การแจกแจงทวินามของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง การกระจายทวินาม กฎเฉพาะของการแจกแจงตัวแปรสุ่ม

- (การแจกแจงแบบทวินาม) การแจกแจงที่อนุญาตให้คำนวณความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์สุ่มใด ๆ ที่ได้รับจากการสังเกตเหตุการณ์อิสระจำนวนหนึ่งหากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นซึ่งเป็นองค์ประกอบเบื้องต้น ... ... พจนานุกรมเศรษฐกิจ

- (การกระจายเบอร์นูลลี) การกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบอิสระซ้ำ ๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบแต่ละครั้งเท่ากับ p (0 p 1) คือตัวเลข? เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนี้คือ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

การกระจายทวินาม- - หัวข้อ โทรคมนาคม แนวคิดพื้นฐาน EN การกระจายทวินาม ...

- (การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี) การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์หนึ่งในการทดสอบอิสระซ้ำ ๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบแต่ละครั้งเท่ากับ p (0≤p≤1) กล่าวคือจำนวน μ ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

การกระจายทวินาม- 1.49. การแจกแจงแบบทวินาม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X โดยรับค่าจำนวนเต็มใดๆ จาก 0 ถึง n ดังนั้นสำหรับ x = 0, 1, 2, ..., n และพารามิเตอร์ n = 1, 2, ... และ 0< p < 1, где Источник … หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมของเงื่อนไขของเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค

การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X นำค่าจำนวนเต็มที่มีความน่าจะเป็นตามลำดับ (ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม พารามิเตอร์ p ข. พี. เรียกว่าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เชิงบวก การรับค่า... สารานุกรมคณิตศาสตร์

การกระจายความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดสอบอิสระซ้ำ ๆ ถ้าสำหรับการทดสอบแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์คือ p โดยมีค่า 0 ≤ p ≤ 1 ดังนั้นจำนวน μ ของเหตุการณ์นี้จะเป็น n ที่ไม่ขึ้นต่อกัน ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

- (การกระจายเบอร์นูลลี) การแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ที่แน่นอนในการทดสอบอิสระซ้ำ ๆ หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบแต่ละครั้งคือ p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม- (การแจกแจงแบบทวินาม) การแจกแจงที่สังเกตได้ในกรณีที่ผลลัพธ์ของการทดลองอิสระแต่ละครั้ง (การสังเกตทางสถิติ) ใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่าที่เป็นไปได้: ชัยชนะหรือความพ่ายแพ้ การรวมหรือการยกเว้น บวกหรือ ... พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินาม- การกระจายที่สังเกตได้ในกรณีที่ผลลัพธ์ของการทดลองอิสระแต่ละครั้ง (การสังเกตทางสถิติ) ใช้ค่าใดค่าหนึ่งจากสองค่าที่เป็นไปได้: ชัยชนะหรือความพ่ายแพ้ การรวมหรือการยกเว้น บวกหรือลบ 0 หรือ 1 นั่นคือ ... ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

หนังสือ

• ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในปัญหา มากกว่า 360 ปัญหาและแบบฝึกหัด D.A. Borzykh คู่มือที่นำเสนอมีงานระดับความยากต่างๆ อย่างไรก็ตาม เน้นหลักในงานที่มีความซับซ้อนปานกลาง ทั้งนี้ เพื่อเป็นการส่งเสริมให้นักศึกษา...
• ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ในปัญหา มากกว่า 360 ปัญหาและแบบฝึกหัด Borzykh D. คู่มือที่เสนอมีปัญหาระดับความซับซ้อนต่างๆ อย่างไรก็ตาม เน้นหลักในงานที่มีความซับซ้อนปานกลาง ทั้งนี้ เพื่อเป็นการส่งเสริมให้นักศึกษา...

พิจารณาการดำเนินการตามโครงการ Bernoulli กล่าวคือ ชุดของการทดสอบอิสระซ้ำๆ ถูกดำเนินการ โดยแต่ละเหตุการณ์ที่กำหนด A มีความน่าจะเป็นเท่ากัน โดยไม่ขึ้นกับหมายเลขการทดสอบ และสำหรับการทดลองแต่ละครั้ง มีเพียงสองผลลัพธ์เท่านั้น:

1) เหตุการณ์ A - ความสำเร็จ;

2) เหตุการณ์ - ความล้มเหลว

ด้วยความน่าจะเป็นคงที่

ให้เราแนะนำตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - "จำนวนเหตุการณ์ A at NSทดสอบ "และค้นหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มนี้ ปริมาณ X สามารถรับค่าได้

ความน่าจะเป็น ความจริงที่ว่าตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่า x kถูกค้นพบโดยสูตรของเบอร์นูลลี

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยสูตรเบอร์นูลลี (1) เรียกว่า กฎหมายการแจกแจงทวินาม ถาวร NS และ NS (q = 1-p)ในสูตร (1) เรียกว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม

ชื่อ "การแจกแจงทวินาม" เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าด้านขวามือในความเท่าเทียมกัน (1) เป็นศัพท์ทั่วไปของการขยายตัวของทวินามของนิวตัน กล่าวคือ

(2)

และตั้งแต่ p + q = 1แล้วทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน (2) จะเท่ากับ 1

หมายความว่า

(4)

ในความเท่าเทียมกัน (3) เทอมแรก คิว nทางด้านขวา หมายถึง ความน่าจะเป็นที่ใน NSเหตุการณ์การทดลอง A จะไม่ปรากฏแม้แต่ครั้งเดียว ภาคเรียนที่สอง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหนึ่งครั้ง เทอมที่สามคือ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นสองครั้ง และสุดท้าย เทอมสุดท้าย พีพี- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะปรากฏอย่างแน่นอน NSครั้งหนึ่ง.

กฎทวินามของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องถูกนำเสนอในรูปแบบของตาราง:

NS	0	1	…	k	…	NS
NS	คิว n		…		…	พีพี

ลักษณะเชิงตัวเลขพื้นฐานของการแจกแจงทวินาม:

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (5)

2) ความแปรปรวน (6)

3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (7)

4) จำนวนครั้งที่มีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด k 0เป็นตัวเลขที่กำหนดให้ NSสอดคล้องกับความน่าจะเป็นทวินามสูงสุด

ให้ NSและ NSตัวเลขนี้ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน

(8)

ถ้าตัวเลข pr + rไม่ทั้งหมดแล้ว k 0เท่ากับส่วนจำนวนเต็มของจำนวนนี้ แต่ถ้า pr + rเป็นจำนวนเต็ม แล้ว k 0มีสองความหมาย

กฎทวินามของการแจกแจงความน่าจะเป็นใช้ในทฤษฎีการยิง ในทฤษฎีและการปฏิบัติของการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ทางสถิติ ในทฤษฎีการจัดคิว ในทฤษฎีความน่าเชื่อถือ ฯลฯ กฎหมายนี้สามารถใช้ได้ในทุกกรณีที่มีลำดับการทดสอบอิสระ

ตัวอย่างที่ 1:การควบคุมคุณภาพได้กำหนดไว้ว่าโดยเฉลี่ยแล้ว อุปกรณ์ 90 ชิ้นจะปราศจากข้อบกพร่อง สร้างกฎทวินามของการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนอุปกรณ์คุณภาพจากอุปกรณ์ที่ซื้อแบบสุ่ม 4

สารละลาย:เหตุการณ์ A - เหตุการณ์ที่กำลังตรวจสอบ - คือ "อุปกรณ์คุณภาพที่ได้มาโดยการสุ่ม" ตามเงื่อนไขของปัญหา พารามิเตอร์หลักของการแจกแจงแบบทวินามคือ:

ตัวแปรสุ่ม X คือจำนวนอุปกรณ์คุณภาพจาก 4 ตัวที่ถ่าย ซึ่งหมายความว่าค่าของ X - มาหาความน่าจะเป็นของค่า X ตามสูตร (1):

ดังนั้นกฎการแจกจ่ายของปริมาณ X คือจำนวนอุปกรณ์คุณภาพสูงจาก 4 รายการ:

NS	0	1	2	3	4
NS	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของการสร้างการแจกแจง ให้ตรวจสอบว่าผลรวมของความน่าจะเป็นเท่ากับเท่าใด

ตอบ:กฎหมายการจัดจำหน่าย

NS	0	1	2	3	4
NS	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

ตัวอย่างที่ 2:วิธีการรักษาแบบประยุกต์นำไปสู่การฟื้นตัวใน 95% ของกรณี ผู้ป่วยห้ารายใช้วิธีนี้ ค้นหาจำนวนที่น่าจะหายได้มากที่สุด รวมทั้งลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม X - จำนวนผู้ป่วยที่หายจาก 5 รายที่ใช้วิธีนี้

บทที่ 7

กฎเฉพาะของการแจกแจงตัวแปรสุ่ม

ประเภทของกฎหมายการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องรับค่า NS 1 , NS 2 , …, x น,…. ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่างๆ เช่น การใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น สูตรของ Bernoulli หรือสูตรอื่นๆ สำหรับบางสูตรเหล่านี้ กฎหมายการจำหน่ายมีชื่อเป็นของตัวเอง

กฎทั่วไปของการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือทวินาม เรขาคณิต ไฮเปอร์จีโอเมตริก กฎการแจกแจงของปัวซอง

กฎหมายการกระจายทวินาม

ปล่อยให้มันผลิต NSการพิจารณาคดีอิสระ ซึ่งแต่ละเหตุการณ์อาจปรากฏหรือไม่ปรากฏก็ได้ NS... ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่ ไม่ขึ้นอยู่กับหมายเลขการทดลองและเท่ากับ NS=NS(NS). ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น NSในการทดสอบแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากับ NS=1–NS... พิจารณาตัวแปรสุ่ม NSเท่ากับจำนวนครั้งของเหตุการณ์ NSวี NSการทดสอบ เห็นได้ชัดว่าค่าของปริมาณนี้คือ

NS 1 = 0 - เหตุการณ์ NSวี NSการทดลองไม่ปรากฏขึ้น

NS 2 = 1 - เหตุการณ์ NSวี NSการทดลองปรากฏครั้งเดียว;

NS 3 = 2 - เหตุการณ์ NSวี NSการทดลองปรากฏสองครั้ง;

…………………………………………………………..

x น +1 = NS- เหตุการณ์ NSวี NSการทดสอบปรากฏทุกอย่าง NSครั้งหนึ่ง.

ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี (4.1):

ที่ไหน ถึง=0, 1, 2, …,NS .

กฎหมายการกระจายทวินาม NSเท่ากับจำนวนความสำเร็จใน NSการทดลองของเบอร์นูลลี กับความน่าจะเป็นของความสำเร็จ NS.

ดังนั้นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องจะมีการแจกแจงแบบทวินาม (หรือกระจายตามกฎทวินาม) หากค่าที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, ..., NSและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันคำนวณโดยสูตร (7.1)

การกระจายทวินามขึ้นอยู่กับสอง พารามิเตอร์ NSและ NS.

อนุกรมการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎทวินามมีรูปแบบดังนี้

NS			…	k	…	NS
NS			…		…

ตัวอย่าง 7.1 ... การยิงอิสระสามนัดที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะตีแต่ละนัดคือ 0.4 ค่าสุ่ม NS- จำนวนครั้งที่เข้าเป้า สร้างชุดการแจกจ่าย

สารละลาย. ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม NSเป็น NS 1 =0; NS 2 =1; NS 3 =2; NS 4 = 3 หาความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี ไม่ยากที่จะแสดงว่าการใช้สูตรนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่โดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวจะเท่ากับ 1-0.4 = 0.6 เราได้รับ

ชุดการจัดจำหน่ายมีดังนี้:

NS
NS	0,216	0,432	0,288	0,064

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดเท่ากับ 1 ตัวแปรสุ่มเอง NSกระจายตามกฎทวินาม ■

ให้เราหาความคาดหมายทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎทวินาม

เมื่อแก้ตัวอย่างที่ 6.5 พบว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น NSวี NSการทดสอบอิสระหากมีโอกาสเกิดขึ้น NSในการทดสอบแต่ละครั้งมีค่าคงที่และเท่ากับ NSเท่ากับ NS· NS

ในตัวอย่างนี้ มีการใช้ตัวแปรสุ่มทวินาม ดังนั้น คำตอบของตัวอย่างที่ 6.5 แท้จริงแล้วเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 7.1ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่แจกแจงตามกฎทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" กล่าวคือ NS(NS)=NS· NS.

ทฤษฎีบท 7.2ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่แจกแจงตามกฎทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองโดยความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" และความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" เช่น NS(NS)=น.

ความไม่สมมาตรและความโด่งของตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎทวินามถูกกำหนดโดยสูตร

สูตรเหล่านี้สามารถรับได้โดยใช้แนวคิดของช่วงเวลาเริ่มต้นและช่วงเวลาศูนย์กลาง

กฎหมายการแจกแจงทวินามรองรับสถานการณ์ในชีวิตจริงมากมาย สำหรับค่าขนาดใหญ่ NSการแจกแจงแบบทวินามสามารถประมาณได้โดยใช้การแจกแจงแบบอื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยใช้การแจกแจงแบบปัวซอง

การกระจายปัวซอง

ให้มี NSการทดลองเบอร์นูลลีพร้อมจำนวนการทดลอง NSใหญ่พอ. แสดงให้เห็นก่อนหน้านี้ว่าในกรณีนี้ (หากยิ่งกว่านั้น ความน่าจะเป็น NSพัฒนาการ NSน้อยมาก) เพื่อหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ NSปรากฏ NSเมื่ออยู่ในการทดสอบ คุณสามารถใช้สูตรปัวซอง (4.9) ถ้าตัวแปรสุ่ม NSหมายถึง จำนวนครั้งของเหตุการณ์ NSวี NSเบอร์นูลลีทดสอบความน่าจะเป็นที่ NSจะดำเนินการ kสามารถคำนวณได้โดยสูตร

, (7.2)

ที่ไหน λ = np.

การกระจายปัวซองเรียกว่าการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง NSโดยที่ค่าที่เป็นไปได้เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ และความน่าจะเป็น r tค่าเหล่านี้หาได้จากสูตร (7.2)

ขนาด λ = npเรียกว่า พารามิเตอร์การกระจายปัวซอง

ตัวแปรสุ่มที่กระจายตามกฎของปัวซองสามารถรับค่าได้เป็นอนันต์ เนื่องจากการกระจายนี้ ความน่าจะเป็น NSการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้งมีน้อย การกระจายนี้บางครั้งเรียกว่ากฎของเหตุการณ์หายาก

อนุกรมการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎของปัวซองมีรูปแบบ

NS					…	NS	…
NS					…		…

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลรวมของความน่าจะเป็นของแถวที่สองเท่ากับ 1 สำหรับสิ่งนี้ จำเป็นต้องจำไว้ว่าฟังก์ชันนี้สามารถขยายเป็นอนุกรม Maclaurin ซึ่งมาบรรจบกันเพื่อ NS... ในกรณีนี้ เรามี

. (7.3)

ดังที่กล่าวไว้ กฎของปัวซองเข้ามาแทนที่กฎทวินามในบางกรณี ตัวอย่างคือตัวแปรสุ่ม NSซึ่งมีค่าเท่ากับจำนวนความล้มเหลวในช่วงเวลาหนึ่งโดยใช้อุปกรณ์ทางเทคนิคซ้ำๆ สันนิษฐานว่านี่เป็นอุปกรณ์ที่มีความน่าเชื่อถือสูงเช่น ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวในแอปพลิเคชันเดียวมีน้อยมาก

นอกเหนือจากกรณีจำกัดดังกล่าว ในทางปฏิบัติแล้ว ยังมีตัวแปรสุ่มกระจายตามกฎของปัวซองที่ไม่เกี่ยวข้องกับการแจกแจงทวินาม ตัวอย่างเช่น การกระจายปัวซองมักใช้ในการจัดการกับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาหนึ่ง (จำนวนการโทรเพื่อแลกเปลี่ยนโทรศัพท์ต่อชั่วโมง จำนวนรถที่มาถึงร้านล้างรถในระหว่างวัน จำนวนครั้ง เครื่องหยุดต่อสัปดาห์ ฯลฯ .) เหตุการณ์ทั้งหมดเหล่านี้ควรก่อให้เกิดกระแสของเหตุการณ์ที่เรียกว่า ซึ่งเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีการเข้าคิว พารามิเตอร์ λ กำหนดลักษณะความเข้มเฉลี่ยของการไหลของเหตุการณ์

ตัวอย่าง 7.2 ... คณะมีนักศึกษา 500 คน โอกาสที่ 1 กันยายน จะเป็นวันเกิดของนิสิต 3 คนในแผนกนี้เท่าไหร่?

สารละลาย ... เนื่องจากจำนวนนักศึกษา NS= 500 มีขนาดใหญ่เพียงพอและ NS- ความน่าจะเป็นที่จะเกิดในวันที่ 1 กันยายน เท่ากับนักเรียนคนใดคนหนึ่ง กล่าวคือ มีขนาดเล็กพอ เราสามารถสรุปได้ว่าตัวแปรสุ่ม NS- จำนวนนักเรียนที่เกิดวันที่ 1 กันยายน แบ่งตามกฏของปัวซองพร้อมค่าพารามิเตอร์ λ = np= = 1.36986. จากนั้นตามสูตร (7.2) เราจะได้

ทฤษฎีบท 7.3ให้ตัวแปรสุ่ม NSเผยแพร่ตามกฎของปัวซอง จากนั้นความคาดหมายและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์จะเท่ากันและเท่ากับค่าของพารามิเตอร์ λ , เช่น. NS(NS) = NS(NS) = λ = np.

การพิสูจน์.จากคำจำกัดความของการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ โดยใช้สูตร (7.3) และอนุกรมการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎของปัวซอง เราจะได้

ก่อนที่จะหาความแปรปรวน ให้เราหาการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่มที่อยู่ระหว่างการพิจารณาก่อน เราได้รับ

ดังนั้น โดยนิยามของความแปรปรวน เราจะได้

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

จากการใช้แนวคิดของโมเมนต์เริ่มต้นและโมเมนต์ศูนย์กลาง แสดงว่าสำหรับตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎของปัวซอง สัมประสิทธิ์ของความไม่สมมาตรและความโด่งจะถูกกำหนดโดยสูตร

เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าเนื่องจากเนื้อหาความหมายของพารามิเตอร์ λ = npเป็นค่าบวก ดังนั้นสำหรับตัวแปรสุ่มที่แจกแจงตามกฎของปัวซอง ทั้งความไม่สมมาตรและความโด่งเป็นบวกเสมอ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีอยู่อย่างล่องหนในชีวิตของเรา เราไม่ได้สนใจเรื่องนี้ แต่ทุกเหตุการณ์ในชีวิตของเรามีความน่าจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง โดยคำนึงถึงสถานการณ์จำนวนมากในการพัฒนาเหตุการณ์ จำเป็นต้องกำหนดสถานการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดและเป็นไปได้น้อยที่สุด การวิเคราะห์ข้อมูลความน่าจะเป็นแบบกราฟิกจะสะดวกที่สุด การกระจายสามารถช่วยเราได้ ทวินามเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายและแม่นยำที่สุด

ก่อนดำเนินการกับคณิตศาสตร์โดยตรงและทฤษฎีความน่าจะเป็น ลองคิดกันก่อนว่าใครเป็นคนคิดการแจกแจงประเภทนี้เป็นคนแรก และประวัติความเป็นมาของการพัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับแนวคิดนี้เป็นอย่างไร

ประวัติศาสตร์

แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณไม่ได้ให้ความสำคัญเป็นพิเศษกับมัน และสามารถวางเพียงรากฐานสำหรับทฤษฎีที่ต่อมากลายเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาสร้างวิธีการผสมผสานบางอย่างที่ช่วยผู้ที่สร้างและพัฒนาทฤษฎีในภายหลังอย่างมาก

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่สิบเจ็ด การก่อตัวของแนวคิดพื้นฐานและวิธีการของทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มต้นขึ้น ได้แนะนำคำจำกัดความของตัวแปรสุ่ม วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระและขึ้นต่อกันแบบง่าย ๆ และซับซ้อนบางเหตุการณ์ ความสนใจในตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นนั้นถูกกำหนดโดยการพนัน: แต่ละคนต้องการทราบว่าโอกาสในการชนะเกมของเขาเป็นอย่างไร

ขั้นตอนต่อไปคือการประยุกต์ใช้วิธีการในทฤษฎีความน่าจะเป็น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น Laplace, Gauss, Poisson และ Bernoulli รับงานนี้ พวกเขาเป็นผู้ผลักดันสาขาวิชาคณิตศาสตร์นี้ไปสู่ระดับใหม่ เจมส์ เบอร์นูลลีเป็นผู้ค้นพบกฎการแจกจ่ายทวินาม โดยวิธีการที่เราจะค้นพบในภายหลังบนพื้นฐานของการค้นพบนี้อีกหลายถูกสร้างขึ้นซึ่งทำให้สามารถสร้างกฎของการแจกแจงแบบปกติและอื่น ๆ อีกมากมาย

ก่อนที่เราจะเริ่มอธิบายการแจกแจงทวินาม เราจะทบทวนความจำของเราเล็กน้อยเกี่ยวกับแนวคิดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งอาจจะลืมไปจากโรงเรียนแล้ว

พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

เราจะพิจารณาระบบดังกล่าว ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงสองประการคือ "ความสำเร็จ" และ "ไม่สำเร็จ" ตัวอย่างนี้เข้าใจง่าย: เราพลิกเหรียญโดยเดาว่ามันโผล่ออกมา ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ (ก้อย - "สำเร็จ", หัว - "ไม่สำเร็จ") เท่ากับ 50 เปอร์เซ็นต์ โดยมีความสมดุลที่สมบูรณ์แบบของเหรียญและไม่มีปัจจัยอื่นๆ ที่อาจส่งผลต่อการทดลอง

นี่เป็นเหตุการณ์ที่ง่ายที่สุด แต่ยังมีระบบที่ซับซ้อนซึ่งดำเนินการตามลำดับ และความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ของการกระทำเหล่านี้จะแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณาระบบต่อไปนี้: ในกล่อง ซึ่งเนื้อหาที่เรามองไม่เห็น มีลูกบอลที่เหมือนกันทั้งหมดหกลูก มีสีน้ำเงิน แดง และขาวสามคู่ เราต้องสุ่มลูกบอลสองสามลูก ดังนั้น โดยการดึงลูกบอลสีขาวออกมาก่อน เราจะลดความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวต่อไปเป็นเท่าตัว สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากจำนวนของอ็อบเจ็กต์ในระบบเปลี่ยนแปลง

ในส่วนถัดไป เราจะดูแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งทำให้เราเข้าใกล้ความหมายของคำว่า "การแจกแจงปกติ" "การแจกแจงแบบทวินาม" และค่าเฉลี่ยที่คล้ายกัน

องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์

ในสถิติซึ่งเป็นหนึ่งในขอบเขตของการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น มีตัวอย่างมากมายเมื่อไม่ได้ให้ข้อมูลสำหรับการวิเคราะห์อย่างชัดเจน นั่นคือไม่ใช่ตัวเลข แต่อยู่ในรูปแบบของการแบ่งตามลักษณะเช่นตามเพศ เพื่อที่จะนำเครื่องมือทางคณิตศาสตร์มาใช้กับข้อมูลดังกล่าวและได้ข้อสรุปจากผลลัพธ์ที่ได้ จำเป็นต้องแปลข้อมูลเบื้องต้นให้อยู่ในรูปแบบตัวเลข ตามกฎแล้ว เพื่อให้บรรลุสิ่งนี้ ผลลัพธ์ที่เป็นบวกถูกกำหนดเป็น 1 และค่าลบหนึ่ง - 0 ดังนั้น เราได้รับสถิติที่สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์

ขั้นตอนต่อไปในการทำความเข้าใจว่าการแจกแจงทวินามของตัวแปรสุ่มคืออะไร เพื่อหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในหัวข้อถัดไป

มูลค่าที่คาดหวัง

ที่จริงแล้ว ไม่ยากเลยที่จะเข้าใจว่ามูลค่าที่คาดหวังคืออะไร พิจารณาระบบที่มีเหตุการณ์ต่าง ๆ มากมายที่มีความน่าจะเป็นต่างกัน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเรียกว่าค่าที่เท่ากับผลรวมของผลคูณของค่าของเหตุการณ์เหล่านี้ (ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่เราพูดถึงในส่วนที่แล้ว) ตามความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบทวินามคำนวณตามรูปแบบเดียวกัน: เรานำค่าของตัวแปรสุ่มมาคูณด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นบวก จากนั้นจึงรวมข้อมูลที่ได้รับสำหรับค่าทั้งหมด การนำเสนอข้อมูลแบบกราฟิกสะดวกมาก - วิธีนี้จะทำให้มองเห็นความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าต่างๆ ได้ดีขึ้น

ในส่วนถัดไป เราจะบอกคุณเล็กน้อยเกี่ยวกับแนวคิดอื่น - ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเช่นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบทวินามและเป็นลักษณะของมัน

ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินาม

ค่านี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับค่าก่อนหน้าและยังแสดงลักษณะการกระจายของข้อมูลทางสถิติ เป็นค่าเฉลี่ยกำลังสองของการเบี่ยงเบนของค่าจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของกำลังสองของผลต่างระหว่างค่าของตัวแปรสุ่มกับการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ คูณด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้

โดยทั่วไป นี่คือทั้งหมดที่เราจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับความแปรปรวนเพื่อทำความเข้าใจว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นทวินามคืออะไร ตอนนี้ไปที่หัวข้อหลักของเราโดยตรง กล่าวคือ สิ่งที่อยู่เบื้องหลังวลีที่ค่อนข้างซับซ้อนเช่น "กฎหมายการแจกแจงทวินาม" ที่ดูเหมือนค่อนข้างซับซ้อน

การกระจายทวินาม

ลองหาจุดเริ่มต้นกันว่าทำไมการกระจายตัวนี้ถึงเป็นทวินาม มาจากคำว่า binom คุณอาจเคยได้ยินเกี่ยวกับทวินามของนิวตัน - สูตรที่สามารถใช้ขยายผลรวมของจำนวนสองตัวใดๆ a และ b ให้เป็นกำลังที่ไม่เป็นลบของ n

อย่างที่คุณอาจเดาได้แล้วว่า สูตรทวินามของนิวตันและสูตรการแจกแจงทวินามนั้นแทบจะเป็นสูตรเดียวกัน ยกเว้นอย่างเดียวว่าข้อที่สองมีความสำคัญในทางปฏิบัติสำหรับปริมาณเฉพาะ และข้อแรกเป็นเพียงเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ซึ่งการใช้งานในทางปฏิบัติอาจแตกต่างกัน

สูตรการกระจาย

ฟังก์ชันการแจกแจงทวินามสามารถเขียนเป็นผลรวมของเงื่อนไขต่อไปนี้:

(n! / (n-k)! k!) * p k * q n-k

โดยที่ n คือจำนวนการทดลองสุ่มอิสระ p คือจำนวนผลลัพธ์ที่สำเร็จ q คือจำนวนผลลัพธ์ที่ไม่สำเร็จ k คือจำนวนการทดลอง (สามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง n) ! - การกำหนดแฟกทอเรียล เช่น ฟังก์ชันของตัวเลข ค่าที่เท่ากับผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่ไปถึง (เช่น สำหรับเลข 4: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 ).

นอกจากนี้ ฟังก์ชันการแจกแจงทวินามสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันเบต้าที่ไม่สมบูรณ์ได้ อย่างไรก็ตาม นี่เป็นคำจำกัดความที่ซับซ้อนกว่าอยู่แล้ว ซึ่งใช้เฉพาะเมื่อแก้ปัญหาทางสถิติที่ซับซ้อนเท่านั้น

การแจกแจงทวินาม ตัวอย่างที่เราพิจารณาข้างต้น เป็นหนึ่งในประเภทการแจกแจงที่ง่ายที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งเป็นประเภททวินาม ใช้บ่อยที่สุดและคำนวณได้ง่ายที่สุด นอกจากนี้ยังมีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี การแจกแจงแบบปัวซอง การแจกแจงแบบมีเงื่อนไข พวกเขาทั้งหมดแสดงลักษณะกราฟิกของพื้นที่ของความน่าจะเป็นของกระบวนการเฉพาะภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน

ในหัวข้อถัดไป เราจะพิจารณาแง่มุมต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการใช้อุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์นี้ในชีวิตจริง เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่านี่จะเป็นอีกเรื่องทางคณิตศาสตร์ ซึ่งตามปกติแล้ว ไม่พบการประยุกต์ใช้ในชีวิตจริง และโดยทั่วไปไม่มีใครต้องการ ยกเว้นนักคณิตศาสตร์เอง อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณี ท้ายที่สุดแล้ว การแจกแจงทุกประเภทและการแสดงภาพกราฟิกได้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่อวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติเท่านั้น ไม่ใช่เพื่อจุดประสงค์ของนักวิทยาศาสตร์

แอปพลิเคชัน

จนถึงตอนนี้ แอปพลิเคชั่นการแจกแจงที่สำคัญที่สุดมีอยู่ในสถิติ เพราะพวกเขาต้องการการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนของชุดข้อมูล ตามแนวทางปฏิบัติ ชุดข้อมูลจำนวนมากมีการแจกแจงค่าที่ใกล้เคียงกันโดยประมาณ: บริเวณวิกฤตที่มีค่าต่ำมากและสูงมาก ตามกฎแล้ว มีองค์ประกอบน้อยกว่าค่าเฉลี่ย

การวิเคราะห์ข้อมูลจำนวนมากไม่ได้ต้องการแค่ในสถิติเท่านั้น เป็นสิ่งที่ไม่สามารถถูกแทนที่ได้ ตัวอย่างเช่น ในวิชาเคมีกายภาพ ในวิทยาศาสตร์นี้ จะใช้เพื่อกำหนดปริมาณจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการสั่นสะเทือนแบบสุ่มและการเคลื่อนที่ของอะตอมและโมเลกุล

ในหัวข้อถัดไป เราจะมาดูกันว่าการใช้แนวคิดทางสถิติเช่นทวินามมีความสำคัญเพียงใด การแจกแจงตัวแปรสุ่มในชีวิตประจำวันสำหรับคุณและฉัน

ทำไมฉันถึงต้องการมัน?

หลายคนถามตัวเองด้วยคำถามนี้เมื่อพูดถึงคณิตศาสตร์ ด้วยเหตุผลบางอย่าง คณิตศาสตร์จึงถูกเรียกว่าราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ เป็นพื้นฐานของฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และในแต่ละวิทยาศาสตร์เหล่านี้มีการใช้การแจกแจงแบบหนึ่งด้วย: ไม่ว่าจะเป็นการกระจายทวินามแบบไม่ต่อเนื่องหรือปกติก็ไม่สำคัญ และถ้าเรามองโลกรอบตัวเราให้ละเอียดยิ่งขึ้น เราจะเห็นว่ามีการใช้คณิตศาสตร์ในทุกที่ในชีวิตประจำวัน ที่ทำงาน และแม้แต่ความสัมพันธ์ของมนุษย์ก็สามารถแสดงในรูปแบบของข้อมูลสถิติและวิเคราะห์ได้ เป็นสิ่งที่ผู้ที่ทำงานในองค์กรพิเศษที่เกี่ยวข้องกับการรวบรวมข้อมูล)

ตอนนี้ มาพูดคุยกันเล็กน้อยว่าต้องทำอย่างไร หากคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ มากกว่าที่เราได้สรุปไว้ในบทความนี้

ข้อมูลที่เราได้ให้ไว้ในบทความนี้ยังห่างไกลจากความสมบูรณ์ มีความแตกต่างหลายอย่างในการแจกจ่ายที่เป็นรูปเป็นร่าง การแจกแจงทวินามอย่างที่เราได้พบแล้วเป็นหนึ่งในประเภทหลักที่ใช้สถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นทั้งหมด

หากคุณสนใจหรือต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อนี้เกี่ยวกับงานของคุณ คุณจะต้องศึกษาวรรณกรรมเฉพาะทาง เราควรเริ่มต้นด้วยหลักสูตรของมหาวิทยาลัยในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และไปที่ส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็น ความรู้ในสาขาอนุกรมก็จะมีประโยชน์เช่นกัน เพราะการแจกแจงความน่าจะเป็นทวินามนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าชุดของเทอมที่ต่อเนื่องกัน

บทสรุป

ก่อนจบบทความ เราอยากจะบอกคุณอีกเรื่องหนึ่งที่น่าสนใจ มันเกี่ยวข้องโดยตรงกับหัวข้อของบทความของเราและคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป

หลายคนบอกว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ไร้ประโยชน์ และไม่มีอะไรที่พวกเขาทำในโรงเรียนที่มีประโยชน์สำหรับพวกเขา แต่ความรู้ไม่เคยฟุ่มเฟือย และหากบางสิ่งไม่เป็นประโยชน์ต่อคุณในชีวิต แสดงว่าคุณจำมันไม่ได้ หากคุณมีความรู้ พวกเขาสามารถช่วยคุณได้ แต่ถ้าไม่มี คุณไม่ควรคาดหวังความช่วยเหลือจากพวกเขา

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบแนวคิดของการแจกแจงแบบทวินามและคำจำกัดความทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับมัน และพูดคุยเกี่ยวกับวิธีที่มันนำมาใช้ในชีวิตของเรากับคุณ