonian matematika na astronomiya ay lalong makabuluhan. Ngunit kung ang biglaang pag-angat ay itinaas ang mga Mesopotamian na matematiko mula sa antas ng praktikal na utilitarian sa isang malawak na kaalaman na nagpapahintulot sa kanila na maglapat ng mga pamamaraan sa matematika upang mahulaan ang mga posisyon ng Araw, Buwan at mga planeta, eclipses at iba pang mga phenomena ng langit, o ang pag-unlad ay nagpatuloy nang unti-unti, sa kasamaang palad, hindi natin alam.

Ang kasaysayan ng kaalaman sa matematika sa pangkalahatan ay mukhang kakaiba. Alam namin kung paano natutunan ang aming mga ninuno na magbilang sa mga daliri at daliri ng paa, gumawa ng mga primitive na bilang na tala sa anyo ng mga nicks sa isang stick, buhol sa isang lubid, o mga maliliit na bato na inilatag sa isang hilera. At pagkatapos - nang walang anumang link na pansamantala - biglang impormasyon tungkol sa mga nakamit ng matematika ng mga taga-Babilonia, mga Egypt, Chinese, Hindus at iba pang mga sinaunang siyentipiko, napakahusay na ang kanilang mga pamamaraan sa matematika ay tumayo sa pagsubok ng oras hanggang sa kalagitnaan ng katatapos lamang na II sanlibong taon, ibig sabihin, para sa higit pa kaysa sa tatlong libong taon ...

Ano ang nakatago sa pagitan ng mga link na ito? Bakit ang mga sinaunang pantas, bilang karagdagan sa kanilang praktikal na kahalagahan, iginagalang ang matematika bilang sagradong kaalaman, at binigyan ang mga pangalan ng diyos sa mga numero at mga geometric na hugis? Sa likod lamang nito na mayroong isang magalang na pag-uugali tungo sa Kaalaman na tulad?

Marahil ay darating ang oras na ang mga arkeologo ay makakahanap ng mga sagot sa mga katanungang ito. Pansamantala, naghihintay kami, huwag kalimutan ang sinabi ng isang residente sa Oxford na si Thomas Bradwardin 700 taon na ang nakararaan:

"Sinumang may kawalanghiyaan upang tanggihan ang matematika ay dapat na alam mula sa simula pa lamang na hindi siya papasok sa pintuang-daan ng karunungan."

Institusyong pang-edukasyon na autonomous ng munisipal

pangalawang paaralan № 211 na pinangalanang pagkatapos ng L.I. Sidorenko

novosibirsk

Pananaliksik:

Ang mental arithmetic ba ay nagkakaroon ng kakayahan sa pag-iisip ng isang bata?

Seksyon na "Matematika"

Ang proyekto ay nakumpleto ni:

Klimova Ruslana

mag-aaral ng 3 "B" klase

MAOU SOSH No. 211

ipinangalan kay L.I. Sidorenko

Tagapamahala ng proyekto:

Vasilyeva Elena Mikhailovna

Novosibirsk 2017

Panimula 3

2. Bahaging teoretikal

2.1 Kasaysayan ng arithmetic 3

2.2 Mga unang aparato para sa pagbibilang ng 4

2.3 Abacus 4

2.4 Ano ang mental arithmetic? lima

3. Praktikal na bahagi

3.1 Mga klase sa paaralan ng mental arithmetic 6

3.2 Aralin 6 Mga Konklusyon

4. Mga konklusyon sa proyekto 7.8

5. Listahan ng ginamit na panitikan 9

1. PANIMULA

Noong nakaraang tag-init, pinanood ng aking lola at aking ina ang programang "Let Them Talk", kung saan ang isang 9 na taong gulang na batang lalaki, si Daniyar Kurmanbaev mula sa Astana, ay nagbibilang sa kanyang isip (itak) nang mas mabilis kaysa sa isang calculator, habang gumagawa ng mga manipulasyon gamit ang mga daliri ng magkabilang kamay. At sa programang pinag-usapan nila ang tungkol sa isang nakawiwiling pamamaraan ng pagbuo ng mga kakayahan sa pag-iisip - aritmetika sa kaisipan.

Sinaktan ako nito, at naging interesado kami ng aking ina sa pamamaraang ito.

Ito ay naka-out na sa aming lungsod mayroong 4 na paaralan kung saan nagtuturo sila sa pag-isip ng mga gawain at mga halimbawa ng anumang pagiging kumplikado. Ito ang "Abakus", "AmaKids", "Pythagorka", "Menar". Ang mga klase sa mga paaralan ay hindi mura. Pinili namin ng aking mga magulang ang isang paaralan upang malapit ito sa bahay, ang mga klase ay hindi gaanong mahal, kaya't mayroong tunay na puna tungkol sa programa sa pagtuturo, pati na rin ang mga sertipikadong guro. Ang paaralan ng Menard ay angkop sa lahat ng aspeto.

Tinanong ko ang aking ina na ipatala ako sa paaralang ito, sapagkat talagang nais kong malaman kung paano mabilang nang mabilis, pagbutihin ang aking pagganap sa paaralan at matuklasan ang bago.

Ang pamamaraan ng mental arithmetic ay higit sa limang daang taong gulang. Ang pamamaraan na ito ay isang sistemang pagbibilang ng oral. Ang aritmetika ng kaisipan ay itinuro sa maraming mga bansa sa mundo - sa Japan, USA at Alemanya, Kazakhstan. Sa Russia, nagsisimula pa lang silang makabisado ito.

Layunin ng proyekto:upang malaman:

mental arithmetic bubuo ba ang mga kakayahan sa pag-iisip ng isang bata?

Bagay sa proyekto:mag-aaral 3 "B" klase MAOU sekundaryong paaralan № 211 Klimova Ruslana.

Paksa ng pag-aaral: ang mental arithmetic ay isang oral count system.

Mga layunin sa pagsasaliksik:

Alamin kung paano tapos ang pag-aaral sa mental arithmetic;

Upang malaman kung ang mental arithmetic ay bubuo ng mga kakayahan sa pag-iisip ng isang bata?

Alamin kung maaari mong malaman ang mental arithmetic sa iyong sarili sa bahay?

2.1 KASAYSAYAN NG ARITMETICS

Sa bawat kaso, kailangan mong malaman ang kasaysayan ng pag-unlad nito.

Ang arithmetic ay nagmula sa mga bansa ng Sinaunang Silangan: Babilonya, Tsina, India, Egypt.

Aritmetika Pinag-aaralan ang mga numero at pagkilos sa mga numero, iba't ibang mga patakaran para sa pagharap sa kanila, tinuturo sa kanila na lutasin ang mga problema na nagbabawas sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga numero.

Ang pangalang "arithmetic" ay nagmula sa salitang Greek (arithmos) - bilang.

Ang paglitaw ng arithmetic ay nauugnay sa gawain ng mga tao at pag-unlad ng lipunan.

Ang kahalagahan ng matematika sa pang-araw-araw na buhay ng tao ay mahusay. Nang walang pagbibilang, nang walang kakayahang magdagdag nang tama, magbawas, magparami at maghati ng mga numero, ang pag-unlad ng lipunan ng tao ay hindi maiisip. Pinag-aaralan namin ang apat na pagpapatakbo ng aritmetika, ang mga patakaran ng oral at nakasulat na mga kalkulasyon, simula sa mga grade elementarya. Ang lahat ng mga patakarang ito ay hindi naimbento o natuklasan ng sinumang isang tao. Ang arithmetic ay nagmula sa pang-araw-araw na buhay ng mga tao.

Nakuha ng mga sinaunang tao ang kanilang pagkain pangunahin sa pamamagitan ng pangangaso. Ang buong tribo ay kailangang manghuli para sa isang malaking hayop - isang bison o isang elk: mag-isa, hindi mo ito makaya. Upang maiwasan ang pag-alis ng biktima, kinailangan itong palibutan, mabuti, kahit sa ganitong paraan: limang tao sa kanan, pito sa likod, apat sa kaliwa. Hindi mo magagawa nang hindi binibilang! At ang pinuno ng primitive na tribo ay nakaya ang gawaing ito. Kahit sa mga araw na iyon kapag ang isang tao ay hindi alam ang mga salita tulad ng "limang" o "pitong", maaari siyang magpakita ng mga numero sa kanyang mga daliri.

Ang pangunahing object ng arithmetic ay numero.

2.2 UNANG DEVICES NG ACCOUNTING

Matagal nang sinubukan ng mga tao na gawing mas madali para sa kanilang sarili sa tulong ng iba't ibang mga paraan at aparato. Ang una, pinaka sinaunang "makina sa pagkalkula" ay ang mga daliri at daliri. Ang simpleng aparato na ito ay sapat na - halimbawa, upang mabilang ang mga mammoth na pinatay ng buong tribo.

Tapos may kalakal. At ang mga sinaunang mangangalakal (Babylonian at iba pang mga lungsod) ay gumawa ng mga kalkulasyon gamit ang mga butil, maliliit na bato at mga shell, na sinimulan nilang kumalat sa isang espesyal na board na tinatawag na isang abacus.

Ang analogue ng abacus sa sinaunang Tsina ay ang "su-anpan" na aparato sa pagkalkula, sa sinaunang Tsina - ang Japanese abacus na tinawag na "soroban".

Ang Russian abacus ay unang lumitaw sa Russia noong ika-16 na siglo. Ang mga ito ay isang board na may mga linya na kahilera na iginuhit dito. Nang maglaon, sa halip na ang board, nagsimula silang gumamit ng isang frame na may mga wire at buto.

2.3 ABACUS

Salita "abakus" (abakus) nangangahulugang ang board ng pagbibilang.

Tingnan natin ang modernong abacus ...

Upang malaman kung paano gumamit ng mga account, kailangan mong malaman kung ano ang mga ito.

Ang mga account ay binubuo ng:

• paghahati strip;

  itaas na buto;

  ibabang buto.

Sa gitna ay ang gitnang punto. Ang pang-itaas na mga buto ay kumakatawan sa lima at ang mas mababang mga kumakatawan sa mga. Ang bawat patayong strip ng pits, simula sa kanan hanggang kaliwa, ay nangangahulugang isa sa mga bilang ng numero:

• sampu-sampung libo, atbp.

Halimbawa, upang ipagpaliban ang halimbawa: 9 - 4 \u003d 5, sa unang linya sa kanan, ilipat ang itaas na buto (nagsasaad ito ng limang) at iangat ang 4 na mas mababang buto. Pagkatapos ibababa ang 4 na mas mababang mga buto. Nakukuha natin ang kinakailangang bilang 5.

Ang mga kakayahan sa pag-iisip ng mga bata ay nabubuo sa pamamagitan ng kakayahang bilangin sa isip. Upang sanayin ang parehong hemispheres, kailangan mong patuloy na makisali sa paglutas ng mga problema sa aritmetika. Pagkatapos ng maikling panahon, malulutas na ng bata ang mga kumplikadong problema nang hindi gumagamit ng isang calculator.

2.4 ANO ANG MENTAL ARITMETICS?

Aritmetika sa kaisipan Ay isang pamamaraan para sa pagpapaunlad ng mga kakayahan sa pag-iisip ng mga bata mula 4 hanggang 14 taong gulang. Ang batayan ng mental arithmetic ay ang pagbibilang ng abacus. Nagbibilang ang bata sa abacus ng parehong mga kamay, ginagawa ang mga kalkulasyon ng dalawang beses nang mas mabilis. Sa abacus, ang mga bata ay hindi lamang nagdaragdag at nagbabawas, ngunit natututo ring magparami at maghati.

Mentality -ito ay ang kakayahang mag-isip ng isang tao.

Sa panahon ng mga aralin sa matematika, ang kaliwang hemisphere lamang ng utak, na responsable para sa lohikal na pag-iisip, ay bubuo, at ang kanang hemisphere ay nagkakaroon ng mga paksa tulad ng panitikan, musika, pagguhit. Mayroong mga espesyal na diskarte sa pagtuturo na naglalayon sa pagbuo ng parehong hemispheres. Sinasabi ng mga siyentista na ang tagumpay ay nakamit ng mga taong ganap na nakabuo ng parehong hemispheres ng utak. Maraming mga tao ang may mas binuo na kaliwang hemisphere at isang hindi gaanong binuo na kanang.

Mayroong palagay na ang aritmetika sa kaisipan ay nagbibigay-daan sa iyo upang magamit ang parehong hemispheres, na gumaganap ng mga kalkulasyon ng iba't ibang pagiging kumplikado.
Ang paggamit ng abacus ay nagpapagana sa kaliwang hemisphere - nakakabuo ito ng magagaling na kasanayan sa motor at pinapayagan ang bata na malinaw na makita ang proseso ng pagbibilang.
Ang mga kasanayan ay unti-unting sinanay sa paglipat mula sa simple patungo sa kumplikado. Bilang isang resulta, sa pagtatapos ng programa, ang bata ay maaaring magdagdag ng kaisipan, magbawas, magparami at maghati ng tatlo o apat na digit na numero.

Samakatuwid, nagpasya akong pumunta sa mga klase sa paaralan ng mental arithmetic. Dahil nais kong malaman kung paano mabilis na matuto ng tula, paunlarin ang aking lohika, bumuo ng dedikasyon, at bumuo din ng ilang mga katangian ng aking pagkatao.

3.1 ARALIN SA PAARALAN NG MENTAL ARITMETICS

Ang aking aralin sa aritmetika sa pag-iisip ay ginanap sa mga silid-aralan na nilagyan ng mga computer, telebisyon, isang whiteboard, at abakus ng isang malaking guro. Sa dingding na malapit sa silid-aralan mayroong mga diploma ng guro at mga sertipiko ng guro, pati na rin ang mga patent para sa paggamit ng pang-internasyonal na pamamaraan ng mental arithmetic.

Sa isang aralin sa pagsubok, ipinakita sa amin ng guro ang abacus abacus sa akin at sa aking ina, na maikling sinabi kung paano gamitin ang mga ito at ang prinsipyo ng pagbibilang mismo.

Ang pagsasanay ay nakabalangkas tulad ng sumusunod: minsan sa isang linggo nagtrabaho ako ng 2 oras sa isang pangkat ng 6 na tao. Sa silid aralan, ginamit namin ang abacus (abacus). Ang paglipat ng mga buto sa abacus gamit ang aming mga daliri (pinong mga kasanayan sa motor), natutunan naming magsagawa ng mga operasyon sa aritmetika nang pisikal.

Ang aralin ay dinaluhan ng isang mental warm-up. At laging may mga pahinga kung saan maaari kaming magkaroon ng kaunting meryenda, uminom ng tubig o maglaro. Sa bahay, palagi kaming binibigyan ng mga sheet na may mga halimbawa, para sa independiyenteng trabaho sa bahay.

Sa 1 buwan ng pag-aaral, ako:

naging pamilyar sa mga account. Natutunan ko kung paano gamitin nang tama ang aking mga kamay kapag nagbibilang: gamit ang hinlalaki ng parehong mga kamay ay itaas namin ang mga buko sa abacus, gamit ang mga hintuturo na binaba namin ang mga buko.

Sa ika-2 buwan ng pag-aaral, ako:

natutunang magbilang ng dalawang hakbang na halimbawa sa sampu. Mayroong sampu sa ikalawang nagsalita mula sa dulong kanan. Kapag nagbibilang ng sampu, ginagamit na namin ang hinlalaki at hintuturo ng kaliwang kamay. Narito ang parehong pamamaraan tulad ng sa kanang kamay: itaas sa malaki, babaan ang index.

Sa ika-3 buwan ng pag-aaral, ako:

nalutas ko ang mga halimbawa ng pagbabawas at pagdaragdag ng isa at sampu sa abacus - tatlong yugto.

Nalutas ang mga halimbawa ng pagbabawas at pagdaragdag na may pang-isang libo - dalawang hakbang

Sa ika-4 na buwan ng pag-aaral:

Naging pamilyar ako sa mental map. Sa pagtingin sa mapa, kailangan kong ilipat ang itak ang mga buko at makita ang sagot.

Sa silid aralan din sa aritmetika sa pag-iisip ay sinanay ko upang gumana sa isang computer. Mayroong isang program na naka-install kung saan ang bilang ng mga bilang para sa pagbibilang ay nakatakda. Ang dalas ng kanilang display ay 2 segundo, pinapanood ko, naaalala at binibilang. Habang binibilang ko ang mga account. Magbigay ng 3, 4 at 5 na numero. Ang mga numero ay hindi pa rin malinaw.

Sa mental arithmetic, higit sa 20 mga formula ang ginagamit para sa mga kalkulasyon (malapit na kamag-anak, tulong mula sa isang kapatid, tulong mula sa isang kaibigan, atbp.) Na kailangang maalala.

3.2 KONKLUSYON SA ARALIN

Gumawa ako ng 2 oras sa isang linggo at 5-10 minuto sa isang araw sa aking sarili sa loob ng 4 na buwan.

Unang buwan ng pagsasanay	Pang-apat na buwan
1. Nagbibilang ako ng 1 sheet sa abacus (30 mga halimbawa)
2. Nagbibilang ako ng itak na 1 sheet (10 mga halimbawa)
3. Pag-aaral ng isang tula (3 quatrains)
	20-30 minuto
4. Paggawa ng takdang aralin (matematika: isang problema, 10 mga halimbawa)
40-50 minuto

4. KONKLUSYON SA PROYEKTO

1) Interesado ako sa mga palaisipan na lohika, puzzle, crosswords, laro upang hanapin ang mga pagkakaiba. Ako ay naging mas masigasig, maasikaso at nakolekta. Ang aking memorya ay napabuti.

2) Ang layunin ng mental matematika ay upang paunlarin ang utak ng bata. Sa pamamagitan ng paggawa ng mental arithmetic, nabubuo namin ang aming mga kasanayan:

Bumuo kami ng lohika at imahinasyon sa pamamagitan ng pagsasagawa muna ng mga pagpapatakbo sa matematika sa isang tunay na abacus, at pagkatapos ay naisip ang abakus sa aming isipan. At paglulutas din ng mga lohikal na problema sa silid aralan.

Pinapabuti namin ang konsentrasyon ng pansin sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagbibilang ng arithmetic ng isang malaking bilang ng mga numero sa haka-haka na abacus.

Ang memorya ay nagpapabuti. Pagkatapos ng lahat, lahat ng mga larawan na may mga numero, pagkatapos magsagawa ng mga pagpapatakbo sa matematika, ay nakaimbak sa memorya.

Ang bilis mag-isip. Ang lahat ng mga "mental" na pagpapatakbo sa matematika ay ginaganap sa isang bilis na komportable para sa mga bata, na unti-unting nadagdagan at ang utak ay "nagpapabilis".

3) Sa mga aralin sa gitna, ang mga guro ay lumilikha ng isang espesyal na kapaligiran sa paglalaro at ang mga bata kung minsan ay hindi sinasadyang sumali sa kapanapanabik na kapaligiran.

Sa kasamaang palad, ang gayong interes sa mga klase ay hindi maisasakatuparan kapag nagtuturo nang mag-isa.

Maraming mga kurso sa video sa Internet at sa channel sa YouTube kung saan maaari mong maunawaan kung paano mabibilang sa isang abacus.

Maaari mong malaman ang diskarteng ito sa iyong sarili, ngunit ito ay magiging napakahirap! Una, kinakailangan upang maunawaan ng nanay o tatay ang kakanyahan ng mental arithmetic - upang malaman kung paano magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang kanilang sarili. Makakatulong sa kanila ang mga libro at video dito. Ang tutorial na video ay nagpapakita ng isang mabagal na tulin kung paano gumana sa abacus. Siyempre, mas gusto ang mga video kaysa sa mga libro, dahil malinaw na ipinakita ang lahat dito. At pagkatapos ay ipinaliwanag nila ito sa bata. Ngunit ang mga matatanda ay abala sa trabaho, kaya't hindi ito isang pagpipilian.

Mahirap nang walang guro-magtuturo! Pagkatapos ng lahat, sinusubaybayan ng guro sa klase ang kawastuhan ng gawain ng parehong mga kamay, naitama, kung kinakailangan. Napakahalaga rin nito - ang tamang setting ng diskarteng pagbibilang, pati na rin ang napapanahong pagwawasto ng maling kasanayan.

Ang 10-level na programa ay dinisenyo para sa 2-3 taon, ang lahat ay nakasalalay sa bata. Ang lahat ng mga bata ay magkakaiba, ang ilan ay binibigyan ito nang mabilis, habang ang iba ay nangangailangan ng kaunting mas maraming oras upang makabisado ang programa.

Ang aming paaralan ay mayroon ding mga klase sa mental arithmetic - ito ang "Formula Aykyu" center sa MAOU pangalawang paaralan MA211 na pinangalanang L.I. Sidorenko. Ang pamamaraan ng mental arithmetic sa sentro na ito ay binuo ng mga guro at programmer ng Novosibirsk, na may suporta ng Kagawaran ng Edukasyon ng Novosibirsk Region! At nagsimula akong dumalo sa mga klase sa paaralan, dahil sa pangkalahatan ay maginhawa para sa akin.

Para sa akin, ang pamamaraan na ito ay isang nakawiwiling paraan upang mapabuti ang aking memorya, dagdagan ang konsentrasyon at paunlarin ang aking mga ugali ng pagkatao. At magpapatuloy akong gumawa ng mental arithmetic!

At marahil ang aking trabaho ay maakit ang iba pang mga bata sa mga klase sa mental arithmetic, na makakaapekto sa kanilang pag-unlad.

Panitikan:

Ivan Yakovlevich Depman. Kasaysayan ng arithmetic. Isang gabay para sa mga guro. Pangalawang edisyon, binago. M., Edukasyon, 1965 - 416 p.

Depman I. Ang Daigdig ng Mga Bilang M. 1966

A. Benjamin. Mga lihim ng Mental Matematika. 2014 .-- 247 p. - ISBN: N / A.

"Aritmetika ng kaisipan. Karagdagan at pagbabawas ”Bahagi 1. Teksbuk para sa mga batang 4-6 taong gulang.

G.I. Glazer Kasaysayan ng Matematika, Moscow: Edukasyon, 1982 .-- 240 p.

Karpushina N.M. Liber Abaci ni Leonardo Fibonacci. Magazine "Matematika sa paaralan" No. 4, 2008. Sikat na kagawaran ng agham.

M. Kutorgi "Sa mga account ng mga sinaunang Greek" ("Russian Bulletin", vol. SP, p. 901 et seq.)

Vygodsky M.L. "Arithmetic at algebra sa sinaunang mundo" M. 1967.

ABACUSxle - mga seminar sa mental arithmetic.

UCMAS-ASTANA- mga artikulo.

Mga mapagkukunan sa Internet.

Ang aming pagkakilala sa matematika ay nagsisimula sa aritmetika, ang agham ng bilang. Ang isa sa mga unang aklat-aralin ng Ruso ng arithmetic, na isinulat ni L.F. ng pinaka marangal na arithmeticists, naimbento at inilahad. " Sa arithmetic, pumapasok kami, tulad ng sinabi ni MV Lomonosov, sa "mga pintuan ng pag-aaral" at simulan ang aming mahaba at mahirap, ngunit kamangha-manghang landas ng pag-unawa sa mundo.

Ang salitang "arithmetic" ay nagmula sa Greek arithmos, na nangangahulugang "numero." Pinag-aaralan ng agham na ito ang mga pagkilos sa mga numero, iba't ibang mga patakaran para sa pagharap sa kanila, nagtuturo kung paano malutas ang mga problema na nagbabawas sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga numero. Ang Arithmetic ay madalas na naisip bilang isang unang hakbang sa matematika, batay sa kung saan posible na pag-aralan ang mas kumplikadong mga seksyon nito - algebra, pagsusuri sa matematika, atbp. Kahit na ang buong numero - ang pangunahing bagay ng arithmetic - ay tinukoy, kapag ang kanilang pangkalahatang mga pag-aari at batas ay isinasaalang-alang, sa mas mataas na arithmetic, o teorya ng bilang. Ang nasabing pananaw sa arithmetic, siyempre, ay may batayan - mananatili talaga itong "alpabeto ng pagbibilang", ngunit ang alpabetong "pinaka-kapaki-pakinabang" at "madaling maunawaan."

Ang Arithmetic at geometry ay matagal nang kasama ng tao. Ang mga agham na ito ay lumitaw kapag ang pangangailangan ay lumitaw upang mabilang ang mga bagay, sukatin ang mga lagay ng lupa, hatiin ang produksyon, subaybayan ang oras.

Ang arithmetic ay nagmula sa mga bansa ng Sinaunang Silangan: Babilonya, Tsina, India, Egypt. Halimbawa, ang Egypt Rinda papyrus (ipinangalan sa may-ari nito na G. Rinda) ay nagsimula pa noong ika-20 siglo. BC. Kabilang sa iba pang impormasyon, naglalaman ito ng pagpapalawak ng isang maliit na bahagi sa kabuuan ng mga praksyon na may isang numerator na katumbas ng isa, halimbawa:

Ang mga kayamanan ng kaalaman sa matematika na naipon sa mga bansa ng Sinaunang Silangan ay binuo at ipinagpatuloy ng mga siyentista ng Sinaunang Greece. Napanatili ng kasaysayan ang maraming pangalan ng mga siyentista na nakikibahagi sa arithmetic sa sinaunang mundo - Anaxagoras at Zeno, Euclid (tingnan ang Euclid at ang kanyang "Mga Simula"), Archimedes, Eratosthenes at Diophantus. Ang pangalan ng Pythagoras (VI siglo BC) ay kumikislap dito bilang isang maliwanag na bituin. Ang mga Pythagorean (mag-aaral at tagasunod ng Pythagoras) ay sumamba sa mga numero, na naniniwala na naglalaman sila ng lahat ng pagkakaisa ng mundo. Ang mga indibidwal na numero at pares ng mga numero ay itinalaga ng mga espesyal na pag-aari. Ang mga bilang na 7 at 36 ay may mataas na pagpapahalaga, sabay na binigyan ng pansin ang tinaguriang mga perpektong numero, mga magiliw na numero, atbp.

Sa Middle Ages, ang pag-unlad ng arithmetic ay naiugnay din sa Silangan: India, ang mga bansa sa mundo ng Arab at Gitnang Asya. Mula sa mga Indiano ay dumating sa amin ang mga bilang na ginagamit namin, zero at posisyonal na sistema ng numero; mula sa al-Kashi (XV siglo), na nagtrabaho sa Samarkand obserbatoryo ng Ulugbek, - mga praksiyong decimal.

