При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы M z относительно оси z совершается работа

Полная работа при повороте на угол j равна

При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:

Энергия

Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.

Импульс и момент импульса

Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:

Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r , определяющего положение частицы, и ее импульса p :

Модуль этого вектора равен:

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z , вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости w .

Таблица 6

Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для различных моделей объектов и движений

Идеальная	Физические величины
модель	Кинетическая энергия	Импульс	Момент импульса	Работа
Материальная точка или твердое тело, движущееся поступательно. m - масса, v - скорость.			,	. При
Твердое тело вращается с угловой скоростью w. J - момент инерции, v c - скорость движения центра масс.				. При
Твердое тело совершает сложное плоское движение. J ñ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, v c - скорость движения центра масс. w-угловая скорость.

Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как

Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.

Формулировки законов

Теорема о кинетической энергии

частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.

Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:

. (1)

Работа при вращательном движении. Момент силы

Рассмотрим работу, совершаемую при вращении материальной точки по окружности под действием проекции действующей силы на перемещение (тангенциальной составляющей силы). В соответствии с (3.1) и рис. 4.4, перейдя от параметров поступательного движения к параметрам вращательного движения (dS = R dcp)

Здесь введено понятие момента силы относительно оси вращения OOi как произведение силы F s на плечо силы R:

Как видно из соотношения (4.8), момент силы во вращательном движении является аналогом силы в поступательном движении , поскольку оба параметра при умножении на аналоги dcp и dS дают работу. Очевидно, момент силы тоже должен задаваться векторно, причем относительно точки О его определение дается через векторное произведение и имеет вид

Окончательно: работа при вращательном движении равна скалярному произведению момента силы на угловое перемещение :

Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами mi, m2, Шз..., находящиеся на расстоянии R b R 2 , R3 ... от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей

где У- момент инерции твердого тела, относительно данной оси OOj.

Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений видно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.12) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать (4.12) к виду

Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Приведем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.

Из (4.12) видно, что момент инерции материальной точки равен

где т - масса точки;

R - расстояние до оси вращения.

Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой - тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из-под знака суммы (4.12):

Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой - диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.13). Масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.15), но в ней появится коэффициент меньше единицы. Найдем этот коэффициент.

Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту h. Разобьем его на

полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5) показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: масса: а момент

инерции в соответствии с (4.15): Полный момент

инерции сплошного цилиндра получается интегрированием(суммированием) моментов инерции полых цилиндров:

. С учетом того, что масса сплошного цилиндра связана с

плотностью формулой т = 7iR 2 hp имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:

Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой стержень в соответствии с рис. 4.6

на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm=m dl/L, а момент инерции в соответствии с Пол

ный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:

Работа и мощность при вращении твердого тела.

Найдем выражение для работы при вращении тела. Пусть сила приложена в точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиус-вектором . Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Модуль момента силы равен:

тогда получим следующую формулу для вычисления работы:

Таким образом, работа при вращении твердого тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Моментом инерции мат.т. наз. физ. величина численно равная произведению массы мат.т. на квадрат расстояния этой точки до оси вращения.W ki =m i V 2 i /2 V i -Wr i Wi=miw 2 r 2 i /2 =w 2 /2*m i r i 2 I i =m i r 2 i момент инерции твердого тела равен сумме всех мат.т I=S i m i r 2 i моментом инерции твердого тела наз. физ.величина равная сумме произведений мат.т. на квадраты расстояний от этих точек до оси. W i -I i W 2 /2 W k =IW 2 /2

W k =S i W ki момент инерции при вращательном движении явл. аналогом массы при поступательном движении. I=mR 2 /2

21.Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Принцип эквивалентности. Уравнение движения в неинерциальных системах отсчёта.

Неинерциальная система отсчёта - произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система.

При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной.

Классическая механика постулирует следующие два принципа:

время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта;

пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта.

Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона.

Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид:

где - масса тела, - ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, - сумма всех внешних сил, действующих на тело, - переносное ускорение тела, - Кориолисово ускорение тела.

Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции:

Переносная сила инерции

Сила Кориолиса

Сила инерции - фиктивная сила, которую можно ввести в неинерциальной системе отсчёта так, чтобы законы механики в ней совпадали с законами инерциальных систем.

В математических вычислениях введения этой силы происходит путём преобразования уравнения

F 1 +F 2 +…F n = ma к виду

F 1 +F 2 +…F n –ma = 0 Где F i - реально действующая сила, а –ma - «сила инерции».

Среди сил инерции выделяют следующие:

простую силу инерции;

центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от центра во вращающихся системах отсчёта;

силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта;

С точки зрения общей теории относительности, гравитационные силы в любой точке - это силы инерции в данной точке искривлённого пространства Эйнштейна

Центробежная сила - сила инерции, которую вводят во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта (чтобы применять законы Ньютона, рассчитанные только на инерциальные СО) и которая направлена от оси вращения (отсюда и название).

Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции - эвристический принцип, использованный Альбертом Эйнштейном при выводе общей теории относительности. Один из вариантов его изложения: «Силы гравитационного взаимодействия пропорциональны гравитационной массе тела, силы инерции же пропорциональны инертной массе тела. Если инертная и гравитационная массы равны, то невозможно отличить, какая сила действует на данное тело - гравитационная или сила инерции.»

Формулировка Эйнштейна

Исторически, принцип относительности был сформулирован Эйнштейном так:

Все явления в гравитационном поле происходят точно так же как в соответствующем поле сил инерции, если совпадают напряжённости этих полей и одинаковы начальные условия для тел системы.

22.Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Классическая теорема сложения скоростей. Инвариантность законов Ньютона в инерциальных системах отсчёта.

Принцип относительности Галилея – это принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы.

Математически принцип относительности Галилея выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой - преобразований Галилея.
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта, одну из которых, S, условимся считать покоящейся; вторая система, S", движется по отношению к S с постоянной скоростью u так, как показано на рисунке. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах S и S" будут иметь вид:
x" = x - ut, у" = у, z" = z, t" = t (1)
(штрихованные величины относятся к системе S", нештрихованные - к S). Т. о., время в классической механике, как и расстояние между любыми фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчёта.
Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах:
v" = v - u, (2)
a" = a.
В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона:
F = ma, (3)
где m - масса точки, a F - равнодействующая всех приложенных к ней сил.
При этом силы (и массы) являются в классической механике инвариантами, т. е. величинами, не изменяющимися при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Поэтому при преобразованиях Галилея уравнение (3) не меняется.
Это и есть математическое выражение Галилеева принципа относительности.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЛИЛЕЯ.

В кинематике все системы отсчета равноправны между собой и движение можно описывать в любой из них. При исследовании движений иногда приходится переходить от одной системы отсчета (с координатной системой ОХУZ) к другой - (О`Х`У`Z`). Рассмотрим случай, когда вторая система отсчета движется относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью V=соnst.

Для облегчения математического описания предположим, что соответствующие оси координат параллельны друг другу, что скорость направлена вдоль оси Х, и что в начальный момент времени (t=0) начала координат обеих систем совпадали друг с другом. Используя справедливое в классической физике допущение об одинаковом течении времени в обеих системах, можно записать соотношения, связывающие координаты некоторой точки А(х,у,z) и А (х`,у`,z`) в обеих системах. Такой переход от одной системы отсчета к другой носит название преобразований Галилея):

ОХУZ О`Х`У`Z`

х = х` + V x t х` = х - V x t

x = v` x + V x v` x = v x - V x

a x = a` x a` x = a x

Ускорение в обеих системах одинаково (V=соnst). Глубокий смысл преобразований Галилея будет выяснен в динамике. Преобразование скоростей Галилея отражает имеющий место в классической физике принцип независимости перемещений.

Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т.к. он противоречит утверждению о постоянстве скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростью v и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительна Земли все равно c , а не v + c .

Рассмотрим две системы отсчета.

В системе K 0 тело движется со скоростью v 1 . Относительно же системы K оно движется со скоростью v 2 . Согласно закону сложения скоростей в СТО:

Если v << c и v 1 << c , то слагаемым можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей: v 2 = v 1 + v .

При v 1 = c скорость v 2 равна c , как этого требует второй постулат теории относительности:

При v 1 = c и при v = c скорость v 2 вновь равна скорости c .

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v 1 и v (не больше c ), результирующая скорость v 2 не превышает c . Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна.

Сложение скоростей

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движутся в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта.

Классическая механика

В классической механике абсолютная скорость точки равна векторной сумме её относительной и переносной скоростей:

Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы.

Здесь - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси (см. лекцию 2). - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, - плечо силы относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку ( - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо можно записать

(3.8)

Вектор всегда направлен вдоль оси вращения, а - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае получаем соответственно и момент импульса относительно оси сохраняется. При этом сам вектор L , определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L , относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

(3.11)

где - расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

(3.12)

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

где - момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила уравновешенная силами со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы и момент которых обеспечивает приращение (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы и направленные противоположно силам и Момент сил и уравновешен моментом сил и возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA" соответствует наибольшему, ось BB" - среднему, а ось CC" - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA" или вокруг оси CC", можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB" к успеху не приводят - тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

- твердое тело - углы Эйлера

См. также: