อนุพันธ์อันดับสูงกว่า

ในบทนี้ เราจะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของอันดับสูงกว่า รวมทั้งเขียนสูตรทั่วไปสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" นอกจากนี้ สูตรไลบนิซสำหรับอนุพันธ์ดังกล่าวและโดยความต้องการที่เป็นที่นิยม อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงขึ้นของ ฟังก์ชั่นที่ระบุโดยปริยาย... ฉันแนะนำให้คุณทำการทดสอบย่อยทันที:

นี่คือฟังก์ชัน: และนี่คืออนุพันธ์อันดับแรก:

ในกรณีที่คุณมีปัญหา/ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับตัวอย่างนี้ โปรดเริ่มต้นด้วยบทความพื้นฐานสองบทความในหลักสูตรของฉัน: ฉันจะหาอนุพันธ์ได้อย่างไรและ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน... หลังจากเชี่ยวชาญอนุพันธ์เบื้องต้นแล้ว ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียน ปัญหาอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดที่เราคิดออกโดยเฉพาะกับ อนุพันธ์อันดับสอง.

มันง่ายที่จะเดาว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:

โดยหลักการแล้ว อนุพันธ์อันดับสองถือเป็นอนุพันธ์อันดับสูงกว่าอยู่แล้ว

ในทำนองเดียวกัน อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 2:

อนุพันธ์อันดับสี่คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสาม:

อนุพันธ์ที่ห้า: และเป็นที่ชัดเจนว่าอนุพันธ์ทั้งหมดของคำสั่งซื้อที่สูงกว่าจะเท่ากับศูนย์ด้วย:

นอกเหนือจากการนับเลขโรมันแล้ว การกำหนดต่อไปนี้มักใช้ในทางปฏิบัติ:
อนุพันธ์ของคำสั่ง "nth" แสดงโดย ในกรณีนี้ ตัวยกต้องอยู่ในวงเล็บ- เพื่อแยกความแตกต่างจาก "เกม" ในระดับ

บางครั้งพบรายการต่อไปนี้: - อนุพันธ์อันดับสาม สี่ ห้า ... อนุพันธ์ "nth" ตามลำดับ

ไปข้างหน้าโดยไม่ต้องกลัวหรือสงสัย:

ตัวอย่างที่ 1

มีการกำหนดฟังก์ชัน หา .

สารละลาย: คุณทำอะไรที่นี่ ... - นำหน้าอนุพันธ์อันดับที่สี่ :)

การใส่ขีดกลางสี่ครั้งไม่ใช่เรื่องปกติอีกต่อไป ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนไปใช้ดัชนีตัวเลข:

ตอบ:

โอเค ทีนี้ลองคิดถึงคำถามต่อไปนี้กัน: จะทำอย่างไรถ้าตามเงื่อนไขคุณต้องหาตัวที่ 4 ไม่ใช่ตัวที่ 4 แต่ยกตัวอย่างเช่นอนุพันธ์อันดับที่ 20? ถ้าสำหรับอนุพันธ์ 3-4-5th (สูงสุด 6-7)เพื่อการตัดสินใจทำออกมาเร็วพอแล้วเราจะ "รับ" อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโอ้นานแค่ไหนมันจะใช้เวลา อันที่จริงแล้วอย่าเขียน 20 บรรทัด! ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณต้องวิเคราะห์อนุพันธ์หลายตัวที่พบ ดูรูปแบบและเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" ดังนั้น ในตัวอย่างที่ 1 จึงเข้าใจได้ง่ายว่าด้วยความแตกต่างที่ตามมาแต่ละครั้ง "สามเท่า" เพิ่มเติมจะ "กระโดดออกมา" ก่อนเลขชี้กำลัง และในขั้นใดๆ ระดับของ "แฝดสาม" จะเท่ากับจำนวน อนุพันธ์ ดังนั้น:

โดยที่จำนวนธรรมชาติโดยพลการอยู่ที่ไหน

และแน่นอน ถ้า ได้อนุพันธ์อันดับ 1 มาอย่างแน่นอน: , ถ้า - แล้ว 2: เป็นต้น ดังนั้นอนุพันธ์อันดับที่ 20 จะถูกกำหนดทันที: - และไม่มี "แผ่นยาวกิโลเมตร"!

เราอุ่นเครื่องด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 2

ค้นหาฟังก์ชัน เขียนอนุพันธ์ของคำสั่ง

คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

หลังจากการวอร์มอัพที่กระฉับกระเฉง เราจะพิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งเราจะใช้อัลกอริธึมวิธีแก้ปัญหาข้างต้น สำหรับผู้ที่สามารถทำความคุ้นเคยกับบทเรียนได้ จำกัดลำดับมันจะง่ายขึ้นเล็กน้อย:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชัน

สารละลาย: เพื่อชี้แจงสถานการณ์ เราพบอนุพันธ์หลายอย่าง:

เราไม่รีบร้อนที่จะคูณจำนวนผลลัพธ์! ;-)


บางทีก็เพียงพอแล้ว ... ฉันทำมันเกินกำลังไปหน่อย

ในขั้นตอนต่อไป เป็นการดีที่สุดที่จะเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ "nth" (ตราบใดที่เงื่อนไขนี้ไม่ต้องการ คุณก็สามารถทำแบบร่างได้)... ในการทำเช่นนี้ เราจะดูผลลัพธ์ที่ได้รับและระบุรูปแบบที่จะได้รับอนุพันธ์ที่ตามมาแต่ละรายการ

ขั้นแรกให้สลับไปมาระหว่างอักขระ ทางเลือกให้ "แฟลชเซอร์"และเนื่องจากอนุพันธ์อันดับที่ 1 เป็นบวก ตัวประกอบต่อไปนี้จะเข้าสู่สูตรทั่วไป: ... ตัวเลือกที่เทียบเท่าก็เหมาะสมเช่นกัน แต่โดยส่วนตัวแล้ว ผู้มองโลกในแง่ดี ฉันชอบเครื่องหมายบวก =)

ประการที่สองในตัวเศษ "ไขลาน" แฟกทอเรียลและมัน "ล่าช้า" หลังเลขอนุพันธ์หนึ่งหน่วย:

และประการที่สาม กำลังของ "สอง" เพิ่มขึ้นในตัวเศษ ซึ่งเท่ากับจำนวนอนุพันธ์ ระดับของตัวส่วนสามารถพูดได้เช่นเดียวกัน ในที่สุด:

เพื่อวัตถุประสงค์ในการทดสอบ ให้แทนที่ค่า "en" สองสามค่า ตัวอย่างเช่น และ:

เยี่ยมมาก ตอนนี้การทำผิดพลาดเป็นเพียงบาป:

ตอบ:

ฟังก์ชันที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชัน

และงานที่น่าสนใจยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาฟังก์ชัน

มาทำซ้ำขั้นตอนกัน:

1) อันดับแรก เราพบอนุพันธ์หลายตัว โดยปกติสามหรือสี่ก็เพียงพอที่จะจับรูปแบบ

2) จากนั้นฉันขอแนะนำให้คอมไพล์ (อย่างน้อยก็ในร่าง)อนุพันธ์ "Nth" - รับประกันว่าจะช่วยคุณจากข้อผิดพลาด แต่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้อง ประมาณการทางจิตใจและจดทันที ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับที่ยี่สิบหรือแปด นอกจากนี้ คนทั่วไปบางคนสามารถแก้ปัญหาด้วยวาจาได้ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าวิธีการ "รวดเร็ว" นั้นเต็มไปด้วยวิธีการและควรเล่นอย่างปลอดภัย

3) ในขั้นตอนสุดท้าย เราตรวจสอบอนุพันธ์ "nth" - เราใช้ค่า "en" (ดีกว่าค่าที่อยู่ใกล้เคียง) และทำการแทนที่ และน่าเชื่อถือยิ่งกว่านั้นคือการตรวจสอบอนุพันธ์ทั้งหมดที่พบก่อนหน้านี้ จากนั้นเราแทนที่ด้วยค่าที่ต้องการ เช่น หรือหวีผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง

วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ สำหรับตัวอย่างที่ 4 และ 5 ในตอนท้ายของบทเรียน

ในบางงาน เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหา คุณต้องคิดในใจเล็กน้อยเกี่ยวกับฟังก์ชัน:

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย: ฉันไม่ต้องการที่จะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่เสนอเลย เนื่องจากผลลัพธ์เป็นเศษส่วน "ไม่ดี" ซึ่งจะทำให้การค้นหาอนุพันธ์ที่ตามมามีความซับซ้อนมาก

ในเรื่องนี้ขอแนะนำให้ทำการแปลงเบื้องต้น: เราใช้ ความแตกต่างของสูตรกำลังสองและ สมบัติลอการิทึม :

ค่อนข้างอีกเรื่อง:

และเพื่อนเก่า:

ฉันคิดว่าทุกอย่างมองเห็นได้ โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ 2 สลับกัน แต่เศษที่ 1 ไม่ใช่ เราสร้างอนุพันธ์ของคำสั่ง:

ควบคุม:

เพื่อความสวยงาม ลองแยกแฟกทอเรียลออกจากวงเล็บ:

ตอบ:

งานที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 7

เขียนสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และตอนนี้เกี่ยวกับการรับประกันซึ่งกันและกันที่ไม่สั่นคลอนซึ่งแม้แต่มาเฟียอิตาลีก็ยังอิจฉา:

ตัวอย่างที่ 8

มีการกำหนดฟังก์ชัน หา

อนุพันธ์อันดับที่สิบแปด ณ จุดหนึ่ง แค่.

สารละลาย: อย่างแรกเลย คุณต้องค้นหา ไป:

พวกเขาเริ่มต้นจากไซนัสและมาถึงไซนัส เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยความแตกต่างเพิ่มเติม วัฏจักรนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด และคำถามต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น: จะ "รับ" อนุพันธ์อันดับที่สิบแปดได้อย่างไร

วิธี "มือสมัครเล่น": จดตัวเลขของอนุพันธ์ที่ตามมาอย่างรวดเร็วในคอลัมน์ทางด้านขวา:

ดังนั้น:

แต่วิธีนี้ใช้ได้หากลำดับของอนุพันธ์ไม่มากเกินไป หากคุณต้องการหาอนุพันธ์อันดับที่ร้อย คุณควรใช้การหารด้วย 4 หนึ่งร้อยหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ และง่ายที่จะเห็นว่าตัวเลขดังกล่าวอยู่ที่บรรทัดล่างสุด ดังนั้น:

อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์อันดับที่ 18 สามารถหาได้จากการพิจารณาที่คล้ายคลึงกัน:
บรรทัดที่สองประกอบด้วยตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวและเหลือเศษ 2

วิธีการทางวิชาการอีกวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับ ไซน์และ สูตรลด... เราใช้อนุพันธ์สูตรสำเร็จรูป "nth" ของไซน์ ซึ่งหมายเลขที่ต้องการจะถูกแทนที่อย่างง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:
(สูตรลด ) ;
(สูตรลด )

ในกรณีของเรา:

(1) เนื่องจากไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด อาร์กิวเมนต์จึงสามารถ "คลายเกลียว" ได้ 4 งวด (เช่น) อย่างไม่ลำบาก

อนุพันธ์ของลำดับผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชันสามารถหาได้จากสูตร:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

คุณไม่จำเป็นต้องจำอะไรเป็นพิเศษ เพราะยิ่งคุณรู้สูตรมากเท่าไหร่ คุณก็ยิ่งเข้าใจน้อยลงเท่านั้น การทำความคุ้นเคยมีประโยชน์มากกว่ามาก ทวินามนิวตันเพราะสูตรของไลบนิซคล้ายกับเขามาก ผู้โชคดีที่ได้รับอนุพันธ์ของคำสั่งที่ 7 ขึ้นไป (ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่น่าเป็นไปได้)จะถูกบังคับให้ทำเช่นนั้น อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึง วิชาผสมผสาน- คุณยังต้อง =)

ลองหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันกัน เราใช้สูตร Leibniz:

ในกรณีนี้: ... อนุพันธ์นั้นง่ายต่อการสแน็ปด้วยวาจา:

ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนตัวอย่างระมัดระวังและระมัดระวังและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:

ตอบ:

งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่าง 11

ค้นหาฟังก์ชัน

หากในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิธีแก้ปัญหาแบบตรงไปตรงมายังคงแข่งขันกับสูตรของไลบนิซ ต่อไปนี้จะไม่เป็นที่พอใจแล้ว และน่ารำคาญยิ่งกว่า - ในกรณีของอนุพันธ์อันดับสูงกว่า:

ตัวอย่าง 12

ค้นหาอนุพันธ์ของคำสั่งที่ระบุ

สารละลาย: ข้อสังเกตแรกและสำคัญคือ คุณไม่จำเป็นต้องตัดสินใจแบบนี้ =) =)

ลองเขียนฟังก์ชันและหาอนุพันธ์ของพวกมันจนถึงลำดับที่ 5 กัน ฉันคิดว่าอนุพันธ์ของคอลัมน์ทางขวากลายเป็นคำพูดสำหรับคุณ:

ในคอลัมน์ด้านซ้าย อนุพันธ์ "สด" "สิ้นสุด" อย่างรวดเร็ว และนี่เป็นสิ่งที่ดีมาก - ในสูตรของไลบนิซ คำศัพท์สามคำจะเป็นศูนย์:

ฉันจะอยู่อีกครั้งกับภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ปรากฏในบทความเกี่ยวกับ อนุพันธ์ที่ซับซ้อน: ผลลัพธ์ควรทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? โดยหลักการแล้ว คุณสามารถปล่อยให้เป็นแบบนี้ - ครูจะตรวจสอบได้ง่ายยิ่งขึ้น แต่เขาอาจต้องการนำวิธีแก้ปัญหามาไว้ในใจ ในอีกทางหนึ่ง การทำให้เข้าใจง่ายด้วยตัวมันเองนั้นเต็มไปด้วยข้อผิดพลาดเกี่ยวกับพีชคณิต อย่างไรก็ตาม เรามีคำตอบที่ได้รับในแบบ "ดั้งเดิม" =) (ดูลิงค์ในตอนต้น)และฉันหวังว่ามันจะถูกต้อง:

เยี่ยมมาก มันมารวมกันทั้งหมด

ตอบ:

การมอบหมายโชคดีสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 13

สำหรับฟังก์ชั่น:
ก) ค้นหาโดยการสร้างความแตกต่างโดยตรง
b) ค้นหาตามสูตรของไลบนิซ
ค) คำนวณ

ไม่ ฉันไม่ใช่ซาดิสม์เลย จุด "a" ค่อนข้างง่ายที่นี่ =)

แต่อย่างจริงจัง การแก้ปัญหา "โดยตรง" โดยการสร้างความแตกต่างแบบต่อเนื่องก็มี "สิทธิในการมีชีวิต" - ในหลายกรณี ความซับซ้อนของมันเทียบได้กับความซับซ้อนของการใช้สูตรไลบนิซ ใช้หากคุณเห็นว่าเหมาะสม ซึ่งไม่น่าจะใช่เหตุผลที่คุณไม่รับงานนี้

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน

ในการยกย่อหน้าสุดท้าย คุณต้องสามารถ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยาย:

อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันโดยปริยาย

พวกเราหลายคนใช้เวลาหลายชั่วโมง วัน และสัปดาห์ในการศึกษาเล่าเรียน วงกลม, พาราโบลา, อติพจน์- และบางครั้งก็ดูเหมือนเป็นการลงโทษอย่างแท้จริง มาแก้แค้นและสร้างความแตกต่างให้ถูกต้องกันเถอะ!

เริ่มจากพาราโบลา "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ:

ตัวอย่าง 14

สมการจะได้รับ หา .

สารละลาย: ขั้นตอนแรกคุ้นเคย:

ความจริงที่ว่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันถูกแสดงออกมาโดยปริยายไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1:

อย่างไรก็ตาม มีกฎของเกม: อนุพันธ์ของคำสั่งที่ 2 และสูงกว่ามักจะแสดง ผ่านตัว "x" และ "igrek" เท่านั้น... ดังนั้นในผลลัพธ์อนุพันธ์อันดับที่ 2 เราแทนที่:

อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสอง:

ในทำนองเดียวกัน แทนที่:

ตอบ:

อติพจน์ "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ- สำหรับงานอิสระ:

ตัวอย่าง 15

สมการจะได้รับ หา .

ฉันขอย้ำว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และผลลัพธ์ควรแสดงในรูปของ "x" / "game" เท่านั้น!

วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทช่วยสอน

หลังจากการแกล้งเด็ก มาดูภาพลามกอนาจารของเยอรมัน @ fiyu มาดูตัวอย่างสำหรับผู้ใหญ่กันดีกว่า ซึ่งเราได้เรียนรู้วิธีแก้ไขปัญหาที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างที่ 16

วงรีตัวเขาเอง.

สารละลาย: หาอนุพันธ์อันดับ 1 :

ตอนนี้เรามาหยุดและวิเคราะห์กันในตอนต่อไป ตอนนี้เราต้องแยกความแตกต่างของเศษส่วน ซึ่งไม่น่าพอใจเลย ในกรณีนี้ แน่นอน เรียบง่าย แต่ในงานในชีวิตจริง ของขวัญดังกล่าวถูกใช้ไปหลายครั้งแล้ว มีวิธีหลีกเลี่ยงการหาอนุพันธ์ที่ยุ่งยากหรือไม่? มีอยู่! เราใช้สมการและใช้เทคนิคเดียวกับการหาอนุพันธ์อันดับ 1 - เรา "แขวน" เฉพาะจำนวนเฉพาะทั้งสองข้าง:

อนุพันธ์อันดับสองต้องแสดงเฉพาะในรูปของ และ ดังนั้นตอนนี้ (ตอนนี้)มันสะดวกที่จะกำจัดอนุพันธ์อันดับ 1 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้แทนที่ในสมการผลลัพธ์:

เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาทางเทคนิคที่ไม่จำเป็น เราคูณทั้งสองฝ่ายด้วย:

และในขั้นตอนสุดท้ายเราวาดเศษส่วน:

ตอนนี้เราดูที่สมการดั้งเดิมและสังเกตว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นทำให้เข้าใจง่าย:

ตอบ:

วิธีหาค่าของอนุพันธ์อันดับ 2 ณ จุดใดก็ได้ (ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นของวงรี)ตัวอย่างเช่น ณ จุดนั้น ? ง่ายมาก! พบแรงจูงใจนี้แล้วในบทเรียนเกี่ยวกับ สมการปกติ: ในนิพจน์ของอนุพันธ์อันดับ 2 คุณต้องแทนที่ :

แน่นอน ในทั้งสามกรณี คุณสามารถรับฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนและแยกความแตกต่างได้ แต่จากนั้น ให้ปรับจิตใจให้ทำงานด้วยฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีราก ในความคิดของฉัน วิธีแก้ปัญหาสะดวกกว่าในการดำเนินการ "โดยปริยาย"

ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง 17

ค้นหาฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย

สูตรไลบนิซสำหรับคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน หลักฐานมีให้ในสองวิธี พิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของลำดับที่ n

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน

สูตรไลบนิซ

การใช้สูตรไลบนิซ เราสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันได้ ดูเหมือนว่านี้:
(1) ,
ที่ไหน
- สัมประสิทธิ์ทวินาม

สัมประสิทธิ์ทวินามคือสัมประสิทธิ์การขยายตัวของทวินามในกำลังของและ:
.
นอกจากนี้ ตัวเลขยังเป็นจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ n ถึง k

บทพิสูจน์สูตรของไลบนิซ

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
(2) .
ลองเขียนสูตร (2) ใหม่ดังนี้:
.
นั่นคือเราพิจารณาว่าฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร x และอีกฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร y เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ เราถือว่า จากนั้นสูตรก่อนหน้าสามารถเขียนได้ดังนี้:
(3) .
เนื่องจากอนุพันธ์มีค่าเท่ากับผลรวมของเทอมต่างๆ และแต่ละเทอมเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ดังนั้นในการคำนวณอนุพันธ์ของออร์เดอร์ที่สูงกว่า คุณจึงสามารถใช้กฎ (3) ได้อย่างสม่ำเสมอ

สำหรับอนุพันธ์ของลำดับที่ n เรามี:

.
เมื่อพิจารณาแล้วเราได้สูตรไลบนิซ:
(1) .

พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ

ให้เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรไลบนิซโดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ให้เราเขียนสูตรของไลบนิซใหม่:
(4) .
สำหรับ n = 1 เรามี:
.
นี่คือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เธอยุติธรรม

สมมติว่าสูตร (4) ใช้ได้กับอนุพันธ์อันดับที่ n ให้เราพิสูจน์ว่ามันใช้ได้กับอนุพันธ์ n + 1 ลำดับที่

ความแตกต่าง (4):
;



.
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(5) .

แทนที่ใน (5) และคำนึงว่า:

.
นี่แสดงว่าสูตร (4) มีรูปแบบเหมือนกันสำหรับอนุพันธ์ n + 1 ลำดับที่

ดังนั้น สูตร (4) ใช้ได้กับ n = 1 ... จากสมมติฐานที่ถือไว้ สำหรับจำนวนหนึ่ง n = m จะเป็นไปตามที่ถือไว้สำหรับ n = m + 1 .
สูตรของไลบนิซได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง

คำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชัน
.

เราใช้สูตรไลบนิซ
(2) .
ในกรณีของเรา
;
.

ตามตารางอนุพันธ์เรามี:
.
เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
.
แล้ว
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าความแตกต่างของฟังก์ชันไซน์นำไปสู่การเปลี่ยนแปลง แล้ว
.

หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
;
;
;
, .

ตั้งแต่ at เฉพาะสามเทอมแรกในสูตร Leibniz เท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ หาสัมประสิทธิ์ทวินาม.
;
.

ตามสูตร Leibniz เรามี:

.

ดูสิ่งนี้ด้วย:

การแก้ปัญหาที่ใช้จะลดลงในการคำนวณอินทิกรัล แต่ก็ไม่สามารถทำได้อย่างถูกต้องเสมอไป บางครั้งจำเป็นต้องรู้ค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยระดับความแม่นยำระดับหนึ่ง เช่น มากถึงหนึ่งในพัน

มีปัญหาเมื่อจำเป็นต้องหาค่าโดยประมาณของอินทิกรัลบางตัวที่มีความแม่นยำที่ต้องการ จากนั้นจึงใช้การรวมเชิงตัวเลข เช่น วิธีการของซิมพอสนา สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยม ไม่ใช่ทุกกรณีที่เราจะคำนวณได้อย่างแม่นยำ

บทความนี้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณที่แน่นอนของอินทิกรัลที่แน่นอน จะมีการยกตัวอย่างโดยละเอียด การเปลี่ยนแปลงตัวแปรในอินทิกรัลที่แน่นอนจะได้รับการพิจารณา และจะหาค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนเมื่อรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

คำจำกัดความ 1

เมื่อฟังก์ชัน y = y (x) ต่อเนื่องกันจากเซกเมนต์ [a; b] และ F (x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของส่วนนี้ ดังนั้น สูตรนิวตัน-ไลบนิซถือว่ายุติธรรม เราเขียนเป็น ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a)

สูตรนี้ถือว่า สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล

เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ จำเป็นต้องใช้แนวคิดของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรที่มีอยู่

เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ต่อเนื่องกันจากเซกเมนต์ [a; b] แล้วค่าของอาร์กิวเมนต์ x ∈ a; b และอินทิกรัลมีรูปแบบ ∫ a x f (t) d t และถือเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบน จำเป็นต้องใช้สัญกรณ์ของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∫ axf (t) dt = Φ (x) เป็นต่อเนื่องและอสมการของรูปแบบ ∫ axf (t) dt "= Φ" (x) = f (x) ถือไว้

เราแก้ไขว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Φ (x) สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆ x จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติหลักที่ห้าของอินทิกรัลที่แน่นอนและรับ

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = ฉ (ค) ∆ x

โดยที่ค่า c ∈ x; x + ∆ x.

ให้เราแก้ไขความเท่าเทียมกันในรูปแบบ Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) โดยนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จำเป็นต้องผ่านขีดจำกัดเป็น ∆ x → 0 จากนั้นเราจะได้สูตรของรูปแบบ Φ "(x) = f (x) เราจะได้ Φ (x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันของรูปแบบ y = f (x) ซึ่งอยู่บน [a; b] มิฉะนั้น นิพจน์สามารถเขียนได้

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C โดยที่ค่าของ C เป็นค่าคงที่

ลองคำนวณ F (a) โดยใช้คุณสมบัติแรกของอินทิกรัลแน่นอน แล้วเราจะได้สิ่งนั้น

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C ดังนั้นเราจะได้ C = F (a) ผลลัพธ์จะถูกนำไปใช้ในการคำนวณ F (b) และเราได้รับ:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) กล่าวอีกนัยหนึ่ง F (b) = ∫ abf (t) dt + F (ก). ความเท่าเทียมกันพิสูจน์สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)

การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันถือเป็น F x a b = F (b) - F (a) โดยใช้สัญกรณ์ สูตรนิวตัน-ไลบนิซใช้รูปแบบ ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a)

ในการใช้สูตร จำเป็นต้องรู้หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟ y = F (x) ของอินทิกรัล y = f (x) จากเซกเมนต์ [a; b] คำนวณการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟจากส่วนนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ 1 3 x 2 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ

สารละลาย

พิจารณาว่าอินทิกรัลของรูปแบบ y = x 2 นั้นต่อเนื่องกันจากเซกเมนต์ [1; 3] จากนั้นจึงรวมเข้ากับส่วนนี้ จากตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน y = x 2 มีชุดของแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x ดังนั้น x ∈ 1; 3 จะถูกเขียนเป็น F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C จำเป็นต้องหาแอนติเดริเวทีฟด้วย C = 0 แล้วเราจะได้ F (x) = x 3 3

ให้เราใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ แล้วคำนวณอินทิกรัลจำกัดสิทธิ์จะอยู่ในรูปแบบ ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3

ตอบ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

ตัวอย่าง 2

คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ

สารละลาย

ฟังก์ชันที่กำหนดต่อเนื่องกันจากส่วน [- 1; 2] ดังนั้นจึงรวมเข้ากับมันได้ จำเป็นต้องหาค่าของอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ x ex 2 + 1 dx โดยใช้วิธีการนำภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ จากนั้นเราจะได้ ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 เช่น 2 + 1 + C

ดังนั้นเราจึงมีชุดของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x · e x 2 + 1 ซึ่งใช้ได้กับ x, x ∈ - 1 ทั้งหมด 2.

จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟที่ C = 0 และใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของรูปแบบ

∫ - 1 2 x อดีต 2 + 1 dx = 1 2 อดีต 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 อี 2 (อี 3 - 1)

ตอบ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอินทิกรัล ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x และ ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x

สารละลาย

กลุ่ม - 4; - 1 2 แสดงว่าฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลมีความต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าเป็นอินทิเกรต จากที่นี่ เราจะพบเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟ F (x) = 2 x 2 - 2 x จากนั้นใช้สูตร Newton-Leibniz เราจะได้อินทิกรัลซึ่งเราคำนวณ:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

เราเปลี่ยนไปสู่การคำนวณอินทิกรัลที่สอง

จากส่วน [- 1; 1] เรามีว่าอินทิกรัลถือว่าไม่มีขอบเขต เพราะ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ นี่หมายความว่าเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการบูรณาการจากช่วงเวลา จากนั้น F (x) = 2 x 2 - 2 x ไม่ใช่แอนติเดริเวทีฟสำหรับ y = 4 x 3 + 2 x 2 จากเซ็กเมนต์ [- 1; 1] เนื่องจากจุด O เป็นของส่วน แต่ไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่ามีอินทิกรัลรีมันน์และนิวตัน-ไลบนิซที่แน่นอนสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากเซกเมนต์ [- 1; 1] .

คำตอบ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28,มีอินทิกรัลที่แน่นอนของรีมันน์และนิวตัน-ไลบนิซสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากเซ็กเมนต์ [- 1; 1] .

ก่อนใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ คุณจำเป็นต้องรู้ให้แน่ชัดเกี่ยวกับการมีอยู่ของอินทิกรัลที่แน่นอน

การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ที่แน่นอน

เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องจากเซกเมนต์ [a; b] จากนั้นชุดที่มีอยู่ [a; b] ถือเป็นช่วงของค่าของฟังก์ชัน x = g (z) ซึ่งกำหนดไว้ในส่วน α; β ด้วยอนุพันธ์ต่อเนื่องที่มีอยู่ โดยที่ g (α) = a และ g β = b จากนี้เราจะได้ ∫ abf (x) dx = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

สูตรนี้ใช้เมื่อจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x โดยที่อินทิกรัลไม่ จำกัด มีรูปแบบ ∫ f (x) d x คำนวณโดยใช้วิธีการทดแทน

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอินทิกรัลแน่นอนของรูปแบบ ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x

สารละลาย

อินทิกรัลจะถือว่าต่อเนื่องในช่วงเวลาของการบูรณาการ ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลที่แน่นอนเกิดขึ้นเพื่อการดำรงอยู่ ให้เรากำหนดว่า 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 ค่า x = 9 หมายความว่า z = 2 9 - 9 = 9 = 3 และสำหรับ x = 18 เราจะได้ z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 จากนั้น g α = g (3) = 9 ก. β = ก. 3 3 = 18. แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตร ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z เราได้รับ

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

จากตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน เรามีแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งของฟังก์ชัน 2 z 2 + 9 รับค่า 2 3 a r c t g z 3 จากนั้นใช้สูตร Newton-Leibniz เราได้รับ

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

การค้นหาสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z

หากวิธีการเปลี่ยนใช้อินทิกรัลของรูปแบบ ∫ 1 x 2 x - 9 d x เราก็จะได้ผลลัพธ์ ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

จากที่นี่ เราจะทำการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctan 2 18 - 9 3 - arctan 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctan 3 - arctan 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

ผลลัพธ์ตรงกัน.

คำตอบ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

การรวมตามส่วนต่างๆ เมื่อคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน

ถ้าอยู่ในส่วน [a; b], ฟังก์ชัน u (x) และ v (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกัน จากนั้นอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน v "(x) · u (x) จะถูกอินทิเกรต ดังนั้นจากช่วงเวลานี้สำหรับฟังก์ชันอินทิเกรต u" (x ) · v ( x) ความเท่าเทียมกัน ∫ abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu" (x) v (x) dx เป็นจริง

สามารถใช้สูตรได้แล้วจึงจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x และ ∫ f (x) d x จำเป็นต้องค้นหาโดยใช้วิธีการรวมตามส่วนต่างๆ

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ - π 2 3 π 2 x · บาป x 3 + π 6 d x

สารละลาย

ฟังก์ชัน x · sin x 3 + π 6 สามารถรวมเข้ากับช่วงเวลา - π 2; 3 π 2 มันจึงต่อเนื่อง

ให้ u (x) = x จากนั้น d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + π 6 dx และ d (u (x)) = u" (x) dx = dx และ v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 จากสูตร ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x เราได้รับ

∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx = = - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 บาป π 2 + π 6 - บาป - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

ตัวอย่างสามารถแก้ไขได้ในอีกทางหนึ่ง

หาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน x sin x 3 + π 6 โดยการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:

∫ x บาป xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = บาป x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

คำตอบ: ∫ x บาป x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter

ข้อความของงานถูกวางไว้โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มของงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

"สำหรับฉันแล้ว ทวินามของนิวตัน!»

จากนวนิยายเรื่อง The Master and Margarita

“รูปสามเหลี่ยมของ Pascal นั้นเรียบง่ายจนแม้แต่เด็กอายุ 10 ขวบก็ยังเขียนได้ ในเวลาเดียวกัน เขาซ่อนสมบัติล้ำค่าที่ไม่มีวันหมดและเชื่อมโยงแง่มุมต่างๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน ซึ่งในแวบแรกไม่มีอะไรเหมือนกัน คุณสมบัติที่ผิดปกติดังกล่าวทำให้การพิจารณาสามเหลี่ยมของ Pascal เป็นหนึ่งในรูปแบบที่หรูหราที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด "

มาร์ติน การ์ดเนอร์.

วัตถุประสงค์ของงาน:เพื่อสรุปสูตรคูณแบบย่อเพื่อแสดงการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา

งาน:

1) ศึกษาและจัดระบบข้อมูลในประเด็นนี้

2) วิเคราะห์ตัวอย่างปัญหาในการใช้ทวินามนิวตันและสูตรหาผลรวมและผลต่างองศา

วัตถุวิจัย:ทวินามของนิวตัน สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของกำลัง

วิธีการวิจัย:

ทำงานกับวรรณกรรมด้านการศึกษาและวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยม แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

การคำนวณ การเปรียบเทียบ การวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ

ความเกี่ยวข้องบุคคลมักจะต้องจัดการกับงานซึ่งจำเป็นต้องนับจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการวางวัตถุบางอย่างหรือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการดำเนินการบางอย่าง เส้นทางหรือตัวเลือกต่าง ๆ ที่บุคคลต้องเลือกรวมกันเป็นชุดค่าผสมที่หลากหลาย และคณิตศาสตร์ทั้งหมวดที่เรียกว่า combinatorics กำลังยุ่งอยู่กับการหาคำตอบของคำถาม: มีชุดค่าผสมกี่ชุดในกรณีหนึ่งหรืออย่างอื่น

ตัวแทนของความเชี่ยวชาญพิเศษจำนวนมากต้องจัดการกับปริมาณสารผสม: นักเคมี นักชีววิทยา นักออกแบบ ผู้มอบหมายงาน ฯลฯ ความสนใจที่เพิ่มขึ้นใน combinatorics ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาเป็นผลมาจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

บทนำ

เมื่อพวกเขาต้องการเน้นว่าคู่สนทนาพูดเกินจริงถึงความซับซ้อนของปัญหาที่เขาเผชิญ พวกเขาพูดว่า: "ฉันมีทวินามของนิวตันด้วย!" สมมติว่านี่คือทวินามของนิวตัน มันยาก แต่คุณมีปัญหาบางอย่าง! แม้แต่ผู้ที่มีความสนใจไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็เคยได้ยินเกี่ยวกับทวินามของนิวตัน

คำว่า "ทวินาม" หมายถึงทวินามเช่น ผลรวมของสองเทอม สูตรคูณแบบย่อที่เรียกว่าเป็นที่รู้จักจากหลักสูตรของโรงเรียน:

( NS+ ข) 2 = 2 + 2ab + ข 2 , (a + b) 3 = 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + ข 3 .

ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน ใช้ในโรงเรียนและสูตรสำหรับแยกความแตกต่างของกำลังสอง ผลรวม และผลต่างของลูกบาศก์ พวกเขาสรุปในระดับอื่น ๆ หรือไม่? ใช่ มีสูตรดังกล่าว ซึ่งมักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ: การพิสูจน์การหาร การตัดเศษส่วน การคำนวณโดยประมาณ

การศึกษาสูตรทั่วไปพัฒนาความสามารถในการคิดแบบนิรนัยและคณิตศาสตร์และความสามารถในการคิดทั่วไป

ส่วนที่ 1 BINOM ของสูตรนิวตัน

ชุดค่าผสมและคุณสมบัติ

ให้ X เป็นเซตที่ประกอบด้วย n องค์ประกอบ เซตย่อย Y ของเซต X ที่มีองค์ประกอบ k เรียกว่าการรวมกันขององค์ประกอบ k จาก n นอกจากนี้ k ≤ n

จำนวนการรวมกันที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ k จาก n จะแสดง C n k หนึ่งในสูตรที่สำคัญที่สุดใน combinatorics คือสูตรต่อไปนี้สำหรับจำนวน С n k:

สามารถเขียนได้หลังตัวย่อที่ชัดเจนดังนี้:

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,

สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าชุด X มีองค์ประกอบ 0 เพียงชุดเดียว - ชุดย่อยว่าง

ตัวเลข C nk มีคุณสมบัติเด่นหลายประการ

สูตรต่อไปนี้ถูกต้อง: С n k = С n - k n, (3)

ความหมายของสูตร (3) คือมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดของชุดย่อยของ k-term ทั้งหมดจาก X และชุดของชุดย่อยทั้งหมด (n - k) -term จาก X: เพื่อสร้างการติดต่อนี้ มันก็เพียงพอแล้วสำหรับเซตย่อยระยะ k Y แต่ละตัวที่ตรงกับส่วนประกอบในชุด X

สูตรต่อไปนี้ใช้ได้: С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n (4)

ผลรวมทางด้านซ้ายแสดงจำนวนของเซตย่อยทั้งหมดของเซ็ต X (C 0 n คือจำนวนของเซ็ตย่อยที่มี 0 เทอม, C 1 n คือจำนวนของเซ็ตย่อยแบบเทอมเดียว ฯลฯ)

สำหรับ k ใดๆ 1≤ k≤ n ความเท่าเทียมกัน

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถหาได้ง่ายโดยใช้สูตร (1) อย่างแท้จริง,

1.2. ที่มาของสูตรทวินามของนิวตัน

พิจารณาพลังของทวินาม เป็น +NS .

n = 0, (a +NS ) 0 = 1

n = 1, (a +NS ) 1 = 1a + 1NS

n = 2,(+NS ) 2 = 1a 2 + 2aNS +1 NS 2

n = 3,(+NS ) 3 = 1 เป็ 3 + 3a 2 NS + 3aNS 2 +1 NS 3

n = 4,(+NS ) 4 = 1a 4 + 4a 3 NS + 6a 2 NS 2 + 4aNS 3 +1 NS 4

n = 5,(+NS ) 5 = 1a 5 + 5a 4 NS + 10a 3 NS 2 + 10a 2 NS 3 + 5aNS 4 + 1 NS 5

สังเกตรูปแบบต่อไปนี้:

จำนวนสมาชิกของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์มากกว่าหนึ่งเลขชี้กำลังของทวินาม

เลขชี้กำลังของเทอมแรกลดลงจาก n เป็น 0, เลขชี้กำลังของเทอมที่สองเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น n;

องศาของโมโนเมียลทั้งหมดเท่ากับองศาของทวินามในเงื่อนไข

โมโนเมียลแต่ละตัวเป็นผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและสองในองศาต่างๆ และจำนวนที่แน่นอน - สัมประสิทธิ์ทวินาม

ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเท่ากันจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการขยายตัวเท่ากัน

ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรต่อไปนี้ เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน:

(NS + NS ) NS = ค 0 NS NS NS NS 0 + ค 1 NS NS NS -1 NS + ค 2 NS NS NS -2 NS 2 + ... + ค NS -1 NS อะบี NS -1 + ค NS NS NS 0 NS NS . (6)

ในสูตรนี้ NSเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

ให้เราได้สูตร (6) ก่อนอื่นมาเขียนว่า:

(NS + NS ) NS = (NS + NS )(NS + NS ) ... (NS + NS ), (7)

โดยที่จำนวนวงเล็บที่จะคูณคือ NS... จากกฎปกติของการคูณผลรวมด้วยผลรวม นิพจน์ (7) เท่ากับผลรวมของผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งสามารถประกอบได้ดังนี้: เทอมใด ๆ ในผลรวมแรก a + bคูณด้วยพจน์ใดๆ ในผลรวมที่สอง a + bสำหรับเทอมใดๆ ในผลรวมที่สาม ฯลฯ

เป็นที่ชัดเจนจากคำที่กล่าวกันว่าคำในนิพจน์สำหรับ (NS + NS ) NSจับคู่ (หนึ่งต่อหนึ่ง) สตริงที่มีความยาว n ประกอบด้วยตัวอักษร ก และ ข.ในบรรดาข้อกำหนดนั้นจะมีข้อกำหนดที่คล้ายคลึงกัน เห็นได้ชัดว่าสมาชิกดังกล่าวสอดคล้องกับสตริงที่มีจำนวนตัวอักษรเท่ากัน NS... แต่จำนวนบรรทัดที่มี k คูณตัวอักษร NS, เท่ากับ C n k ดังนั้น ผลรวมของพจน์ทั้งหมดที่มีตัวอักษร a คูณด้วย k คูณเท่ากับ С n k NS NS - k NS k . เนื่องจาก k สามารถใช้ค่า 0, 1, 2, ..., n-1, n ดังนั้นสูตร (6) จะตามมาจากการให้เหตุผลของเรา โปรดทราบว่า (6) สามารถเขียนให้สั้นลงได้: (8)

แม้ว่าสูตร (6) จะเรียกว่านิวตัน แต่ในความเป็นจริงมันถูกค้นพบก่อนนิวตัน (เช่น Pascal รู้) ข้อดีของนิวตันอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเขาพบข้อสรุปของสูตรนี้สำหรับกรณีของตัวบ่งชี้ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม มันคือ I. Newton ในปี 1664-1665 ได้รับสูตรที่แสดงดีกรีของทวินามสำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนและค่าลบตามอำเภอใจ

ตัวเลข C 0 n, C 1 n, ..., C n n ที่รวมอยู่ในสูตร (6) มักจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

สมบัติจำนวนหนึ่งของสัมประสิทธิ์เหล่านี้หาได้จากสูตร (6) ตัวอย่างเช่น การวาง NS= 1, b = 1, เราได้รับ:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

เหล่านั้น. สูตร (4). ถ้าเราใส่ NS= 1, b = -1 จากนั้นเราจะได้:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

หรือ C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ....

ซึ่งหมายความว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คู่ของการขยายเท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คี่ของการขยายตัว แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ 2 n -1

ค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขที่เท่ากันจากปลายการขยายตัวจะเท่ากัน คุณสมบัตินี้ตามมาจากความสัมพันธ์: С n k = С n n - k

กรณีพิเศษที่น่าสนใจ

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

หรือสั้นกว่า (x +1) n = ∑C n k x n - k

1.3. ทฤษฎีบทพหุนาม

ทฤษฎีบท.

การพิสูจน์.

ในการรับโมโนเมียลหลังจากขยายวงเล็บแล้ว คุณต้องเลือกวงเล็บที่นำไปใช้ วงเล็บที่ใช้ ฯลฯ และวงเล็บที่นำมา สัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลนี้หลังจากการลดเงื่อนไขที่คล้ายกันจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกได้ ขั้นตอนแรกของลำดับตัวเลือกสามารถทำได้หลายวิธี ขั้นตอนที่สอง - ขั้นตอนที่สาม และอื่น ๆ ขั้นตอนที่ th - ในลักษณะต่างๆ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการเท่ากับผลคูณ

หมวดที่ 2. อนุพันธ์อันดับสูง

แนวคิดของอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าอย่างนั้นอนุพันธ์ของมันโดยทั่วไปแล้วขึ้นอยู่กับ NSนั่นคือมันเป็นหน้าที่ของ NS... ดังนั้นในความสัมพันธ์กับมันเราสามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์ได้อีกครั้ง

คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ของอันดับสองหรืออนุพันธ์อันดับสองและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือนั่นคือ

คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสามหรืออันดับสามและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ

คำนิยาม . อนุพันธ์NS -คำสั่งที่ฟังก์ชั่น เป็นอนุพันธ์อันดับ 1 ของอนุพันธ์ (NS -1) -ลำดับที่ของฟังก์ชันนี้และแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ:

คำนิยาม . อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงกว่าตัวแรกเรียกว่า อนุพันธ์ที่สูงขึ้น

ความคิดเห็น... ในทำนองเดียวกันคุณจะได้สูตร NS- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกด้วยสมการ ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชันนั้น เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของตัวแปรอิสระ

ตั้งแต่นั้นมา

และคำนึงถึงว่า

เราได้รับนั่นคือ

สามารถหาอนุพันธ์อันดับสามได้เช่นเดียวกัน

ความแตกต่างของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหาร

เนื่องจากดิฟเฟอเรนเชียลได้มาจากอนุพันธ์โดยการคูณมันด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ ดังนั้น เมื่อรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เช่นเดียวกับกฎในการหาอนุพันธ์ เราจึงสามารถใช้กฎที่คล้ายกันในการค้นหาดิฟเฟอเรนเชียลได้

1 0 . ค่าคงที่ส่วนต่างเป็นศูนย์.

2 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลจำนวนจำกัด เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเหล่านี้ .

3 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของฟังก์ชันที่หนึ่งโดยดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่สองและฟังก์ชันที่สองโดยค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแรก .

ผลที่ตามมา. ตัวคูณค่าคงที่สามารถนำออกนอกเครื่องหมายอนุพันธ์ได้

2.3. ฟังก์ชันที่กำหนดโดยพารามิเตอร์ ความแตกต่างของฟังก์ชัน

คำนิยาม . ฟังก์ชันจะถูกเรียกแบบพาราเมตริกถ้าตัวแปรทั้งสองตัว NS และ y ถูกกำหนดแยกกันเป็นฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเสริมเดียวกัน - พารามิเตอร์NS :

ที่ไหนNS แตกต่างกันไปภายใน

ความคิดเห็น ... ให้เราใส่สมการพาราเมทริกของวงกลมและวงรี

ก) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี NSมีสมการพาราเมตริก:

b) ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกสำหรับวงรี:

โดยยกเว้นพารามิเตอร์ NSจากสมการพาราเมทริกของเส้นที่พิจารณา เราสามารถมาถึงสมการบัญญัติได้

ทฤษฎีบท ... ถ้าฟังก์ชัน y จากการโต้แย้ง x ถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดยสมการ โดยที่ และหาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับNS ฟังก์ชั่นและแล้ว.

2.4. สูตรไลบนิซ

เพื่อหาอนุพันธ์ NS-ลำดับที่ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน สูตร Leibniz มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง

ปล่อยให้เป็น ยูและ วี- ฟังก์ชั่นบางอย่างของตัวแปร NSมีอนุพันธ์ของคำสั่งใด ๆ และ y = ยูวี... ให้เราแสดงออก NS- อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ยูและ วี .

เรามีอย่างต่อเนื่อง

เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองและสามกับการขยายตัวของทวินามของนิวตันในกำลังสองและสามตามลำดับ แต่แทนที่จะเป็นเลขชี้กำลัง มีตัวเลขที่กำหนดลำดับของอนุพันธ์และฟังก์ชัน ตัวเองถือได้ว่าเป็น "อนุพันธ์ของลำดับศูนย์" ด้วยเหตุนี้เราจึงได้สูตร Leibniz:

สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ส่วนที่ 3 การใช้สูตร LEIBNITZ

ในการคำนวณอนุพันธ์ของลำดับใด ๆ ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน โดยข้ามการใช้สูตรตามลำดับสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน ให้ใช้ สูตรไลบนิซ.

การใช้สูตรนี้ ให้เราพิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

ตามคำจำกัดความ อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง นั่นคือ

ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดตาม กฎความแตกต่างและใช้ ตารางอนุพันธ์:

ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 กัน นี่จะเป็นอนุพันธ์อันดับสองที่จำเป็น:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

หาอนุพันธ์อันดับ th ของฟังก์ชัน

สารละลาย.

เราจะหาอนุพันธ์ของคำสั่งที่หนึ่ง สอง สาม และลำดับอื่นๆ ตามลำดับของฟังก์ชันที่กำหนด เพื่อสร้างรูปแบบที่สามารถสรุปผลได้กับอนุพันธ์อันดับที่ th

อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งพบเป็น อนุพันธ์ของเอกชน:

ในที่นี้นิพจน์เรียกว่าแฟกทอเรียลของตัวเลข แฟกทอเรียลของจำนวนเท่ากับผลคูณของตัวเลขจากหนึ่งถึง นั่นคือ

อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับ 1 ของอนุพันธ์อันดับ 1 นั่นคือ

อนุพันธ์อันดับสาม:

อนุพันธ์ที่สี่:

สังเกตความสม่ำเสมอ: ตัวเศษประกอบด้วยแฟกทอเรียลของจำนวน ซึ่งเท่ากับลำดับของอนุพันธ์ และในตัวส่วน นิพจน์ในยกกำลังมากกว่าหนึ่งลำดับของอนุพันธ์ นั่นคือ

ตอบ.

ตัวอย่างที่ 3

หาค่าอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่จุดนั้น

สารละลาย.

ตาม ตารางอนุพันธ์อันดับสูงกว่า, เรามี:

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา นั่นคือ เราได้รับ

โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ตามลำดับ

ณ จุดที่กำหนด อนุพันธ์อันดับสามคือ:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน

สารละลาย.อันดับแรก ให้หาอนุพันธ์อันดับแรก:

ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งอีกครั้ง:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

เนื่องจากฟังก์ชันที่กำหนดเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน จึงเป็นการสมควรที่จะใช้สูตรไลบนิซเพื่อค้นหาอนุพันธ์อันดับที่สี่:

มาหาอนุพันธ์ทั้งหมดและคำนวณสัมประสิทธิ์ของเทอมกัน

1) มาคำนวณสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขกัน:

2) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตอบ:

ตัวอย่างที่ 6

ฟังก์ชันจะได้รับ y = x 2 cos3x หาอนุพันธ์อันดับสาม

ให้ u = cos3x, v = x 2 ... จากนั้นเมื่อใช้สูตร Leibniz เราจะพบว่า:

อนุพันธ์ในนิพจน์นี้คือ:

(cos3x) ′ = - 3sin3x,

(cos3x) ′ ′ = (- 3sin3x) ′ = - 9cos3x,

(cos3x) ′ ′ ′ = (- 9cos3x) ′ = 27sin3x,

(x2) ′ = 2x,

(x2) ′ ′ = 2,

(x2) ′ ′ ′ = 0

ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดคือ

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2 + 3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x − 54xcos3x − 18sin3x = (27x2−18) sin3x − 54xcos3x

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ NS -ฟังก์ชันคำสั่งที่ y = x 2 cosx

เราใช้สูตรของไลบนิซโดยการตั้งค่ายู = cosx, วี = x 2 ... แล้ว

ชุดที่เหลือมีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก(x2) (i) = 0 สำหรับ i> 2

อนุพันธ์ n - ฟังก์ชันโคไซน์ลำดับที่:

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันของเราคือ

บทสรุป

ที่โรงเรียน มีการศึกษาและใช้สูตรคูณแบบย่อที่เรียกว่า: กำลังสองและลูกบาศก์ของผลรวมและผลต่างของนิพจน์สองนิพจน์ และสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบความแตกต่างของกำลังสอง ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์ ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลรวมและผลต่างของกำลัง สูตรเหล่านี้มักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ: การพิสูจน์การหาร, การตัดเศษส่วน, การคำนวณโดยประมาณ พิจารณาคุณสมบัติที่น่าสนใจของสามเหลี่ยมปาสกาลซึ่งมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทวินามของนิวตัน

งานจัดระบบข้อมูลในหัวข้อ ให้ตัวอย่างปัญหาในการใช้ทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างขององศา สามารถใช้ในงานของวงกลมคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับการศึกษาอิสระโดยผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์

รายชื่อแหล่งที่ใช้

1. Vilenkin N. Ya. คอมบิเนทอริกส์ - ed. "วิทยาศาสตร์". - ม., 2512

2. Nikolsky S.M. , Potapov M.K. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรระดับพื้นฐานและขั้นสูง - ม.: การศึกษา, 2014. - 431 น.

3. การแก้ปัญหาทางสถิติ เชิงผสม และทฤษฎีความน่าจะเป็น 7-9 เกรด / ผู้แต่ง - เรียบเรียงโดย V.N. สตูเดเนตสกายา - ศ. 2nd., Rev., - Volgograd: Teacher, 2009

4. Savushkina I.A. , Khugaev K.D. , Tishkin S.B. สมการพีชคณิตขององศาที่สูงขึ้น / คู่มือระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษาแผนกเตรียมอุดมศึกษาระหว่างมหาวิทยาลัย - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544

5. Sharygin I.F. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา คู่มือการเรียน 10 ซ.ล. มัธยม. - ม.: การศึกษา, 2532.

6.วิทยาศาสตร์และชีวิต ทวินามของนิวตันและสามเหลี่ยมปาสกาล[ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]. - โหมดการเข้าถึง: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/