Salamat sa pag-unlad ng kalakal at ang impluwensya ng kulturang oriental mula pa noong siglo XIII. ang interes sa arithmetic ay lumalaki sa Europa. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa pangalan ng Italyanong siyentista na si Leonardo ng Pisa (Fibonacci), na ang akdang "The Book of the Abacus" ay nagpakilala sa mga Europeo sa pangunahing mga nagawa ng matematika sa Silangan at ito ang simula ng maraming pag-aaral sa arithmetic at algebra.

Kasabay ng pag-imbento ng pag-print (kalagitnaan ng ika-15 siglo), lumitaw ang unang nakalimbag na mga libro sa matematika. Ang unang nakalimbag na libro sa arithmetic ay na-publish sa Italya noong 1478. Sa "Kumpletong aritmetika" ng dalubhasang Aleman na matematika na si M. Stiefel (simula ng ika-16 na siglo) mayroon nang mga negatibong numero at maging ang ideya ng pagkuha ng mga logarithms.

Mula sa tungkol sa siglong XVI. ang pagbuo ng mga pulos na mga katanungan sa aritmetika na pinagsama sa pangunahing ng algebra - bilang isang makabuluhang milyahe, maaaring tandaan ang hitsura ng mga gawa ng siyentista mula sa France F. Vieta, kung saan ang mga bilang ay ipinahiwatig ng mga titik. Mula sa oras na iyon, ang pangunahing mga patakaran sa aritmetika ay sa wakas ay natanto mula sa pananaw ng algebra.

Ang pangunahing object ng arithmetic ay numero. Mga natural na numero, ibig sabihin ang mga bilang 1, 2, 3, 4, ... atbp. ay lumitaw mula sa account ng mga tukoy na bagay. Maraming millennia ang lumipas bago malaman ng tao na dalawang pheasant, dalawang kamay, dalawang tao, atbp. maaaring tawaging magkatulad na salitang "dalawa". Ang isang mahalagang gawain ng aritmetika ay upang malaman upang mapagtagumpayan ang tiyak na kahulugan ng mga pangalan ng binilang na mga bagay, upang maagaw mula sa kanilang hugis, laki, kulay, atbp. Ang Fibonacci ay mayroon nang gawain: "Pitong matandang kababaihan ang pupunta sa Roma. Ang bawat isa ay may 7 mga mula, bawat mulo ay nagdadala ng 7 mga sako, ang bawat sako ay naglalaman ng 7 tinapay, ang bawat tinapay ay naglalaman ng 7 mga kutsilyo, ang bawat kutsilyo ay may 7 mga kaluban. Ilan lahat? " Upang malutas ang problema, kakailanganin mong pagsamahin ang mga matandang kababaihan, mula, sako, at tinapay.

Ang pagbuo ng konsepto ng isang numero - ang hitsura ng zero at negatibong mga numero, ordinaryong at decimal na praksiyon, mga paraan ng pagsulat ng mga numero (mga numero, pagtatalaga, mga system ng numero) - lahat ay mayaman at kagiliw-giliw na kasaysayan.

"Ang agham ng mga bilang ay nangangahulugang dalawang agham: praktikal at panteorya. Ang mga praktikal na pag-aaral ng mga numero sa pag-aaral hanggang sa ito ay isang katanungan ng mga bilang na binibilang. Ang agham na ito ay ginagamit sa pamilihan at mga usaping sibil. Ang teoretikal na agham ng mga bilang ay nag-aaral ng mga numero sa isang ganap na kahulugan, na binubuo ng isip mula sa mga katawan at lahat ng bagay na nagpapahiram sa pagbibilang. " al-Farabi

Sa arithmetic, ang mga numero ay idinagdag, binabawas, pinarami, at nahahati. Ang sining ng mabilis at tumpak na pagganap ng mga pagpapatakbo na ito sa anumang mga numero ay matagal nang itinuturing na pinakamahalagang gawain ng arithmetic. Ngayon, sa aming isipan o sa isang piraso ng papel, ginagawa lamang namin ang pinakasimpleng kalkulasyon, mas madalas na ipinagkatiwala ang mas kumplikadong gawain sa computational sa mga microcalculator, na unti-unting pinapalitan ang mga aparato tulad ng abacus, pagdaragdag ng makina (tingnan ang Computing), slide panuntunan. Gayunpaman, ang pagpapatakbo ng lahat ng mga computer - simple at kumplikado - ay batay sa pinakasimpleng operasyon - ang pagdaragdag ng natural na mga numero. Ito ay lumabas na ang pinaka-kumplikadong mga kalkulasyon ay maaaring mabawasan bilang karagdagan, ang operasyong ito lamang ang dapat gawin maraming milyong beses. Ngunit narito kami ay pumapasok sa isa pang lugar ng matematika, na nagmula sa arithmetic - computational matematika.

Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga numero ay may iba't ibang mga katangian. Ang mga pag-aari na ito ay maaaring inilarawan sa mga salita, halimbawa: "Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga termino", maaaring nakasulat sa mga titik :, maaaring ipahayag sa mga espesyal na termino.

Halimbawa, ang pag-aari na ito ng karagdagan ay tinatawag na batas ng pag-aalis o commutative law. Nalalapat namin ang mga batas ng arithmetic na madalas na wala sa ugali nang hindi namamalayan. Kadalasan ang mga mag-aaral sa paaralan ay nagtanong: "Bakit natututunan ang lahat ng mga batas na maililipat at pinagsamang ito, kung tutuusin, napakalinaw na kung paano magdagdag at magparami ng mga numero?" Sa siglong XIX. Ang matematika ay gumawa ng isang mahalagang hakbang - nagsimula itong sistematikong magdagdag at magparami hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga vector, pag-andar, pag-aalis, mga talahanayan ng mga numero, mga matrice at marami pang iba, at kahit mga titik lamang, simbolo, hindi talaga nagmamalasakit sa kanilang tiyak na kahulugan. At narito na ang pinakamahalagang bagay ay kung ano ang sinusunod ng mga batas na ito. Ang pag-aaral ng mga pagpapatakbo sa di-makatwirang mga bagay (hindi kinakailangan sa mga numero) ay isang larangan na ng algebra, bagaman ang problemang ito ay batay sa aritmetika at mga batas nito.

Naglalaman ang Arithmetic ng maraming mga patakaran para sa paglutas ng mga problema. Sa mga lumang libro maaaring makahanap ng mga problema para sa "triple rules", para sa "proporsyonal na paghahati", para sa "pamamaraan ng timbang", para sa "maling panuntunan", atbp. Karamihan sa mga patakarang ito ay hindi na napapanahon ngayon, kahit na ang mga gawain na nalutas sa tulong nila ay hindi talaga napapanahon. Ang bantog na problema tungkol sa isang pool na puno ng maraming mga tubo ay hindi bababa sa dalawang libong taong gulang, at hindi pa rin madali para sa mga mag-aaral. Ngunit kung mas maaga upang malutas ang problemang ito kinakailangan na malaman ang isang espesyal na panuntunan, sa ngayon ang mga junior na mag-aaral ay tinuturuan na malutas ang gayong problema sa pamamagitan ng pagpapakilala sa pagtatalaga ng liham ng nais na halaga. Sa gayon, ang mga problema sa aritmetika ay humantong sa pangangailangan upang malutas ang mga equation, at muli itong isang problema sa algebra.

PYTHAGORAS (c. 570-c. 500 BC) Walang nakasulat na mga dokumento tungkol sa Pythagoras ng Samos, at mahirap maitaguyod ulit ang totoong larawan ng kanyang buhay at mga nakamit batay sa susunod na ebidensya. Nabatid na iniwan ni Pythagoras ang kanyang katutubong isla ng Samos sa Dagat Aegean sa baybayin ng Asia Minor bilang protesta laban sa paniniil ng pinuno at nasa isang may edad na (ayon sa alamat sa 40) lumitaw sa Greek city ng Crotone sa southern Italy. Si Pythagoras at ang kanyang mga tagasunod - ang Pythagoreans - ay lumikha ng isang lihim na alyansa na may mahalagang papel sa buhay ng mga kolonya ng Greece sa Italya. Ang mga Pythagoreans ay nakilala ang bawat isa sa pamamagitan ng hugis ng bituin na pentagon - ang pentagram. Ang pilosopiya at relihiyon ng Silangan ay lubos na naimpluwensyahan ang mga turo ni Pythagoras. Marami siyang naglakbay sa mga bansa sa Silangan: siya ay nasa Egypt at sa Babylon. Doon ay naging pamilyar din sa Pythagoras sa silangang matematika. Naging bahagi ng kanyang pagtuturo ang matematika, at isang mahalagang bahagi. Ang mga Pythagorean ay naniniwala na ang lihim ng mundo ay nakatago sa mga numerong batas. Ang mundo ng mga bilang ay nabuhay ng isang espesyal na buhay para sa Pythagorean, ang mga numero ay may kani-kanilang espesyal na buhay na kahulugan. Ang mga bilang na katumbas ng kabuuan ng kanilang mga divisors ay napansin bilang perpekto (6, 28, 496, 8128); ang mga pares ng mga numero ay tinawag na palakaibigan, na ang bawat isa ay katumbas ng kabuuan ng mga paghahati ng isa pa (halimbawa, 220 at 284). Ang Pythagoras ay ang unang naghati ng mga numero sa pantay at kakatwa, pangunahing at pinaghalong, at ipinakilala ang konsepto ng isang naisip na numero. Sa kanyang paaralan, ang mga triple ng Pythagorean ng mga natural na numero ay isinasaalang-alang nang detalyado, kung saan ang parisukat ng isa ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng dalawa pang iba (tingnan ang mahusay na teorama ng Fermat). Ang kasabihan ay maiugnay kay Pythagoras: "Ang lahat ay bilang." Nais niyang bawasan ang buong mundo sa mga numero (at ang ibig niyang sabihin ay mga natural na numero lamang), at partikular ang matematika. Ngunit sa paaralan mismo ng Pythagoras, may natuklasan na lumabag sa pagkakaisa na ito. Napatunayan na ito ay hindi isang makatuwirang numero, ibig sabihin hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng natural na mga numero. Naturally, ang geometry ni Pythagoras ay napailalim sa arithmetic, malinaw na ipinakita ito sa theorem na nagdala ng kanyang pangalan at kalaunan ay naging batayan para sa paglalapat ng mga numerong pamamaraan sa geometry. (Nang maglaon, dinala muli ni Euclid ang geometry, pinababa ang algebra dito.) Maliwanag, alam ng mga Pythagorean ang tamang mga katawan: isang tetrahedron, isang kubo, at isang dodecahedron. Ang Pythagoras ay kredito ng sistematikong pagpapakilala ng ebidensya sa geometry, ang paglikha ng planimetry ng mga rectilinear figure, at ang doktrina ng pagkakapareho. Ang doktrina ng proporsyon ng arithmetic, geometric at harmonic, average, ay nauugnay sa pangalan ng Pythagoras. Dapat pansinin na isinasaalang-alang ni Pythagoras ang Earth bilang isang bola na gumagalaw sa paligid ng Araw. Kapag noong siglo XVI. ang simbahan ay nagsimulang matinding pag-uusig sa mga turo ni Copernicus, ang doktrinang ito ay patuloy na tinawag na Pythagorean.

ARCHIMEDES (c. 287-212 BC) Mas maraming nalalaman tungkol sa Archimedes, ang mahusay na dalub-agbilang at mekaniko, kaysa sa iba pang mga sinaunang siyentista. Una sa lahat, ang taon ng kanyang kamatayan ay maaasahan - ang taon ng pagbagsak ng Syracuse, nang ang siyentista ay pinatay ng isang sundalong Romano. Gayunpaman, ang mga istoryador ng unang panahon na si Polybius, Livy, Plutarch ay hindi nagkuwento tungkol sa kanyang mga katangian sa matematika, mula sa kanila hanggang sa ating panahon ay dumating ang impormasyon tungkol sa mga kamangha-manghang imbensyon ng siyentista, na ginawa habang naglilingkod sa Tsar Hieron II. Ang kwento ng gintong korona ng hari ay kilala. Sinuri ni Archimedes ang kadalisayan ng komposisyon nito sa tulong ng batas ng buoyancy na natagpuan niya, at ang kanyang bulalas na "Eureka!" "Nahanap na!". Ang isa pang alamat ay nagsabi na si Archimedes ay nagtayo ng isang sistema ng mga bloke, sa tulong ng kung saan ang isang tao ay nakapaglunsad ng malaking barkong "Syrakosia". Ang mga salita ni Archimedes, na binigkas noon, ay naging pakpak: "Bigyan mo ako ng isang buong buong papel, at ibabaling ko ang Daigdig." Ang henyo ng engineering ng Archimedes ay nagpakita ng kanyang partikular na lakas sa panahon ng pagkubkob sa Syracuse, isang mayamang lungsod ng pangangalakal sa isla ng Sisilia. Ang mga sundalo ng Roman consul na si Marcellus ay matagal na nakakulong sa mga dingding ng lungsod ng hindi pa nagagagawa na mga makina: ang mga malalakas na tirador ay naglalayon sa mga bloke ng bato, itinapon ang mga makina ng pagkahagis, nagtatapon ng granada ng mga kanyon, ang mga crane sa baybayin ay lumipat sa mga pader at itinapon ang mga barkong kaaway ng mga bato at mga bloke ng tingga, mga kawit ay nakuha ang mga barko at itinapon ang mga ito mula sa isang mahusay na taas, ang mga system ng mga malalang salamin (sa ilang mga kwento - kalasag) ay sumunog sa mga barko. Sa "History of Marcellus" inilarawan ni Plutarch ang panginginig sa takot ng mga sundalong Romano: "Sa sandaling napansin nila na ang isang lubid o isang troso ay ipinakita mula sa likod ng kuta ng kuta, tumakas sila na may sigaw na si Archimedes ay nag-imbento ng isang bagong makina para sa kanilang pagkawasak." ... Ang kontribusyon ni Archimedes sa pagbuo ng matematika ay napakalaki din. Ang spiral ng Archimedes (tingnan ang Spirals), na inilarawan ng isang punto na gumagalaw sa isang umiikot na bilog, ay hiwalay mula sa maraming mga kurba na kilala ng kanyang mga kapanahon. Ang susunod na kinematically tinukoy na curve - ang cycloid - ay lumitaw lamang noong ika-17 siglo. Natutunan ni Archimedes na hanapin ang tangent sa kanyang spiral (at alam ng kanyang mga hinalinhan kung paano gumuhit ng mga tangente lamang sa mga seksyon ng korteng kono), natagpuan ang lugar ng likaw nito, pati na rin ang lugar ng ellipse, ang ibabaw ng kono at ang bola, ang dami ng bola at ang spherical segment. Lalo na ipinagmamalaki niya ang ratio ng dami ng bola at ang silindro na inilarawan sa paligid nito, na natuklasan niya, na kung saan ay 2: 3 (tingnan ang Inilalarawan at Inilarawang Mga Larawan). Malaki rin ang pakikitungo ni Archimedes sa problema ng pag-square ng bilog (tingnan ang Ang bantog na mga problema ng unang panahon). Kinakalkula ng siyentipiko ang ratio ng paligid ng diameter (bilang) at nalaman na namamalagi ito sa pagitan ng at. Ang pamamaraang nilikha niya para sa pagkalkula ng paligid at lugar ng isang pigura ay isang mahalagang hakbang patungo sa paglikha ng kaugalian at integral na calculus, na lumitaw 2000 taon lamang ang lumipas. Natagpuan din ni Archimedes ang kabuuan ng isang walang katapusang pag-unlad na geometriko na may isang denominator. Sa matematika, ito ang unang halimbawa ng isang walang katapusang serye. Ang isang mahalagang papel sa pagpapaunlad ng matematika ay ginampanan ng kanyang gawaing "Psammit" - "Sa bilang ng mga butil ng buhangin", kung saan ipinakita niya kung paano, sa tulong ng mayroon nang sistema ng numero, posible na ipahayag nang arbitraryo ang malalaking numero. Bilang isang dahilan para sa kanyang pangangatuwiran, ginagamit niya ang problema sa pagbibilang ng bilang ng mga butil ng buhangin sa loob ng nakikitang sansinukob. Kaya, ang dating umiiral na opinyon tungkol sa pagkakaroon ng mahiwagang "pinakamalaking bilang" ay pinabulaanan.

Kabilang sa mga mahahalagang konsepto na ipinakilala sa arithmetic, ang mga proporsyon at porsyento ay dapat pansinin. Karamihan sa mga konsepto at pamamaraan ng arithmetic ay batay sa paghahambing ng iba't ibang mga ugnayan sa pagitan ng mga numero. Sa kasaysayan ng matematika, ang proseso ng pagsasama-sama ng arithmetic at geometry ay nangyayari sa loob ng maraming siglo.

Ang "geometrization" ng arithmetic ay maaaring malinaw na masubaybayan: ang mga kumplikadong patakaran at pattern na ipinahayag ng mga pormula ay naging mas malinaw kung posible na ilarawan ang mga ito nang geometriko. Ang isang mahalagang papel sa mismong matematika at ang mga aplikasyon nito ay ginampanan ng pabalik na proseso - ang pagsasalin ng visual, impormasyong geometriko sa wika ng mga numero (tingnan ang mga kalkulasyon ng Grapiko). Ang salin na ito ay batay sa ideya ng pilosopo ng Pransya at dalub-agbilang na si R. Descartes sa pagpapasiya ng mga puntos sa isang eroplano ayon sa mga koordinasyon. Siyempre, ang ideyang ito ay ginamit na sa harap niya, halimbawa, sa mga pang-dagat na gawain, kung kinakailangan upang matukoy ang lokasyon ng isang barko, pati na rin sa astronomiya at geodesy. Ngunit ito ay mula kay Descartes at kanyang mga mag-aaral na ang pare-parehong aplikasyon ng koordinasyon na wika sa matematika ay dumating. At sa ating panahon, kapag namamahala ng mga kumplikadong proseso (halimbawa, ang paglipad ng isang spacecraft), mas gusto nila na magkaroon ng lahat ng impormasyon sa anyo ng mga numero, na pinoproseso ng isang computer. Kung kinakailangan, tinutulungan ng makina ang isang tao na isalin ang naipon na impormasyong de-numerong sa wika ng larawan.

Nakita mo na, nagsasalita tungkol sa arithmetic, palagi kaming lampas sa mga limitasyon nito - sa algebra, geometry, at iba pang mga sangay ng matematika.

Paano iguhit ang mga hangganan ng mismong arithmetic?

Sa anong kahulugan ginagamit ang salitang ito?

Ang salitang "arithmetic" ay maaaring maunawaan bilang:

isang paksang pang-akademiko na higit na nakikipag-usap sa mga makatuwirang numero (buong numero at praksiyon), mga aksyon sa kanila at ang mga gawaing nalutas gamit ang mga pagkilos na ito;

bahagi ng makasaysayang pagbuo ng matematika, na naipon ng iba't ibang impormasyon tungkol sa mga kalkulasyon;

"Theoretical arithmetic" - isang bahagi ng modernong matematika na tumatalakay sa pagtatayo ng iba't ibang mga system ng bilang (natural, kabuuan, makatuwiran, tunay, kumplikadong mga numero at kanilang mga paglalahat);

"Pormal na aritmetika" - isang bahagi ng matematika na lohika (tingnan ang. Matematika na lohika), na nakikipag-usap sa pagsusuri ng axiomatiko na teorya ng arithmetic;

"Mas mataas na aritmetika", o teorya ng bilang, isang malayang pagbubuo ng bahagi ng matematika.

Ang pagkakilala sa matematika ay nagsisimula sa aritmetika. Sa arithmetic na ipinasok namin, tulad ng sinabi ni MV Lomonosov, sa "gate ng pag-aaral."

Ang salitang "arithmetic" ay nagmula sa Greek arithmos, na nangangahulugang "numero." Pinag-aaralan ng agham na ito ang mga pagkilos sa mga numero, iba't ibang mga patakaran para sa pagharap sa kanila, nagtuturo kung paano malutas ang mga problema na nagbabawas sa karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga numero. Ang Arithmetic ay madalas na naisip bilang isang unang hakbang sa matematika, batay sa kung saan posible na pag-aralan ang mas kumplikadong mga seksyon nito - algebra, pagsusuri sa matematika, atbp.Ang arithmetic ay nagmula sa mga bansa ng Sinaunang Silangan: Babilonya, Tsina, India, Egypt. Halimbawa, ang Egypt Rinda papyrus (ipinangalan sa may-ari nito na G. Rinda) ay nagsimula pa noong ika-20 siglo. BC e.

Ang mga kayamanan ng kaalaman sa matematika na naipon sa mga bansa ng Sinaunang Silangan ay binuo at ipinagpatuloy ng mga siyentista ng Sinaunang Greece. Napanatili ng kasaysayan ang maraming pangalan ng mga siyentista na nakikibahagi sa arithmetic sa sinaunang mundo - Anaxagoras at Zeno, Euclid, Archimedes, Eratosthenes at Diophantus. Ang pangalan ng Pythagoras (VI siglo BC) ay kumikislap dito bilang isang maliwanag na bituin. Ang mga Pythagorean ay sumamba sa mga numero, naniniwala na naglalaman sila ng lahat ng pagkakasundo ng mundo. Ang mga indibidwal na numero at pares ng mga numero ay itinalaga ng mga espesyal na pag-aari. Ang mga bilang na 7 at 36 ay may mataas na pagpapahalaga, sabay na binigyan ng pansin ang tinaguriang mga perpektong numero, mga magiliw na numero, atbp.

Sa Middle Ages, ang pag-unlad ng arithmetic ay naiugnay din sa Silangan: India, ang mga bansa sa mundo ng Arab at Gitnang Asya. Mula sa mga Indiano ay dumating sa amin ang mga bilang na ginagamit namin, zero at posisyonal na sistema ng numero; mula sa al-Kashi (XV siglo), Ulugbek - decimal fractions.

Salamat sa pag-unlad ng kalakal at ang impluwensya ng kulturang oriental mula pa noong siglo XIII. ang interes sa arithmetic ay lumalaki sa Europa. Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa pangalan ng Italyanong siyentista na si Leonardo ng Pisa (Fibonacci), na ang akdang "The Book of the Abacus" ay nagpakilala sa mga Europeo sa pangunahing mga nagawa ng matematika sa Silangan at ito ang simula ng maraming pag-aaral sa arithmetic at algebra.

Kasabay ng pag-imbento ng pag-print (kalagitnaan ng ika-15 siglo), lumitaw ang unang nakalimbag na mga libro sa matematika. Ang unang nakalimbag na libro sa arithmetic ay na-publish sa Italya noong 1478. Sa "Kumpletong aritmetika" ng dalubhasang Aleman na matematika na si M. Stiefel (simula ng ika-16 na siglo) mayroon nang mga negatibong numero at maging ang ideya ng pagkuha ng mga logarithms.

Mula sa tungkol sa siglong XVI. ang pagbuo ng mga pulos na mga katanungan sa aritmetika na pinagsama sa pangunahing ng algebra, bilang isang makabuluhang milyahe ay maaaring mapansin ang hitsura ng mga gawa ng siyentista mula sa France F. Vieta, kung saan ang mga bilang ay ipinahiwatig ng mga titik. Mula sa oras na iyon, ang pangunahing mga patakaran sa aritmetika ay sa wakas ay natanto mula sa pananaw ng algebra.

Ang pangunahing object ng arithmetic ay numero. Mga natural na numero, ibig sabihin ang mga bilang 1, 2, 3, 4, ... atbp. ay lumitaw mula sa account ng mga tukoy na bagay. Maraming millennia ang lumipas bago malaman ng tao na dalawang pheasant, dalawang kamay, dalawang tao, atbp. maaaring tawaging magkatulad na salitang "dalawa". Ang isang mahalagang gawain ng arithmetic ay upang malaman upang mapagtagumpayan ang tiyak na kahulugan ng mga pangalan ng mga bagay na binibilang, upang maagaw mula sa kanilang hugis, laki, kulay, atbp. Sa arithmetic, ang mga numero ay idinagdag, binabawas, pinarami, at nahahati. Ang sining ng mabilis at tumpak na pagganap ng mga operasyong ito sa anumang mga numero ay matagal nang itinuturing na pinakamahalagang gawain ng arithmetic.Ang mga pagpapatakbo ng aritmetika sa mga numero ay may iba't ibang mga katangian. Ang mga katangiang ito ay maaaring inilarawan sa mga salita, halimbawa: "Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng mga termino", maaaring nakasulat sa mga titik: a + b \u003d b + a, maaaring ipahayag sa mga espesyal na termino.

Kabilang sa mga mahahalagang konsepto na ipinakilala sa arithmetic, ang mga proporsyon at porsyento ay dapat pansinin. Karamihan sa mga konsepto at pamamaraan ng arithmetic ay batay sa paghahambing ng iba't ibang mga ugnayan sa pagitan ng mga numero. Sa kasaysayan ng matematika, ang proseso ng pagsasama-sama ng arithmetic at geometry ay nangyayari sa loob ng maraming daang siglo.

Ang salitang "arithmetic" ay maaaring maunawaan bilang:

isang paksang pang-akademiko na higit na nakikipag-usap sa mga makatuwirang numero (buong numero at praksiyon), mga aksyon sa kanila at ang mga gawaing nalutas gamit ang mga pagkilos na ito;


bahagi ng makasaysayang pagbuo ng matematika, na naipon ng iba't ibang impormasyon tungkol sa mga kalkulasyon;


"Theoretical arithmetic" - isang bahagi ng modernong matematika na tumatalakay sa pagtatayo ng iba't ibang mga system ng bilang (natural, buo, makatuwiran, tunay, kumplikadong mga numero at kanilang mga paglalahat);


Ang "pormal na aritmetika" ay isang bahagi ng matematika na lohika na pinag-aaralan ang teorya ng axiomatiko ng arithmetic;


"Mas mataas na aritmetika", o teorya ng bilang, isang independiyenteng pagbubuo ng bahagi ng mga matematikoat

/ Encyclopedic Diksionaryo ng isang Young Mathematician, 1989 /