สูตรหาปริมาตรของวัตถุรอบแกน oy วิธีหาพื้นที่ผิวของการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัล การคำนวณความยาวส่วนโค้ง

การบรรยาย 8. การประยุกต์อินทิกรัลที่แน่นอน

การประยุกต์ใช้อินทิกรัลกับปัญหาทางกายภาพนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการบวกของอินทิกรัลเหนือเซต ดังนั้นการใช้อินทิกรัลสามารถคำนวณปริมาณดังกล่าวซึ่งเป็นตัวเติมเองเหนือชุด ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของรูปจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ ความยาวส่วนโค้ง พื้นที่ผิว ปริมาตรของร่างกาย น้ำหนักตัวมีคุณสมบัติเหมือนกัน ดังนั้น ปริมาณทั้งหมดเหล่านี้สามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน

คุณสามารถใช้สองวิธีในการแก้ปัญหา: วิธีการของผลรวมปริพันธ์และวิธีการของดิฟเฟอเรนเชียล

วิธีการของผลรวมอินทิกรัลทำซ้ำการสร้างอินทิกรัลที่แน่นอน: สร้างพาร์ติชั่น, ทำเครื่องหมายจุด, คำนวณฟังก์ชันที่พวกมัน, คำนวณผลรวมอินทิกรัล, และผ่านไปยังขีด จำกัด ในวิธีนี้ ปัญหาหลักคือการพิสูจน์ว่าเมื่อถึงขีดจำกัดแล้ว สิ่งที่จำเป็นในปัญหาจะกลายเป็นจริง

วิธีการของดิฟเฟอเรนเชียลใช้อินทิกรัลไม่ จำกัด และสูตรนิวตัน - ไลบนิซ ค่าส่วนต่างของค่าที่จะกำหนดจะถูกคำนวณ จากนั้นเมื่อรวมส่วนต่างนี้เข้าด้วยกัน จะได้ค่าที่ต้องการโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ในวิธีนี้ ปัญหาหลักคือการพิสูจน์ว่าเป็นค่าส่วนต่างของค่าที่ต้องการที่คำนวณแล้ว ไม่ใช่อย่างอื่น

การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขแบน

1. ตัวเลขถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

เรามาถึงแนวคิดของอินทิกรัลที่แน่นอนของปัญหาของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูแบบโค้ง (อันที่จริงโดยใช้วิธีการของผลรวมอินทิกรัล) หากฟังก์ชันใช้เฉพาะค่าที่ไม่ใช่ค่าลบ พื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชันบนเซกเมนต์สามารถคำนวณได้โดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน สังเกตว่า ดังนั้นจึงสามารถดูวิธีการของดิฟเฟอเรนเชียลได้ที่นี่

แต่ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบในส่วนใดส่วนหนึ่ง จากนั้นอินทิกรัลในส่วนนี้จะให้พื้นที่เชิงลบ ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของพื้นที่

คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้สูตรNS=. นี่เท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของฟังก์ชันในพื้นที่ที่ใช้กับค่าลบ

หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้านบนด้วยกราฟของฟังก์ชันและจากด้านล่างด้วยกราฟของฟังก์ชัน คุณสามารถใช้สูตรNS= , เพราะ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = 0, x = 2 และกราฟของฟังก์ชัน y = x 2, y = x 3

โปรดทราบว่าในช่วงเวลา (0,1) อสมการ x 2> x 3 จะคงอยู่ และสำหรับ x> 1 ความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ x 3> x 2 นั่นเป็นเหตุผลที่

2. ตัวเลขถูกจำกัดด้วยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ให้กราฟของฟังก์ชันอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว และเราต้องการคำนวณพื้นที่ของเซกเตอร์ส่วนโค้งที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นและกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ที่นี่คุณสามารถใช้วิธีการของผลรวมอินทิกรัลโดยคำนวณพื้นที่ของส่วนโค้งเป็นขีด จำกัด ของผลรวมของพื้นที่ของภาคพื้นฐานซึ่งกราฟของฟังก์ชันถูกแทนที่ด้วยส่วนโค้งของวงกลม .

