Московский государственный университет печати. Конспект урока "Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс" Колебательное движение. Свободные, вынужденные и затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе обычно имеют место силы трения (сопротивления), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Сила трения выражается формулой:

где r – коэффициент трения, а знак минус указывает, что на­правление силы всегда противоположно скорости движения.

Если силы трения отсутствуют, формула (2.4) дает диффе­ренциальное уравнение:

которое имеет, решение в виде:

где ω 0 = . Колебания, происходящие при отсутствии сил трения, называются собственными или свободными. Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы.

Допустим теперь, что в системе действуют две силы: F УПР и F ТР. Уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и обозначим: .

Тогда получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний, энергия которых уменьшается с течением времени:

Этому уравнению удовлетворяет функция: х = А 0 е - d t Cos (wt + j 0),

где Значит, сейчас уже частота колебания зависит от , и . Амплитуда колебания будет с течением време­ни изменяться по экспоненциальному закону . Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды колебания с течением времени, называется коэффициентом затухания. Произ­ведение коэффициента затухания на период колебания T, равное логарифму отношения двух соседних амплитуд:

есть безразмерная величина, и называется логарифмическим декре­ментом затухания. Колебания, происходящие в системе при нали­чии сил трения, называются затухающими. Частота этих колебаний зависит от свойств системы и интенсивности потерь (с их увеличением частота уменьшается). Для получения незату­хающих колебаний система должна подвергаться действию еще и внешней силы, непрерывно изменяющейся со временем по какому-нибудь закону. В частности, предположим, что внешняя сила явля­ется синусоидальной:

тогда уравнение движения тела будет иметь вид:

Разделим это уравнение на массу тела и к ранее принятым обозна­чениям добавим . В этом случае уравнение примет вид:

Уравнение характеризует уже вынужденные незатухающие ко­лебания под действием внешней периодической силы. Решение этого уравнения имеет вид:

x = A Cos (ωt-φ),

где А – амплитуда колебания, φ – фаза, равная: φ = аrctg .

Амплитуда вы­нужденных колебаний системы:

где – угловая частота собственных колебаний системы; – угловая частота вынуждающей силы.

При вынужденных колебаниях имеет место явление резонан­са, вызывающее резкое увеличение амплитуды вынужденных колеба­ний при совпадении собственной угловой частоты колебаний и уг­ловой частоты вынуждающей силы. Поскольку вынужденные колеба­ния имеют широкое применение в технике, то явление резонанса должно всегда учитываться, ибо оно может быть полезным в от­дельных процессах, а может быть и опасным явлением.

Важное место в машиностроении занимают вибрации (от лат. vibratio – колебание) – меха­нические колебания упругих тел различной формы. Это понятие обычно применяется по отношению к механическим колебаниям дета­лей машин, конструкций и сооружений, рассматриваемых в инженер­ном деле.

Раздел 5. Физика волновых процессов

Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой (например, превращение энергии колебаний в теплоту вследствие трения в механических системах). Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода колебаний – Т (на рисунке 7.6 А 0 – начальная амплитуда колебаний).

Рисунок 7.6 – Характеристики затухающих колебаний

Затухающие механические колебания пружинного маятника происходят под действием двух сил: силы упругости и силы сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно получить:

или

Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение или

где β коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид

(7.20)

Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является

Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колебаний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рисунок 7.6):

(7.22)

Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период характеризуется декрементом затухания, равным

(7.23)

или логарифмическим декрементом затухания:

(7.24)

Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

т.е. (7.25)

Частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний и может быть найдена из выражения

(7.26)

где ω 0 частота собственных колебаний системы.

Соответственно период затухающих колебаний равен:

Или (7.27)

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при период .

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы материальную точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Такая переменная сила называется вынуждающей F вын, а возникающие под ее действием незатухающие колебания – вынужденными .

Если вынуждающая сила изменяется в соответствием с выражением, то уравнение вынужденных колебаний примет вид

(7.28)

(7.29)

где ωциклическая частота вынуждающей силы.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний . Реше­ние его может быть записано в виде

Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на φотносительно колебаний силы.

Амплитуда вынужденного колебания:

(7.30)

Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы­ражения

(7.31)

График вынужденных колебаний приведен на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Вынужденные колебания

При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление, как резонанс. Резонанс это резкое возрастание амплитуды колебаний системы.

Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас­смотрим уравнение (7.30). Найдем условие, при котором амплитуда при­нимает максимальное значение.

Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про­изводная равна нулю, т.е.

Дискриминант равен

Следовательно

После преобразования получаем

Следовательно – резонансная частота.

В простейшем случае резонанс наступает, когда внешняя периоди­ческая сила F меняется с частотой ω , равной частоте собственных колеба­ний системы ω = ω 0 .

