Un esempio di costruzione di un modello di processo stocastico. Modello stocastico in economia. Modelli deterministici e stocastici. Metodo per la modellazione di processi multidimensionali one-step

La costruzione di un modello stocastico comprende lo sviluppo, la valutazione della qualità e lo studio del comportamento del sistema mediante equazioni che descrivono il processo in esame.

Per questo, le informazioni iniziali si ottengono conducendo un esperimento speciale con un sistema reale. Allo stesso tempo, vengono utilizzati metodi di pianificazione di un esperimento, elaborazione dei risultati e criteri per valutare i modelli ottenuti, basati su sezioni di statistiche matematiche come varianza, correlazione, analisi di regressione, ecc.

I metodi per costruire un modello statistico che descriva un processo tecnologico (Figura 6.1) si basano sul concetto di "scatola nera". Per esso, sono possibili misurazioni multiple di fattori di input: x 1, x 2, ..., x k e parametri di uscita: y 1, y 2, ..., y p, in base ai cui risultati si stabiliscono le dipendenze:

Nella modellazione statistica, in seguito all'affermazione del problema (1), i fattori meno importanti vengono setacciati da un gran numero di variabili di input che influenzano il corso del processo (2). Le variabili di input selezionate per ulteriori ricerche costituiscono un elenco di fattori x 1, x 2, ..., x k in (6.1), controllando quale si possono regolare i parametri di uscita y n... Anche il numero di output del modello dovrebbe essere ridotto il più possibile per ridurre i costi di sperimentazione e di elaborazione dei dati.

Quando si sviluppa un modello statistico, la sua struttura (3) viene solitamente impostata arbitrariamente, sotto forma di comode funzioni che approssimano i dati sperimentali, e quindi raffinata sulla base di una valutazione dell'adeguatezza del modello.

La forma più comunemente usata è la forma polinomiale del modello. Quindi, per una funzione quadratica:

(6.2)

dove b 0, b io, b ij, b ii- coefficienti di regressione.

Di solito, prima si limitano al modello lineare più semplice, per il quale in (6.2) b ii = 0, b ij = 0... In caso di sua inadeguatezza, il modello è complicato dall'introduzione di termini che tengano conto dell'interazione dei fattori x io, x j e (o) termini quadratici.

Al fine di massimizzare l'estrazione di informazioni dagli esperimenti condotti e ridurne il numero, sono previsti esperimenti (4), ad es. selezione del numero e delle condizioni per condurre esperimenti necessari e sufficienti per risolvere il compito impostato con una data accuratezza.

Per costruire modelli statistici vengono utilizzati due tipi di esperimenti: passivi e attivi. Esperimento passivo viene effettuato sotto forma di osservazione a lungo termine del corso di un processo incontrollato, che consente di raccogliere un'ampia gamma di dati per l'analisi statistica. V esperimento attivoè possibile regolare le condizioni per condurre esperimenti. Quando viene eseguita, la più efficace è la variazione simultanea della grandezza di tutti i fattori secondo un piano specifico, che consente di identificare l'interazione dei fattori e ridurre il numero di esperimenti.

Sulla base dei risultati degli esperimenti (5), vengono calcolati i coefficienti di regressione (6.2) e viene stimata la loro significatività statistica, che completa la costruzione del modello (6). La misura dell'adeguatezza del modello (7) è la varianza, cioè deviazione quadratica media dei valori calcolati da quelli sperimentali. La varianza risultante viene confrontata con la varianza accettabile per l'accuratezza sperimentale raggiunta.

4. Schema per la costruzione di modelli stocastici

La costruzione di un modello stocastico comprende lo sviluppo, la valutazione della qualità e lo studio del comportamento del sistema mediante equazioni che descrivono il processo in esame. Per questo, le informazioni iniziali si ottengono conducendo un esperimento speciale con un sistema reale. Allo stesso tempo, vengono utilizzati metodi di pianificazione di un esperimento, elaborazione dei risultati e criteri per valutare i modelli ottenuti, basati su sezioni di statistiche matematiche come varianza, correlazione, analisi di regressione, ecc.

Fasi di sviluppo di un modello stocastico:

formulazione del problema

selezione di fattori e parametri

selezione del tipo di modello

pianificazione dell'esperimento

realizzazione dell'esperimento secondo il piano

costruire un modello statistico

verifica dell'adeguatezza del modello (relativo a 8, 9, 2, 3, 4)

correzione del modello

ricerca di processo con un modello (collegato a 11)

determinazione dei parametri e dei vincoli di ottimizzazione

ottimizzazione del processo con un modello (collegato a 10 e 13)

informazioni sperimentali di apparecchiature di automazione

controllo di processo con un modello (collegato a 12)

La combinazione delle fasi da 1 a 9 ci dà un modello informativo, dal primo all'undicesimo - un modello di ottimizzazione, che combina tutti i punti - un modello di gestione.

5. Strumenti per l'elaborazione dei modelli

Utilizzando i sistemi CAE, è possibile eseguire le seguenti procedure di elaborazione del modello:

imposizione di una mesh di elementi finiti su un modello tridimensionale,

compiti dello stato di stress termico; problemi di fluidodinamica;

compiti di trasferimento di calore e di massa;

compiti di contatto;

calcoli cinematici e dinamici, ecc.

simulazione di sistemi produttivi complessi basati su modelli di code e reti di Petri

In genere, i moduli CAE offrono la possibilità di colorare e immagini in scala di grigi, sovrapporre le parti originali e deformate, visualizzare i flussi di liquidi e gas.

Esempi di sistemi per modellare campi di grandezze fisiche secondo FEM: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Esempi di sistemi per la modellazione di processi dinamici a livello macro: Adams e Dyna - nei sistemi meccanici, Spice - nei circuiti elettronici, PA9 - per la modellazione multidimensionale, i.e. per i sistemi di modellazione, i cui principi si basano sulla reciproca influenza di processi fisici di varia natura.

6. Modellazione matematica. Modelli analitici e di simulazione

Modello matematico - un insieme di oggetti matematici (numeri, variabili, insiemi, ecc.) e relazioni tra di essi, che riflette adeguatamente alcune proprietà (essenziali) dell'oggetto tecnico progettato. I modelli matematici possono essere geometrici, topologici, dinamici, logici, ecc.

- l'adeguatezza della rappresentazione degli oggetti simulati;

Area di adeguatezza - un'area nello spazio dei parametri, all'interno della quale gli errori del modello rimangono all'interno dell'intervallo consentito.

- economia (efficienza computazionale)- è determinato dal costo delle risorse,
necessari per l'attuazione del modello (costi del tempo del computer, memoria utilizzata, ecc.);

- precisione - determina il grado di coincidenza dei risultati calcolati e veri (il grado di corrispondenza tra le valutazioni delle proprietà omonime dell'oggetto e del modello).

Modellazione matematica- il processo di costruzione di modelli matematici. Comprende le seguenti fasi: affermazione del problema; costruzione di un modello e sua analisi; sviluppo di metodi per ottenere soluzioni progettuali sul modello; verifica sperimentale e adeguamento del modello e dei metodi.

La qualità dei modelli matematici creati dipende in gran parte dalla corretta formulazione del problema. È necessario determinare gli obiettivi tecnici ed economici del problema da risolvere, raccogliere e analizzare tutte le informazioni iniziali, determinare i limiti tecnici. Nel processo di costruzione dei modelli, dovresti usare i metodi dell'analisi dei sistemi.

Il processo di modellazione, di regola, è di natura iterativa, che prevede il raffinamento delle decisioni precedenti prese nelle fasi precedenti dello sviluppo del modello in ogni fase dell'iterazione.

Modelli analitici - modelli matematici numerici che possono essere rappresentati sotto forma di dipendenze esplicite dei parametri di output sui parametri di interni ed esterni. Modelli di simulazione - modelli algoritmici numerici che mostrano i processi nel sistema in presenza di influenze esterne sul sistema. Modelli algoritmici - modelli in cui la relazione tra l'output, i parametri interni ed esterni è impostata implicitamente sotto forma di un algoritmo di modellazione. I modelli di simulazione sono spesso utilizzati a livello di progettazione del sistema. La modellazione di simulazione viene eseguita riproducendo eventi che si verificano simultaneamente o in sequenza nel tempo del modello. Un esempio di modello di simulazione è l'uso di una rete di Petri per modellare un sistema di code.

7. Principi di base per la costruzione di modelli matematici

Approccio classico (induttivo). L'oggetto reale da modellare è suddiviso in sottosistemi separati, ad es. vengono selezionati i dati iniziali per la modellazione e vengono fissati gli obiettivi che riflettono i singoli aspetti del processo di modellazione. Per un insieme separato di dati iniziali, viene impostato l'obiettivo di modellare un lato separato del funzionamento del sistema; sulla base di questo obiettivo, si forma un determinato componente del modello futuro. Una raccolta di componenti viene combinata in un modello.

Un approccio così classico può essere utilizzato per creare modelli abbastanza semplici in cui è possibile la separazione e la considerazione reciprocamente indipendente dei singoli aspetti del funzionamento di un oggetto reale. Realizza il movimento dal particolare al generale.

Approccio sistemico. Sulla base dei dati iniziali che sono noti dall'analisi del sistema esterno, quelle restrizioni che vengono imposte al sistema dall'alto o in base alle possibilità della sua attuazione, e sulla base dell'obiettivo di funzionamento, i requisiti iniziali per il modello di sistema sono formulati. Sulla base di questi requisiti, vengono formati approssimativamente alcuni sottosistemi, elementi e viene eseguita la fase di sintesi più difficile: la scelta dei componenti del sistema, per i quali vengono utilizzati criteri di selezione speciali. L'approccio sistemico presuppone anche una certa sequenza di sviluppo del modello, che consiste nell'individuare due fasi principali della progettazione: macro-design e micro-design.

Fase di macroprogettazione- sulla base dei dati del sistema reale e dell'ambiente esterno, si costruisce un modello dell'ambiente esterno, si individuano risorse e limiti per costruire un modello del sistema, si scelgono un modello del sistema e criteri che consentono di valutare il adeguatezza del modello del sistema reale. Dopo aver costruito un modello del sistema e un modello dell'ambiente esterno, sulla base del criterio dell'efficienza del funzionamento del sistema nel processo di modellazione, viene scelta la strategia di controllo ottimale, che consente di realizzare il possibilità del modello di riprodurre alcuni aspetti del funzionamento di un sistema reale.

Fase di micro-progettazione dipende molto dal tipo specifico di modello scelto. Nel caso di un modello di simulazione, è necessario garantire la creazione di supporto informativo, matematico, tecnico e software per il sistema di simulazione. In questa fase, è possibile stabilire le principali caratteristiche del modello creato, stimare il tempo di lavoro con esso e il costo delle risorse per ottenere una data qualità di conformità del modello al processo di funzionamento del sistema.
quando lo si costruisce, è necessario essere guidati da una serie di principi di un approccio sistematico:

progresso proporzionale e sequenziale attraverso le fasi e le direzioni della creazione di un modello;

coordinamento di informazioni, risorse, affidabilità e altre caratteristiche;

il corretto rapporto tra i singoli livelli della gerarchia nel sistema di modellizzazione;

l'integrità delle singole fasi isolate della costruzione del modello.

Analisi dei metodi applicati nella modellazione matematica

Nella modellazione matematica, la soluzione di equazioni differenziali o integro-differenziali con derivate parziali viene eseguita con metodi numerici. Questi metodi si basano sulla discretizzazione di variabili indipendenti - la loro rappresentazione da parte di un insieme finito di valori in punti nodali selezionati dello spazio investigato. Questi punti sono considerati come nodi di alcune mesh.

Tra i metodi a griglia, due sono i metodi più utilizzati: il metodo delle differenze finite (FCD) e il metodo degli elementi finiti (FEM). Tipicamente, vengono campionate variabili spaziali indipendenti, ad es. utilizzare una griglia spaziale. In questo caso, il risultato della discretizzazione è un sistema di equazioni differenziali ordinarie, che vengono poi ridotte a un sistema di equazioni algebriche utilizzando le condizioni al contorno.

Sia necessario risolvere l'equazione LV(z) = F(z)

con date condizioni al contorno MV(z) = .(z),

dove l e M - operatori differenziali, V(z) - variabile di fase, z= (X 1, X 2, X 3, T) è un vettore di variabili indipendenti, F(z) e . ( z) sono date funzioni di variabili indipendenti.

V MKR l'algebrazione delle derivate rispetto alle coordinate spaziali si basa sull'approssimazione delle derivate per espressioni alle differenze finite. Quando si utilizza il metodo, è necessario selezionare i passaggi della griglia per ciascuna coordinata e il tipo di modello. Un modello è inteso come un insieme di punti nodali, i valori delle variabili in cui vengono utilizzati per approssimare la derivata in un punto specifico.

FEM si basa sull'approssimazione non delle derivate, ma della soluzione stessa V(z). Ma poiché non è noto, l'approssimazione viene eseguita da espressioni con coefficienti indefiniti.

In questo caso, stiamo parlando di approssimazioni della soluzione all'interno di elementi finiti e, tenendo conto delle loro piccole dimensioni, possiamo parlare dell'uso di espressioni di approssimazione relativamente semplici (ad esempio polinomi di gradi bassi). Per effetto della sostituzione tali polinomi nell'equazione differenziale originale ed eseguendo operazioni di derivazione, i valori delle variabili di fase si ottengono nei punti indicati.

Approssimazione polinomiale. L'utilizzo dei metodi è associato alla possibilità di approssimare una funzione regolare mediante un polinomio e al successivo utilizzo di un polinomio approssimante per stimare le coordinate del punto ottimo. Le condizioni necessarie per l'effettiva attuazione di questo approccio sono unimodalità e continuità funzione indagata. Secondo il teorema di approssimazione di Weierstrass, se una funzione è continua in un intervallo, allora può essere approssimata con qualsiasi grado di accuratezza da un polinomio di ordine sufficientemente alto. Secondo il teorema di Weierstrass, la qualità delle stime delle coordinate ottimali ottenute utilizzando il polinomio di approssimazione può essere migliorata in due modi: utilizzando un polinomio di ordine superiore e diminuendo l'intervallo di approssimazione. La versione più semplice dell'interpolazione polinomiale è un'approssimazione quadratica, che si basa sul fatto che una funzione che assume un valore minimo in un punto interno di un intervallo deve essere almeno quadratica

Disciplina "Modelli e metodi di analisi delle soluzioni progettuali" (Kazakov Yu.M.)

Classificazione dei modelli matematici.

Livelli di astrazione dei modelli matematici.

Requisiti per i modelli matematici.

Schema per la costruzione di modelli stocastici.

Strumenti di elaborazione del modello.

Modellazione matematica. Modelli analitici e di simulazione.

Principi di base per la costruzione di modelli matematici.

Analisi dei metodi applicati nella modellazione matematica.

1. Classificazione dei modelli matematici

Modello matematico (MM) di un oggetto tecnico è un insieme di oggetti matematici (numeri, variabili, matrici, insiemi, ecc.) e relazioni tra di essi, che riflette adeguatamente le proprietà di un oggetto tecnico che interessano l'ingegnere che sviluppa questo oggetto .

In base alla natura della visualizzazione delle proprietà dell'oggetto:

Funzionale: progettato per visualizzare i processi fisici o informativi che si verificano nei sistemi tecnici durante il loro funzionamento. Un tipico modello funzionale è un sistema di equazioni che descrivono processi elettrici, termici, meccanici o processi di trasformazione delle informazioni.

Strutturale: visualizza le proprietà strutturali di un oggetto (topologiche, geometriche). . I modelli strutturali sono spesso rappresentati sotto forma di grafici.

Appartenendo al livello gerarchico:

Modelli a microlivello - visualizzazione di processi fisici nello spazio e nel tempo continui. L'apparato delle equazioni della fisica matematica viene utilizzato per la modellazione. Esempi di tali equazioni sono le equazioni alle derivate parziali.

Modelli a livello macro. Vengono utilizzati ingrandimenti, dettagli dello spazio su una base fondamentale. I modelli funzionali a livello macro sono sistemi di equazioni differenziali algebriche o ordinarie; vengono utilizzati metodi numerici appropriati per ottenerli e risolverli.

Modelli di meta-livello. Ingrandito descrivere gli oggetti in esame. Modelli matematici al metalivello - sistemi di equazioni differenziali ordinarie, sistemi di equazioni logiche, modelli di simulazione di sistemi di code.

Con il metodo per ottenere il modello:

Teorico - sono costruiti sulla base dello studio dei modelli. A differenza dei modelli empirici, quelli teorici nella maggior parte dei casi sono più universali e applicabili a una gamma più ampia di problemi. I modelli teorici sono lineari e non lineari, continui e discreti, dinamici e statistici.

empirico

I principali requisiti per i modelli matematici in CAD:

l'adeguatezza della rappresentazione degli oggetti simulati;

L'adeguatezza ha luogo se il modello riflette le proprietà specificate dell'oggetto con una precisione accettabile ed è valutata dall'elenco delle proprietà riflesse e delle aree di adeguatezza. Area di adeguatezza - un'area nello spazio dei parametri, all'interno della quale gli errori del modello rimangono all'interno dell'intervallo consentito.

economia (efficienza computazionale)- è determinato dai costi delle risorse necessarie per l'attuazione del modello (costi del tempo del computer, della memoria utilizzata, ecc.);

precisione- determina il grado di coincidenza dei risultati calcolati e veri (il grado di corrispondenza tra le stime delle proprietà omonime dell'oggetto e il modello).

Una serie di altri requisiti sono imposti ai modelli matematici:

Computabilità, cioè. la possibilità di studio manuale o computerizzato delle leggi qualitative e quantitative del funzionamento di un oggetto (sistema).

Modularità, cioè. corrispondenza delle costruzioni del modello ai componenti strutturali dell'oggetto (sistema).

Algoritmizzabilità, cioè. la possibilità di sviluppare un algoritmo e un programma appropriati che implementano il modello matematico su un computer.

Visibilità, cioè. comoda percezione visiva del modello.

Tavolo. Classificazione dei modelli matematici

Segni di classificazione	Tipi di modelli matematici
1. Appartenenza al livello gerarchico	Modelli a microlivello Modelli a livello macro Modelli di metalivello
2. La natura delle proprietà visualizzate dell'oggetto	Strutturale Funzionale
3. Metodo di rappresentazione delle proprietà dell'oggetto	analitico Algoritmico Imitazione
4. Metodo per ottenere il modello	Teorico empirico
5. Caratteristiche del comportamento dell'oggetto	Deterministico probabilistico

Modelli matematici di microlivello i processi di produzione riflettono i processi fisici che si verificano, ad esempio, durante il taglio dei metalli. Descrivono i processi a livello di transizione.

Modelli matematici a livello macro processo di fabbricazione descrivono i processi tecnologici.

Modelli matematici a metalivello del processo produttivo descrivono i sistemi tecnologici (sezioni, officine, l'impresa nel suo insieme).

Modelli matematici strutturali sono progettati per visualizzare le proprietà strutturali degli oggetti. Ad esempio, in CAD TP per rappresentare la struttura del processo tecnologico, vengono utilizzati l'ordinamento dei prodotti, modelli strutturali e logici.

Modelli matematici funzionali sono progettati per visualizzare informazioni, processi fisici e temporali che si verificano nelle apparecchiature operative, durante l'esecuzione di processi tecnologici, ecc.

Modelli matematici teorici sono creati come risultato dello studio di oggetti (processi) a livello teorico.

Modelli matematici empirici sono creati come risultato di esperimenti (studiando le manifestazioni esterne delle proprietà di un oggetto misurando i suoi parametri in ingresso e in uscita) ed elaborando i loro risultati con metodi di statistica matematica.

Modelli matematici deterministici descrivere il comportamento di un oggetto dal punto di vista della completa certezza nel presente e nel futuro. Esempi di tali modelli: formule di leggi fisiche, processi tecnologici di lavorazione di parti, ecc.

Modelli matematici probabilistici prendere in considerazione l'influenza di fattori casuali sul comportamento dell'oggetto, ad es. valutare il suo futuro dal punto di vista della probabilità di determinati eventi.

Modelli analitici - modelli matematici numerici che possono essere rappresentati sotto forma di dipendenze esplicite dei parametri di output sui parametri di interni ed esterni.

Modelli matematici algoritmici esprimere la relazione tra i parametri di output e i parametri di input e interni sotto forma di un algoritmo.

Modelli matematici di simulazione Sono modelli algoritmici che riflettono lo sviluppo del processo (comportamento dell'oggetto indagato) nel tempo quando si specificano influenze esterne sul processo (oggetto). Ad esempio, si tratta di modelli di sistemi di code forniti in forma algoritmica.

Negli ultimi capitoli di questo libro, i processi stocastici sono quasi sempre rappresentati utilizzando sistemi differenziali lineari eccitati da rumore bianco. Questa rappresentazione di un processo stocastico ha solitamente la forma seguente. Facciamo finta che

a - rumore bianco. Scegliendo una tale rappresentazione del processo stocastico V, può essere modellato. L'uso di tali modelli può essere giustificato come segue.

a) In natura si incontrano spesso fenomeni stocastici associati all'effetto di fluttuazioni in rapida evoluzione su un sistema differenziale inerziale. Un tipico esempio di rumore bianco che agisce su un sistema differenziale è il rumore termico in un circuito elettronico.

b) Come si vedrà da quanto segue, nella teoria del controllo lineare vengono considerati quasi sempre solo il valore medio e. covarianza del processo stocastico. Per un modello lineare, è sempre possibile approssimare qualsiasi caratteristica ottenuta sperimentalmente del valore medio e della matrice di covarianza con precisione arbitraria.

c) A volte sorge il problema di modellare un processo stocastico stazionario con una densità di energia spettrale nota. In questo caso è sempre possibile generare un processo stocastico come un processo all'uscita di un sistema differenziale lineare; in questo caso, la matrice delle densità di energia spettrale approssima con precisione arbitraria la matrice delle densità di energia spettrale del processo stocastico iniziale.

Gli esempi 1.36 e 1.37, così come l'attività 1.11, illustrano il metodo di modellazione.

Esempio 1.36. Sistema differenziale del primo ordine

Supponiamo che la funzione di covarianza misurata di un processo scalare stocastico noto per essere stazionario sia descritta da una funzione esponenziale

Questo processo può essere modellato come uno stato di un sistema differenziale del primo ordine (vedi esempio 1.35)

dove - rumore bianco di intensità - quantità stocastica con media e varianza nulle.

Esempio 1.37. Serbatoio di miscelazione

Si consideri il serbatoio di miscelazione dell'Esempio 1.31 (Sezione 1.10.3) e si calcoli per esso la matrice di varianza della variabile di uscita Esempio 1.31 si è ipotizzato che le fluttuazioni di concentrazione nei flussi siano descritte da rumori esponenzialmente correlati e, quindi, possano essere modellate come soluzione ad un sistema del primo ordine eccitato da un rumore bianco. Aggiungiamo ora le equazioni dei modelli dei processi stocastici all'equazione differenziale della vasca di miscelazione

Ecco l'intensità del rumore bianco scalare in modo che

per ottenere la varianza del processo uguale, useremo un modello simile per il processo. Quindi, otteniamo il sistema di equazioni

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Demidova Anastasia Vyacheslavovna. Metodo per la costruzione di modelli stocastici di processi one-step: dissertazione ... candidato di scienze fisiche e matematiche: 13.05.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [Luogo di difesa: Peoples' Friendship University of Russia] .- Mosca, 2014.- 126 P.

introduzione

Capitolo 1. Revisione di articoli sull'argomento della tesi 14

1.1. Panoramica dei modelli di dinamica della popolazione 14

1.2. Modelli di popolazione stocastica 23

1.3. Equazioni differenziali stocastiche 26

1.4. Informazioni sul calcolo stocastico 32

Capitolo 2. Metodo di modellazione dei processi one-step 39

2.1. Processi in un solo passaggio. Equazione di Kolmogorov-Chapman. Equazione cinetica di base 39

2.2. Un metodo per la modellazione di processi multidimensionali one-step. 47

2.3. Simulazione numerica 56

Capitolo 3. Applicazione del metodo di modellazione dei processi one-step 60

3.1. Modelli stocastici della dinamica della popolazione 60

3.2. Modelli stocastici di sistemi di popolazione con varie interazioni interspecie e intraspecifiche 75

3.3. Modello stocastico della propagazione dei worm di rete. 92

3.4. Modelli stocastici di protocolli peer-to-peer 97

Conclusione 113

Letteratura 116

Equazioni differenziali stocastiche

Uno dei problemi della tesi è il problema di scrivere un'equazione differenziale stocastica per un sistema in modo che il termine stocastico sia correlato alla struttura del sistema in esame. Una delle possibili soluzioni a questo problema è ottenere le parti stocastiche e deterministiche dalla stessa equazione. Per questi scopi, è conveniente utilizzare l'equazione cinetica di base, che può essere approssimata dall'equazione di Fokker-Planck, per la quale, a sua volta, un'equazione differenziale stocastica equivalente può essere scritta nella forma dell'equazione di Langevin.

Sezione 1.4. contiene le informazioni di base necessarie per denotare la relazione tra l'equazione differenziale stocastica e l'equazione di Fokker-Planck, nonché i concetti di base del calcolo stocastico.

Il secondo capitolo fornisce informazioni di base dalla teoria dei processi casuali e sulla base di questa teoria viene formulato un metodo per modellare i processi a una fase.

La sezione 2.1 fornisce informazioni di base dalla teoria dei processi casuali a un passo.

I processi a una fase significano processi Markov a tempo continuo che assumono valori nell'intervallo di numeri interi, la cui matrice di transizione consente solo transizioni tra sezioni adiacenti.

Consideriamo un processo multidimensionale ad un passo Х () = (i (), 2 (), ..., n ()) = (j (), = 1,), (0.1) che cambia rispetto all'intervallo, cioè Є, dove è la lunghezza dell'intervallo di tempo in cui viene specificato il processo X(). L'insieme G = (x, = 1, Є NQ x NQ1 è un insieme di valori discreti che può assumere un processo casuale.

Per questo processo ad un passo, vengono introdotte le probabilità di transizioni per unità di tempo s + e s dallo stato Xj allo stato Xj__i e Xj_i, rispettivamente. Si ritiene che la probabilità di transizione dallo stato x di due o più passi per unità di tempo sia molto piccola. Pertanto, possiamo dire che il vettore Xj dello stato del sistema cambia a passi di lunghezza (e quindi, invece delle transizioni da x a Xj + i e Xj_i, possiamo considerare le transizioni da X a X + Гі e X - і, rispettivamente.

Quando si modellano sistemi in cui l'evoluzione temporale si verifica come risultato dell'interazione degli elementi del sistema, è conveniente descrivere l'uso dell'equazione cinetica di base (un altro nome per l'equazione principale, ma nella letteratura inglese è chiamata equazione principale).

Successivamente, sorge la domanda su come ottenere una descrizione del sistema in studio descritto da processi one-step utilizzando un'equazione differenziale stocastica nella forma dell'equazione di Langevin dall'equazione cinetica di base. Formalmente, solo le equazioni che contengono funzioni stocastiche dovrebbero essere chiamate equazioni stocastiche. Pertanto, solo le equazioni di Langevin soddisfano questa definizione. Tuttavia, sono direttamente correlati ad altre equazioni, vale a dire l'equazione di Fokker-Planck e l'equazione cinetica di base. Pertanto, sembra logico considerare tutte queste equazioni insieme. Pertanto, per risolvere questo problema, si propone di approssimare l'equazione cinetica di base con l'equazione di Fokker-Planck, per la quale un'equazione differenziale stocastica equivalente può essere scritta nella forma dell'equazione di Langevin.

La Sezione 2.2 formula un metodo per la descrizione e la modellazione stocastica di sistemi descritti da processi multidimensionali a una fase.

Inoltre, viene mostrato che i coefficienti per l'equazione di Fokker-Planck possono essere ottenuti immediatamente dopo aver registrato lo schema di interazione per il sistema in esame, il vettore di cambiamento di stato r e le espressioni per le probabilità di transizione s + e s-, ad es. nell'applicazione pratica di questo metodo, non è necessario scrivere l'equazione cinetica di base.

Sezione 2.3. si considera il metodo Runge-Kutta per la soluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche, che viene utilizzato nel terzo capitolo per illustrare i risultati ottenuti.

Il terzo capitolo fornisce un'illustrazione dell'applicazione del metodo di costruzione dei modelli stocastici descritto nel secondo capitolo, utilizzando l'esempio di sistemi che descrivono le dinamiche di crescita delle popolazioni interagenti, come "predatore-preda", simbiosi, competizione e loro modificazioni. L'obiettivo è trascriverli sotto forma di equazioni differenziali stocastiche e studiare l'influenza dell'introduzione degli stocastici sul comportamento del sistema.

Sezione 3.1. l'applicazione del metodo descritto nel secondo capitolo è illustrata dall'esempio del modello “predatore-preda”. I sistemi con l'interazione di due tipi di popolazioni del tipo "predatore-preda" sono stati ampiamente studiati, il che consente di confrontare i risultati ottenuti con quelli già noti.

L'analisi delle equazioni ottenute ha mostrato che per studiare il comportamento deterministico del sistema, è possibile utilizzare il vettore di deriva A dell'equazione differenziale stocastica ottenuta, i.e. il metodo sviluppato può essere utilizzato per analizzare sia il comportamento stocastico che deterministico. Inoltre, si è concluso che i modelli stocastici forniscono una descrizione più realistica del comportamento del sistema. In particolare, per il sistema “predatore-preda” nel caso deterministico, le soluzioni delle equazioni hanno forma periodica e il volume di fase è preservato, mentre l'introduzione dello stocastico nel modello dà un aumento monotono del volume di fase, che indica l'inevitabile morte di una o entrambe le popolazioni. Al fine di visualizzare i risultati ottenuti, è stata effettuata una modellazione numerica.

Sezione 3.2. Il metodo sviluppato viene utilizzato per ottenere e analizzare vari modelli stocastici delle dinamiche di popolazione, come il modello "predatore-preda", tenendo conto della competizione interspecifica tra prede, simbiosi, competizione e il modello di interazione di tre popolazioni.

Informazioni sul calcolo stocastico

Lo sviluppo della teoria dei processi casuali ha portato al passaggio allo studio dei fenomeni naturali da rappresentazioni e modelli deterministici della dinamica di popolazione a quelli probabilistici e, di conseguenza, alla comparsa di un gran numero di lavori dedicati alla modellazione stocastica in biologia matematica , chimica, economia, ecc.

Quando si considerano modelli deterministici della popolazione, non vengono trattati punti importanti come l'influenza casuale di vari fattori sull'evoluzione del sistema. Quando si descrivono le dinamiche della popolazione, si dovrebbe tenere conto della natura casuale della riproduzione e della sopravvivenza degli individui, nonché delle fluttuazioni casuali che si verificano nell'ambiente nel tempo e portano a fluttuazioni casuali nei parametri del sistema. Pertanto, qualsiasi modello di dinamica della popolazione dovrebbe includere meccanismi probabilistici che riflettano questi aspetti.

La modellizzazione stocastica consente una descrizione più completa dei cambiamenti nelle caratteristiche della popolazione, tenendo conto sia di tutti i fattori deterministici che degli effetti casuali che possono modificare significativamente le conclusioni dei modelli deterministici. Dall'altro, possono essere utilizzati per identificare aspetti qualitativamente nuovi del comportamento della popolazione.

I modelli stocastici dei cambiamenti negli stati della popolazione possono essere descritti usando processi casuali. Sotto alcune ipotesi, possiamo assumere che il comportamento della popolazione nella condizione del suo stato attuale non dipenda da come questo stato è stato raggiunto (cioè, con un presente fisso, il futuro non dipende dal passato). Quella. per modellare i processi della dinamica della popolazione, è conveniente utilizzare i processi di nascita-morte di Markov e le corrispondenti equazioni di controllo, che sono descritte in dettaglio nella seconda parte del lavoro.

NN Kalinkin nelle sue opere per illustrare i processi che si verificano nei sistemi con elementi interagenti utilizza schemi di interazione e sulla base di questi schemi costruisce modelli di questi sistemi utilizzando l'apparato dei processi di Markov ramificati. L'applicazione di questo approccio è illustrata dall'esempio dei processi di modellazione in sistemi chimici, demografici, di telecomunicazione e altri.

L'articolo prende in considerazione modelli probabilistici di popolazione, per la cui costruzione viene utilizzato l'apparato dei processi di nascita-morte, ei sistemi risultanti di equazioni alle differenze differenziali sono equazioni dinamiche per processi casuali. Nel lavoro vengono presi in considerazione anche i metodi per trovare soluzioni a queste equazioni.

Puoi trovare molti articoli dedicati alla costruzione di modelli stocastici che tengono conto di vari fattori che influenzano la dinamica dei cambiamenti nella dimensione della popolazione. Ad esempio, negli articoli, viene costruito e analizzato un modello della dinamica della dimensione di una comunità biologica in cui gli individui consumano risorse alimentari contenenti sostanze nocive. E nel modello di evoluzione della popolazione, l'articolo tiene conto del fattore di dispersione dei rappresentanti delle popolazioni nei loro habitat. Il modello è un sistema di equazioni di Vlasov autoconsistenti.

Da segnalare i lavori dedicati alla teoria delle fluttuazioni e all'applicazione dei metodi stocastici nelle scienze naturali, quali fisica, chimica, biologia, processi nascita-morte ecc.

Il modello “predatore – preda” può essere visto come la realizzazione di processi di nascita – morte. In questa interpretazione, possono essere usati per modelli in molti campi della scienza. Negli anni '70, M. Doi ha proposto un metodo per lo studio di tali modelli basato sugli operatori di creazione – annichilazione (per analogia con la quantizzazione secondaria). Le opere possono essere annotate qui. Inoltre, ora questo metodo si sta attivamente sviluppando nel gruppo di M. M. Gnatic.

Un altro approccio alla modellazione e allo studio di modelli di dinamica di popolazione è associato alla teoria del controllo ottimo. Le opere possono essere annotate qui.

Si può notare che la maggior parte dei lavori dedicati alla costruzione di modelli stocastici dei processi di popolazione utilizzano l'apparato dei processi casuali per ottenere equazioni alle differenze differenziali e successiva implementazione numerica. Inoltre, sono ampiamente utilizzate equazioni differenziali stocastiche nella forma di Langevin, in cui il termine stocastico è aggiunto da considerazioni generali sul comportamento del sistema ed è progettato per descrivere gli effetti casuali dell'ambiente. Un'ulteriore indagine del modello è la loro analisi qualitativa o la ricerca di soluzioni utilizzando metodi numerici.

Equazioni differenziali stocastiche Definizione 1. Un'equazione differenziale stocastica è un'equazione differenziale in cui uno o più termini rappresentano un processo stocastico. L'esempio più utilizzato e noto di un'equazione differenziale stocastica (SDE) è un'equazione con un termine che descrive il rumore bianco e può essere considerata come un processo di Wiener Wt, t 0.

Le equazioni differenziali stocastiche sono uno strumento matematico importante e ampiamente utilizzato nello studio e nella modellazione di sistemi dinamici soggetti a vari disturbi casuali.

L'inizio della modellizzazione stocastica dei fenomeni naturali è considerata la descrizione del fenomeno del moto browniano, scoperto da R. Brown nel 1827, quando stava conducendo ricerche sul movimento del polline delle piante in un liquido. La prima spiegazione rigorosa di questo fenomeno è stata data indipendentemente da A. Einstein e M. Smoluchowski. Vale la pena notare una raccolta di articoli in cui sono raccolti i lavori di A. Einstein e M. Smolukhovsky sul moto browniano. Questi studi hanno dato un contributo significativo allo sviluppo della teoria del moto browniano e alla sua verifica sperimentale. A. Einstein creò la teoria cinetica molecolare per la descrizione quantitativa del moto browniano. Le formule risultanti furono confermate dagli esperimenti di J. Perrin nel 1908-1909.

Un metodo per la modellazione di processi multidimensionali one-step.

Per descrivere l'evoluzione dei sistemi con elementi interagenti, ci sono due approcci: questa è la costruzione di modelli deterministici o stocastici. A differenza di quelli deterministici, i modelli stocastici consentono di tenere conto della natura probabilistica dei processi che si verificano nei sistemi in esame, nonché degli effetti dell'ambiente esterno, che causano fluttuazioni casuali dei parametri del modello.

L'oggetto di studio sono i sistemi, i processi che si verificano in cui possono essere descritti utilizzando processi one-step e quelli in cui la transizione da uno stato all'altro è associata all'interazione di elementi del sistema. Un esempio sono i modelli che descrivono le dinamiche di crescita delle popolazioni interagenti, come "predatore-preda", simbiosi, competizione e loro modificazioni. L'obiettivo è scrivere SDE per tali sistemi e studiare l'influenza dell'introduzione della parte stocastica sul comportamento della soluzione dell'equazione che descrive il comportamento deterministico.

Cinetica chimica

I sistemi di equazioni che sorgono nella descrizione di sistemi con elementi interagenti sono per molti aspetti simili ai sistemi di equazioni differenziali che descrivono la cinetica delle reazioni chimiche. Ad esempio, il sistema Lotka-Volterra è stato originariamente dedotto da Lotka come un sistema che descrive una ipotetica reazione chimica, e solo in seguito Volterra lo ha dedotto come un sistema che descrive il modello "predatore-preda".

La cinetica chimica descrive le reazioni chimiche usando le cosiddette equazioni stechiometriche - equazioni che riflettono i rapporti quantitativi di reagenti e prodotti di una reazione chimica e aventi la seguente forma generale: dove i numeri naturali ті e Ш sono chiamati coefficienti stechiometrici. Questa è una registrazione simbolica di una reazione chimica, in cui ti molecole del reagente Xi, ni2 molecole del reagente Xh, ..., tre molecole del reagente Xp, essendo entrate nella reazione forma u molecole della sostanza Yi, n molecole della sostanza I2, ..., nq molecole della sostanza Yq, rispettivamente ...

Nella cinetica chimica, si presume che una reazione chimica possa avvenire solo attraverso l'interazione diretta dei reagenti e la velocità di una reazione chimica è definita come il numero di particelle formate per unità di tempo per unità di volume.

Il principale postulato della cinetica chimica è la legge dell'azione di massa, che afferma che la velocità di una reazione chimica è direttamente proporzionale al prodotto delle concentrazioni dei reagenti in potenze dei loro coefficienti stechiometrici. Pertanto, se indichiamo con XI e y I le concentrazioni delle sostanze corrispondenti, allora abbiamo un'equazione per la velocità di variazione della concentrazione di qualsiasi sostanza nel tempo a seguito di una reazione chimica:

Inoltre, si propone di utilizzare le idee di base della cinetica chimica per descrivere i sistemi, la cui evoluzione nel tempo si verifica come risultato dell'interazione tra loro degli elementi di un dato sistema, introducendo i seguenti cambiamenti principali: 1. non si considerano le velocità di reazione, ma le probabilità di transizione; 2. si propone che la probabilità di una transizione da uno stato all'altro, conseguenza dell'interazione, sia proporzionale al numero di possibili interazioni di questo tipo; 3. per descrivere il sistema in questo metodo si usa l'equazione cinetica di base; 4. le equazioni deterministiche sono sostituite da quelle stocastiche. Un approccio simile alla descrizione di tali sistemi può essere trovato nei lavori. Per descrivere i processi che si verificano nel sistema modellato, si propone di utilizzare, come notato sopra, i processi Markov one-step.

Consideriamo un sistema composto da diversi tipi di elementi che possono interagire tra loro in vari modi. Indichiamo attraverso l'elemento del tipo -esimo, dove = 1, e attraverso - il numero di elementi del tipo -esimo.

Sia (), .

Supponiamo che il file sia composto da una parte. Pertanto, in una fase di interazione tra il nuovo nodo, che vuole scaricare il file, e il nodo che serve il file, il nuovo nodo scarica l'intero file e diventa il nodo di caricamento.

Let è la designazione del nuovo nodo, è il nodo di distribuzione ed è il coefficiente di interazione. Nuovi nodi possono entrare nel sistema con intensità e i nodi di distribuzione lo lasciano con intensità. Allora lo schema di interazione e il vettore r avranno la forma:

Un'equazione differenziale stocastica nella forma di Langevin può essere ottenuta 100 utilizzando la formula corrispondente (1.15). Perché il vettore di deriva A descrive completamente il comportamento deterministico del sistema, è possibile ottenere un sistema di equazioni differenziali ordinarie che descrivono la dinamica del numero di nuovi clienti e semi:

Pertanto, a seconda della scelta dei parametri, il punto singolare può avere un carattere diverso. Quindi, per / 3A 4 / I2, il punto singolare è un fuoco stabile e, con il rapporto opposto, è un nodo stabile. In entrambi i casi il punto singolare è stabile, poiché la scelta dei valori dei coefficienti, la variazione delle variabili del sistema può avvenire lungo una delle due traiettorie. Se il punto singolare è un focus, nel sistema si verificano fluttuazioni smorzate nel numero di nodi nuovi e di distribuzione (vedi Fig. 3.12). E nel caso nodale, l'avvicinamento dei numeri ai valori stazionari avviene in modalità senza vibrazioni (vedi Fig. 3.13). I ritratti di fase del sistema per ciascuno dei due casi sono mostrati, rispettivamente, nei grafici (3.14) e (3.15).

Il modello stocastico descrive una situazione in cui è presente incertezza. In altre parole, il processo è caratterizzato da un certo grado di casualità. Lo stesso aggettivo "stocastico" deriva dalla parola greca per "indovinare". Poiché l'incertezza è una caratteristica chiave della vita quotidiana, un tale modello può descrivere qualsiasi cosa.

Tuttavia, ogni volta che lo applichiamo, produrrà un risultato diverso. Pertanto, i modelli deterministici vengono utilizzati più spesso. Sebbene non siano il più vicino possibile allo stato reale delle cose, danno sempre lo stesso risultato e facilitano la comprensione della situazione, semplificandola introducendo una serie di equazioni matematiche.

I segni principali

Un modello stocastico include sempre una o più variabili casuali. Cerca di riflettere la vita reale in tutte le sue manifestazioni. A differenza dello stocastico, non ha l'obiettivo di semplificare tutto e ridurlo a valori noti. Pertanto, l'incertezza è la sua caratteristica principale. I modelli stocastici sono adatti a descrivere qualsiasi cosa, ma hanno tutti le seguenti caratteristiche in comune:

Qualsiasi modello stocastico riflette tutti gli aspetti del problema per lo studio di cui è stato creato.
L'esito di ciascuno dei fenomeni è incerto. Pertanto, il modello include le probabilità. La correttezza dei risultati generali dipende dall'accuratezza del loro calcolo.
Queste probabilità possono essere utilizzate per prevedere o descrivere i processi stessi.

Modelli deterministici e stocastici

Per alcuni, la vita sembra essere una sequenza per altri - processi in cui una causa determina un effetto. Infatti è caratterizzato dall'incertezza, ma non sempre e non in tutto. Pertanto, a volte è difficile trovare una chiara distinzione tra modelli stocastici e deterministici. Le probabilità sono abbastanza soggettive.

Ad esempio, considera una situazione di lancio di una moneta. A prima vista, sembra esserci una probabilità del 50% di ottenere croce. Pertanto, è necessario utilizzare un modello deterministico. In realtà, però, si scopre che molto dipende dal gioco di prestigio dei giocatori e dal perfetto bilanciamento della moneta. Ciò significa che è necessario utilizzare un modello stocastico. Ci sono sempre parametri che non conosciamo. Nella vita reale, una causa determina sempre un effetto, ma c'è anche un certo grado di incertezza. La scelta tra l'utilizzo di modelli deterministici e stocastici dipende dal fatto che siamo disposti a rinunciare: semplicità di analisi o realismo.

Nella teoria del caos

Recentemente, il concetto di quale modello è chiamato stocastico è diventato ancora più sfocato. Ciò è dovuto allo sviluppo della cosiddetta teoria del caos. Descrive modelli deterministici che possono dare risultati diversi con un leggero cambiamento nei parametri originali. Questo è come un'introduzione al calcolo dell'incertezza. Molti scienziati hanno persino ipotizzato che questo sia già un modello stocastico.

Lothar Breuer ha spiegato tutto elegantemente con l'aiuto di immagini poetiche. Scriveva: “Un ruscello di montagna, un cuore pulsante, un'epidemia di vaiolo, una colonna di fumo che si alza sono tutti esempi di un fenomeno dinamico che a volte sembra caratterizzato dal caso. In realtà, tuttavia, tali processi sono sempre soggetti a un certo ordine, che scienziati e ingegneri stanno appena iniziando a capire. Questo è il cosiddetto caos deterministico". La nuova teoria sembra molto plausibile, motivo per cui molti scienziati moderni ne sono i sostenitori. Tuttavia, è ancora poco sviluppato ed è piuttosto difficile applicarlo nei calcoli statistici. Pertanto, vengono spesso utilizzati modelli stocastici o deterministici.

Costruzione

Lo stocastico inizia con la scelta dello spazio degli esiti elementari. Questo è ciò che le statistiche chiamano un elenco di possibili risultati del processo o dell'evento in esame. Quindi il ricercatore determina la probabilità di ciascuno dei risultati elementari. Questo di solito viene fatto in base a una tecnica specifica.

Tuttavia, le probabilità sono ancora un parametro abbastanza soggettivo. Quindi il ricercatore determina quali eventi sono più interessanti per risolvere il problema. Dopodiché, determina semplicemente la loro probabilità.

Esempio

Considera il processo di costruzione del modello stocastico più semplice. Diciamo che lanciamo i dadi. Se esce "sei" o "uno", la nostra vincita sarà di dieci dollari. Il processo di costruzione di un modello stocastico in questo caso sarà simile a questo:

Definiamo lo spazio degli esiti elementari. Il cubo ha sei facce, quindi "uno", "due", "tre", "quattro", "cinque" e "sei" possono cadere.
La probabilità di ciascuno dei risultati sarà 1/6, indipendentemente dal numero di dadi che lanceremo.
Ora dobbiamo definire i risultati che ci interessano. Questa è una goccia della faccia con il numero "sei" o "uno".
Infine, possiamo determinare la probabilità di un evento di interesse. È 1/3. Riassumiamo le probabilità di entrambi gli eventi elementari di nostro interesse: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Concetto e risultato

Le simulazioni stocastiche sono spesso utilizzate nel gioco d'azzardo. Ma è anche insostituibile nelle previsioni economiche, in quanto consente una comprensione più profonda della situazione rispetto a quelle deterministiche. I modelli stocastici in economia sono spesso usati quando si prendono decisioni di investimento. Consentono di formulare ipotesi sulla redditività degli investimenti in determinate attività o nei loro gruppi.

La simulazione rende più efficiente la pianificazione finanziaria. Con il suo aiuto, investitori e trader ottimizzano la loro allocazione degli asset. L'uso della modellazione stocastica ha sempre dei vantaggi nel lungo periodo. In alcuni settori, il fallimento o l'impossibilità di applicarlo può persino portare al fallimento dell'impresa. Ciò è dovuto al fatto che nella vita reale compaiono quotidianamente nuovi parametri importanti e se non possono avere conseguenze catastrofiche.