Солитоны — волны, хранящие информацию. Фундаментальный солитон и его использование Удивительные свойства и признаки солитонов

После тридцатилетнего поиска найдены нелинейные дифференциальные уравнения, обладающие трехмерными солитонными решениями. Ключевой стала идея «комплексификации» времени, которая может найти дальнейшие приложения в теоретической физике.

При изучении какой-либо физической системы вначале идет этап «первоначального накопления» экспериментальных данных и их осмысление. Затем эстафета передается теоретической физике. Задача физика-теоретика состоит в том, чтобы на основании накопленных данных вывести и решить математические уравнения для этой системы. И если первый шаг, как правило, не представляет особой проблемы, то второй — точное решение полученных уравнений — зачастую оказывается несравненно более трудной задачей.

Так уж получается, что эволюция во времени многих интересных физических систем описываются нелинейными дифференциальными уравнениями : такими уравнениями, для которых не работает принцип суперпозиции . Это сразу лишает теоретиков возможности использовать многие стандартные приемы (например, комбинировать решения, разлагать их в ряд), и в результате для каждого такого уравнения приходится изобретать абсолютно новый метод решения. Зато в тех редких случаях, когда такое интегрируемое уравнение и метод его решения находится, решается не только исходная задача, но и целый ряд смежных математических проблем. Именно поэтому физики-теоретики иногда, поступаясь «естественной логикой» науки, вначале ищут такие интегрируемые уравнения, а уже затем пытаются найти им применения в разных областях теорфизики.

Одним из самых замечательных свойств таких уравнений являются решения в виде солитонов — ограниченных в пространстве «кусочков поля», которые перемещаются с течением времени и сталкиваются друг с другом без искажений. Являясь ограниченными в пространстве и неделимыми «сгустками», солитоны могут дать простую и удобную математическую модель многих физических объектов. (Подробнее о солитонах см. популярную статью Н. А. Кудряшова Нелинейные волны и солитоны // СОЖ, 1997, № 2, с. 85-91 и книжку А. Т. Филиппова Многоликий солитон .)

К сожалению, разных видов солитонов известно очень мало (см. Портретную галерею солитонов), и все они не очень подходят для описания объектов в трехмерном пространстве.

Например, обычные солитоны (которые встречаются в уравнении Кортевега—де Фриза) локализованы всего лишь в одном измерении. Если такой солитон «запустить» в трехмерном мире, то он будет иметь вид летящей вперед бесконечной плоской мембраны. В природе, однако, такие бесконечные мембраны не наблюдаются, а значит, исходное уравнение для описания трехмерных объектов не годится.

Не так давно были найдены солитоноподобные решения (например, дромионы) более сложных уравнений, которые локализованы уже в двух измерениях. Но и они в трехмерном виде представляют собой бесконечно длинные цилиндры, то есть тоже не очень физичны. Настоящие же трехмерные солитоны найти до сих пор не удавалось по той простой причине, что неизвестны были уравнения, которые могли бы их произвести на свет.

На днях ситуация изменилась кардинальным образом. Кембриджскому математику А. Фокасу , автору недавней публикации A. S. Focas, Physical Review Letters 96, 190201 (19 May 2006) , удалось сделать существенный шаг вперед в этой области математической физики. Его короткая трехстраничная статья содержит сразу два открытия. Во-первых, он нашел новый способ выводить интегрируемые уравнения для многомерного пространства, а во-вторых, он доказал, что эти уравнения имеют многомерные солитоноподобные решения.

Оба этих достижения стали возможны благодаря смелому шагу, предпринятому автором. Он взял известные уже интегрируемые уравнения в двумерном пространстве и попробовал рассмотреть время и координаты как комплексные , а не вещественные числа. При этом автоматически получилось новое уравнение для четырехмерного пространства и двумерного времени . Следующим шагом он наложил нетривиальные условия на зависимость решений от координат и «времен», и уравнения стали описывать трехмерную ситуацию, зависящую от единственного времени.

Интересно, что такая «кощунственная» операция, как переход к двумерному времени и выделению в нем новой временно й оси, не сильно попортила свойства уравнения. Они по-прежнему остались интегрируемыми, и автору удалось доказать, что среди их решений имеются и столь желанные трехмерные солитоны. Теперь ученым остается записать эти солитоны в виде явных формул и изучить их свойства.

Автор выражает уверенность, что польза от разработанного им приема «комплексификации» времени вовсе не ограничивается теми уравнениями, которые он уже проанализировал. Он перечисляет целый ряд ситуаций в математической физике, в которых его подход может дать новые результаты, и призывает коллег попытаться применить его в самых разнообразных областях современной теоретической физики.

Одно из наиболее удивительных и красивых волновых явлений - образование уединенных волн, или солитонов, распространяющихся в виде импульсов неизменной формы и во многом подобных частицам. К солитонным явлениям относятся, например, волны цунами, нервные импульсы и др.
В новом издании (1-е изд. - 1985 г.) материал книги существенно переработан с учетом новейших достижений.
Для школьников старших классов, студентов, преподавателей.

Предисловие к первому изданию 5
Предисловие ко второму изданию 6
Введение 7

Часть I. ИСТОРИЯ СОЛИТОНА 16
Глава 1. 150 лет назад 17
Начало теории волн (22). Братья Веберы изучают волны (24). О пользе теории волн (25). О главных событиях эпохи (28). Наука и общество (34).
Глава 2. Большая уединенная волна Джона Скотта Рассела 37
До роковой встречи (38). Встреча с уединенной волной (40). Этого не может быть! (42). А все-таки она существует! (44). Реабилитация уединенной волны (46). Изоляция уединенной волны (49). Волна или частица? (50).
Глава 3. Родственники солитона 54
Герман Гельмгольц и нервный импульс (55). Дальнейшая судьба нервного импульса (58). Герман Гельмгольц и вихри (60). «Вихревые атомы» Кельвина (68). Лорд Росс и вихри в космосе (69). О линейности и нелинейности (71).

Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 76 Глава 4. Портрет маятника 77
Уравнение маятника (77). Малые колебания маятника (79). Маятник Галилея (80). О подобии н размерностях (82). Сохранение энергии (86). Язык фазовых диаграмм (90). Фазовый портрет (97). Фазовый портрет маятника (99). «Солитонное» решение уравнения маятника (103). Движения маятника и «ручной» солитон (104). Заключительные замечания (107).
Волны в цепочке связанных частиц (114). Отступление в историю. Семья Бернулли и волны (123). Волны Д’Аламбера и споры вокруг них (125). О дискретном и непрерывном (129). Как измерили скорость звука (132). Дисперсия волн в цепочке атомов (136). Как «услышать» разложение Фурье? (138). Несколько слов о дисперсии света (140). Дисперсия волн на воде (142). С какой скоростью бежит стая волн (146). Сколько энергии в волне (150).

Часть III. НАСТОЯЩЕЕ И БУДУЩЕЕ СОЛ ИТОНОВ 155
Что такое теоретическая физика (155). Идеи Я. И. Френкеля (158). Атомная модель движущейся дислокации по Френкелю и Конторовой (160). Взаимодействие дислокаций (164). «Живой» солитонный атом (167). Диалог читателя с автором (168). Дислокации и маятники (173). Во что превратились звуковые волны (178). Как увидеть дислокации? (182). Настольные солитоны (185). Другие близкие родственники дислокаций по математической линии (186). Магнитные солитоны (191).
Может ли человек «дружить» с ЭВМ (198). Многоликий хаос (202). ЭВМ удивляет Энрико Ферми (209) Возвращение солитона Рассела (215). Океанические солитоны: цунами, «девятый вал» (227). Три солитона (232). Солитонный телеграф (236). Нервный импульс - «элементарная частица» мысли (241). Вездесущие вихри (246). Эффект Джозефсона (255). Солитоны в длинных джозефсоновских переходах (260). Элементарные частицы и солитоны (263). Единые теории и струны (267).
Глава 6. Солитоны Френкеля 155
Глава 7. Второе рождение солитона 195
Приложения
Краткий именной указатель

Многим, вероятно, встречалось слово «со-литон», созвучное таким словам, как электрон или протон. Научной идее, скрывающейся за этим легко запоминающимся словом, ее истории и творцам и посвящена эта книга.
Рассчитана она на самый широкий круг читателей, усвоивших школьный курс физики и математики и интересующихся наукой, ее историей и приложениями. Рассказано в ней о солитонах далеко не все. Зато большую часть того, что осталось после всех ограничений, я старался изложить достаточно подробно. При этом некоторые хорошо известные вещи (например, о колебаниях и волнах) пришлось представить несколько иначе, чем это сделано в других научно-популярных и вполне научных книгах и статьях, которыми я, конечно, широко пользовался. Перечислить их авторов и упомянуть всех ученых, беседы с которыми повлияли на содержание этой книги, совершенно невозможно, и я приношу им свои извинения вместе с глубокой бл а года р ностью.
Особо я хотел бы поблагодарить С. П. Новикова за конструктивную критику и поддержку, Л. Г. Асламазова и Я. А. Смородинского за ценные советы, а также Ю. С. Гальперн и С. Р. Филоновича, которые внимательно прочли рукопись и сделали много замечаний, способствовавших ее улучшению.
Эта книга была написана в 1984 г. и при подготовке нового издания автору, естественно, хотелось рассказать о новых интересных идеях, родившихся в последнее время. Главные добавления относятся к оптическим и джозефсоновским солитонам, наблюдению и применению которых были недавно посвящены очень интересные работы. Несколько расширен раздел, посвященный хаосу, и по совету покойного Якова Борисовича Зельдовича более подробно рассказано об ударных волнах и детонации. В конце книги добавлен очерк о современных единых теориях частиц и их взаимодействий- В нем также сделана попытка дать некоторое представление о релятивистских струнах - новом и довольно загадочном физическом объекте, с изучением которого связываются надежды на создание единой теории всех известных нам взаимодействий. Добавлено небольшое математическое приложение, а также краткий именной указатель.
В книгу также внесено немало более мелких изменений - что-то выброшено, а что-то добавлено. Вряд ли стоит описывать это подробно. Автор пытался было сильно расширить все, что относится к компьютерам, но эту идею пришлось оставить, этойтеме лучше было бы посвятить отдельную книгу. Надеюсь, что предприимчивый читатель, вооруженный каким-нибудь компьютером, сможет на материале этой книги придумать и осуществить свои собственные компьютерные эксперименты.
В заключение мне приятно выразить благодарность всем читателям первого издания, сообщившим свои замечания и предложения по содержанию и форме книги. В меру своих возможностей я постарался их учесть.
Нигде единство природы и универсальность ее законов не проявляются так ярко, как в колебательных и волновых явлениях. Каждый школьник без труда ответит на вопрос: «Что общего между качелями, часами, сердцем, электрическим звонком, люстрой, телевизором, саксофоном и океанским лайнером?» - и легко продолжит этот список. Общее, конечно, то, что во всех этих системах существуют или могут возбуждаться колебания.
Некоторые из них мы видим невооруженным глазом, другие наблюдаем с помощью приборов. Одни колебания очень простые, как, например, колебания качелей, другие намного сложнее - достаточно посмотреть на электрокардиограммы или энцефалограммы, но мы всегда легко отличим колебательный процесс по характерной повторяемости, периодичности.
Мы знаем, что колебание - это периодическое движение или изменение состояния, причем неважно, что движется или изменяет состояние. Наука о колебаниях изучает то общее, что есть в колебаниях самой разной природы.
Точно так же можно сравнивать и волны совершенно разной природы - рябь на поверхности лужи, радиоволны, «зеленую волну» светофоров на автомобильной трассе - и многие, многие другие. Наука о волнах изучает волны сами по себе, отвлекаясь от их физической природы. Волна рассматривается как процесс передачи возбуждения (в частности, колебательного движения) от одной точки среды к другой. При этом природа среды и конкретный характер ее возбуждений несущественны. Поэтому естественно, что колебательные и звуковые волны и связи между ними изучает сегодня единая наука - теория
колебаний и волн. Общий характер этих связей хорошо известен. Часы «тикают», звонок звенит, качели качаются и скрипят, излучая звуковые волны; по кровеносным сосудам распространяется волна, которую мы наблюдаем, измеряя пульс; электромагнитные колебания, возбужденные в колебательном контуре, усиливаются и уносятся в пространство в виде радиоволн; «колебания» электронов в атомах рождают свет и т. д.
При распространении простой периодической волны малой амплитуды частицы среды совершают периодические движения. При небольшом увеличении амплитуды волны амплитуда этих движений также пропорционально увеличивается. Если, однако, амплитуда волны становится достаточно большой, то могут возникнуть новые явления. Например, волны на воде при большой высоте становятся крутыми, на них образуются буруны, и они в конце концов опрокидываются. При этом характер движения частиц волны полностью меняется. Частицы воды в гребне волны начинают двигаться совершенно беспорядочно, т. е. регулярное, колебательное движение переходит в нерегулярное, хаотическое. Это - самая крайняя степень проявления нелинейности волн на воде. Более слабое проявление нелинейности - зависимость формы волны от ее амплитуды.
Чтобы объяснить, что такое нелинейность, нужно сначала объяснить, что такое линейность. Если волны имеют очень малую высоту (амплитуду), то при увеличении их амплитуды, скажем, в два раза они остаются точно такими же, их форма и скорость распространения не изменяются. Если одна такая волна набежит на другую, то возникающее в результате более сложное движение можно описать, просто складывая высоты обеих волн в каждой точке. На этом простом свойстве линейных волн основано хорошо известное объяснение явления интерференции волн.
Волны с достаточно малой амплитудой всегда линейны. Однако с увеличением амплитуды их форма и скорость начинают зависеть от амплитуды, и их уже нельзя просто складывать, волны становятся нелинейными. При большой амплитуде нелинейность порождает буруны и приводит к опрокидыванию волн.
Форма волн может искажаться не только из-за нелинейности. Хорошо известно, что волны разной длины распространяются, вообще говоря, с различной скоростью. Это явление называется дисперсией. Наблюдая волны, разбегающиеся кругами от брошенного в воду камня, легко увидеть, что длинные волны на воде бегут быстрее коротких. Если на поверхности воды в длинной и узкой канавке образовалось небольшое возвышение (его легко сделать с помощью перегородок, которые можно быстро убрать), то оно, благодаря дисперсии, быстро распадется на отдельные волны разной длины, рассеется и исчезнет.
Замечательно, что некоторые из таких водяных холмиков не исчезают, а живут достаточно долго, сохраняя свою форму. Увидеть рождение таких необычных «уединенных» волн вовсе не просто, но тем не менее 150 лет назад они были обнаружены и изучены в опытах, идея которых была только что описана. Природа этого удивительного явления долгое время оставалась загадочной. Казалось, что оно противоречит хорошо установленным наукой законам образования и распространения волн. Лишь спустя многие десятилетия после публикации сообщения об опытах с уединенными волнами их загадка была частично решена. Оказалось, что они могут образовываться, когда «уравновешиваются» эффекты нелинейности, делающие холмик более крутым и стремящиеся опрокинуть его, и эффекты дисперсии, делающие его более пологим и стремящиеся размыть его. Между Сциллой нелинейности и Харибдой дисперсии и рождаются уединенные волны, совсем недавно получившие название солитонов.
Уже в наше время были открыты и наиболее удивительные свойства солитонов, благодаря которым они стали предметом увлекательных научных поисков. О них будет подробно рассказано в этой книге. Одно из замечательных свойств уединенной волны - это то, что она похожа на частицу. Две уединенные волны могут сталкиваться и разлетаться подобно бильярдным шарам, и в некоторых случаях можно представить себе солитон просто как частицу, движение которой подчиняется законам Ньютона. Самое же замечательное в солитоне - это его многоликость. За последние 50 лет были открыты и изучены многие уединенные волны, подобные солитонам на поверхности волн, но существующие совсем в иных условиях.
Их общая природа выяснилась относительно недавно, в последние 20 - 25 лет.
Сейчас изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, сверхпроводниках, в живых организмах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках. По-видимому, солитоны играли важную роль в процессе эволюции Вселенной. Многие физики сейчас увлечены идеей, что элементарные частицы (например, протон) тоже можно рассматривать как солитоны. Современные теории элементарных частиц предсказывают различные, пока не наблюдавшиеся солитоны, например солитоны, несущие магнитный заряд!
Уже начинается применение солитонов для хранения и передачи информации. Развитие этих идей в будущем может привести к революционным изменениям, например, в технике связи. В общем, если вы еще не слышали о солитонах, то очень скоро услышите. Эта книга - одна из первых попыток доступно рассказать о солитонах. Разумеется, рассказать о всех известных сегодня солитонах невозможно, не стоит и пытаться. Да в этом и нет необходимости.
Действительно, чтобы понять, что такое колебания, вовсе не надо знакомиться со всем многообразием колебательных явлений, встречающихся в природе и. технике. Достаточно понять основные идеи науки о колебаниях на простейших примерах. Например, все малые колебания похожи друг на друга, и нам достаточно понять, как колеблется грузик на пружинке или маятник в настенных часах. Простота малых колебаний связана с их линейностью - сила, возвращающая грузик или маятник к положению равновесия, пропорциональна отклонению от этого положения. Важное следствие линейности - независимость частоты колебаний от их амплитуды (размаха).
Если условие линейности нарушено, то колебания гораздо более разнообразны. Тем не менее можно выделить некоторые типы нелинейных колебаний, изучив которые, можно понять работу самых разных систем - часов, сердца, саксофона, генератора электромагнитных колебаний...
Самый важный пример нелинейных колебаний дают нам движения все того же маятника, если не ограничиваться малыми амплитудами и устроить маятник так, чтобы он мог не только качаться, но и вращаться. Замечательно, что, хорошо разобравшись с маятником, можно понять и устройство солитона! Именно на этом пути мы с вами, читатель, и попробуем понять, что такое солитон.
Хотя это и самая простая дорога в страну, где живут солитоны, на ней нас подстерегают многие трудности, и тот, кто хочет по-настоящему понять солитон, должен запастись терпением. Сначала надо изучить линейные колебания маятника, затем уяснить связь между этими колебаниями и линейными волнами, в особенности понять природу дисперсии линейных волн. Это не так уж сложно. Связь между нелинейными колебаниями и нелинейными волнами гораздо сложнее и тоньше. Но все-таки мы и ее попробуем описать без сложной математики. Достаточно полно нам удается представить лишь один тип солитонов, с остальными же придется разбираться по аналогии.
Пусть читатель воспринимает эту книгу как путешествие в незнакомые края, в котором он подробно познакомится с одним каким-нибудь городом, а по остальным местам прогуляется, присматриваясь ко всему новому и стараясь связать его с тем, что уже удалось понять. С одним городом все же надо познакомиться достаточно хорошо, иначе есть риск упустить самое интересное из-за незнания языка, нравов и обычаев чужих краев.
Итак, в Дорогу, читатель! Пусть это «собранье пестрых глав» будет путеводителем по еще более пестрой и разноликой стране, где живут колебания, волны и солитоны. Чтобы облегчить пользование этим путеводителем, сначала надо сказать несколько слов о том, что в нем содержится, чего в нем нет.
Отправляясь в незнакомую страну, естественно сначала познакомиться с ее географией и историей. В нашем случае это почти одно и то же, так как изучение данной страны по сути дела только начинается, и нам неизвестны даже ее точные границы.
В первой части книги излагается история уединенной волны вместе с основными представлениями о ней. Затем рассказано о вещах, на первый взгляд довольно непохожих на уединенную волну на поверхности воды, - о вихрях и нервном импульсе. Их исследование тоже началось в прошлом веке, но родство с солитонами было установлено совсем недавно.
Читатель сможет по-настоящему понять эту связь, если у него хватит терпения добраться до последней главы. В счет компенсации затраченных усилий он сможет увидеть глубокое внутреннее родство столь несходных явлений, как цунами, лесные пожары, антициклоны, солнечные пятна, упрочнение металлов при ковке, намагничивание железа и т. д.
Но сначала нам придется на некоторое время погрузиться в прошлое, в первую половину XIX в., когда возникли идеи, которые в полной мере были освоены лишь в наше время. В этом лрошлом нас в первую очередь будет интересовать история учения о колебаниях, волнах и то, как на этом фоне возникли, развивались и воспринимались идеи, составившие впоследствии фундамент науки о солитонах. Нас будут интересовать судьбы именно идей, а не судьбы их создателей. Как сказал Альберт Эйнштейн, история физики - это драма, драма идей. В этой драме «...поучительно следить за изменчивыми судьбами научных теорий. Они более интересны, чем изменчивые судьбы людей, ибо каждая из них включает что-то бессмертное, хотя бы частицу вечной истины»*).
*) Эти слова принадлежат польскому физику Мариану Смолуховскому, одному из создателей теории броуновского движения. За развитием некоторых основных физических идей (таких, как волна, частица, поле, относительность) читатель может проследить по замечательной популярной книге А. Эйнштейна и T. Инфельда «Эволюция физики» (М.: ГТТИ, 1956).
Тем не менее было бы неправильно не упомянуть о создателях этих идей, и в этой книге уделено достаточно много внимания людям, впервые высказавшим те или иные ценные мысли, независимо от того, стали они знаменитыми учеными или нет. Автор особо старался извлечь из забвения имена людей, недостаточно оцененных своими современниками и потомками, а также напомнить о некоторых малоизвестных работах достаточно знаменитых ученых. (Здесь для примера рассказано о жизни нескольких ученых, мало известных широкому кругу читателей и высказавших идеи, в той или иной мере имеющие отношение к со-литону; о других приведены лишь краткие данные.)
Эта книга - не учебник, тем более не учебник по истории науки. Возможно, не все приводимые в ней исторические сведения изложены абсолютно точно и объективно. История теории колебаний и волн, в особенности нелинейных, изучена недостаточно. История же солитонов пока вообще не написана. Может быть, кусочки мозаики этой истории, собранные автором в разных местах, пригодятся кому-нибудь для более серьезного исследования. Мы же во второй части книги в основном сосредоточимся на физике и математике нелинейных колебаний и волн в том виде и объеме, в котором это необходимо для достаточно глубокого знакомства с солитоном.
Во второй части сравнительно много математики. Предполагается, что читатель достаточно хорошо понимает, что такое производная и как с помощью производной выражаются скорость и ускорение. Необходимо также вспомнить некоторые формулы тригонометрии.
Совсем без математики обойтись нельзя, но на самом деле нам понадобится немного больше того, чем владел Ньютон. Двести лет назад французский философ, педагог и один из реформаторов школьного преподавания Жан Антуан Кондорсе сказал: «В настоящее время молодой человек по окончании школы знает из математики более того, что Ньютон приобрел путем глубокого изучения или открыл своим гением; он умеет владеть орудиями вычисления с легкостью, тогда недоступной». Мы добавим к тому, что Кондорсе предполагал известным школьникам, немногое из достижений Эйлера, семьи Бернулли, Д’Аламбера, Лагранжа и Коши. Для понимания современных физических представлений о солитоне этого вполне достаточно. О современной математической теории солитонов не рассказывается - она весьма сложна.
Мы все же напомним в этой книге обо всем, что нужно из математики, и, кроме того, читатель, которому не хочется или некогда разбираться в формулах, может просто бегло их просмотреть, следя лишь за физическими идеями. Вещи, более трудные или уводящие читателя в сторону от основной дороги, выделены мелким шрифтом.
Вторая часть в какой-то мере дает представление об учении о колебаниях и волнах, но о многих важных и интересных идеях в ней не говорится. Наоборот, то, что нужно для изучения солитонов, рассказано подробно. Читатель, который хочет познакомиться с общей теорией колебаний и волн, должен заглянуть в другие книги. Солитоны связаны со столь разными
науками, что автору пришлось во многих случаях рекомендовать другие книги для более подробного знакомства с некоторыми явлениями и идеями, о которых здесь сказано слишком кратко. В особенности стоит заглянуть в другие выпуски Библиотечки «Квант», которые часто цитируются.
В третьей части подробно и последовательно рассказано об одном типе солитонов, который вошел в науку 50 лет назад независимо от уединенной волны на воме и связан с дислокациями в кристаллах. В последней главе показано, как в конце концов судьбы всех солитонов скрестились и родилось общее представление о солитонах и солитоноподобных объектах. Особую роль в рождении этих общих идей сыграли ЭВМ. Вычисления на ЭВМ, которые привели ко второму рождению солитона, были первым примером численного эксперимента, когда ЭВМ использовались не просто для вычислений, а для обнаружения новых, неизвестных науке явлений. У численных экспериментов на ЭВМ, несомненно, большое будущее, и о них рассказано достаточно подробно.
После этого мы переходим к рассказу о некоторых современных представлениях о солитонах. Здесь изложение постепенно становится все более кратким, и по следние параграфы гл. 7 дают лишь общее представление о том, в каких направлениях развивается наука о солитонах. Задача этой совсем короткой экскурсии - дать понятие о науке сегодняшнего дня и немного заглянуть в будущее.
Если читатель сумеет уловить в представленной ему пестрой картине внутреннюю логику и единство, то основная цель, которую ставил перед собой автор, будет достигнута. Конкретная задача этой книги - рассказать о солитоне и его истории. Судьба этой научной идеи во многом кажется необычной, но при более глубоком размышлении выясняется, что многие научные идеи, которые сегодня составляют наше общее богатство, рождались, развивались и воспринимались с неменьшими трудностями.
Отсюда возникла более широкая задача этой книги - на примере солитона попытаться показать, как устроена наука вообще, как она в итоге после многих недоразумений, заблуждений и ошибок добирается до истины. Главная цель науки - добывать истинное и полное знание о мире, и она может принести пользу людям лишь в той мере, в какой приближается к этой цели. Самое трудное здесь - полнота. Истинность научной теории мы в конце концов устанавливаем с помощью экспериментов. Однако никто не может подсказать нам, как придумать новую научную идею, новое понятие, с помощью которого в сферу стройного научного знания входят целые миры явлений, прежде разобщенных, а то и вовсе ускользавших от нашего внимания. Можно себе представить мир без солитонов, но это уже будет другой, более бедный мир. Идея солитона, как и другие большие научные идеи, ценна не только тем, что она приносит пользу. Она еще больше обогащает наше восприятие мира, раскрывая его внутреннюю, ускользающую от поверхностного взгляда красоту.
Автору особенно хотелось приоткрыть читателю эту сторону работы ученого, роднящую ее с творчеством поэта или композитора, открывающих нам стройность и красоту мира в сферах, более доступных нашим чувствам. Работа ученого требует не только знаний, но и воображения, наблюдательности, смелости и самоотверженности. Может быть, эта книга поможет кому-то решиться пойти вслед за бескорыстными рыцарями науки, об идеях которых в ней рассказано, или хотя бы задуматься и попытаться понять, что заставляло неустанно работать их мысль, никогда ие удовлетворенную достигнутым. Автор хотел бы надеяться на это, но, к сожалению, «нам не дано предугадать, как слово наше отзовется...» Что получилось из намерения автора - судить читателю.

ИСТОРИЯ СОЛИТОНА

Наука! ты - дитя Седых Времен!
Меняя все вниманьем глаз прозрачных.
Зачем тревожишь ты поэта сон...
Эдгар По

Первая официально зарегистрированная встреча человека с солитоном произошла 150 лет назад, в августе 1834 г., вблизи Эдинбурга. Встреча эта была, на первый взгляд, случайной. Человек не готовился к ней специально, и от него требовались особые качества, чтобы он смог увидеть необычное в явлении, с которым сталкивались и другие, но не замечали в нем ничего удивительного. Джон Скотт Рассел (1808 - 1882) был сполна наделен именно такими качествами. Он не только оставил нам научно точное и яркое, не лишенное поэтичности описание своей встречи с солитоном *), но и посвятил многие годы жизни исследованию этого поразившего его воображение явления.
*) Он назвал его волной трансляции (переноса) или большой уединенной волной (great solitary wave). От слова solitary и был позже произведен термин «солитон».
Современники Рассела не разделяли его энтузиазма, и уединенная волна не стала популярной. С 1845 по 1965 гг. было опубликовано не более двух десятков научных работ, непосредственно связанных с со-литонами. За это время, правда, были открыты и частично изучены близкие родственники солитона, однако универсальность солитонных явлений не была понята, а об открытии Рассела почти не вспоминали.
В последние двадцать лет началась новая жизнь солитона, который оказался поистине многоликим и вездесущим. Ежегодно публикуются тысячи научных работ о солитонах в физике, математике, гидромеханике, астрофизике, метеорологии, океанографии, биологии. Собираются научные конференции, специально посвященные солитонам, о них пишутся книги, все большее число ученых включается в увлекательную охоту за солитонами. Короче, уединенная волна вышла из уединения в большую жизнь.
Как и почему произошел этот удивительный поворот в судьбе солитона, который не мог предвидеть даже влюбленный в солитон Рассел, читатель узнает, если у него хватит терпения дочитать эту книгу до конца. А пока попытаемся мысленно перенестись в 1834 г., чтобы представить себе научную атмосферу той эпохи. Это поможет нам лучше понять отношение современников Рассела к его идеям и дальнейшую судьбу солитона. Наша экскурсия в прошлое будет, по необходимости, очень беглой, мы познакомимся, главным образом, с теми событиями и идеями, которые прямо или косвенно оказались связанными с солитоном.

Глава 1
150 ЛЕТ НАЗАД

Век девятнадцатый, железный,
Вонстииу жестокий век...
А. Блок

Бедный век наш - сколько на него нападок, каким чудовищем считают его! И все за железные дороги, за пароходы - эти великие победы его, уже не над матернею только, но над пространством и временем.
В. Г. Белинский

Итак, первая половина прошлого века, время не только наполеоновских войн, социальных сдвигов и революций, но и научных открытий, значение которых раскрывалось постепенно, спустя десятилетия. Тогда об этих открытиях знали немногие, и лишь единицы могли предвидеть их великую роль в будущем человечества. Мы теперь знаем о судьбе этих открытий и не сумеем в полной мере оценить трудности их восприятия современниками. Но давайте все же попробуем напрячь воображение и память и попытаемся пробиться через пласты времени.
1834 год... Еще нет телефона, радио, телевидения, автомобилей, самолетов, ракет, спутников, ЭВМ, ядерной энергетики и многого другого. Всего пять лет назад построена первая железная дорога, и только что начали строить пароходы. Основной вид энергии, используемой людьми, - энергия нагретого пара.
Однако уже зреют идеи, которые в конце концов приведут к созданию технических чудес XX в. На все это уйдет еще почти сто лет. Между тем наука пока сосредоточена в университетах. Еще не пришло время узкой специализации, и физика еще не выделилась в отдельную науку. В университетах читают курсы «натурфилософии» (т. е. естествознания), первый физический институт будет создан только в 1850 г. В то далекое время фундаментальные открытия в физике можно сделать совсем простыми средствами, достаточно иметь гениальное воображение, наблюдательность и золотые руки.
Одно из удивительнейших открытий прошлого века было сделано с помощью проволочки, через которую пропускался электрический ток, и простого компаса. Нельзя сказать, что это открытие было совершенно случайным. Старший современник Рассела - Ханс Кристиан Эрстед (1777 - 1851) был буквально одержим идеей о связи между различными явлениями природы, в том числе между теплотой, звуком, электричеством, магнетизмом *). В 1820 г. во время лекции, посвященной поискам связей магнетизма с «гальванизмом» и электричеством, Эрстед заметил, что при пропускании тока через провод, параллельный стрелке компаса, стрелка отклоняется. Это наблюдение вызвало огромный интерес в образованном обществе, а в науке породило лавину открытий, начатую Андре Мари Ампером (1775 - 1836).
*) Тесную связь между электрическими и магнитными явлениями первым подметил еще в конце XVIII в. петербургский академик Франц Эпинус.
В знаменитой серии работ 1820 - 1825 гг. Ампер заложил основы единой теории электричества и магнетизма и назвал ее электродинамикой. Затем последовали великие открытия гениального самоучки Майкла Фарадея (1791 - 1867), сделанные им в основном в 30 - 40-х годах, - от наблюдения электромагнитной индукции в 1831 г. до формирования к 1852 г. понятия электромагнитного поля. Свои поражавшие воображение современников опыты Фарадей тоже ставил, используя самые простые средства.
В 1853 г. Герман Гельмгольц, о котором будет идти речь далее, напишет: «Мне удалось познакомиться с Фарадеем, действительно первым физиком Англии и Европы... Он прост, любезен и непритязателен, как ребенок; такого располагающего к себе человека я еще не встречал... Он был всегда предупредителен, показал мне все, что стоило посмотреть. Но осматривать пришлось немного, так как ему для его великих открытий служат старые кусочки дерева, проволоки и железа».
В это время электрон еще неизвестен. Хотя подозрения о существовании элементарного электрического заряда появились у Фарадея уже в 1834 г. в связи с открытием законов электролиза, научно установленным фактом его существование стало лишь в конце столетия, а сам термин «электрон» будет введен только в 1891 г.
Полная математическая теория электромагнетизма еще не создана. Ее творцу Джеймсу Кларку Максвеллу в 1834 г. было всего три года от роду, и он подрастает в том же самом городе Эдинбурге, где читает лекции по натурфилософии герой нашего рассказа. В это время физика, которая еще не разделилась на теоретическую и экспериментальную, только начинает математизироваться. Так, Фарадей в своих работах не применял даже элементарной алгебры. Хотя Максвелл и скажет позже, что он придерживается «не только идей, но и математических методов Фарадея», это утверждение можно понять лишь в том смысле, что идеи Фарадея Максвелл сумел перевести на язык современной ему математики. В «Трактате об электричестве и магнетизме» он писал:
«Может быть, для науки было счастливым обстоятельством то, что Фарадей не был собственно математиком, хотя он был в совершенстве знаком с понятиями пространства, времени и силы. Поэтому у него не было соблазна углубляться в интересные, но чисто математические исследования, которых потребовали бы его открытия, если бы они были представлены в математической форме... Таким образом, он имел возможность идти своим путем и согласовывать свои идеи с полученными фактами, пользуясь естественным, не техническим языком... Приступив к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был также математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашел, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков».
Если вы спросите меня... назовут ли нынешний век железным веком или веком пара и электричества, я отвечу, не задумываясь, что наш век будет называться веком механического мировоззрения...
В то же время механика систем точек и твердых тел, как и механика движений жидкостей (гидродинамика), были уже существенно математизированы, т. е. они в значительной степени стали математическими науками. Задачи механики систем точек были полностью сведены к теории обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения Ньютона - 1687 г., более общие уравнения Лагранжа - 1788 г.), а задачи гидромеханики - к теории так называемых дифференциальных уравнений с частными производными (уравнения Эйлера - 1755 г., уравнения Навье - 1823 г.). Это не значит, что все задачи были решены. Наоборот, в этих науках были впоследствии сделаны глубокие и важные открытия, поток которых не иссякает и в наши дни. Просто механика и гидромеханика достигли того уровня зрелости, когда рх основные физические принципы были отчетливо сформулированы и переведены на язык математики.
Естественно, что эти глубоко разработанные науки служили основой для построения теорий новых физических явлений. Понять явление для ученого прошлого века значило объяснить его иа языке законов механики. Образцом последовательного построения научной теории считалась небесная механика. Итоги ее развития были подведены Пьером Симоном Лапласом (1749 - 1827) в монументальном пятитомном «Трактате о небесной механике», вышедшем в свет в первой четверти века. Эта работа, в которой были собраны и обобщены достижения гигантов XVIII в. - Бернулли, Эйлера, Д’Аламбера, Лагранжа и самого Лапласа, оказала глубокое влияние на формирование «механического миропонимания» в XIX в.
Заметим, что в том же 1834 г. в стройную картину классической механики Ньютона и Лагранжа был добавлен завершающий мазок - знаменитый ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон (1805 - 1865) придал уравнениям механики так называемый канонический вид (согласно словарю С. И. Ожегова «канонический» означает «принятый за образец, твердо установленный, соответствующий канону») и открыл аналогию между оптикой и механикой. Каноническим уравнениям Гамильтона суждено было сыграть выдающуюся роль в конце века при создании статистической механики, а оптико-механическая аналогия, установившая связь между распространением волн и движением частиц, была использована в 20-е годы нашего века творцами квантовой теории. Идеи Гамильтона, который первым глубоко проанализировал понятие волн и частиц и связи между ними, сыграли немалую роль и в теории солитонов.
Развитие механики и гидромеханики, так же как и теории деформаций упругих тел (теории упругости), подстегивалось потребностями развивающейся техники. Дж. К. Максвелл много занимался также и теорией упругости, теорией устойчивости движения с приложениями к работе регуляторов, строительной механикой. Более того, разрабатывая свою электромагнитную теорию, он постоянно прибегал к наглядным моделям: «...я сохраняю надежду при внимательном изучении свойств упругих тел и вязких жидкостей найти такой метод, который позволил бы дать и для электрического состояния некоторый механический образ... (ср. с работой: Уильям Томсон «О механическом представлении электрических, магнитных и гальванических сил», 1847 г.)».
Другой знаменитый шотландский физик Уильям Томсон (1824 - 1907), впоследствии получивший за научные заслуги титул лорда Кельвина, вообще считал, что все явления природы необходимо сводить к механическим движениям и объяснять их на языке законов механики. Взгляды Томсона оказали сильное влияние на Максвелла, особенно в -его молодые годы. Удивительно, что Томсон, близко знавший и ценивший Максвелла, одним из последних признал его электромагнитную теорию. Это произошло только после знаменитых опытов Петра Николаевича Лебедева по измерению светового давления (1899 г.): «Я всю жизнь воевал с Максвеллом... Лебедев заставил меня сдаться...»

Начало теории волн
Хотя основные уравнения, описывающие движения жидкости, в 30-е годы XIX в. были уже получены, математическая теория волн на воде только начала создаваться. Простейшая теория волн на поверхности воды была дана Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», впервые изданных в 1687 г. Сто лет спустя знаменитый французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) назвал этот труд «величайшим произведением человеческого ума». К сожалению, эта теория была основана на неправильном допущении, что частицы воды в волне просто колеблются вверх-вниз. Несмотря на то, что Ньютон не дал правильного описания волн на воде, он верно поставил задачу, и его простая модель вызвала к жизни другие исследования. Впервые правильный подход к поверхностным волнам был найден Лагранжем. Он понял, как можно построить теорию волн на воде в двух простых случаях - для волн с малой амплитудой («мелкие волны») и для волн в сосудах, глубина которых мала по сравнению с длиной волны («мелкая вода»), Лагранж не занимался детальной разработкой теории волн, так как его увлекали другие, более общие математические проблемы.
Много ли есть людей, которые, любуясь игрой волн на поверхности ручейка, думают, как найтн уравнения, по которым можно было бы вычислить форму любого волнового гребня?
Вскоре было найдено точное и удивительно простое решение уравнений, описывающих
волны на воде. Это первое, и одно из немногих точных, решение уравнений гидромеханики получил в 1802 г. чешский ученый, профессор математики в
Праге Франтишек Иозеф Герстнер (1756 - 1832)*).
*) Иногда Ф. И. Герстнера путают с его сыном, Ф. А. Герст-нером, несколько лет жившим в России. Под его руководством в 1836 - 1837 гг. была построена первая в России железная дорога (из Петербурга в Царское Село).
В волне Герстнера (рис. 1.1), которая может образоваться только на «глубокой воде», когда длина волны много меньше глубины сосуда, частицы жидкости движутся по окруж-стям. Волна Герстнера - первая изученная волна несинусоидальной формы. Из того, что частицы ЖИДКОСТИ движутся ПО окружностям, можно заключить, что поверхность воды имеет форму циклоиды. (от греч. «киклос» - круг и «эйдос» - форма), т. е. кривой, которую описывает какая-нибудь точка колеса, катящегося по ровной дороге. Иногда эту кривую называют трохоидой (от греч. «трохос» - колесо), а волны Герстнера - трохоидальными*). Только для очень мелких волн, когда высота волн становится много меньше их длины, циклоида становится похожей на синусоиду, и волна Герстнера превращается в синусоидальную. Хотя при этом частицы воды и мало отклоняются от своих положений равновесия, движутся они все равно по окружностям, а не качаются вверх-вниз, как полагал Ньютон. Надо заметить, что Ньютон ясно сознавал ошибочность такого допущения, но счел возможным воспользоваться им для грубой приближенной оценки скорости распространения волны: «Все происходит таким образом при предположении, что частицы воды поднимаются и опускаются по отвесным прямым линиям, но их движение вверх и вниз на самом деле происходит не по прямой, а вернее по кругу, поэтому я утверждаю, что время дается этим положениям лишь приближенно». Здесь «время» - период колебаний Т в каждой точке; скорость волны v = %/T, где К - длина волны. Ньютон показал, что скорость волны на воде пропорциональна -у/К. В дальнейшем мы увидим, что это правильный результат, и найдем коэффициент пропорциональности, который был известен Ньютону лишь приближенно.
*) Мы будем называть циклоидами кривые, описываемые точками, лежащими на ободе колеса, а трохоидами - кривые, описываемые точками между ободом и осью.
Открытие Герстнера не прошло незамеченным. Надо сказать, что он сам продолжал интересоваться волнами и свою теорию применял для практических расчетов плотин и дамб. Вскоре было положено начало и лабораторному исследованию волн на воде. Это сделали молодые братья Веберы.
Старший брат Эрист Вебер (1795 - 1878) сделал впоследствии важные открытия в анатомии и физиологии, в особенности в физиологии нервной системы. Вильгельм Вебер (1804 - 1891) стал знаменитым физиком и многолетним сотрудником «контроля математиков» К. Гаусса в исследованиях по физике. По предложению и при содействии Гаусса ои основал в Геттингенском университете первую в мире физическую лабораторию (1831 г.). Более всего известны его работы по электричеству и магнетизму, а также электромагнитная теория Вебера, которая была позднее вытеснена теорией Максвелла. Он одним из первых (1846 г.) ввел представление об отдельных частичках электрического вещества - «электрических массах» и предложил первую модель атома, в которой атом уподоблялся планетарной модели Солнечной системы. Вебер также разработал основную иа идее Фарадея теорию элементарных магнитиков в веществе и изобрел несколько физических приборов, которые для своего времени были весьма совершенными.
Эрнст, Вильгельм и младший их брат Эдуард Веберы серьезно заинтересовались волнами. Они были настоящими экспериментаторами, и простые наблюдения над волнами, которые можно видеть «на каждом шагу», их не могли удовлетворить. Поэтому они сделали простой прибор (лоток Веберов), который с разными усовершенствованиями до сих пор используется для опытов с волнами на воде. Построив длинный ящик со стеклянной боковой стенкой и нехитрые приспособления для возбуждения волн, они провели обширные наблюдения различных волн, в том числе и волн Герстнера, теорию которого они таким образом проверили на опыте. Результаты этих наблюдений они опубликовали в 1825 г. в книге под названием «Учение о волнах, основанное на опытах». Это было первое экспериментальное исследование, в котором систематически изучались волны разной формы, скорость их распространения, соотношения между длиной и высотой волны и т. д. Способы наблюдения были очень простые, остроумные и довольно эффективные. Например, для определения формы поверхности волны они опускали в ванну матовую стеклянную
пластину. Когда волна доходит до середины пластины, ее быстро выдергивают; при этом передняя часть волны совершенно правильно отпечатывается на пластине. Чтобы наблюдать пути колеблющихся в волне частиц, они заполняли лоток мутной водой из рек. Заале и наблюдали движения невооруженным глазом или с помощью слабого микроскопа. Таким способом они определили не только форму, но и размеры траекторий частиц. Так, они обнаружили, что траектории вблизи поверхности близки к окружностям, а при приближении к дну сплющиваются в эллипсы; вблизи самого дна частицы движутся горизонтально. Веберы открыли много интересных свойств волны на воде и других жидкостях.

О пользе теории волн
Никто не ищи своего, но каждый пользы другого.
Апостол Павел
Независимо от этого происходила разработка идей Лагранжа, связанная в основном с именами французских математиков Огюстена Луи Коши (1789 - 1857) и Симона Дени Пуассона (1781 - 1840). В этой работе принял участие и наш соотечественник Михаил Васильевич Остроградский (1801 - 1862). Эти знаменитые ученые много сделали для науки, их имена носят многочисленные уравнения, теоремы и формулы. Менее известны их работы по математической теории волн малой амплитуды на поверхности воды. Теорию таких волн можно применять к некоторым штормовым волнам на море, к движению судов, к волнам на отмелях и вблизи волноломов и т. д. Ценность математической теории таких волн для инженерной практики очевидна. Но в то же время математические методы, разработанные для решения этих практических задач, были позже применены и к решению совсем других, далеких от гидромеханики проблем. Мы еще не раз встретимся с подобными примерами «всеядности» математики и практической пользы от решения математических задач, на первый взгляд относящихся к «чистой» («бесполезной») математике.
Здесь автору трудно удержаться от небольшого отступления, посвященного одному эпизоду, связанному с появлением един-
ствениой работы Остроградского по теории воли. Эта математическая работа не только принесла отдаленную пользу науке и технике, но и оказала непосредственное и важное влияние на судьбу ее автора, что случается не так уж часто. Вот как излагает этот эпизод выдающийся русский кораблестроитель, математик и инженер, академик Алексей Николаевич Крылов (1863 - 1945). «В 1815 г. Парижская академия паук поставила теорию воли темою для «Большого приза по математике». В конкурсе приняли участие Коши и Пуассон. Премирован был обширный (около 300 стр.) мемуар Коши, мемуар Пуассона заслужил почетный отзыв... В это же.время (1822 г.) М. В. Остроградский, задолжавший вследствие задержки в высылке (из дома) денег содержателю гостиницы, был им посажен в Клиши (долговая тюрьма в Париже). Здесь он написал «Теорию воли в сосуде цилиндрической формы» и послал свой мемуар Коши, который ие только одобрил эту работу и представил ее Парижской академии паук для напечатания в ее трудах, но и, ие будучи богатым, выкупил Остроградского из долговой тюрьмы и рекомендовал его на должность учителя математики в один из лицеев в Париже. Ряд математических работ Остроградского обратил иа него внимание С.-Петербургской академии наук, и в 1828 г. он был избран в ее адъюнкты, а затем и в ординарные академики, имея лишь аттестат студента Харьковского университета, уволенного, ие окончив курс».
Добавим к этому, что Остроградский родился в небогатой семье украинских дворян, в 16 лет ои поступил на физико-математический факультет Харьковского университета по воле отца, вопреки собственным желаниям (ои хотел стать военным), но очень скоро проявились его выдающиеся способности к математике. В 1820 г. он с отличием сдал экзамены на кандидата, однако министр народного просвещения и духовных дел киязь А. Н. Голицын ие только отказал ему в присуждении степени кандидата, но и лишил ранее выданного диплома об окончании университета. Основанием послужили обвинения его в «безбожии и вольнодумстве», в том, что он «не посещал не только
лекции философии, по и богопознания и христианского учения». В результате Остроградский уехал в Париж, где усердно посещал лекции Лапласа, Коши, Пуассона, Фурье, Ампера и других выдающихся ученых. Впоследствии Остроградский стал член-кор-респондеитом Парижской академии наук, членом Туринской,
Римской и Американской академий и т. д. В 1828 г. Остроградский вернулся в Россию, в Петербург, где по личному повелению Николая I был взят под секретный надзор полиции*). Это обстоятельство не помешало, однако, карьере Остроградского, постепенно занявшего весьма высокое положение.
Работа о волнах, упомянутая А. Н. Крыловым, была опубликована в трудах Парижской академии наук в 1826 г. Она посвящена волнам малой амплитуды, т. е. задаче, над которой работали Коши и Пуассои. Больше к исследованию волн Остроградский не возвращался. Помимо чисто математических работ известны его исследования по гамильтоновой механике, одна из первых работ по изучению влияния нелинейной силы треиия на движение снарядов в воздухе (эта задача была поставлена еще
*) Император Николай I вообще относился к ученым с недоверием, считая всех их, не без оснований, вольнодумцами.
Эйлером). Остроградский был одним из первых, кто осознал необходимость изучения нелинейных колебаний и нашел остроумный способ приближенного учета малых нелинейностей в колебаниях маятника (задача Пуассона). К сожалению, многие свои научные начинания он не довел до конца - слишком много сил приходилось отдавать педагогической работе, прокладывающей дорогу новым поколениям ученых. Уже за одно это мы должны быть благодарны ему, как и другим российским ученым начала прошлого века, упорным трудом создавшим фундамент будущего развития науки в нашей стране.
Вернемся, однако, к нашему разговору о пользе волн. Можно привести замечательный пример применения идей теории волн к совсем другому кругу явлений. Речь идет о гипотезе Фарадея о волновом характере процесса распространения электрических и магнитных взаимодействий.
Фарадей уже при жизни стал знаменитым ученым, о нем и о его работах написаны многие исследования и популярные книги. Однако мало кто и сегодня знает, что Фарадей серьезно интересовался волнами на воде. Не владея математическими методами, известными Коши, Пуассону и Остроградскому, он очень ясно и глубоко понимал основные идеи теории волн на воде. Размышляя о распространении электрического и магнитного полей в пространстве, он попытался представить себе этот процесс по аналогии с распространением волн на воде. Эта аналогия, видимо, и привела его к гипотезе о конечности скорости распространения электрических и магнитных взаимодействий и о волновом характере этого процесса. 12 марта 1832 г. он записал эти мысли в специальном письме: «Новые воззрения, подлежащие в настоящее время хранению в запечатанном конверте в архивах Королевского общества». Мысли, изложенные в письме, далеко опережали свое время, по сути дела здесь впервые сформулирована идея об электромагнитных волнах. Это письмо было погребено в архивах Королевского общества, его обнаружили лишь в 1938 г. Еидимо, и сам Фарадей забыл о нем (у него постепенно развилось тяжелое заболевание, связанное с потерей памяти). Основные идеи письма он изложил позже в работе 1846 г.
Разумеется, сегодня невозможно точно восстановить ход мыслей Фарадея. Но его размышления и опыты над волнами на воде незадолго до составления этого замечательного письма отражены в опубликованной им в 1831 г. работе. Она посвящена исследованию мелкой ряби на поверхности воды, т. е. так называемым «капиллярным» волнам *) (подробнее о них будет рассказано в гл. 5). Для их исследования он придумал остроумный и, как всегда, очень простой приборчик. Впоследствии метод Фарадея использовал Рассел, наблюдавший другие малозаметные, но красивые и интересные явления с капиллярными волнами. Опыты Фарадея и Рассела описаны в § 354 - 356 книги Рэлея (Джон Уильям Стрэтт, 1842 - 1919) «Теория звука», которая была впервые издана в 1877 г., но до сих пор не устарела и может доставить огромное удовольствие читателю (есть русский перевод). Рэлей не только много сделал для теории колебаний и волн, но и одним из первых признал и оценил уединенную волну.

О главных событиях эпохи
Совершенствования наукн следует ждать ие от способности или проворства какого-нибудь отдельного человека, а от последовательной деятельности многих поколений, сменяющих друг друга.
Ф. Бэкон
Между тем нам пора заканчивать несколько затянувшуюся историческую экскурсию, хотя картина науки той поры получилась, пожалуй, слишком однобокой. Чтобы как-то исправить это, совсем кратко напомним о событиях тех лет, которые историки науки справедливо считают наиболее важными. Как уже говорилось, все основные законы и уравнения механики были сформулированы в 1834 г. в том самом виде, в котором мы ими пользуемся и сегодня. К середине века были написаны и стали подробно изучаться основные уравнения, описывающие движения жидкостей и упругих тел (гидродинамика и теория упругости). Как мы видели, волны в жидкостях и в упругих телах интересовали многих ученых. Физиков, однако, гораздо сильнее увлекали в это время световые волны.
*) Эти волны связаны с силами поверхностного натяжения воды. Те же самые силы вызывают подъем воды в тончайших, толщиной с волос, трубочках (латинское слово capillus и означает волос).
В первой четверти века, в основном благодаря таланту и энергии Томаса Юнга (1773 - 1829), Огюстена Жана Френеля (1788 - 1827) и Доминика Франсуа Араго (1786 - 1853), победила волновая теория света. Победа не была легкой, ибо среди многочисленных противников волновой теории были такие крупные ученые, как Лаплас и Пуассон. Критический опыт, окончательно утвердивший волновую теорию, был сделан Араго на заседании комиссии Парижской академии наук, обсуждавшей представленную на конкурс работу Френеля о дифракции света. В докладе комиссии об этом расказано так: «Один из членов нашей комиссии, месье Пуассон, вывел из сообщенных автором интегралов тот удивительный результат, что центр тени от крупного непрозрачного экрана должен быть таким же освещенным, как и в том случае, если бы экран не существовал... Это следствие было проверено прямым опытом и наблюдение полностью подтвердило данные вычисления».
Это произошло в 1819 г., а в следующем году сенсацию вызвало уже упоминавшееся открытие Эрстеда. Публикация Эрстедом работы «Опыты, относящиеся к действию электрического конфликта на магнитную стрелку», породила лавину опытов по электромагнетизму. Общепризнано, что наибольший вклад в эту работу внес Ампер. Работа Эрстеда была опубликована в Копенгагене в конце июля, в начале сентября Араго объявляет об этом открытии в Париже, а в октябре появляется всем известный закон Био - Савара - Лапласа. С конца сентября Ампер выступает почти еженедельно (!) с сообщениями о новых результатах. Итоги этой дофарадеевской эпохи в электромагнетизме подведены в книге Ампера «Теория электродинамических явлений, выведенная исключительно из опыта».
Заметьте, как быстро распространялись в то время известия о событиях, которые вызывали всеобщий интерес, хотя средства связи были менее совершенные, чем сегодня (идея телеграфной связи была высказана Ампером в 1829 г., и только в 1844 г. в Северной Америке начала работать первая коммерческая телеграфная линия). Быстро стали широко известными и результаты опытов Фарадея. Этого, однако, нельзя сказать о распространении теоретических идей Фарадея, объяснявших его опыты (понятие о силовых линиях, электротоническом состоянии, т. е. об электромагнитном поле)
Первым всю глубину идей Фарадея оценил Максвелл, который и сумел иайти для иих подходящий математический язык.
Но это произошло уже в середине века. Читатель может спросить, почему же столь по-разиому воспринимались идеи Фарадея и Ампера. Дело, видимо, в том, что электродинамика Ампера уже созрела, «носилась в воздухе». Нисколько не умаляя великих заслуг Ампера, который первым придал этим идеям точную математическую форму, нужно все же подчеркнуть, что идеи Фарадея были гораздо более глубокими и революционными. Оии ие «носились в воздухе», а были рождены творческой мощью мысли и фантазии их автора. Затрудняло их восприятие то, что оии не были облечены в математические одежды. Не появись Максвелл - идеи Фарадея, возможно, были бы надолго забыты.
Третье важнейшее направление в физике первой половины прошлого века - начало развития учения о теплоте. Первые шаги теории тепловых явлений, естественно, были связаДы с работой паровых машин, а общие теоретические идеи формировались трудно и проникали в науку медленно. Замечательная работа Сади Карно (1796 - 1832) «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», опубликованная в 1824 г., прошла совершенно незамеченной. О ней вспомнили лишь благодаря появившейся в 1834 г. работе Клапейрона, но создание современной теории теплоты (термодинамики) - дело уже второй половины века.
С интересующими нас вопросами тесно связаны две работы. Одна из них - знаменитая книга выдающегося математика, физика и египтолога *) Жана Батиста Жозефа Фурье (1768 - 1830) «Аналитическая теория теплоты» (1822 г.), посвященная решению задачи о распространении тепла; в ней был детально разработан и применен к решению физических задач метод разложения функций на синусоидальные составляющие (разложение Фурье). От этой работы обычно отсчитывают зарождение математической физики как самостоятельной науки. Ее значение для теории колебательных и волновых процессов огромно - в течение более чем столетия основным способом исследования волновых процессов стало разложение сложных волн на простые синусоидальные
*) После наполеоновского похода в Египет ои составил «Описание Египта» и собрал небольшую, но ценную коллекцию египетских древностей. Фурье направлял первые шаги юного Жаиа-Фраисуа Шампольоиа, гениального дешифровщика иероглифического письма, основоположника египтологии. Дешифровкой иероглифов увлекался не без успеха и Томас Юнг. После занятий физикой это было, пожалуй, главным его увлечением.
(гармонические) волны, или «гармоники» (от «гармонии» в музыке).
Другая работа - доклад двадцатишестилетнего I ельмгольца «О сохранении силы», сделанный в 1847 г. на заседании основанного им Физического общества в Берлине. Герман Людвиг Фердинанд Гельмгольц (1821 - 1894) по праву считается одним из величайших естествоиспытателей, а эту его работу некоторые историки науки ставят в один ряд с наиболее выдающимися трудами ученых, заложивших основы естественных наук. В ней идет речь о наиболее общей формулировке принципа сохранения энергии (тогда ее называли «силой») для механических, тепловых, электрических («гальванических») и магнитных явлений, включая и процессы в «организованном существе». Для нас особенно интересно, что здесь Гельмгольц впервые отметил колебательный характер разряда лейденской банки и написал уравнение, из которого вскоре У. Томсон вывел формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.
В этой небольшой работе можно разглядеть намеки на будущие замечательные исследования Гельмгольца. Даже простое перечисление его достижений в физике, гидромеханике, математике, анатомии, физиологии и психофизиологии увело бы нас очень далеко в сторону от основной темы нашего рассказа. Упомянем лишь теорию вихрей в жидкости, теорию происхождения морских волн и первое определение скорости распространения импульса в нерве. Все эти теории, как мы вскоре увидим, имеют самое непосредственное отношение к современным исследованиям солитонов. Из других его идей необходимо упомянуть впервые высказанное им в лекции, посвященной физическим воззрениям Фарадея (1881 г.), представление о существовании элементарного («наименьшего возможного») электрического заряда («электрических атомов»). На опыте электрон был обнаружен лишь шестнадцать лет спустя.
Обе описанные работы были теоретическими, они составили фундамент математической и теоретической физики. Окончательное становление этих наук связано, несомнено, с работами Максвелла, а в первой половине века чисто теоретический подход к физическим явлениям был, в общем-то, чужд большинству
щеных. Физика считалась наукой чисто «опытной» и лавными словами даже в названиях работ были «опыт», «основанный на опытах», «выведенные из опытов». Интересно, что сочинение Гельмгольца, которое и в наши дни можно считать образцом глубины и ясности изложения, не было принято физическим журналом как теоретическое и слишком большое по объему и было позднее выпущено в свет отдельной брошюрой. Незадолго до смерти Гельмгольц так говорил об истории создания своей самой знаменитой работы:
«Молодые люди всего охотнее берутся сразу за самые глубокие задачи, так и меня занял вопрос о загадочном существе жизненной силы... я нашел, что... теория жизненной силы... приписывает всякому живому телу свойства «вечного двигателя»... Просматривая сочинения Даниила Бернулли, Д’Аламбера и других математиков прошлого столетия... я натолкнулся на вопрос: «какие отношения должны существовать между различными силами природы, если принять, что «вечный двигатель» вообще невозможен и выполняются ли в действительности все эти соотношения...» Я намеревался только дать критическую оценку и систематику фактов в интересах физиологов. Для меня не было бы неожиданностью, если бы в конце концов сведущие люди сказали мне: «Да все это отлично известно. Чего хочет этот юный медик, распространяясь так подробно об этих вещах?» К моему удивлению, те авторитеты по физике, с которыми мне пришлось войти в соприкосновение, посмотрели на дело совершенно иначе. Они были склонны отвергать справедливость закона; среди той ревностной борьбы, какую они дели с натурфилософией Гегеля, и моя работа была сочтена за фантастическое умствование. Только математик Якоби признал связь между моими рассуждениями и мыслями математиков прошлого века, заинтересовался моим опытом и защищал меня от недоразумений».
Эти слова ярко характеризуют умонастроение и интересы многих ученых той эпохи. В таком сопротивлении научного общества новым идеям есть, конечно, закономерность и даже необходимость. Так что не будем торопиться осуждать Лапласа, не понимавшего Френеля, Вебера, не признававшего идей Фарадея, или Кельвина, противившегося признанию теории Максвелла, а лучше спросим себя, легко ли дается нам самим усвоение новых, непохожих на все, с чем мы свыклись, идей. Признаем, что некоторый консерватизм заложен в нашей человеческой природе, а значит, и в науке, которую делают люди. Говорят, что некий «здоровый консерватизм» даже необходим для развития науки, так как он препятствует распространению пустых фантазий. Однако это отнюдь не утешает, когда вспоминаешь о судьбах гениев, заглянувших в будущее, но не понятых и не признанных своей эпохой.

Твой век, дивясь тебе, пророчеств не постиг
И с лестью смешивал безумные упреки.
В. Брюсов
Может быть, самые яркие примеры такого конфликта с эпохой в интересующее нас время (около 1830 г.) мы видим в развитии математики. Лицо этой науки тогда определяли, вероятно, Гаусс и Коши, завершавшие вместе с другими постройку великого здания математического анализа, без которого современная наука просто немыслима. Но мы не можем забыть и о том, что в это же время, не оцененные современниками, умерли молодые Абель (1802 - 1829) и Галуа (1811 - 1832), что с 1826 по 1840 гг. публиковали свои работы по неевклидовой геометрии Лобачевский (1792 - 1856) и Бойяи (1802 - I860), не дожившие до признания своих идей. Причины такого трагического непонимания глубоки и многообразны. Мы не можем углубляться в них, а приведем лишь еще один пример, важный для нашего рассказа.
Как мы увидим позже, судьба нашего героя, солитона, тесно связана с вычислительными машинами. Более того, история преподносит нам поразительное совпадение. В августе 1834 г., в то время, когда Рассел наблюдал уединенную волну, английский математик, экономист и инженер-изобретатель Чарльз Бэб-бедж (1792 - 1871) закончил разработку основных принципов своей «аналитической» машины, которые легли впоследствии в основу современных цифровых вычислительных машин. Идеи Бэббеджа далеко опередили свое время. Для реализации его мечты о постройке и использовании таких машин потребовалось более ста лет. В этом трудно винить современников Бэббеджа. Многие понимали необходимость вычислительных машин, но техника, наука и общество еще не созрели для осуществления его смелых проектов. Премьер-министр Англии сэр Роберт Пил, которому пришлось решать судьбу финансирования проекта, представленного Бэббеджем правительству, не был невеждой (он окончил Оксфорд первым по математике и классике). Он провел формально тщательное обсуждение проекта, но в результате пришел к выводу, что создание универсальной вычислительной машины не относится к первоочередным задачам британского правительства. Лишь в 1944 г. появились первые автоматические цифровые машины, и в английском журнале «Nature» («Природа») появилась статья под названием «Мечта Бэббеджа сбылась».

Наука и общество
Дружина ученых и писателей... всегда впереди во всех иабегах просвещения, на всех приступах образованности. Не должно нм малодушно негодовать на то, что вечно им определено выносить первые выстрелы и все невзгоды, все опасности.
А. С. Пушкин
Конечно, и успехи науки, и ее неудачи связаны с историческими условиями развития общества, на которых мы не можем задерживать внимание читателя. Не случайно именно в то время возник такой напор новых идей, что наука и общество не успевали их осваивать.
Развитие науки в разных странах шло неодинаковыми путями.
Во Франции научная жизнь объединялась и организовывалась Академией до такой степени, что работа, не замеченная и не поддержанная Академией или хотя бы известными академиками, имела мало шансов заинтересовать ученых. Зато уж работы, попавшие в поле зрения Академии, поддерживались и развивались. Это иногда вызывало протесты и возмущение со стороны молодых ученых. В статье, посвященной памяти Абеля, его друг Сеги писал: «Даже в случае Абеля и Якоби благосклонность Академии означала не признание несомненных заслуг этих молодых ученых, а скорее стремление поощрить исследование некоторых проблем, касающихся строго определенного круга вопросов, за пределами которого, по мнению Академии, не может быть прогресса науки и нельзя сделать никаких ценных открытий... Мы же скажем совсем другое: молодые ученые, не слушайте никого, кроме вашего собственного внутреннего голоса. Читайте труды гениев и размышляйте над ними, но никогда не превращайтесь в учеников, лишенных собст-
венного мнения... Свобода взглядов и объективность суждений - таков должен быть ваш девиз». (Пожалуй, «не слушать никого» - полемическое преувеличение, «внутренний голос» не всегда прав.)
Во множестве мелких государств, находившихся на территории будущей Германской империи (лишь к 1834 г. были закрыты таможни между большинством этих государств), научная жизнь была сосредоточена в многочисленных университетах, в большинстве которых велась также исследовательская работа. Именно там в это время начали складываться школы ученых и выходило большое число научных журналов, которые постепенно стали главным средством общения между учеными, неподвластным пространству и времени. Их образцу следуют и современные научные журналы.
На Британских островах не было ни академии французского типа, пропагандировавшей признанные ею достижения, ни таких научных школ, как в Германии. Большинство английских ученых работало в одиночку*). Этим одиночкам удавалось прокладывать совершенно новые пути в науке, но их работы часто оставались совершенно неизвестными, особенно когда они не были посланы в журнал, а были лишь доложены на заседаниях Королевского общества. Жизнь и открытия эксцентричного вельможи и гениального ученого, лорда Генри Кавендиша (1731 - 1810), работавшего в полном одиночестве в собственной лаборатории и опубликовавшего лишь две работы (остальные, содержавшие открытия, переоткрытые другими лишь десятки лет спустя, были найдены и опубликованы Максвеллом), особенно ярко иллюстрируют эти особенности науки в Англии на рубеже XVIII - XIX вв. Такие тенденции в научной работе сохранялись в Англии довольно продолжительное время. Например, уже упоминавшийся лорд Рэлей также работал как любитель, большую часть своих опытов он выполнил в своей усадьбе. Этим «любителем», помимо книги о теории звука, было написано
*) Не нужно воспринимать это слишком буквально. Любой ученый нуждается в постоянном общении с другими учеными. В Англии центром такого общения было Королевское общество, которое также располагало немалыми средствами для финансирования научных исследований.
больше четырехсот работ! Несколько лет работал в одиночестве в своем родовом гнезде и Максвелл.
В результате, как писал об этом времени английский историк науки, «наибольшее число совершенных по форме и содержанию трудов, ставших классическими... принадлежит, вероятно, Франции; наибольшее количество научных работ было выполнено, вероятно, в Германии; но среди новых идей, которые на протяжении века оплодотворяли науку, наибольшая доля, вероятно, принадлежит Англии». Последнее утверждение вряд ли можно отнести к математике. Если же говорить о физике, то это суждение кажется не слишком далеким от истины. Не забудем также, что современником Рассела *) был великий Чарльз Дарвин, который родился на год позже и умер в один год с ним.
В чем же причина успехов исследователей-одиночек, почему они смогли прийти к настолько неожиданным идеям, что многим другим не менее одаренным ученым они казались не просто неправильными, а даже почти безумными? Если сопоставить Фарадея и Дарвина - двух великих естествоиспытателей первой половины прошлого века, то бросается в глаза их необычайная независимость от учений, господствовавших в то время, доверие собственным зрению и разуму, великая изобретательность в постановке вопросов и стремление до конца понять то необычное, что им удалось наблюдать. Важно и то, что образованное общество не равнодушно к научным изысканиям. Если и нет понимания, то есть интерес, и вокруг первооткрывателей и новаторов обычно собирается кружок поклонников и сочувствующих. Даже у непонятого и ставшего к концу жизни мизантропом Бэббеджа были любящие и ценящие его люди. Его понимал и высоко ценил Дарвин, близким его сотрудником и первым программистом его аналитической машины стала выдающийся математик, дочь Байрона, леди
*) Большинство упоминаемых нами современников, вероятно, были знакомы друг с другом. Разумеется, члены Королевского общества встречались на заседаниях, но, кроме того, они поддерживали и личные связи. Например, известно, что Чарльз Дарвин бывал на приемах у Чарльза Бэббеджа, который со студенческих лет дружил с Джоном Гершелем, который близко знал Джона Рассела, и т. д.
Ада Августа Лавлейс. Бэббеджа также ценил Фарадей и другие выдающиеся люди его времени.
Общественное значение научных исследований уже стало понятным многим образованным людям, и это иногда помогало получать ученым необходимые средства, несмотря на отсутствие централизованного финансирования науки. К концу первой половины XVIII в. Королевское общество и ведущие университеты располагали большими средствами, чем любые ведущие научные учреждения на континенте. «...Плеяда выдающихся ученых-физиков, как Максвелл, Рэлей, Томсон... не могла бы возникнуть, если бы... в Англии в то время не существовало бы культурной научной общественности, правильно оценивающей и поддерживающей деятельность ученых» (П. Л. Капица).

KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ

Чем шире и глубже становятся знания человечества об окружающем мире, тем ярче выделяются островки непознанного. Именно таковыми является солитоны - необычные объекты физического мира.