Механические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной .

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

Выделяют следующие типы волн:

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В любой упругой волне одновременно существуют два вида движения: колебание частиц среды и распространение возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение волны происходят в одном направлении, называется продольной , а волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называется поперечной .

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется синусоидальной (или гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ .

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где – скорость распространения волны.

Так как (где ν частота колебания), то

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется волновым фронтом . Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .

Свободные колебания с уменьшающейся амплитудой называют затухающими.

Энергия колебательного движения постепенно переходит в теплоту, излучение и т.д. Именно поэтому и уменьшается амплитуда: энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды.

В механической колебательной системе потери энергии чаще всего связаны с трением. Если оно вязкое , то при малых скоростях движения v сила трения , где r - коэффициент трения, зависящий от формы и размеров тела и вязкости среды.

Запишем уравнение движения точки, которое происходит под действием двух сил: F = -kх (возвращающая сила или квазиупругая сила), и силы трения ,

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f513 - собственная частота незатухающих колебаний), опред-е">дифференциальное уравнение затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f516.gif" border="0" align="absmiddle" alt=") имеет вид:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f518.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - частота затухающих колебаний , опред-е">начальными условиями , например, значениями смещения х и скорости dx/dt в момент времени t = 0.

опред-е">Амплитуда затухающих колебаний

пример">r , тем больше коэффициент затухания опред-е">Частота затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f524.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Период затухающих колебаний

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f526.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" период становится бесконечным Т = формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f528.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" период Т становится мнимым, а движение тела - апериодическим .

Если сопоставить значения амплитуд в два соседние моменты времени, разделенные одним периодом, т.е..gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то их отношение равно

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f532.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

носит название логарифмического декремента затухания формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f533.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" состоит в том, что с ее помощью можно определить полное число колебаний системы за время релаксации опред-е">т.е. за то время, за которое амплитуда уменьшается в е опред-е">2,7 раз

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f534.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" следует, что пример">N за время релаксации формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f538.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".

Добротность Q осциллятора характеризует потери энергии колебательной системы за период:

опред-е">вынуждающей силой , а возникающие под ее действием незатухающие колебания - вынужденными .

В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по закону синуса или косинуса, т.е

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f541.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Если ввести обозначения, которые использовались при рассмотрении затухающих колебаний, формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f545.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

выделение">неоднородным . Как известно из курса высшей математики, решение этого уравнения состоит из

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f547.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt="

с неизвестными заранее амплитудой А и сдвигом фазы формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f552.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

В отсутствии затухания (формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f554.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=", то амплитуда достигает максимального значения, равного опред-е">резонансной формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f559.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Резкое возрастание амплитуды колебаний при некоторой частоте вынуждающей силы называют резонансом ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="

При малых затуханиях (формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f563.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", т.е. если система настроена в такт со свободными колебаниями системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Если же это не так, то сила не способствует раскачиванию и амплитуда колебаний мала.

Значение резонансной амплитуды

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f562.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

выделение">добротность системы получает еще один физический смысл : она показывает, во сколько раз сила, действующая с резонансной частотой, вызывает большее смещение, чем постоянная сила, т.е. во сколько раз резонансное смещение больше статического.

Контрольные вопросы и задачи

1. Запишите дифференциальное уравнение механических затухающих колебаний. Каким физическим законом Вы воспользовались?

2. По какому закону изменяется амплитуда затухающего колебания?

3. Что такое время релаксации?

4. Какой физический смысл имеет логарифмический декремент затухания?

5. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

6. Какие колебания называются вынужденными?

7. Каков физический смысл добротности колебательной системы?

8. Чем обусловлена частота вынужденных колебаний?

9. В чем отличие резонанса в системе с большой и малой добротностью?

10. Какой режим вынужденных колебаний называется установившимся?

11. Запишите общее решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Из каких частей оно состоит?

12. В чем заключается явление резонанса? Приведите примеры использования этого явления в природе и технике?

Колебательное движение реальной механической системы всегда сопровождается трением, на преодоление которого расходуется часть энергии колебательной системы. Поэтому энергия колебания в процессе колебания уменьшается, переходя в теплоту. Так как энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды, то постепенно уменьшается и амплитуда колебаний (рис. 53; х - смещение, t - время). Когда вся энергия колебания перейдет в теплоту, колебание прекратится (затухнет). Такого рода колебания называются затухающими.

Для того чтобы система совершала незатухающие колебания, необходимо восполнять извне потери энергии колебания на трение. Для этого надо воздействовать на систему периодически изменяющейся силой

где амплитудное (максимальное) значение силы, круговая частота колебаний силы, время. Внешняя сила, обеспечивающая незатухающие колебания системы, называется вынуждающей силой, а колебания системы - вынужденными. Очевидно, что вынужденные колебания происходят с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Определим амплитуду вынужденных колебаний.

Для упрощения расчета пренебрежем силой трения, полагая, что на колеблющееся тело действуют только две силы: вынуждающая и возвращающая Тогда, согласно второму закону Ньютона,

где - масса и ускорение колеблющегося тела. Но, как было показано в § 27, Тогда

где смещение колеблющегося тела. Согласно формуле (9),

где - круговая частота собственных колебаний тела (т. е. колебаний, обусловленных только действием возвращающей силы). Поэтому

Из уравнения (22) следует, что амплитуда вынужденного колебания

зависит от соотношения круговых частот вынужденного и собственного колебаний: при будет В действительности благодаря трению амплитуда вынужденных колебаний

остается конечной. Она достигает максимального значения в том случае, когда частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний системы. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при называется резонансом.

Используя резонанс, можно посредством небольшой вынуждающей силы вызвать колебание с большой амплитудой. Подвесим, например, карманные или ручные часы на нити такой длины, чтобы частота собственных колебаний полученного физического маятника (рис. 54) совпала с частотой колебаний балансира часового механизма. В результате часы сами начнут колебаться, отклоняясь от положения равновесия на угол а 30°.

Явление резонанса имеет место при колебаниях любой природы (механических, звуковых, электрических и др.). Оно широко используется в акустике - для усиления звука, в радиотехнике - для усиления электрических колебаний и т. п.

В некоторых случаях резонанс играет вредную роль. Он может вызвать сильную вибрацию конструкций (зданий, опор, мостов и т. п.) при работе установленных на этих конструкциях механизмов (станков, моторов и т. п.). Поэтому при расчете сооружений необходимо обеспечивать значительное различие между частотами колебаний механизмов и собственных колебаний конструкций.

В технике распространен еще один вид незатухающих колебаний - так называемые автоколебания, отличающиеся от вынужденных тем, что у них потери энергии колебания восполняются за счет постоянного источника энергии, вводимого в действие на очень короткие промежутки времени (в сравнении с периодом колебаний). Причем этот источник «включается» в нужные моменты времени автоматически самой колебательной системой. Примером автоколебательной системы может служить часовой маятник. Здесь потенциальная энергия приподнятого груза (или деформированной пружины) вводится в действие посредством анкерного механизма. Другим примером может служить замкнутый колебательный контур с электронной лампой; с действием этой автоколебательной системы мы познакомимся позже (см. § 112).

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F * пропорциональна величине скорости:

(41.1)

Здесь r - постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила F * и скорость v имеют противоположные направления; следовательно, их проекции на ось x имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

(41.2)

Применив обозначения: (ω 0 ‑ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды при r = 0), перепишем уравнение (41.2) следующим образом:

(41.3)

При не слишком сильном затухании общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(41.4)

Здесь a 0 и α - произвольные постоянные, - циклическая частота затухающих колебаний. На рис. 41.1 дан график уравнения затухающих колебаний. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки x.

Рис. 41.1.

В соответствии с видом функции (41.4) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты ω с амплитудой, изменяющейся по закону a (t ) = a 0 e ‑ β ∙ t . Верхняя из пунктирных кривых на рис. 41.1 дает график функции a (t ), причем величина a 0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x 0 зависит, кроме a 0 , также от начальной фазы α: x 0 = a 0 ∙ cos α .

Скорость затухания колебаний определяется величиной β = r /2 m , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз. По определению e ‑ β ∙ τ = e ‑1 , откуда β ∙ τ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно .

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания: .

Для характеристики колебательной системы обычно используется логарифмический декремент затухания λ. β через λ, и T , можно закон убывания амплитуды со временем записать в виде:

(41.5)

За время τ , за которое амплитуда уменьшается в е раз, система успевает совершить N e = τ / T колебаний. Из условия (41.5) получается, что. Следовательно, логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется также величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N e , совершаемых системой за то время τ , за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

С ростом коэффициента затухания частота колебаний увеличивается. При β = ω 0 частота колебаний обращается в нуль, т. е. движение перестает быть периодическим. Следовательно, движение носит апериодический (непериодический) характер - выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.

Вынужденные колебания.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω 0 .

Если свободные колебания происходят на частоте ω 0 , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω 0 . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону:

x (t ) = x m cos (ω t + θ). 41.6

Амплитуда вынужденных колебаний x m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω 0 и ω и от амплитуды внешней силы.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω 0 , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды x m вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 41.2).

В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

У колебательных систем с не очень высокой добротностью резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.

Рис. 41.2. Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q 2 > Q 3 > Q 4 .

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы.