Příklad sestavení modelu stochastického procesu. Stochastický model v ekonomii. Deterministické a stochastické modely. Metoda pro modelování vícerozměrných jednokrokových procesů

Konstrukce stochastického modelu zahrnuje vývoj, hodnocení kvality a studium chování systému pomocí rovnic, které popisují zkoumaný proces.

K tomu jsou počáteční informace získány provedením speciálního experimentu se skutečným systémem. Zároveň jsou využívány metody plánování experimentu, zpracování výsledků a také kritéria pro hodnocení získaných modelů, vycházející z takových úseků matematické statistiky, jako je rozptyl, korelace, regresní analýza atd.

Metody pro konstrukci statistického modelu popisujícího technologický proces (obrázek 6.1) jsou založeny na konceptu „černé skříňky“. Pro něj je možné vícenásobná měření vstupních faktorů: x 1, x 2, ..., x k a výstupní parametry: y 1, y 2, ..., y p, podle jejichž výsledků se vytvářejí závislosti:

Ve statistickém modelování jsou v návaznosti na zadání problému (1) z velkého množství vstupních proměnných, které ovlivňují průběh procesu, vytříděny ty nejméně důležité faktory (2). Vstupní proměnné vybrané pro další výzkum tvoří seznam faktorů x 1, x 2, ..., x k v (6.1), ovládáním kterého lze upravit výstupní parametry y n... Počet výstupů modelu by se měl také co nejvíce snížit, aby se snížily náklady na experimenty a zpracování dat.

Při vývoji statistického modelu je jeho struktura (3) obvykle nastavena libovolně ve formě pohodlných funkcí, které aproximují experimentální data, a následně zpřesňována na základě posouzení vhodnosti modelu.

Nejčastěji používanou formou je polynomická forma modelu. Takže pro kvadratickou funkci:

(6.2)

kde b 0, b i, b ij, b ii- regresní koeficienty.

Obvykle se nejprve omezí na nejjednodušší lineární model, pro který v (6.2) b ii = 0, b ij = 0... V případě jeho nedostatečnosti je model komplikován zavedením pojmů, které zohledňují interakci faktorů x i, x j a (nebo) kvadratické členy.

Aby se maximalizovala extrakce informací z provedených experimentů a snížil se jejich počet, jsou plánovány experimenty (4) tzn. výběr počtu a podmínek pro provádění experimentů nutných a postačujících k vyřešení zadaného úkolu s danou přesností.

K sestavení statistických modelů se používají dva typy experimentů: pasivní a aktivní. Pasivní experiment se provádí formou dlouhodobého pozorování průběhu neřízeného procesu, což umožňuje sběr široké škály dat pro statistickou analýzu. PROTI aktivní experiment je možné regulovat podmínky pro provádění experimentů. Při jeho provádění je nejúčinnější současná variace velikosti všech faktorů podle konkrétního plánu, což umožňuje identifikovat interakci faktorů a snížit počet experimentů.

Na základě výsledků experimentů (5) jsou vypočteny regresní koeficienty (6.2) a odhadnuta jejich statistická významnost, čímž je konstrukce modelu dokončena (6). Mírou přiměřenosti modelu (7) je rozptyl, tzn. střední kvadratická odchylka vypočtených hodnot od experimentálních. Výsledný rozptyl je porovnán s přijatelným rozptylem pro dosaženou experimentální přesnost.

4. Schéma pro konstrukci stochastických modelů

Konstrukce stochastického modelu zahrnuje vývoj, hodnocení kvality a studium chování systému pomocí rovnic, které popisují zkoumaný proces. K tomu jsou počáteční informace získány provedením speciálního experimentu se skutečným systémem. Zároveň jsou využívány metody plánování experimentu, zpracování výsledků a také kritéria pro hodnocení získaných modelů, vycházející z takových úseků matematické statistiky, jako je rozptyl, korelace, regresní analýza atd.

Fáze vývoje stochastického modelu:

formulace problému

výběr faktorů a parametrů

výběr typu modelu

plánování experimentu

realizace experimentu podle plánu

vytvoření statistického modelu

kontrola přiměřenosti modelu (vztahuje se k 8, 9, 2, 3, 4)

korekce modelu

zpracovat výzkum s modelem (propojeno s 11)

stanovení optimalizačních parametrů a omezení

optimalizace procesu s modelem (propojeno s 10 a 13)

experimentální informace o automatizačním zařízení

řízení procesu s modelem (propojeno s 12)

Spojením fází 1 až 9 získáme informační model, od prvního do jedenáctého - model optimalizace, kombinující všechny body - model řízení.

5. Nástroje pro zpracování modelů

Pomocí systémů CAE můžete provádět následující procedury zpracování modelu:

vložení sítě konečných prvků do 3-rozměrného modelu,

úlohy tepelně namáhaného stavu; problémy s dynamikou tekutin;

úlohy přenosu tepla a hmoty;

kontaktní úkoly;

kinematické a dynamické výpočty atd.

simulace složitých výrobních systémů založených na modelech front a Petriho sítí

Moduly CAE obvykle poskytují možnost barvit obrázky a obrázky ve stupních šedi, překrývat původní a deformované části, vizualizovat toky kapalin a plynů.

Příklady systémů pro modelování polí fyzikálních veličin v souladu s MKP: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Příklady systémů pro modelování dynamických procesů na makroúrovni: Adams a Dyna - v mechanických systémech, Spice - v elektronických obvodech, PA9 - pro vícerozměrné modelování, tzn. pro modelování systémů, jejichž principy jsou založeny na vzájemném ovlivňování fyzikálních procesů různé povahy.

6. Matematické modelování. Analytické a simulační modely

Matematický model - množina matematických objektů (čísla, proměnné, množiny atd.) a vztahy mezi nimi, která adekvátně odráží některé (podstatné) vlastnosti navrženého technického objektu. Matematické modely mohou být geometrické, topologické, dynamické, logické atd.

- přiměřenost reprezentace simulovaných objektů;

Oblast přiměřenosti - oblast v prostoru parametrů, ve které zůstávají chyby modelu v přípustném rozsahu.

- hospodárnost (výpočetní efektivita)- je určena cenou zdrojů,
potřebné pro implementaci modelu (náklady na počítačový čas, použitá paměť atd.);

- přesnost - určuje míru shody vypočtených a pravdivých výsledků (míru shody mezi hodnoceními stejnojmenných vlastností objektu a modelu).

Matematické modelování- proces vytváření matematických modelů. Zahrnuje následující fáze: prohlášení o problému; sestavení modelu a jeho analýza; vývoj metod pro získání konstrukčních řešení na modelu; experimentální ověření a úprava modelu a metod.

Kvalita vytvořených matematických modelů do značné míry závisí na správné formulaci problému. Je nutné určit technické a ekonomické cíle řešeného problému, shromáždit a analyzovat všechny výchozí informace, určit technická omezení. V procesu vytváření modelů byste měli používat metody systémové analýzy.

Proces modelování je zpravidla iterativní povahy, což umožňuje zpřesnění předchozích rozhodnutí učiněných v předchozích fázích vývoje modelu v každém kroku iterace.

Analytické modely - numerické matematické modely, které lze reprezentovat ve formě explicitních závislostí výstupních parametrů na parametrech vnitřních a vnějších. Simulační modely - numerické algoritmické modely zobrazující procesy v systému za přítomnosti vnějších vlivů na systém. Algoritmické modely - modely, ve kterých je vztah mezi výstupními, interními a externími parametry nastaven implicitně ve formě modelovacího algoritmu. Simulační modely se často používají na úrovni návrhu systému. Simulační modelování se provádí reprodukováním událostí, které se vyskytují současně nebo postupně v modelovém čase. Příkladem simulačního modelu je použití Petriho sítě k modelování systému hromadné obsluhy.

7. Základní principy tvorby matematických modelů

Klasický (indukční) přístup. Reálný objekt k modelování je rozdělen do samostatných subsystémů, tzn. jsou vybrána výchozí data pro modelování a stanoveny cíle, které odrážejí jednotlivé aspekty procesu modelování. Pro samostatný soubor výchozích dat je stanoven cíl modelovat samostatnou stránku fungování systému, na základě tohoto cíle se tvoří určitá složka budoucího modelu. Kolekce komponent je spojena do modelu.

Takovým klasickým přístupem lze vytvořit vcelku jednoduché modely, ve kterých je možné oddělení a vzájemně nezávislé zvažování jednotlivých aspektů fungování reálného objektu. Uvědomuje si pohyb od konkrétního k obecnému.

Systémový přístup. Na základě výchozích dat, která jsou známa z analýzy externího systému, jsou stanovena omezení, která jsou na systém kladena shora nebo na základě možností jeho implementace, a na základě cíle fungování, výchozí požadavky na jsou formulovány model systému. Na základě těchto požadavků se tvoří přibližně některé subsystémy, prvky a provádí se nejobtížnější fáze syntézy - výběr komponent systému, pro které se používají speciální výběrová kritéria. Systémový přístup také předpokládá určitou posloupnost vývoje modelu, která spočívá v identifikaci dvou hlavních fází návrhu: makrodesignu a mikrodesignu.

Fáze makro návrhu- na základě údajů o reálném systému a vnějším prostředí je sestaven model vnějšího prostředí, identifikovány zdroje a omezení pro sestavení modelu systému, vybrán model systému a kritéria umožňující posouzení adekvátnost modelu reálného systému. Po sestavení modelu systému a modelu vnějšího prostředí je na základě kritéria účinnosti fungování systému v procesu modelování zvolena optimální strategie řízení, která umožňuje realizovat možnost modelu reprodukovat určité aspekty fungování reálného systému.

Fáze mikrodesignu velmi záleží na konkrétním typu zvoleného modelu. V případě simulačního modelu je nutné zajistit vytvoření informační, matematické, technické a softwarové podpory simulačního systému. V této fázi můžete stanovit hlavní charakteristiky vytvořeného modelu, odhadnout dobu práce s ním a náklady na zdroje pro získání dané kvality souladu modelu s procesem fungování systému.
při jeho budování je nutné se řídit řadou zásad systematického přístupu:

proporcionální a sekvenční postup ve fázích a směrech vytváření modelu;

koordinace informací, zdrojů, spolehlivosti a dalších charakteristik;

správný poměr jednotlivých úrovní hierarchie v modelovacím systému;

celistvost jednotlivých izolovaných etap stavby modelu.

Analýza aplikovaných metod v matematickém modelování

V matematickém modelování se řešení diferenciálních nebo integro-diferenciálních rovnic s parciálními derivacemi provádí numerickými metodami. Tyto metody jsou založeny na diskretizaci nezávislých proměnných - jejich reprezentaci konečnou množinou hodnot ve vybraných uzlových bodech zkoumaného prostoru. Tyto body jsou považovány za uzly nějaké sítě.

Mezi mřížkovými metodami se nejvíce používají dvě metody: metoda konečných rozdílů (FCD) a metoda konečných prvků (MKP). Typicky se vzorkují prostorově nezávislé proměnné, tj. použít prostorovou mřížku. V tomto případě je výsledkem diskretizace systém obyčejných diferenciálních rovnic, které jsou následně pomocí okrajových podmínek redukovány na systém algebraických rovnic.

Nechť je třeba rovnici vyřešit LV(z) = F(z)

s danými okrajovými podmínkami MV(z) = .(z),

kde L a M - diferenciální operátory, PROTI(z) - fázová proměnná, z= (X 1, X 2, X 3, t) je vektor nezávislých proměnných, F(z) a ψ. ( z) jsou uvedeny funkce nezávislých proměnných.

PROTI MKR algebraizace derivací s ohledem na prostorové souřadnice je založena na aproximaci derivací pomocí výrazů konečných rozdílů. Při použití metody musíte vybrat kroky mřížky pro každou souřadnici a typ šablony. Vzor je chápán jako soubor uzlových bodů, hodnoty proměnných, ve kterých se používají k aproximaci derivace v jednom konkrétním bodě.

FEM je založeno na aproximaci nikoli derivací, ale na samotném řešení PROTI(z). Ale protože to není známo, aproximace se provádí pomocí výrazů s nedefinovanými koeficienty.

V tomto případě hovoříme o aproximacích řešení v rámci konečných prvků a s přihlédnutím k jejich malým rozměrům lze hovořit o použití relativně jednoduchých aproximačních výrazů (například polynomy nízkých stupňů). V důsledku substituce takové polynomy do původní diferenciální rovnice a prováděním derivačních operací se v daných bodech získají hodnoty fázových proměnných.

Polynomiální aproximace. Využití metod je spojeno s možností aproximace hladké funkce polynomem a následným využitím aproximačního polynomu pro odhad souřadnic optimálního bodu. Nezbytnými podmínkami pro efektivní implementaci tohoto přístupu jsou unimodalita a kontinuita vyšetřovaná funkce. Podle Weierstrassovy věty o aproximaci, je-li funkce spojitá v nějakém intervalu, pak ji lze s jakýmkoli stupněm přesnosti aproximovat polynomem dostatečně vysokého řádu. Podle Weierstrassovy věty lze kvalitu odhadů optimálních souřadnic bodů získaných pomocí aproximačního polynomu zlepšit dvěma způsoby: použitím polynomu vyššího řádu a snížením aproximačního intervalu. Nejjednodušší verzí polynomiální interpolace je kvadratická aproximace, která je založena na skutečnosti, že funkce, která nabývá minimální hodnoty ve vnitřním bodě intervalu, musí být alespoň kvadratická.

Disciplína "Modely a metody analýzy konstrukčních řešení" (Kazakov Yu.M.)

Klasifikace matematických modelů.

Úrovně abstrakce matematických modelů.

Požadavky na matematické modely.

Schéma pro konstrukci stochastických modelů.

Nástroje pro zpracování modelů.

Matematické modelování. Analytické a simulační modely.

Základní principy tvorby matematických modelů.

Analýza aplikovaných metod v matematickém modelování.

1. Klasifikace matematických modelů

Matematický model (MM) technického objektu je soubor matematických objektů (čísla, proměnné, matice, množiny atd.) a vztahů mezi nimi, který adekvátně odráží vlastnosti technického objektu, které jsou zajímavé pro inženýra, který tento objekt vyvíjí. .

Podle povahy zobrazení vlastností objektu:

Funkční - určené k zobrazení fyzických nebo informačních procesů probíhajících v technických systémech během jejich provozu. Typický funkční model je systém rovnic popisujících buď elektrické, tepelné, mechanické procesy nebo procesy transformace informací.

Strukturální - zobrazuje strukturální vlastnosti objektu (topologické, geometrické). . Strukturální modely jsou nejčastěji reprezentovány ve formě grafů.

Tím, že patříte do hierarchické úrovně:

Mikroúrovňové modely - zobrazení fyzikálních procesů ve spojitém prostoru a čase. K modelování se používá aparát rovnic matematické fyziky. Příklady takových rovnic jsou parciální diferenciální rovnice.

Makroúrovňové modely. Zásadně se využívá zvětšování, detailování prostoru. Funkční modely na makroúrovni jsou systémy algebraických nebo obyčejných diferenciálních rovnic, k jejich získání a řešení se používají vhodné numerické metody.

Metaúrovňové modely. Zvětšeně popisují uvažované objekty. Matematické modely na metaúrovni - systémy obyčejných diferenciálních rovnic, systémy logických rovnic, simulační modely systémů hromadné obsluhy.

Způsobem získání modelu:

Teoretické - jsou postaveny na základě studia zákonitostí. Na rozdíl od empirických modelů jsou ty teoretické ve většině případů univerzálnější a aplikovatelné na širší okruh problémů. Teoretické modely jsou lineární a nelineární, spojité a diskrétní, dynamické a statistické.

Empirický

Hlavní požadavky na matematické modely v CAD:

přiměřenost reprezentace simulovaných objektů;

K přiměřenosti dochází, pokud model odráží specifikované vlastnosti objektu s přijatelnou přesností a je posuzován seznamem reflektovaných vlastností a oblastí přiměřenosti. Oblast přiměřenosti - oblast v prostoru parametrů, ve které zůstávají chyby modelu v přípustném rozsahu.

hospodárnost (výpočetní efektivita)- je určena náklady na zdroje potřebné k implementaci modelu (náklady na počítačový čas, použitou paměť atd.);

přesnost- určuje míru shody vypočtených a pravdivých výsledků (míru shody mezi odhady stejnojmenných vlastností objektu a modelu).

Na matematické modely je kladena řada dalších požadavků:

Vyčíslitelnost, tj. možnost manuálního nebo počítačově podporovaného studia kvalitativních a kvantitativních zákonitostí fungování objektu (systému).

Modularita, tj. korespondence modelových konstrukcí s konstrukčními prvky objektu (systému).

Algoritmizovatelnost, tj. možnost vývoje vhodného algoritmu a programu, který implementuje matematický model na počítači.

Viditelnost, tj. pohodlné vizuální vnímání modelu.

Stůl. Klasifikace matematických modelů

Klasifikační znaky	Typy matematických modelů
1. Příslušnost k hierarchické úrovni	Mikroúrovňové modely Makroúrovňové modely Metalevel modely
2. Charakter zobrazovaných vlastností objektu	Strukturální Funkční
3. Metoda reprezentace vlastností objektu	Analytické Algoritmické Imitace
4. Způsob získání modelu	Teoretický Empirický
5. Vlastnosti chování objektu	Deterministický Pravděpodobnostní

Matematické modely na mikroúrovni výrobní procesy odrážejí fyzikální procesy vyskytující se například při řezání kovů. Popisují procesy na přechodové úrovni.

Makroúrovňové matematické modely výrobní proces popisují technologické postupy.

Matematické modely na metaúrovni výrobního procesu popisují technologické systémy (sekce, dílny, podnik jako celek).

Strukturální matematické modely jsou navrženy tak, aby zobrazovaly strukturální vlastnosti objektů. Například v CAD TP se pro znázornění struktury technologického procesu používá řazení výrobků, strukturální a logické modely.

Funkční matematické modely jsou určeny k zobrazování informací, fyzikálních, časových procesů probíhajících v provozních zařízeních, při provádění technologických procesů apod.

Teoretické matematické modely vznikají jako výsledek studia objektů (procesů) na teoretické úrovni.

Empirické matematické modely vznikají jako výsledek experimentů (studování vnějších projevů vlastností objektu měřením jeho parametrů na vstupu a výstupu) a zpracování jejich výsledků metodami matematické statistiky.

Deterministické matematické modely popsat chování předmětu z hlediska naprosté jistoty v přítomnosti a budoucnosti. Příklady takových modelů: vzorce fyzikálních zákonů, technologické postupy zpracování dílů atd.

Pravděpodobnostní matematické modely vzít v úvahu vliv náhodných faktorů na chování objektu, tzn. posoudit její budoucnost z hlediska pravděpodobnosti určitých událostí.

Analytické modely - numerické matematické modely, které lze reprezentovat ve formě explicitních závislostí výstupních parametrů na parametrech vnitřních a vnějších.

Algoritmické matematické modely vyjádřit vztah mezi výstupními parametry a vstupními a vnitřními parametry ve formě algoritmu.

Simulační matematické modely Jsou algoritmické modely, které reflektují vývoj procesu (chování zkoumaného objektu) v čase při specifikaci vnějších vlivů na proces (objekt). Jedná se například o modely systémů hromadné obsluhy uvedené v algoritmické formě.

V posledních kapitolách této knihy jsou stochastické procesy téměř vždy reprezentovány pomocí lineárních diferenciálních systémů buzených bílým šumem. Tato reprezentace stochastického procesu má obvykle následující formu. Pojďme to předstírat

a - bílý šum. Volbou takové reprezentace stochastického procesu V jej lze modelovat. Použití takových modelů lze odůvodnit následovně.

a) V přírodě se často setkáváme se stochastickými jevy spojenými s vlivem rychle se měnících fluktuací na inerciální diferenciální systém. Typickým příkladem bílého šumu působícího na diferenciální systém je tepelný šum v elektronickém obvodu.

b) Jak bude patrné z následujícího, v teorii lineárního řízení se téměř vždy bere v úvahu pouze střední hodnota. kovariance stochastického procesu. Pro lineární model je vždy možné aproximovat jakékoliv experimentálně získané charakteristiky střední hodnoty a kovarianční matice s libovolnou přesností.

c) Někdy nastává problém modelování stacionárního stochastického procesu se známou spektrální hustotou energie. V tomto případě je vždy možné generovat stochastický proces jako proces na výstupu lineárního diferenciálního systému; v tomto případě se matice spektrálních energetických hustot aproximuje s libovolnou přesností matici spektrálních energetických hustot počátečního stochastického procesu.

Příklady 1.36 a 1.37, stejně jako úloha 1.11, ilustrují metodu modelování.

Příklad 1.36. Diferenciální systém prvního řádu

Předpokládejme, že naměřená kovarianční funkce stochastického skalárního procesu, o kterém je známo, že je stacionární, je popsána exponenciální funkcí

Tento proces lze modelovat jako stav diferenciálního systému prvního řádu (viz příklad 1.35)

kde - bílý šum intenzity - stochastická veličina s nulovým průměrem a rozptylem.

Příklad 1.37. Míchací nádrž

Uvažujme směšovací nádrž z příkladu 1.31 (část 1.10.3) a vypočtěte pro ni matici rozptylu výstupní proměnné Příklad 1.31 předpokládalo se, že kolísání koncentrací v tocích jsou popsány exponenciálně korelovanými zvuky, a lze je tedy modelovat jako řešení systému prvního řádu buzeného bílým šumem. Nyní do diferenciální rovnice směšovací nádrže přidáme rovnice modelů stochastických procesů

Zde je skalární intenzita bílého šumu, takže

abychom získali rozptyl procesu rovný, použijeme pro proces podobný model. Získáme tak soustavu rovnic

480 RUB | 150 UAH | 7,5 $, MOUSEOFF, FGCOLOR," #FFFFCC ", BGCOLOR," # 393939 ");" onMouseOut = "return nd ();"> Disertační práce - 480 rublů, doručení 10 minut 24 hodin denně, sedm dní v týdnu

Demidová Anastasia Vjačeslavovna. Metoda konstrukce stochastických modelů jednokrokových procesů: disertační práce ... kandidát fyzikálních a matematických věd: 13.05.18 / Demidova Anastasia Vjačeslavovna; [Místo obrany: Univerzita přátelství národů Ruska] .- Moskva, 2014.- 126 p.

Úvod

Kapitola 1. Recenze příspěvků na téma diplomové práce 14

1.1. Přehled modelů populační dynamiky 14

1.2. Stochastické populační modely 23

1.3. Stochastické diferenciální rovnice 26

1.4. Informace o stochastickém počtu 32

Kapitola 2. Metoda modelování jednokrokových procesů 39

2.1. Jednokrokové procesy. Kolmogorov-Chapmanova rovnice. Základní kinetická rovnice 39

2.2. Metoda pro modelování vícerozměrných jednokrokových procesů. 47

2.3. Numerická simulace 56

Kapitola 3. Aplikace metody modelování jednokrokových procesů 60

3.1. Stochastické modely populační dynamiky 60

3.2. Stochastické modely populačních systémů s různými mezidruhovými a vnitrodruhovými interakcemi 75

3.3. Stochastický model šíření síťových červů. 92

3.4. Stochastické modely protokolů peer-to-peer 97

Závěr 113

Literatura 116

Stochastické diferenciální rovnice

Jedním z problémů práce je problém sepsání stochastické diferenciální rovnice pro systém tak, aby stochastický člen souvisel se strukturou studovaného systému. Jedním z možných řešení tohoto problému je získat stochastickou a deterministickou část ze stejné rovnice. Pro tyto účely je vhodné použít základní kinetickou rovnici, kterou lze aproximovat Fokker-Planckovou rovnicí, pro kterou lze naopak napsat ekvivalentní stochastickou diferenciální rovnici ve formě Langevinovy rovnice.

Oddíl 1.4. obsahuje základní informace nutné k označení vztahu mezi stochastickou diferenciální rovnicí a Fokker-Planckovou rovnicí a také základní pojmy stochastického počtu.

Druhá kapitola poskytuje základní informace z teorie náhodných procesů a na základě této teorie je formulována metoda pro modelování jednokrokových procesů.

Část 2.1 poskytuje základní informace z teorie náhodných jednokrokových procesů.

Jednokrokové procesy znamenají kontinuální Markovovy procesy, které nabývají hodnot v rozsahu celých čísel, jejichž přechodová matice umožňuje pouze přechody mezi sousedními sekcemi.

Uvažujeme vícerozměrný jednokrokový proces Х () = (i (), 2 (), ..., n ()) = (j (), = 1,), (0,1) měnící se vzhledem k intervalu, tj Є, kde je délka časového intervalu, na kterém je specifikován proces X (). Množina G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 je množina diskrétních hodnot, které může nabývat náhodný proces.

Pro tento jednokrokový proces jsou zavedeny pravděpodobnosti přechodů za jednotku času s + a s ze stavu Xj do stavu Xj__i, respektive Xj_i. Předpokládá se, že pravděpodobnost přechodu ze stavu x o dva nebo více kroků za jednotku času je velmi malá. Můžeme tedy říci, že vektor Xj stavu systému se mění v krocích délky Г (a pak místo přechodů z x do Xj + i a Xj_i můžeme uvažovat přechody z X do X + Гі a X - Гі, resp.

Při modelování systémů, ve kterých dochází k časovému vývoji v důsledku interakce prvků systému, je vhodné popisovat pomocí základní kinetické rovnice (jiný název pro hlavní rovnici, ale v anglické literatuře se nazývá Master rovnice).

Dále vyvstává otázka, jak získat popis studovaného systému popsaného jednokrokovými procesy pomocí stochastické diferenciální rovnice ve tvaru Langevinovy rovnice ze základní kinetické rovnice. Formálně by se jako stochastické rovnice měly označovat pouze rovnice obsahující stochastické funkce. Tuto definici tedy splňují pouze Langevinovy rovnice. Přímo však souvisí s jinými rovnicemi, a to s Fokker-Planckovou rovnicí a základní kinetickou rovnicí. Proto se zdá logické uvažovat všechny tyto rovnice dohromady. Pro řešení tohoto problému se proto navrhuje aproximovat základní kinetickou rovnici Fokker-Planckovou rovnicí, pro kterou lze napsat ekvivalentní stochastickou diferenciální rovnici ve formě Langevinovy rovnice.

Část 2.2 formuluje metodu pro popis a stochastické modelování systémů popsaných vícerozměrnými jednokrokovými procesy.

Navíc je ukázáno, že koeficienty pro Fokker-Planckovu rovnici lze získat ihned po zaznamenání interakčního schématu pro studovaný systém, vektoru změny stavu r a výrazů pro pravděpodobnosti přechodu s + a s-, tzn. při praktické aplikaci této metody není potřeba zapisovat základní kinetickou rovnici.

Oddíl 2.3. je uvažována metoda Runge-Kutta pro numerické řešení stochastických diferenciálních rovnic, která je použita ve třetí kapitole pro ilustraci získaných výsledků.

Ve třetí kapitole je uvedena ilustrace aplikace metody konstrukce stochastických modelů popsané ve druhé kapitole na příkladu systémů popisujících dynamiku růstu interagujících populací, jako je „predátor-kořist“, symbióza, konkurence a jejich modifikace. Cílem je jejich sepsání ve formě stochastických diferenciálních rovnic a studium vlivu zavedení stochastiky na chování systému.

Oddíl 3.1. použití metody popsané ve druhé kapitole je ilustrováno na příkladu modelu „predátor-kořist“. Systémy s interakcí dvou typů populací typu „predátor-kořist“ byly rozsáhle studovány, což umožňuje porovnat získané výsledky s již dobře známými.

Analýza získaných rovnic ukázala, že pro studium deterministického chování systému je možné použít driftový vektor A získané stochastické diferenciální rovnice, tzn. vyvinutou metodu lze použít k analýze stochastického i deterministického chování. Navíc se dospělo k závěru, že stochastické modely poskytují realističtější popis chování systému. Zejména pro systém „predátor-kořist“ v deterministickém případě mají řešení rovnic periodický tvar a fázový objem je zachován, zatímco zavedení stochastiky do modelu dává monotónní nárůst objemu fáze, který označuje nevyhnutelnou smrt jedné nebo obou populací. Pro vizualizaci získaných výsledků bylo provedeno numerické modelování.

Oddíl 3.2. Vyvinutá metoda slouží k získávání a analýze různých stochastických modelů populační dynamiky, jako je model „predátor – kořist“, zohledňující mezidruhovou konkurenci mezi kořistí, symbiózu, kompetice a interakční model tří populací.

Informace o stochastickém počtu

Rozvoj teorie náhodných procesů vedl k přechodu ke studiu přírodních jevů od deterministických reprezentací a modelů populační dynamiky k pravděpodobnostním a v důsledku toho se objevilo velké množství prací věnovaných stochastickému modelování v matematické biologii. , chemie, ekonomie atd.

Při zvažování deterministických populačních modelů nejsou pokryty tak důležité body, jako je náhodný vliv různých faktorů na vývoj systému. Při popisu populační dynamiky je třeba vzít v úvahu náhodný charakter reprodukce a přežívání jedinců a také náhodné výkyvy, které se v prostředí vyskytují v čase a vedou k náhodným výkyvům parametrů systému. Každý model populační dynamiky by proto měl obsahovat pravděpodobnostní mechanismy, které tyto aspekty odrážejí.

Stochastické modelování umožňuje úplnější popis změn populačních charakteristik s přihlédnutím jak ke všem deterministickým faktorům, tak i náhodným vlivům, které mohou významně změnit závěry z deterministických modelů. Na druhou stranu je lze využít k identifikaci kvalitativně nových aspektů chování populace.

Stochastické modely změn stavů populace lze popsat pomocí náhodných procesů. Za určitých předpokladů můžeme předpokládat, že chování populace za podmínek jejího současného stavu nezávisí na tom, jak bylo tohoto stavu dosaženo (tj. při pevné přítomnosti nezávisí budoucnost na minulosti). Že. pro modelování procesů populační dynamiky je vhodné využít Markovových procesů narození a úmrtí a odpovídajících řídicích rovnic, které jsou podrobně popsány v druhé části práce.

NN Kalinkin ve svých pracích k ilustraci procesů probíhajících v systémech s interagujícími prvky využívá interakční schémata a na základě těchto schémat staví modely těchto systémů pomocí aparátu větvených Markovových procesů. Aplikace tohoto přístupu je ilustrována na příkladu modelování procesů v chemických, populačních, telekomunikačních a dalších systémech.

Článek uvažuje pravděpodobnostní populační modely, pro jejichž konstrukci je použit aparát procesů narození a smrti, a výsledné systémy diferenciálně-diferenčních rovnic jsou dynamickými rovnicemi pro náhodné procesy. V práci jsou také zvažovány metody pro hledání řešení těchto rovnic.

Můžete najít mnoho článků věnovaných konstrukci stochastických modelů, které zohledňují různé faktory ovlivňující dynamiku změn velikosti populace. V článcích je například konstruován a analyzován model dynamiky velikosti biologické komunity, v níž jedinci konzumují potravní zdroje obsahující škodlivé látky. A v modelu populačního vývoje článek zohledňuje faktor rozptýlení zástupců populací v jejich biotopech. Model je systémem samokonzistentních Vlasovových rovnic.

Za povšimnutí stojí práce věnované teorii fluktuací a aplikaci stochastických metod v přírodních vědách, jako je fyzika, chemie, biologie aj. procesy narození-smrt.

Model „predátor – kořist“ lze chápat jako realizaci procesů zrození – smrt. V této interpretaci je lze použít pro modely v mnoha oblastech vědy. V 70. letech 20. století navrhl M. Doi metodu pro studium takových modelů založenou na kreačních – anihilačních operátorech (analogicky k sekundární kvantizaci). Práce lze poznamenat zde. Nyní se navíc tato metoda aktivně rozvíjí ve skupině M. M. Gnatic.

Další přístup k modelování a studiu modelů populační dynamiky je spojen s teorií optimálního řízení. Práce lze poznamenat zde.

Lze poznamenat, že většina prací věnovaných konstrukci stochastických modelů populačních procesů využívá k získání diferenciálně-diferenčních rovnic a následné numerické implementaci aparát náhodných procesů. Kromě toho jsou široce používány stochastické diferenciální rovnice v Langevinově podobě, ve kterých je stochastický termín přidán z obecných úvah o chování systému a je určen k popisu náhodných vlivů prostředí. Dalším zkoumáním modelu je jejich kvalitativní analýza nebo hledání řešení pomocí numerických metod.

Stochastické diferenciální rovnice Definice 1. Stochastická diferenciální rovnice je diferenciální rovnice, ve které jeden nebo více členů představuje stochastický proces. Nejpoužívanějším a nejznámějším příkladem stochastické diferenciální rovnice (SDE) je rovnice s členem, který popisuje bílý šum a lze ji považovat za Wienerův proces Wt, t 0.

Stochastické diferenciální rovnice jsou důležitým a široce používaným matematickým nástrojem při studiu a modelování dynamických systémů, které podléhají různým náhodným poruchám.

Za počátek stochastického modelování přírodních jevů je považován popis fenoménu Brownova pohybu, který objevil R. Brown v roce 1827, když prováděl výzkum pohybu rostlinného pylu v kapalině. První rigorózní vysvětlení tohoto jevu nezávisle na sobě podali A. Einstein a M. Smoluchowski. Za zmínku stojí soubor článků, ve kterých jsou shromážděny práce A. Einsteina a M. Smolukhovského o Brownově pohybu. Tyto studie významně přispěly k rozvoji teorie Brownova pohybu a jejímu experimentálnímu ověření. A. Einstein vytvořil molekulární kinetickou teorii pro kvantitativní popis Brownova pohybu. Výsledné vzorce byly potvrzeny experimenty J. Perrina v letech 1908-1909.

Metoda pro modelování vícerozměrných jednokrokových procesů.

K popisu evoluce systémů s interagujícími prvky existují dva přístupy - jedná se o konstrukci deterministických nebo stochastických modelů. Stochastické modely na rozdíl od deterministických umožňují zohlednit pravděpodobnostní povahu procesů probíhajících ve studovaných systémech a také vlivy vnějšího prostředí, které způsobují náhodné výkyvy parametrů modelu.

Předmětem studia jsou systémy, probíhající procesy, které lze popsat pomocí jednokrokových procesů a procesy, ve kterých je přechod z jednoho stavu do druhého spojen s interakcí prvků systému. Příkladem jsou modely popisující dynamiku růstu interagujících populací, jako je „predátor-kořist“, symbióza, konkurence a jejich modifikace. Cílem je zapsat SDE pro takové systémy a studovat vliv zavedení stochastické části na chování řešení rovnice popisující deterministické chování.

Chemická kinetika

Soustavy rovnic vznikající při popisu soustav s interagujícími prvky jsou v mnoha ohledech podobné soustavám diferenciálních rovnic popisujících kinetiku chemických reakcí. Například systém Lotka-Volterra původně vyvodil Lotka jako systém popisující nějakou hypotetickou chemickou reakci a teprve později jej Volterra odvodil jako systém popisující model „predátor-kořist“.

Chemická kinetika popisuje chemické reakce pomocí tzv. stechiometrických rovnic - rovnic odrážejících kvantitativní poměry činidel a produktů chemické reakce a mající následující obecný tvar: kde přirozená čísla ті a Ш se nazývají stechiometrické koeficienty. Jedná se o symbolický záznam chemické reakce, při které ti molekuly činidla Xi, ni2 molekuly činidla Xh, ..., tři molekuly činidla Xp, které vstoupily do reakce ve formě u molekul látky Yi, n molekul látky I2, ..., nq molekul látky Yq, resp.

V chemické kinetice se předpokládá, že k chemické reakci může dojít pouze prostřednictvím přímé interakce činidel a rychlost chemické reakce je definována jako počet částic vytvořených za jednotku času na jednotku objemu.

Hlavním postulátem chemické kinetiky je zákon hromadného působení, který říká, že rychlost chemické reakce je přímo úměrná součinu koncentrací reaktantů v mocninách jejich stechiometrických koeficientů. Pokud tedy označíme XI a y I koncentrace odpovídajících látek, pak máme rovnici pro rychlost změny koncentrace jakékoli látky v čase v důsledku chemické reakce:

Dále se navrhuje využít základních myšlenek chemické kinetiky k popisu systémů, k jejichž vývoji v čase dochází v důsledku vzájemné interakce prvků daného systému, přičemž se zavádějí tyto hlavní změny: 1. ne uvažují se reakční rychlosti, ale pravděpodobnosti přechodu; 2. navrhuje se, aby pravděpodobnost přechodu z jednoho stavu do druhého, který je důsledkem interakce, byla úměrná počtu možných interakcí tohoto typu; 3. k popisu systému v této metodě se používá základní kinetická rovnice; 4. deterministické rovnice jsou nahrazeny stochastickými. Podobný přístup k popisu takových systémů lze nalézt v pracích. Pro popis procesů vyskytujících se v modelovaném systému se navrhuje použít, jak je uvedeno výše, jednokrokové Markovovy procesy.

Představte si systém skládající se z různých typů prvků, které se mohou navzájem různými způsoby vzájemně ovlivňovat. Označme přes prvek -tého typu, kde = 1, a přes - počet prvků -tého typu.

Nech být (), .

Předpokládejme, že soubor se skládá z jedné části. V jednom kroku interakce mezi novým uzlem, který chce soubor stáhnout, a uzlem obsluhujícím soubor, tedy nový uzel stáhne celý soubor a stane se nahrávacím uzlem.

Let je označení nového uzlu, je distribuční uzel a je koeficient interakce. Nové uzly mohou do systému vstupovat s intenzitou a distribuční uzly jej s intenzitou opouštějí. Potom bude mít interakční schéma a vektor r tvar:

Stochastickou diferenciální rovnici v Langevinově tvaru lze získat pomocí odpovídajícího vzorce (1.15). Protože drift vector A plně popisuje deterministické chování systému, můžete získat systém obyčejných diferenciálních rovnic popisujících dynamiku počtu nových zákazníků a semen:

V závislosti na volbě parametrů tedy může mít singulární bod různý charakter. Takže pro / 3A 4 / I2 je singulární bod stabilní ohnisko a s opačným poměrem je to stabilní uzel. V obou případech je singulární bod stabilní, protože při výběru hodnot koeficientů může ke změně proměnných systému dojít podél jedné ze dvou trajektorií. Pokud je singulární bod ohniskem, pak v systému dochází k tlumeným výkyvům v počtu nových a distribučních uzlů (viz obr. 3.12). A v uzlovém případě dochází k přiblížení čísel ke stacionárním hodnotám v bezvibračním režimu (viz obr. 3.13). Fázové portréty systému pro každý ze dvou případů jsou uvedeny v grafech (3.14) a (3.15).

Stochastický model popisuje situaci, kdy je přítomna nejistota. Jinými slovy, proces je charakterizován určitým stupněm náhodnosti. Samotné přídavné jméno „stochastický“ pochází z řeckého slova „hádat“. Protože nejistota je klíčovou charakteristikou každodenního života, může takový model popsat cokoli.

Pokaždé, když ji však aplikujeme, přinese jiný výsledek. Proto se častěji používají deterministické modely. I když se co nejvíce nepřibližují skutečnému stavu věci, dávají vždy stejný výsledek a usnadňují pochopení situace, zjednodušují ji zavedením sady matematických rovnic.

Hlavní znaky

Stochastický model vždy obsahuje jednu nebo více náhodných proměnných. Snaží se odrážet skutečný život ve všech jeho projevech. Na rozdíl od stochastických nemá za cíl vše zjednodušit a zredukovat na známé hodnoty. Nejistota je proto jeho klíčovou vlastností. Stochastické modely jsou vhodné pro popis čehokoli, ale všechny mají společné následující vlastnosti:

Každý stochastický model odráží všechny aspekty problému, pro jehož studium byl vytvořen.
Výsledek každého z jevů je nejistý. Proto model zahrnuje pravděpodobnosti. Přesnost celkových výsledků závisí na přesnosti jejich výpočtu.
Tyto pravděpodobnosti lze použít k predikci nebo popisu samotných procesů.

Deterministické a stochastické modely

Pro některé se život zdá být pro jiné sledem – procesy, ve kterých příčina určuje následek. Ve skutečnosti se vyznačuje nejistotou, ale ne vždy a ne ve všem. Proto je někdy obtížné najít jasné rozdíly mezi stochastickými a deterministickými modely. Pravděpodobnosti jsou dost subjektivní.

Vezměme si například situaci hodu mincí. Na první pohled se zdá, že existuje 50% šance na získání ocasu. Proto je třeba použít deterministický model. Ve skutečnosti se však ukazuje, že hodně záleží na šikovnosti hráčů a dokonalém vyvážení mince. To znamená, že musíte použít stochastický model. Vždy existují parametry, které neznáme. V reálném životě příčina vždy určuje následek, ale existuje také určitá míra nejistoty. Volba mezi použitím deterministických a stochastických modelů závisí na tom, zda jsme ochotni se vzdát - jednoduchosti analýzy nebo realismu.

V teorii chaosu

V poslední době se pojem, který model se nazývá stochastický, ještě více zamlžil. Je to dáno rozvojem tzv. teorie chaosu. Popisuje deterministické modely, které mohou dávat různé výsledky s mírnou změnou původních parametrů. Je to jako úvod do výpočtu nejistoty. Mnoho vědců dokonce předpokládalo, že se již jedná o stochastický model.

Lothar Breuer vše elegantně vysvětlil pomocí poetických obrázků. Napsal: „Horský potok, tlukoucí srdce, epidemie neštovic, sloup stoupajícího kouře, to vše jsou příklady dynamického jevu, který se někdy zdá být charakterizován náhodou. Ve skutečnosti však takové procesy vždy podléhají určitému řádu, kterému vědci a inženýři teprve začínají rozumět. Toto je takzvaný deterministický chaos." Nová teorie zní velmi věrohodně, a proto je jejími zastánci mnoho moderních vědců. Je však stále špatně vyvinut a je poměrně obtížné jej použít ve statistických výpočtech. Proto se často používají stochastické nebo deterministické modely.

Budova

Stochastic začíná volbou prostoru elementárních výsledků. To je to, co statistika nazývá seznam možných výsledků studovaného procesu nebo události. Poté výzkumník určí pravděpodobnost každého z elementárních výsledků. To se obvykle provádí na základě specifické techniky.

Pravděpodobnosti jsou však stále dosti subjektivním parametrem. Poté výzkumník určí, které události jsou pro řešení problému nejzajímavější. Poté jednoduše určí jejich pravděpodobnost.

Příklad

Zvažte proces vytváření nejjednoduššího stochastického modelu. Řekněme, že hodíme kostkou. Pokud se objeví „šest“ nebo „jedna“, naše výhra bude deset dolarů. Proces vytváření stochastického modelu v tomto případě bude vypadat takto:

Definujme prostor elementárních výsledků. Kostka má šest stěn, takže může vypadnout jedna, dvě, tři, čtyři, pět a šest.
Pravděpodobnost každého z výsledků bude 1/6, bez ohledu na to, kolik kostek hodíme.
Nyní musíme definovat výsledky, které nás zajímají. Jedná se o kapku obličeje s číslem „šest“ nebo „jedna“.
Nakonec můžeme určit pravděpodobnost zajímavé události. Je to 1/3. Shrneme pravděpodobnosti obou elementárních událostí, které nás zajímají: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Koncept a výsledek

V hazardních hrách se často používají stochastické simulace. Je ale nenahraditelný i v ekonomickém prognózování, protože umožňuje hlubší pochopení situace než ty deterministické. Stochastické modely v ekonomii se často používají při investičních rozhodnutích. Umožňují vytvářet předpoklady o výnosnosti investic do určitých aktiv nebo jejich skupin.

Simulace zefektivňuje finanční plánování. Pomáhá investorům a obchodníkům optimalizovat alokaci jejich aktiv. Použití stochastického modelování má z dlouhodobého hlediska vždy výhody. V některých odvětvích může neúspěch nebo neschopnost jej uplatnit dokonce vést k bankrotu podniku. Je to dáno tím, že v reálném životě se denně objevují nové důležité parametry, a pokud nemohou mít katastrofální následky.