Где рождаются солитоны

Сам термин солитоны переводится как уединенная волна. Они действительно рождаются из волн и наследуют их некоторые свойства. Однако в процессе распространения и столкновения проявляют свойства частиц. Поэтому название этих объектов взято по созвучию с общеизвестными понятиями электрон, фотон, которые обладают подобной двойственностью.

Впервые такую уединенную волну наблюдали на одном из Лондонских каналов в 1834 году. Она возникла впереди движущейся баржи и продолжала свое стремительное движение после остановки судна, сохраняя свою форму и энергию длительное время.

Иногда такие волны, появляющиеся на поверхности воды, достигают 25-метровой высоты. Рождаясь на поверхности океанов, они становятся причиной повреждения и гибели морских судов. Такой гигантский морской вал, достигающий берега, выбрасывает на него огромные массы воды, принося колоссальные разрушения. Возвращаясь в океан, он уносит тысячи жизней, постройки и разные предметы.

Эта картина разрушений свойственна . Изучая причины их возникновения, учёные пришли к выводу, что большинство из них действительно имело солитонное происхождение. Цунами-солитоны могли рождаться в открытом океане и в спокойную, тихую погоду. Т. е. они порождались вовсе не или другими природными катаклизмами.

Математики создали теорию, позволившую предсказывать условия их возникновения в различных средах. Физики воспроизвели эти условия в лаборатории и обнаружили солитоны:

• в кристаллах;
• коротковолновом лазерном излучении;
• волоконных световодах;
• других галактиках;
• нервной системе живых организмов;
• и в атмосферах планет. Это позволило предположить, что Большое Красное Пятно на поверхности Юпитера тоже имеет солитонное происхождение.

Удивительные свойства и признаки солитонов

Солитоны обладают несколькими особенностями, отличающими их от обычных волн:

• они распространяются на огромные расстояния, практически не изменяя своих параметров (амплитуду, частоту, скорость, энергию);
• солитонные волны проходят друг через друга без искажения, как если бы сталкивались частицы, а не волны;
• чем выше «горб» солитона, тем больше его скорость;
• эти необычные образования способны запоминать информацию о характере воздействия на них.

Возникает вопрос, как обыкновенные молекулы, не имеющие необходимых структур и систем, могут запоминать информацию? При этом параметры их памяти превосходят лучшие современные компьютеры.

Солитонные волны зарождаются и в молекулах ДНК, которые способны сохранять информацию об организме на протяжении всей жизни! С помощью сверхчувствительных приборов удалось проследить путь солитонов во всей цепочке ДНК. Оказывается, волна считывает хранящуюся на её пути информацию, подобно тому, как человек читает открытую книгу, однако точность волнового сканирования многократно больше.

Исследования были продолжены в российской академии наук. Учёные провели необычный эксперимент, результаты которого были весьма неожиданными. Исследователи воздействовали на солитоны человеческой речью. Оказалось, что записанная на специальный носитель словесная информация буквально оживляла солитоны.

Ярким подтверждением этому были исследования, проведенные с зёрнами пшеницы, предварительно облучённых чудовищной дозой радиоактивности. При таком воздействии цепочки ДНК разрушаются, и семена теряют свою жизнеспособность. Направляя солитоны, «запомнившие» человеческую речь, на «мёртвые» зерна пшеницы, удалось восстановить их жизнеспособность, т.е. они дали ростки. Исследования, проведенные под микроскопом, показали полное восстановление цепочек ДНК, разрушенных радиацией.

Перспективы применения

Проявления солитонов чрезвычайно разнообразны. Поэтому предсказать все перспективы их применения весьма сложно.

Но уже сейчас очевидно, что на базе этих систем удастся создать более мощные лазеры и усилители, использовать их в сфере телекоммуникации для передачи энергии и информации, применять в спектроскопии.

При передаче информации по обычным волоконным световодам через каждые 80-100 км требуется усиление сигнала. Использование оптических солитонов позволяет увеличить дальность передачи сигнала без искажения формы импульсов до 5-6 тысяч километров.

Но откуда берется энергия для поддержания столь мощных сигналов на таких огромных расстояниях остается загадкой. Поиски ответа на этот вопрос еще впереди.

Если это сообщение тебе пригодилось, буда рада видеть тебя

На теперешнем курсе семинары стали заключаються не в решении задач, а докладах на различную тематику. Думаю, будет верным оставлять их здесь в более или менее популярном виде.

Слово «солитон» происходит от английского solitary wave и означает именно уединенную волну (или говоря языком физики некоторое возбуждение).

Солитон возле острова Молокаи (Гавайский архипелаг)

Цунами - тоже солитон, но значительно более крупный. Уединенность не означает, что волна будет одна единственная на весь мир. Солитоны иногда встречаются группами, как возле Бирмы.

Солитоны в Андаманском море, омывающем берега Бирмы, Бенгалии и Тайланда.

В математическом смысле солитон является решением нелинейного уравнения в частных производных. Означает это следующее. Решать линейные уравнения что обыкновенные из школы, что дифференциальные человечество уже умеет достаточно давно. Но стоит возникнуть квадрату, кубу или еще более хитрой зависимости в дифференциальном уравнении от неизвестной величины и наработанный за все века математический аппарат терпит фиаско - человек пока не научился их решать и решения чаще всего угадываются или подбираются из различных соображений. Но Природу описывают именно они. Так нелинейные зависимости рождают практически все явления, чарующие глаз, да и позволяющие существовать жизни тоже. Радуга в своей математической глубине описывается функцией Ейри (правда, говорящая фамилия для ученого, чье исследование рассказывает о радуге?)

Сокращения человеческого сердца являются типичным примером биохимических процессов, под названием автокаталитические - такие, которые поддерживают сами свое существование. Все линейные зависимости и прямые пропорциональности хоть и просты для анализа, но скучны: в них ничего не меняется, ведь прямая остается одинаковой и в начале координат, и уходя в бесконечность. Более сложные функции имеют особенные точки: минимумы, максимумы, разломы и т. п., которые попав в уравнение создают бесчисленные вариации для развития систем.

Функции, объекты или явления, называющиеся солитонами, имеют два важных свойства: они стабильны во времени и сохраняют свою форму. Конечно, в жизни никто и ничто бесконечно долго им удовлетворять не будет, поэтому нужно сравнивать с аналогичными явлениями. Вернувшись к морской глади, рябь на её поверхности возникает и исчезает за доли секунды, большие волны, вздымаемые ветром взлетают и рассыпаются брызгами. Но цунами движется глухой стеной на сотни километров не теряя заметно в высоте волны и силе.

Есть несколько типов уравнений, приводящих к солитонам. Прежде всего, это задача Штурма-Лиувилля

В квантовой теории это уравнение известно под названием нелинейного уравнения Шредингера (Schrödinger) если функция имеет произвольный вид. В этой записи число называют собственным. Оно такое особенное, что его тоже находят при решении задачи, потому как не каждое его значение может дать решение. Роль собственных чисел в физике очень велика. Например, энергия является собственным числом в квантовой механике, переходы между различными системами координат так же не обходятся без них. Если потребовать, чтобы изменение параметра t в не изменяли собственные числа (а t может быть временем, например, или каким-то внешним влиянием на физическую систему), то придем к уравнению Кортевега-де Фриза (Korteweg-de Vries):

Есть и иные уравнения, но сейчас они не так важны.

В оптике фундаментальную роль играет явление дисперсии - зависимость частоты волны от её длины , а точнее так называемого волнового числа :

В простейшем случае она может быть линейна (, где - скорость света). В жизни ж часто получаем квадрат волнового числа, а то и что-то более хитрое. На практике, дисперсия ограничивает пропускную возможность оптоволокна, по которому только что бежали эти слова к вашему интернет-провайдеру с серверов WordPress’а. Но так же она позволяет пропускать по одному оптоволокну не один луч, а несколько. И в терминах оптики приведенные выше уравнения рассматривают простейшие случаи дисперсии.

Классифицировать солитоны можно по-разному. Например, солитоны, возникающие как некие математические абстракции в системах без трения и других потерь энергии зовут консервативными. Если рассматривать то же самое цунами на протяжении не очень длительного времени (а для здоровья так, должно быть, полезней), то оно будет консервативным солитоном. Иные солитоны существуют лишь благодаря потокам вещества и энергии. Их принято называть автосолитонами и дальше будем говорить именно об автосолитоне.

В оптике так же говорят про временные и пространственные солитоны. Из названия становится ясно, будем мы наблюдать солитон как некую волну в пространстве, или же это будет всплеск во времени. Временные возникают из-за балансировки нелинейных эффектов дифракцией - отклонения лучей от прямолинейного распространения. Например, посветили лазером в стекло (оптоволокно), и внутри лазерного луча показатель преломления стал зависеть от мощности лазера. Пространственные солитоны возникают из-за балансировки нелинейностей дисперсией.

Фундаментальный солитон

Как уже говорилось, широкополосность (то есть возможность передать много частот, а значит и полезной информации) волоконно-оптических линий связи ограничивается нелинейными эффектами и дисперсией, меняющими амплитуду сигналов и их частоту. Но с другой стороны, те же самые нелинейность и дисперсия могут привести к созданию солитонов, которые сохраняют свою форму и иные параметры существенно дольше чем все остальное. Естественным выводом отсюда является желание использовать сам солитон в качестве информационного сигнала (есть вспышка-солитон на конце волокна - передали единичку, нет - передали нолик).

Пример с лазером, изменяющим коэффициент преломления внутри оптоволокна по мере своего распространения достаточно жизненный, особенно если «запихнуть» в волокно тоньше человеческого волоса импульс в несколько ватт. Для сравнения много это или нет, типичная энергосберегающая лампочка мощностью в 9 Вт освещает письменный стол, но при этом размером с ладонь. В общем, мы не отойдем далеко от действительности предположив, что зависимость коэффициента преломления от мощности импульса внутри волокна будет выглядеть так:

После физических размышлений и математических преобразований различной сложности на амплитуду электрического поля внутри волокна можно получить уравнение вида

где и координата вдоль распространения луча и поперечная ему. Коэффициент играет важную роль. Он определяет соотношение между дисперсией и нелинейностью. Если он будет очень мал, то последнее слагаемое в формуле можно выкинуть в следствие слабости нелинейностей. Если он очень большой, то нелинейности задавив дифракцию будут единолично определять особенности распространения сигнала. Решить это уравнение пока пытались лишь при целых значениях . Так при результат особенно простой:
.
Функция гиперболического секанса хотя называется длинно, выглядит как обыкновенный колокольчик

Распределение интенсивности в поперечном сечении лазерного луча в форме фундаментального солитона.

Именно это решение и называется фундаментальным солитоном. Мнимая экспонента определяет распространение солитона вдоль оси волокна. На практике это все означает, что посветив на стенку мы увидели б яркое пятно в центре, интенсивность которого быстро спадала бы на краях.

Фундаментальный солитон как и все солитоны, возникающие с использованием лазеров, имеет определенные особенности. Во-первых, если мощность лазера окажется недостаточной, он не появится. Во-вторых, даже если где-то слесарь излишне перегнет волокно, капнет на него маслом или сделает иную пакость, солитон проходя сквозь поврежденную область возмутится (в физическом и переносном смыслах), но быстро вернется к своим изначальным параметрам. Люди и иные живые существа так же попадают под определение автосолитона и это умение возвращаться в спокойное состояние очень важно в жизни 😉

Потоки энергии внутри фундаментального солитона выглядят так:

Направление потоков энергии внутри фундаментального солитона.

Тут окружностью разделены области с различными направлениями потоков, а стрелками указано направление.

На практике можно получить несколько солитонов, если лазер имеет несколько каналов генерации, параллельных его оси. Тогда взаимодействие солитонов будет определяться степенью перекрытия их «юбок». Если рассеяние энергии не очень велико, можно считать, что потоки энергии внутри каждого солитона сохраняются во времени. Тогда солитоны начинают кружиться и сцепляться вместе. На следующем рисунке приведено моделирование столкновения двух троек солитонов.

Моделирование столкновения солитонов. На сером фоне изображены амплитуды (как рельеф), а на черном - распределение фазы.

Группы солитонов встречаются, цепляются и образуя Z-подобную структуру начинают вращаться. Еще более интересные результаты можно получить нарушением симметрии. Если расставить лазерные солитоны в шахматном порядке и выбросить один, структура начнет вращаться.

Нарушение симметрии в группе солитонов приводит к вращению центра инерции структуры в направлении стрелки на рис. справа и вращению вокруг мгновенного положения центра инерции

Вращений будет два. Центр инерции будет обращаться против часовой стрелки, а так же сама структура будет крутиться вокруг его положения в каждый момент времени. При чем периоды вращений будут равны, например, как у Земли и Луны, которая повернута к нашей планете лишь одной стороной.

Эксперименты

Столь необычные свойства солитонов обращают на себя внимание и заставляют задуматься о практическом применении уже около 40 лет. Сразу можно сказать, что солитоны можно использовать для сжатия импульсов. На сегодняшний день так можно получить длительность импульса до 6 фемтосекунд ( сек или дважды брать от секунды одну миллионную и результат поделить на тысячу). Отдельный интерес представляют солитонные линии связи, разработка которых идет уже довольно давно. Так Хасегавой было предложено следующую схему еще в 1983 году.

Солитонная линия связи.

Линия связи формируется из секций длиной около 50 км. Всего длина линии составляла 600 км. Каждая секция состоит из приемника с лазером передающих в следующий волновод усиленный сигнал, что позволило достичь скорости 160 Гбит/сек.

Презентация

Литература

1. Дж. Лем. Введение в теорию солитонов. Пер. с англ. М.: Мир, - 1983. -294 с.
2. Дж. Уизем Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 624 с.
3. И. Р. Шен. Принципы нелинейной оптики: Пер. с англ./Под ред. С. А. Ахманова. - М.: Наука., 1989. - 560 с.
4. С. А. Булгакова, А. Л. Дмитриев. Нелинейно-оптические устройства обработки информации// Учебное пособие. - СПб: СПбГУИТМО, 2009. - 56 с.
5. Werner Alpers et. al. Observation of Internal Waves in the Andaman Sea by ERS SAR // Earthnet Online
6. А. И. Латкин, А. В. Якасов. Автосолитонные режимы распространения импульса в волоконно-оптической линии связи с нелинейными кольцевыми зеркалами // Автометрия, 4 (2004), т.40.
7. Н. Н. Розанов. Мир лазерных солитонов // Природа, 6 (2006). С. 51-60.
8. О. А. Татаркина. Некоторые аспекты проектирования солитонных волоконно-оптических систем передачи // Фундаментальные исследования, 1 (2006), С. 83-84.

P. S. О диаграммах в .

СОЛИТОН –это уединенная волна в средах различной физической природы, сохраняющая неизменной свою форму и скорость при распространении.От англ. solitary – уединенная (solitary wave – уединенная волна), «-он» – типичное окончание терминов такого рода (например, электрон, фотон, и т.д.), означающее подобие частицы.

Понятие солитон введено в 1965 американцами Норманом Забуски и Мартином Крускалом, но честь открытия солитона приписывают британскому инженеру Джону Скотту Расселу (1808–1882). В 1834 им впервые дано описание наблюдения солитона («большой уединенной волны»). В то время Рассел изучал пропускную способность канала Юнион близь Эдинбурга (Шотландия). Вот как сам автор открытия рассказывал о нем: «Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешенного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции…».

Впоследствии Рассел экспериментальным путем, проведя ряд опытов, нашел зависимость скорости уединенной волны от ее высоты (максимальной высоты над уровнем свободной поверхности воды в канале).

Возможно, Рассел предвидел ту роль, которую играют солитоны в современной науке. В последние годы своей жизни он завершил книгу Волны трансляции в водном, воздушном и эфирном океанах , опубликованную посмертно в 1882. Эта книга содержит перепечатку Доклада о волнах – первое описание уединенной волны, и ряд догадок о строении материи. В частности, Рассел полагал, что звук есть уединенные волны (на самом деле это не так), иначе, по его мнению, распространение звука происходило бы с искажениями. Основываясь на этой гипотезе и используя найденную им зависимость скорости уединенной волны, Рассел нашел толщину атмосферы (5 миль). Более того, сделав предположение, что свет это тоже уединенные волны (что тоже не так), Рассел нашел и протяженность вселенной (5·10 17 миль).

По-видимому, в своих расчетах, относящихся к размерам вселенной, Рассел допустил ошибку. Тем не менее, результаты, полученные для атмосферы, оказались бы правильными, будь ее плотность равномерной. Расселовский же Доклад о волнах считается теперь примером ясности изложения научных результатов, ясности, до которой далеко многим сегодняшним ученым.

Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то время английских механиков Джорджа Байделя Эйри (1801–1892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828 по 1835, астронома королевского двора с 1835 по 1881) и Джорджа Габриэля Стокса (1819–1903) (профессора математики в Кембридже с 1849 по 1903) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что и воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом месте, где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.

В 1871–1872 были опубликованы результаты французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (1842–1929), посвященных теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение:

Описывающее такие волны (u – смещение свободной поверхности воды в канале, d – глубина канала, c 0 – скорость волны, t – время, x – пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс, см . рис. 1) и скорость.

Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями и рассмотрел вспучивания положительной и отрицательной высоты. Буссинеск обосновал устойчивость положительных вспучиваний тем, что их малые возмущения, возникнув, быстро затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для длинного и положительного очень короткого вспучиваний. Несколько позже, в 1876, опубликовал результаты своих исследований англичанин лорд Рэлей.

Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (1848–1941) и его ученика Густава де Вриза (точные даты жизни не известны). По-видимому, ни Кортевег, ни де Вриз работ Буссинеска не читали. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя – уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби cn , эти решения были названы «кноидальными» волнами.

В нормальной форме уравнение КдВ для искомой функции и имеет вид:

Способность солитона сохранять при распространении свою форму неизменной объясняется тем, что поведение его определяется двумя действующими взаимно противоположно процессами. Во-первых, это, так называемое, нелинейное укручение (фронт волны достаточно большой амплитуды стремится опрокинуться на участках нарастания амплитуды, поскольку задние частицы, имеющие большую амплитуду, движутся быстрее впереди бегущих). Во-вторых, проявляется такой процесс как дисперсия (зависимость скорости волны от ее частоты, определяемая физическими и геометрическими свойствами среды; при дисперсии разные участки волны движутся с разными скоростями и волна расплывается). Таким образом, нелинейное укручение волны компенсируется ее расплыванием за счет дисперсии, что и обеспечивает сохранение формы такой волны при ее распространении.

Отсутствие вторичных волн при распространении солитона свидетельствует о том, что энергия волны не рассеивается по пространству, а сосредоточена в ограниченном пространстве (локализована). Локализация энергии есть отличительное качество частицы.

Еще одной удивительной особенностью солитонов (отмеченной еще Расселом) является их способность сохранять свои скорость и форму при прохождении друг через друга. Единственным напоминанием о состоявшемся взаимодействии являются постоянные смещения наблюдаемых солитонов от положений, которые они занимали бы, если бы не встретились. Есть мнение, что солитоны не проходят друг через друга, а отражаются подобно столкнувшимся упругим шарам. В этом также проявляется аналогия солитонов с частицами.

Долго считалось, что уединенные волны связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами – гидродинамиками. В 1946 М.А.Лаврентьев (СССР), а в 1954 К.О.Фридрихс и Д.Г.Хайерс США опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.

Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) – Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн (такая модель использовалась для изучения теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе стал численный эксперимент (расчеты на одной из первых созданных к этому времени ЭВМ).

Открытые теоретически первоначально для уравнений Буссинеска и КдВ, описывающих волны на мелкой воде, солитоны к настоящему времени найдены также как решения ряда уравнений в других областях механики и физики. Наиболее часто встречающимися являются (ниже во всех уравнениях u – искомые функции, коэффициенты при u – некоторые константы)

нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)

Уравнение было получено при изучении оптической самофокусировки и расщепления оптических пучков. Это же уравнение применялось при исследовании волн на глубокой воде. Появилось обобщение НУШ для волновых процессов в плазме. Интересно применение НУШ в теории элементарных частиц.

Уравнение sin-Гордона (СГ)

описывающее, например, распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов, дислокации в кристаллах, процессы в жидком гелии, волны зарядовой плотности в проводниках.

Солитонные решения имеют и так называемые, родственные КдВ уравнения. К таким уравнениям относятся,

модифицированное уравнение КдВ

уравнение Бенджамина, Бона и Магони (ББМ)

впервые появившееся при описании боры (волны на поверхности воды, возникающей при открывании ворот шлюзов, при «запирании» течения реки);

уравнение Бенджамина – Оно

полученное для волн внутри тонкого слоя неоднородной (стратифицированной) жидкости, расположенного внутри другой однородной жидкости. К уравнению Бенджамина – Оно приводит и исследованиее трансзвукового пограничного слоя.

К уравнениям с солитонными решениями относится и уравнение Борна – Инфельда

имеющее приложения в теории поля. Есть и другие уравнения с солитонными решениями.

Солитон, описываемый уравнением КдВ, однозначно характеризуется двумя параметрами: скоростью и положением максимума в фиксированный момент времени.

Солитон, описываемый уравнением Хироты

однозначно характеризуется четырьмя параметрами.

Начиная с 1960, на развитие теории солитонов повлиял ряд физических задач. Была предложена теория самоиндуцированной прозрачности и приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.

В 1967 Крускалом и соавторами был найден метод получения точного решения уравнения КдВ – метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдВ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится.

Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е.Захаровым и А.Б.Шабатом было решено НУШ.

Приложения солитонной теории в настоящее время находят применение при исследованиях линий передачи сигналов с нелинейными элементами (диоды, катушки сопротивления), пограничного слоя, атмосфер планет (Большое красное пятно Юпитера ), волн цунами, волновых процессов в плазме, в теории поля, физике твердого тела, теплофизике экстремальных состояний веществ, при изучении новых материалов (например, джозефсоновских контактов, состоящих из разделенных диэлектриком двух слоев сверхпроводящего металла), при создании моделей решеток кристаллов, в оптике, биологии и многих других. Высказано мнение, что бегущие по нервам импульсы – солитоны.

В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые комбинаций из них, например:

антисолитон – солитон отрицательной амплитуды;

бризер (дублет) – пара солитон – антисолитон (рис. 2);

мультисолитон – несколько солитонов, движущихся как единое целое;

флюксон – квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных джозефсоновских контактах;

кинк (монополь), от английского kink – перегиб.

Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдВ, НУШ, СГ, описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 3). Изменение знака решения типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».

Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом и Скирмом при численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.

Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и О.Ю.Цвелодубом). Двумерные солитонные решения имеет уравнение Кадомцева – Петвиашвили, используемое, например, для описания акустических (звуковых) волн:

Среди известных решений этого уравнения – нерасплывающиеся вихри или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси). Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной особенности атмосферы Юпитера – Большому Красному Пятну.

Солитоны являются существенно нелинейными образованиями и столь же фундаментальны, как линейные (слабые) волны (например, звук). Создание линейной теории, в значительной мере, трудами классиков Бернхарда Римана (1826–1866), Огюстена Коши (1789–1857), Жана Жозефа Фурье (1768–1830) позволило решить важные задачи, стоявшие перед естествознанием того времени. С помощью солитонов удается выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем.

Андрей Богданов