คุณยังสามารถใช้วิธีของส่วนต่าง: .

คุณสามารถให้เหตุผลเช่นนี้ แทนที่ส่วนโค้งเบื้องต้นที่สอดคล้องกับมุมกลางด้วยเซกเตอร์วงกลมเรามีสัดส่วน จากที่นี่ ... การรวมและการใช้สูตรนิวตัน - ไลบนิซ เราได้รับ .

ตัวอย่าง. ลองคำนวณพื้นที่ของวงกลม (ตรวจสอบสูตร) พวกเราเชื่อว่า. พื้นที่ของวงกลมคือ .

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยคาร์ดิออยด์ .

3 ตัวเลขถูกจำกัดโดยกราฟของฟังก์ชันที่ระบุแบบพาราเมตริก

สามารถระบุฟังก์ชันแบบพาราเมตริกได้ในรูปแบบ เราใช้สูตร NS= แทนที่ข้อจำกัดของการรวมเข้ากับตัวแปรใหม่ ... โดยปกติ เมื่อคำนวณอินทิกรัล พื้นที่เหล่านั้นจะถูกเลือกโดยที่อินทิกรัลมีเครื่องหมายที่แน่นอน และพิจารณาพื้นที่ที่เกี่ยวข้องด้วยเครื่องหมายหนึ่งหรืออีกอันหนึ่ง

ตัวอย่าง. คำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยวงรี

ใช้สมมาตรของวงรีคำนวณพื้นที่ของไตรมาสของวงรีที่อยู่ในจตุภาคแรก ในจตุภาคนี้. นั่นเป็นเหตุผล

การคำนวณปริมาตรของร่างกาย

1. การคำนวณปริมาตรของวัตถุตามพื้นที่ส่วนขนาน

ให้จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของวัตถุบางส่วน V จากพื้นที่หน้าตัดที่ทราบของวัตถุนี้โดยระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง OX ลากผ่านจุด x ใดๆ ของส่วนของเส้นตรง OX

ลองใช้วิธีการของดิฟเฟอเรนเชียลกัน เมื่อพิจารณาจากปริมาตรเบื้องต้น เหนือส่วนของปริมาตรของทรงกระบอกทรงกลมตรงที่มีพื้นที่ฐานและความสูง เราจะได้ ... การรวมและการใช้สูตรนิวตัน - ไลบนิซ เราได้รับ

2. การคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติ

ให้มันต้องคำนวณ วัว.

แล้ว .

เช่นเดียวกัน, ปริมาตรของการปฏิวัติรอบแกนออยหากฟังก์ชันกำหนดไว้ในแบบฟอร์ม ก็สามารถคำนวณได้โดยสูตร

หากมีการระบุฟังก์ชันในมุมมองและคุณต้องการกำหนดปริมาตรของการหมุนรอบแกนออยจึงสามารถหาสูตรคำนวณหาปริมาตรได้ดังนี้

ผ่านไปยังดิฟเฟอเรนเชียลและละเลยเทอมกำลังสอง เรามี ... การบูรณาการและการใช้สูตรนิวตัน - ไลบนิซเรามี

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของลูกบอล

ตัวอย่าง. คำนวณปริมาตรของกรวยวงกลมด้านขวาที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวและระนาบ

เราคำนวณปริมาตรโดยปริมาตรของตัวของการหมุนที่เกิดขึ้นจากการหมุนรอบแกน OZ ของสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบ OXZ ซึ่งขาที่วางอยู่บนแกน OZ และเส้นตรง z = H และด้านตรงข้ามมุมฉาก อยู่บนเส้นตรง

แสดง x ในรูปของ z เราจะได้ .

คำนวณความยาวของส่วนโค้ง

เพื่อให้ได้สูตรการคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ให้เรียกคืนสูตรสำหรับส่วนต่างของความยาวส่วนโค้งที่ได้รับในภาคการศึกษาที่ 1

ถ้าส่วนโค้งเป็นกราฟของฟังก์ชันอนุพันธ์คงที่, ค่าความแตกต่างของความยาวส่วนโค้งสามารถคำนวณได้โดยสูตร

... นั่นเป็นเหตุผลที่

หากกำหนดส่วนโค้งเรียบแบบพาราเมตริก, แล้ว

... นั่นเป็นเหตุผลที่ .

หากระบุส่วนโค้งในระบบพิกัดเชิงขั้ว, แล้ว

... นั่นเป็นเหตุผลที่ .

ตัวอย่าง. คำนวณความยาวส่วนโค้งของกราฟของฟังก์ชัน, .

ส่วน: คณิตศาสตร์

ประเภทบทเรียน: รวมกัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:เรียนรู้การคำนวณปริมาตรของร่างกายของการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัล

งาน:

เพื่อรวมความสามารถในการเลือกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งจากรูปทรงเรขาคณิตจำนวนหนึ่ง และฝึกทักษะการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
ทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของตัวเลขเชิงปริมาตร
เรียนรู้การคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติ
มีส่วนช่วยในการพัฒนาการคิดเชิงตรรกะการพูดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถความแม่นยำในการสร้างภาพวาด
ส่งเสริมความสนใจในเรื่อง ดำเนินการกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์และภาพ อุปถัมภ์ความประสงค์ ความเป็นอิสระ ความอุตสาหะในการบรรลุผลสุดท้าย

ระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ทักทายหมู่. การสื่อสารเป้าหมายบทเรียนให้กับนักเรียน

การสะท้อนกลับ. ท่วงทำนองที่สงบ

- บทเรียนวันนี้ ฉันต้องการเริ่มต้นด้วยคำอุปมา “มีปราชญ์ผู้รู้ทุกสิ่ง คนหนึ่งต้องการพิสูจน์ว่าปราชญ์ไม่รู้ทุกสิ่ง เขาจับผีเสื้อไว้ในฝ่ามือถามว่า: "บอกฉันทีว่าปราชญ์ผีเสื้อตัวไหนอยู่ในมือของฉัน: ตายหรือมีชีวิตอยู่" และตัวเขาเองคิดว่า: "สิ่งมีชีวิตจะบอกว่า - ฉันจะฆ่าเธอคนตายจะบอกว่า - ฉันจะปล่อยเธอ" ปราชญ์กำลังคิดตอบว่า: "ทั้งหมดอยู่ในมือของคุณ" (การนำเสนอ.สไลด์)

“ฉะนั้น ขอให้เราทำงานอย่างประสบผลสำเร็จในวันนี้ รับแหล่งความรู้ใหม่ และนำทักษะและความสามารถที่ได้รับมาใช้กับชีวิตในอนาคตของเราและในกิจกรรมภาคปฏิบัติ "ทั้งหมดอยู่ในมือของคุณ"

ครั้งที่สอง การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้

- ลองนึกถึงประเด็นหลักของเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ ในการทำเช่นนี้เราจะทำภารกิจให้เสร็จ "กำจัดคำพิเศษ"(สไลด์.)

(นักเรียนไปที่ I.D. โดยใช้ยางลบลบคำพิเศษออก)

- ถูกต้อง "ความแตกต่าง". พยายามตั้งชื่อคำที่เหลือด้วยคำทั่วไปหนึ่งคำ (แคลคูลัสปริพันธ์.)

- ลองนึกถึงขั้นตอนหลักและแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ..

“กลุ่มคณิตศาสตร์”.

ออกกำลังกาย. กู้คืนช่องว่าง (นักเรียนออกมาเขียนคำที่จำเป็นด้วยปากกา)

- เราจะฟังบทคัดย่อเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้อินทิกรัลในภายหลัง

ทำงานในสมุดบันทึก

- สูตรของนิวตัน-ไลบนิซได้มาจากนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ ไอแซก นิวตัน (ค.ศ. 1643–1727) และนักปรัชญาชาวเยอรมัน กอตต์ฟรีด ไลบนิซ (ค.ศ. 1646–1716) และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์เป็นภาษาพูดตามธรรมชาตินั่นเอง

- ลองพิจารณาว่าสูตรนี้ใช้แก้ปัญหาในทางปฏิบัติอย่างไร

ตัวอย่างที่ 1: คำนวณพื้นที่ของรูปร่างที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ให้เราสร้างกราฟของฟังก์ชันบนระนาบพิกัด ... เลือกพื้นที่ของรูปร่างที่จะพบ

สาม. การเรียนรู้วัสดุใหม่

- ให้ความสนใจกับหน้าจอ ภาพแรกแสดงอะไร? (สไลด์) (รูปเป็นรูปแบน)

- ภาพที่สองคืออะไร? ตัวเลขนี้แบนหรือไม่? (สไลด์) (รูปแสดงรูปสามมิติ)

- ในอวกาศ บนโลก และในชีวิตประจำวัน เราไม่ได้เจอแค่ร่างแบนๆ เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสามมิติด้วย แต่จะคำนวณปริมาตรของวัตถุเหล่านั้นได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น ปริมาตรของดาวเคราะห์ ดาวหาง อุกกาบาต เป็นต้น

- พวกเขาคิดถึงปริมาตรทั้งเมื่อสร้างบ้านและเทน้ำจากเรือลำหนึ่งไปอีกลำหนึ่ง กฎและเทคนิคในการคำนวณปริมาตรควรจะเกิดขึ้น เป็นอีกเรื่องหนึ่งที่ถูกต้องและสมเหตุสมผลเพียงใด

ข้อความของนักเรียน (เวร่า ทูรินา.)

ปี ค.ศ. 1612 เกิดผลอย่างมากสำหรับชาวเมืองลินซ์ของออสเตรีย ที่ซึ่งนักดาราศาสตร์ชื่อดัง โยฮันเนส เคปเลอร์ เคยอาศัยอยู่ โดยเฉพาะองุ่น ผู้คนกำลังเตรียมถังไวน์และต้องการทราบวิธีการกำหนดปริมาตรของถังไวน์ในทางปฏิบัติ (สไลด์ 2)

- ดังนั้น ผลงานที่พิจารณาแล้วของเคปเลอร์จึงวางรากฐานสำหรับกระแสการศึกษาทั้งหมดที่สิ้นสุดในช่วงไตรมาสสุดท้ายของศตวรรษที่ 17 การลงทะเบียนในผลงานของ I. Newton และ G.V. แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ของไลบนิซ ตั้งแต่นั้นมา คณิตศาสตร์ของตัวแปรแห่งความยิ่งใหญ่ได้เป็นผู้นำในระบบความรู้ทางคณิตศาสตร์

- วันนี้เราจะมีส่วนร่วมในกิจกรรมภาคปฏิบัติดังกล่าวดังนั้น

หัวข้อของบทเรียนของเรา: "การคำนวณปริมาตรของการปฏิวัติโดยใช้อินทิกรัลที่แน่นอน" (สไลด์)

- คุณจะได้เรียนรู้คำจำกัดความของการปฏิวัติโดยทำภารกิจต่อไปนี้ให้สำเร็จ

"เขาวงกต".

เขาวงกต (คำกรีก) หมายถึงการเข้าไปในคุกใต้ดิน เขาวงกต - เครือข่ายที่ซับซ้อนของเส้นทาง, ทางเดิน, ห้องที่สื่อสารถึงกัน

แต่คำจำกัดความ "พัง" มีเคล็ดลับในรูปลูกศร

ออกกำลังกาย. หาทางออกจากความสับสนและจดคำจำกัดความ

สไลด์. “คำแนะนำแผนที่” การคำนวณปริมาณ

ด้วยการใช้อินทิกรัลที่แน่นอน คุณสามารถคำนวณปริมาตรของร่างกาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวของการปฏิวัติ

ร่างกายแห่งการปฏิวัติคือวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบฐาน (รูปที่ 1, 2)

ปริมาณของการปฏิวัติคำนวณโดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่ง:

1. รอบแกน OX

2. ถ้าการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง รอบแกน OS

นักเรียนแต่ละคนจะได้รับบัตรคำแนะนำ อาจารย์เน้นย้ำประเด็นหลัก

- ผู้สอนอธิบายวิธีแก้ปัญหาพร้อมตัวอย่างบนกระดาน

ลองพิจารณาข้อความที่ตัดตอนมาจากเทพนิยายที่รู้จักกันดีของ Alexander Pushkin "The Tale of Tsar Saltan วีรบุรุษผู้รุ่งโรจน์และยิ่งใหญ่ของเขา Prince Gvidon Saltanovich และเจ้าหญิง Lebed ที่สวยงาม" (สไลด์ 4):

…..
และนำร่อซู้ลมามึนเมา
ในวันเดียวกันนั้น ลำดับมีดังนี้:
“กษัตริย์สั่งโบยาร์ของเขา
ไม่เสียเวลา
และราชินีและลูกหลาน
แอบโยนลงไปในห้วงน้ำ”
ไม่มีอะไรทำ: โบยาร์
หลังการผลักดันเพื่อเผด็จการ
และราชินีสาว
พวกเขามาที่ห้องนอนของเธอท่ามกลางฝูงชน
พวกเขาประกาศเจตจำนงของกษัตริย์ -
เธอและลูกชายของเธอมีเรื่องไม่ดี
อ่านพระราชกฤษฎีกาดังๆ
และราชินีในเวลาเดียวกัน
พวกเขาเอาลูกชายของฉันใส่ถัง
บดแล้วขับ
และพวกเขาปล่อยให้มันเข้าไปใน okiyan -
นี่คือสิ่งที่ซาร์ซัลตันสั่ง

ราชินีและลูกชายของเธอควรใส่ถังขนาดเท่าไร?

- พิจารณางานต่อไปนี้

1. หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกนพิกัด ล้อมรอบด้วยเส้น: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0

คำตอบ: 1163 ซม 3 .

หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรูปสี่เหลี่ยมคางหมูพาราโบลารอบแกน abscissa y =, x = 4, y = 0.

IV. การรักษาความปลอดภัยวัสดุใหม่

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของกลีบรอบแกน abscissa y = x 2, y 2 = x.

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน y = x 2, y 2 = x... กำหนดการ y 2 = xแปลงร่างเป็น y= .

เรามี วี = วี 1 - วี 2มาคำนวณปริมาตรของแต่ละฟังก์ชันกันเถอะ

- ทีนี้มาดูสถานีวิทยุในมอสโกบน Shabolovka ที่หอคอยซึ่งสร้างขึ้นตามโครงการของวิศวกรชาวรัสเซียผู้วิเศษ V.G. Shukhov นักวิชาการกิตติมศักดิ์ ประกอบด้วยชิ้นส่วน - ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ นอกจากนี้ แต่ละแท่งยังทำจากแท่งโลหะเป็นเส้นตรงที่เชื่อมกับวงกลมที่อยู่ติดกัน (รูปที่ 8, 9)

- พิจารณาปัญหา

หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนส่วนโค้งของไฮเพอร์โบลา รอบแกนจินตภาพของมัน ดังแสดงในรูปที่ 8 ที่ไหน

ลูก หน่วย

งานกลุ่ม. นักเรียนจับสลากกับงาน วาดภาพวาดบนกระดาษ Whatman หนึ่งในตัวแทนกลุ่มปกป้องงาน

กลุ่มที่ 1

ตี! ตี! ระเบิดอีก!
บอลพุ่งเข้าประตู - BALL!
และนี่คือลูกแตงโม
สีเขียวกลมอร่อย
ดูดีขึ้น - ช่างเป็นลูกบอล!
มันถูกสร้างขึ้นจากวงกลมเดียวกัน
หั่นแตงโมเป็นวงกลม
และลิ้มรสพวกเขา

หาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนฟังก์ชันรอบแกน OX เส้นรอบวง

ข้อผิดพลาด! ไม่ได้กำหนดบุ๊กมาร์ก

- บอกฉันทีว่าเราจะพบรูปนี้ที่ไหน

บ้าน. งานสำหรับ 1 กลุ่ม กระบอก (สไลด์) .

"กระบอกสูบ - มันคืออะไร?" - ฉันถามพ่อของฉัน
พ่อหัวเราะ: หมวกทรงสูงคือหมวก
เพื่อให้มีความคิดที่ถูกต้อง
กระบอกสูบคือกระป๋อง
ท่อไอน้ำ - กระบอก,
ปล่องไฟบนหลังคาของเราด้วย

ท่อทั้งหมดคล้ายกับกระบอกสูบ
และฉันได้ยกตัวอย่างเช่นนี้ -
ลานตาที่รักของฉัน
ละสายตาจากเขาไม่ได้
และมันยังดูเหมือนทรงกระบอกอีกด้วย

- ออกกำลังกาย. การบ้านคือการสร้างกราฟฟังก์ชันและคำนวณปริมาตร

กลุ่มที่ 2 โคเน่ (สไลด์).

แม่พูดว่า: และตอนนี้
เรื่องราวของฉันจะเกี่ยวกับกรวย
นักโหราศาสตร์สวมหมวกสูง
นับดาวตลอดทั้งปี
CONE - หมวกนักโหราศาสตร์
นั่นคือสิ่งที่เขาเป็น เข้าใจไหม? แค่นั้นแหละ.
แม่ยืนอยู่ที่โต๊ะ
เธอเทน้ำมันลงในขวด
- ช่องทางอยู่ที่ไหน? ไม่มีช่องทาง
ดู. อย่ายืนข้างกัน
- แม่ฉันจะไม่ขยับ
บอกเราเพิ่มเติมเกี่ยวกับกรวย
- กรวยเป็นทรงกรวยรดน้ำ
มาหาเธอให้ฉันโดยเร็วที่สุด
ฉันหาช่องทางไม่เจอ
แต่แม่ทำกระเป๋า
ฉันบิดกระดาษแข็งรอบนิ้ว
และยึดไว้อย่างช่ำชองด้วยคลิปหนีบกระดาษ
น้ำมันลงแม่ดีใจ
กรวยออกมาตรงตามที่เราต้องการ

ออกกำลังกาย. คำนวณปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนรอบแกน abscissa

บ้าน. งานสำหรับกลุ่มที่ 2 พีระมิด(สไลด์).

ฉันเห็นภาพ ในรูปนี้
มีพีระมิดอยู่ในทะเลทรายทราย
ทุกอย่างในปิรามิดนั้นไม่ธรรมดา
มีความลึกลับและความลึกลับบางอย่างอยู่ในนั้น
หอคอย Spasskaya ที่จัตุรัสแดง
คุ้นเคยทั้งเด็กและผู้ใหญ่เป็นอย่างดี
คุณมองไปที่หอคอย - มันดูธรรมดา
อะไรอยู่บนตัวเธอ? พีระมิด!

ออกกำลังกาย.การบ้านเพื่อสร้างกราฟฟังก์ชันและคำนวณปริมาตรของปิรามิด

- เราคำนวณปริมาตรของวัตถุต่างๆ ตามสูตรพื้นฐานสำหรับปริมาตรของวัตถุโดยใช้อินทิกรัล

นี่เป็นการยืนยันอีกอย่างหนึ่งว่าอินทิกรัลที่แน่นอนมีพื้นฐานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์

- เอาล่ะเรามาพักผ่อนกันสักหน่อย

หาคู่.

กำลังเล่นเมโลดี้โดมิโนทางคณิตศาสตร์

"ถนนที่ตัวเองกำลังมองหาจะไม่มีวันลืม ... "

การวิจัย. การประยุกต์ใช้อินทิกรัลในเศรษฐศาสตร์และเทคโนโลยี

แบบทดสอบสำหรับผู้เรียนที่แข็งแกร่งและฟุตบอลคณิตศาสตร์

เครื่องจำลองทางคณิตศาสตร์

2. เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดเรียกว่า

ก) ปริพันธ์ไม่แน่นอน

ข) ฟังก์ชัน

ค) ความแตกต่าง

7. ค้นหาปริมาตรของร่างกายที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งรอบแกน abscissa ล้อมรอบด้วยเส้น:

ดี/ซี คำนวณปริมาตรของการปฏิวัติ

การสะท้อนกลับ.

การรับการสะท้อนกลับในรูปแบบ ซิงค์ไวน์(ห้าข้อ).

บรรทัดที่ 1 - ชื่อหัวข้อ (หนึ่งคำนาม)

บรรทัดที่ 2 - คำอธิบายของหัวข้อในสองคำสองคำคุณศัพท์

บรรทัดที่ 3 - คำอธิบายของการดำเนินการภายในกรอบของหัวข้อนี้ในสามคำ

บรรทัดที่ 4 - วลีสี่คำแสดงความสัมพันธ์กับหัวข้อ (ทั้งประโยค)

บรรทัดที่ 5 เป็นคำพ้องความหมายที่ย้ำสาระสำคัญของหัวข้อ

ปริมาณ.
อินทิกรัลที่แน่นอน, ฟังก์ชันอินทิกรัลที่แน่นอน
เราสร้าง หมุน คำนวณ
ร่างกายที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (รอบฐาน)
ร่างแห่งการปฏิวัติ (ตัวเรขาคณิตทึบ)

เอาท์พุต (สไลด์).

อินทิกรัลที่แน่นอนเป็นรากฐานสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์ ซึ่งมีส่วนสนับสนุนในการแก้ปัญหาของเนื้อหาที่นำไปใช้ได้จริงอย่างไม่สามารถถูกแทนที่ได้
หัวข้อ “อินทิกรัล” แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงความเชื่อมโยงระหว่างคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ และเทคโนโลยี
การพัฒนาวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เป็นสิ่งที่คิดไม่ถึงโดยไม่ต้องใช้อินทิกรัล ในเรื่องนี้จำเป็นต้องเริ่มศึกษาภายใต้กรอบการศึกษาเฉพาะทางระดับมัธยมศึกษา!

การให้คะแนน (พร้อมคำบรรยาย.)

Omar Khayyam ผู้ยิ่งใหญ่เป็นนักคณิตศาสตร์ กวี นักปรัชญา เขาเรียกร้องให้เป็นเจ้าแห่งโชคชะตาของคุณ เราฟังข้อความที่ตัดตอนมาจากงานของเขา:

คุณจะบอกว่าชีวิตนี้เป็นช่วงเวลาหนึ่ง
ชื่นชมเธอ ดึงแรงบันดาลใจจากเธอ
เมื่อคุณใช้จ่ายมันก็จะผ่านไป
อย่าลืม: เธอเป็นผู้สร้างสรรค์ของคุณ

มาหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของส่วนโค้งไซโคลิดรอบๆ ฐานกัน Roberval ค้นพบมันโดยการแยกตัวของรูปทรงรีที่เป็นผลลัพธ์ (รูปที่ 5.1) ออกเป็นชั้นบางๆ อย่างไม่จำกัด สลักรูปทรงกระบอกลงในชั้นเหล่านี้และเพิ่มปริมาตร การพิสูจน์นั้นยาว น่าเบื่อ และไม่เข้มงวดทั้งหมด ดังนั้นในการคำนวณเราจึงหันไปใช้คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ให้เรากำหนดสมการไซโคลิดแบบพาราเมตริก

ในแคลคูลัสปริพันธ์ เมื่อศึกษาปริมาตร เขาใช้ข้อสังเกตดังนี้

หากเส้นโค้งที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งถูกกำหนดโดยสมการพาราเมตริกและฟังก์ชันในสมการเหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ที่แน่นอน ปริมาตรของการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูรอบแกน Ox จะ คำนวณโดยสูตร:

ลองใช้สูตรนี้เพื่อหาปริมาตรที่เราต้องการ

เราคำนวณพื้นผิวของร่างกายนี้ในลักษณะเดียวกัน

L = ((x, y): x = a (t - sin t), y = a (1 - ราคา), 0? T? 2р)

ในแคลคูลัสอินทิกรัล มีสูตรต่อไปนี้สำหรับการค้นหาพื้นที่ผิวของวัตถุรอบแกน x ของเส้นโค้งที่กำหนดแบบพาราเมตริกบนเซ็กเมนต์ (t 0? T? T 1):

นำสูตรนี้ไปใช้กับสมการไซโคลิด เราได้:

พิจารณาพื้นผิวอื่นที่เกิดจากการหมุนของโค้งไซโคลิด ในการทำเช่นนี้ ให้สร้างภาพสะท้อนของส่วนโค้งไซโคลิดที่สัมพันธ์กับฐาน แล้วหมุนรูปร่างวงรีที่เกิดจากไซโคลิดและการสะท้อนของมันรอบแกน KT (รูปที่.5.2)

อันดับแรก ให้เราหาปริมาตรของร่างกายที่เกิดจากการหมุนของส่วนโค้งไซโคลิดรอบแกน KT ปริมาณจะถูกคำนวณโดยสูตร (*):

ดังนั้นเราจึงคำนวณปริมาตรของหัวผักกาดครึ่งหนึ่ง จากนั้นปริมาตรทั้งหมดจะเท่ากัน

ก่อนดำเนินการกับสูตรสำหรับพื้นที่ของพื้นผิวของการปฏิวัติ เราให้สูตรสั้น ๆ ของพื้นผิวของการปฏิวัติเอง พื้นผิวของการปฏิวัติหรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน - พื้นผิวของการปฏิวัติ - รูปทรงเชิงพื้นที่ที่เกิดจากการหมุนของส่วน ABโค้งรอบแกน วัว(ภาพด้านล่าง).

ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมคางหมูทรงโค้งที่ล้อมรอบจากด้านบนโดยส่วนที่กล่าวถึงของเส้นโค้ง ร่างกายที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้รอบแกนเดียวกัน วัวและมีองค์กรแห่งการปฏิวัติ และพื้นที่ผิวของการหมุนรอบแกนของเส้นตรงนั้นไม่นับวงกลมที่เกิดจากการหมุนรอบแกนของเส้นตรง NS = NSและ NS = NS .

โปรดทราบว่าร่างกายของการปฏิวัติและด้วยเหตุนี้ พื้นผิวของมันยังสามารถเกิดขึ้นได้โดยการหมุนร่างที่ไม่รอบแกน วัวและรอบแกน ออย.

การคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวของการปฏิวัติที่กำหนดในพิกัดสี่เหลี่ยม

ให้ในพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบโดยสมการ y = NS(NS) ให้เส้นโค้งซึ่งการหมุนรอบแกนพิกัดนั้นเกิดจากร่างกายของการปฏิวัติ

สูตรคำนวณพื้นที่ผิวของการปฏิวัติมีดังนี้:

(1).

ตัวอย่างที่ 1หาพื้นที่ผิวของพาราโบลาที่เกิดจากการหมุนรอบแกน วัวส่วนโค้งของพาราโบลาที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลง NSจาก NS= 0 ถึง NS = NS .

สารละลาย. ให้เราแสดงฟังก์ชันที่กำหนดส่วนโค้งของพาราโบลาอย่างชัดเจน:

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้กัน:

ก่อนใช้สูตรการหาพื้นที่ผิวของการปฏิวัติ เราเขียนส่วนหนึ่งของอินทิกรัลนั้น นั่นคือราก และแทนที่อนุพันธ์ที่เราเพิ่งพบ:

คำตอบ: ความยาวของส่วนโค้งของส่วนโค้งคือ

ตัวอย่างที่ 2หาพื้นที่ผิวหมุนรอบแกน วัวดาวเคราะห์น้อย

สารละลาย. การคำนวณพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนของสาขาหนึ่งของแอสทรอยด์ซึ่งอยู่ในไตรมาสแรกแล้วคูณด้วย 2 ก็เพียงพอแล้ว จากสมการแอสทรอยด์ เราแสดงฟังก์ชันที่เราต้องแทนที่ในสูตรอย่างชัดแจ้งเป็น หาพื้นที่หมุน: