ตัวอย่างการสร้างแบบจำลองกระบวนการสุ่ม แบบจำลองสุ่มในทางเศรษฐศาสตร์ ตัวแบบกำหนดและสุ่ม วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียวแบบหลายมิติ

การสร้างแบบจำลองสุ่มประกอบด้วยการพัฒนา การประเมินคุณภาพ และการศึกษาพฤติกรรมของระบบโดยใช้สมการที่อธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษา

ในการทำเช่นนี้โดยทำการทดลองพิเศษกับระบบจริงจะได้รับข้อมูลเบื้องต้น ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการวางแผนการทดลอง การประมวลผลผลลัพธ์ ตลอดจนเกณฑ์สำหรับการประเมินแบบจำลองที่ได้รับ โดยพิจารณาจากส่วนต่างๆ ของสถิติทางคณิตศาสตร์ เช่น การกระจายตัว สหสัมพันธ์ การวิเคราะห์การถดถอย ฯลฯ

วิธีการสร้างแบบจำลองทางสถิติที่อธิบายกระบวนการทางเทคโนโลยี (รูปที่ 6.1) ขึ้นอยู่กับแนวคิดของ "กล่องดำ" สามารถวัดปัจจัยอินพุตได้หลายแบบ: x 1 ,x 2 ,…,x kและพารามิเตอร์เอาต์พุต: y 1 ,y 2 ,…,y pตามผลลัพธ์ที่สร้างการพึ่งพา:

ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติ ตามการกำหนดปัญหา (1) ปัจจัยที่มีความสำคัญน้อยที่สุดจะถูกคัดออกจากตัวแปรอินพุตจำนวนมากที่ส่งผลต่อกระบวนการ (2) ตัวแปรอินพุตที่เลือกสำหรับการวิจัยเพิ่มเติมประกอบเป็นรายการปัจจัย x 1 ,x 2 ,…,x kใน (6.1) โดยการควบคุมว่าสามารถควบคุมพารามิเตอร์เอาต์พุตได้หรือไม่ y n. ควรลดจำนวนผลลัพธ์ของแบบจำลองให้มากที่สุดเพื่อลดต้นทุนของการทดลองและการประมวลผลข้อมูล

ในการพัฒนาแบบจำลองทางสถิติ โครงสร้าง (3) มักจะถูกกำหนดโดยพลการ ในรูปแบบของฟังก์ชันที่สะดวกต่อการใช้งานซึ่งใกล้เคียงกับข้อมูลการทดลอง แล้วปรับแต่งตามการประเมินความเพียงพอของแบบจำลอง

รูปแบบพหุนามของแบบจำลองมักใช้บ่อยที่สุด ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง:

(6.2)

ที่ไหน ข 0, บี , บี จ , ข iiคือสัมประสิทธิ์การถดถอย

โดยปกติ อันดับแรก เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่เฉพาะโมเดลเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด ซึ่งใน (6.2) b ii =0, b ij =0. ในกรณีที่ไม่เพียงพอ แบบจำลองจะซับซ้อนโดยการนำคำศัพท์ที่คำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ของปัจจัยต่างๆ x ฉัน , x jและ (หรือ) เงื่อนไขกำลังสอง

เพื่อเพิ่มการดึงข้อมูลจากการทดลองที่ดำเนินอยู่ให้มากที่สุดและลดจำนวนลง จึงมีการวางแผนการทดลอง (4) เช่น การเลือกจำนวนและเงื่อนไขสำหรับการทดลองที่จำเป็นและเพียงพอในการแก้ปัญหาด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติ จะใช้การทดสอบสองประเภท: แบบพาสซีฟและแบบแอ็คทีฟ การทดลองแบบพาสซีฟมันดำเนินการในรูปแบบของการสังเกตระยะยาวของกระบวนการที่ไม่มีการควบคุม ซึ่งทำให้สามารถรวบรวมข้อมูลที่หลากหลายสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติ ใน การทดลองใช้งานสามารถควบคุมเงื่อนไขของการทดลองได้ เมื่อดำเนินการแล้ว สิ่งที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงขนาดของปัจจัยทั้งหมดตามแผนหนึ่งไปพร้อม ๆ กัน ซึ่งทำให้สามารถระบุปฏิสัมพันธ์ของปัจจัยต่างๆ และลดจำนวนการทดลองลงได้

จากผลของการทดลอง (5) ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอย (6.2) จะถูกคำนวณและค่านัยสำคัญทางสถิติจะถูกประมาณ ซึ่งทำให้การสร้างแบบจำลองเสร็จสมบูรณ์ (6) การวัดความเพียงพอของแบบจำลอง (7) คือความแปรปรวน กล่าวคือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าที่คำนวณได้จากค่าทดลอง ความแปรปรวนที่ได้รับจะถูกเปรียบเทียบกับความแปรปรวนที่ยอมรับได้กับความแม่นยำที่ได้รับของการทดลอง

4. แบบแผนสำหรับการสร้างแบบจำลองสุ่ม

การสร้างแบบจำลองสุ่มประกอบด้วยการพัฒนา การประเมินคุณภาพ และการศึกษาพฤติกรรมของระบบโดยใช้สมการที่อธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษา ในการทำเช่นนี้โดยทำการทดลองพิเศษกับระบบจริงจะได้รับข้อมูลเบื้องต้น ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการวางแผนการทดลอง การประมวลผลผลลัพธ์ ตลอดจนเกณฑ์สำหรับการประเมินแบบจำลองที่ได้รับ โดยพิจารณาจากส่วนต่างๆ ของสถิติทางคณิตศาสตร์ เช่น การกระจายตัว สหสัมพันธ์ การวิเคราะห์การถดถอย ฯลฯ

ขั้นตอนของการพัฒนาแบบจำลองสุ่ม:

การกำหนดปัญหา

การเลือกปัจจัยและพารามิเตอร์

การเลือกประเภทรุ่น

การวางแผนการทดลอง

การดำเนินการทดลองตามแผน

การสร้างแบบจำลองทางสถิติ

การตรวจสอบแบบจำลอง (เกี่ยวข้องกับ 8, 9, 2, 3, 4)

การปรับรุ่น

สำรวจกระบวนการด้วยแบบจำลอง (เชื่อมโยงกับ 11)

คำจำกัดความของพารามิเตอร์การเพิ่มประสิทธิภาพและข้อจำกัด

การเพิ่มประสิทธิภาพกระบวนการด้วยแบบจำลอง (เชื่อมโยงกับ 10 และ 13)

ข้อมูลการทดลองของอุปกรณ์อัตโนมัติ

การควบคุมกระบวนการด้วยแบบจำลอง (เชื่อมโยงกับ 12)

การรวมขั้นตอนที่ 1 ถึง 9 ทำให้เราได้รูปแบบข้อมูล ขั้นตอนที่ 1 ถึง 11 ให้รูปแบบการปรับให้เหมาะสม และการรวมรายการทั้งหมดทำให้เรามีรูปแบบการควบคุม

5. เครื่องมือสำหรับการประมวลผลโมเดล

เมื่อใช้ระบบ CAE คุณสามารถดำเนินการตามขั้นตอนต่อไปนี้สำหรับแบบจำลองการประมวลผล:

การซ้อนทับตาข่ายไฟไนต์เอลิเมนต์บนโมเดล 3 มิติ

ปัญหาภาวะเครียดจากความร้อน ปัญหาพลศาสตร์ของไหล

ปัญหาการถ่ายเทความร้อนและมวล

งานติดต่อ;

การคำนวณทางจลนศาสตร์และไดนามิก เป็นต้น

การสร้างแบบจำลองการจำลองระบบการผลิตที่ซับซ้อนตามแบบจำลองการเข้าคิวและตาข่ายเพาะเลี้ยง

โดยทั่วไปแล้ว โมดูล CAE จะให้ความสามารถในการแสดงสีและภาพระดับสีเทา ซ้อนชิ้นส่วนดั้งเดิมและชิ้นส่วนที่ผิดรูป ทำให้เห็นภาพการไหลของของเหลวและก๊าซ

ตัวอย่างระบบสำหรับการสร้างแบบจำลองเขตข้อมูลปริมาณทางกายภาพตาม FEM: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow

ตัวอย่างระบบสำหรับการสร้างแบบจำลองกระบวนการไดนามิกในระดับมหภาค: Adams และ Dyna - ในระบบเครื่องกล, Spice - ในวงจรอิเล็กทรอนิกส์, PA9 - สำหรับการสร้างแบบจำลองหลายแง่มุม เช่น สำหรับระบบการสร้างแบบจำลองซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนอิทธิพลร่วมกันของกระบวนการทางกายภาพที่มีลักษณะต่างๆ

6. การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองการวิเคราะห์และการจำลอง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ -ชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (ตัวเลข ตัวแปร ชุด ฯลฯ) และความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านี้ ซึ่งสะท้อนคุณสมบัติ (จำเป็น) บางอย่างของวัตถุทางเทคนิคที่ออกแบบไว้อย่างเพียงพอ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อาจเป็นรูปทรงเรขาคณิต ทอพอโลยี ไดนามิก ลอจิก เป็นต้น

- ความเพียงพอของการแสดงวัตถุจำลอง

พื้นที่ของความเพียงพอคือพื้นที่ในพื้นที่พารามิเตอร์ ซึ่งข้อผิดพลาดของแบบจำลองยังคงอยู่ภายในขอบเขตที่ยอมรับได้

- เศรษฐกิจ (ประสิทธิภาพการคำนวณ)- กำหนดโดยต้นทุนของทรัพยากร
ที่จำเป็นสำหรับการนำโมเดลไปใช้ (เวลาคอมพิวเตอร์ หน่วยความจำที่ใช้ ฯลฯ );

- ความแม่นยำ -กำหนดระดับของความบังเอิญของผลลัพธ์ที่คำนวณและเป็นจริง (ระดับของการติดต่อระหว่างการประมาณคุณสมบัติของชื่อเดียวกันของวัตถุและแบบจำลอง)

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์- ขั้นตอนการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ รวมถึงขั้นตอนต่อไปนี้: การตั้งค่างาน; การสร้างแบบจำลองและการวิเคราะห์ การพัฒนาวิธีการเพื่อให้ได้โซลูชันการออกแบบบนแบบจำลอง การตรวจสอบและการแก้ไขการทดลองของแบบจำลองและวิธีการ

คุณภาพของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นนั้นขึ้นอยู่กับการกำหนดปัญหาให้ถูกต้องเป็นส่วนใหญ่ จำเป็นต้องกำหนดเป้าหมายทางเทคนิคและเศรษฐกิจของปัญหาที่กำลังแก้ไข เพื่อรวบรวมและวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นทั้งหมด เพื่อกำหนดข้อจำกัดทางเทคนิค ในกระบวนการสร้างแบบจำลองควรใช้วิธีการวิเคราะห์ระบบ

ตามกฎแล้ว กระบวนการสร้างแบบจำลองเป็นการวนซ้ำในลักษณะ ซึ่งให้การปรับแต่งการตัดสินใจก่อนหน้าที่ทำในขั้นตอนก่อนหน้าของการพัฒนาแบบจำลองในแต่ละขั้นตอนการทำซ้ำ

โมเดลเชิงวิเคราะห์ -แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นการพึ่งพาพารามิเตอร์เอาต์พุตอย่างชัดเจนกับพารามิเตอร์ภายในและภายนอก โมเดลจำลอง -แบบจำลองอัลกอริธึมเชิงตัวเลขที่แสดงกระบวนการในระบบโดยมีอิทธิพลภายนอกต่อระบบ โมเดลอัลกอริทึมคือโมเดลที่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างเอาต์พุต พารามิเตอร์ภายในและภายนอกโดยปริยายในรูปแบบของอัลกอริธึมการสร้างแบบจำลอง โมเดลจำลองมักใช้ในระดับการออกแบบระบบ การสร้างแบบจำลองการจำลองทำได้โดยการทำซ้ำเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันหรือตามลำดับในเวลาของแบบจำลอง ตัวอย่างของแบบจำลองการจำลองสามารถพิจารณาการใช้ Petri net เพื่อจำลองระบบการเข้าคิว

7. หลักการพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

วิธีการแบบคลาสสิก (อุปนัย)ออบเจ็กต์จริงที่จะสร้างแบบจำลองแบ่งออกเป็นระบบย่อยที่แยกจากกัน กล่าวคือ ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับการสร้างแบบจำลองจะถูกเลือกและกำหนดเป้าหมายที่สะท้อนถึงแง่มุมบางประการของกระบวนการสร้างแบบจำลอง ตามชุดข้อมูลเริ่มต้นที่แยกจากกัน เป้าหมายคือการสร้างแบบจำลองด้านการทำงานของระบบที่แยกจากกัน บนพื้นฐานของเป้าหมายนี้ ส่วนประกอบบางอย่างของแบบจำลองในอนาคตจะถูกสร้างขึ้น ชุดของส่วนประกอบถูกรวมเข้าเป็นแบบจำลอง

วิธีการแบบคลาสสิกดังกล่าวสามารถใช้เพื่อสร้างแบบจำลองที่ค่อนข้างง่าย ซึ่งการแยกและการพิจารณาแต่ละแง่มุมของการทำงานของวัตถุจริงอย่างเป็นอิสระร่วมกันนั้นเป็นไปได้ ดำเนินการย้ายจากเฉพาะไปยังทั่วไป

แนวทางของระบบจากข้อมูลเบื้องต้นที่ทราบจากการวิเคราะห์ระบบภายนอก ข้อ จำกัด เหล่านั้นที่กำหนดบนระบบจากด้านบนหรือตามความเป็นไปได้ของการใช้งานและบนพื้นฐานของวัตถุประสงค์ในการทำงานข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับ มีการกำหนดรูปแบบระบบ บนพื้นฐานของข้อกำหนดเหล่านี้ ประมาณระบบย่อยและองค์ประกอบบางอย่างจะเกิดขึ้น และขั้นตอนที่ยากที่สุดในการสังเคราะห์คือ การเลือกส่วนประกอบของระบบ ซึ่งใช้เกณฑ์การคัดเลือกพิเศษ แนวทางของระบบยังบ่งบอกถึงลำดับของการพัฒนาแบบจำลอง ซึ่งประกอบด้วยขั้นตอนการออกแบบหลักสองขั้นตอน: การออกแบบมาโครและการออกแบบขนาดเล็ก

เวทีการออกแบบมาโคร– บนพื้นฐานของข้อมูลเกี่ยวกับระบบจริงและสภาพแวดล้อมภายนอก มีการสร้างแบบจำลองของสภาพแวดล้อมภายนอก ระบุทรัพยากรและข้อจำกัดสำหรับการสร้างแบบจำลองระบบ เลือกแบบจำลองระบบและเกณฑ์เพื่อประเมินความเพียงพอของระบบจริง แบบอย่าง. เมื่อสร้างแบบจำลองของระบบและแบบจำลองของสภาพแวดล้อมภายนอกตามเกณฑ์ประสิทธิภาพของการทำงานของระบบ ในกระบวนการสร้างแบบจำลอง จะเลือกกลยุทธ์การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งทำให้ตระหนักถึงความเป็นไปได้ ของแบบจำลองเพื่อทำซ้ำบางแง่มุมของการทำงานของระบบจริง

เวทีไมโครดีไซน์ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับประเภทของรุ่นที่เลือก ในกรณีของแบบจำลองจำลอง จำเป็นต้องสร้างความมั่นใจว่าการสร้างข้อมูล ระบบการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ เทคนิค และซอฟต์แวร์ ในขั้นตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดคุณลักษณะหลักของแบบจำลองที่สร้างขึ้น ประเมินเวลาในการทำงานกับมันและต้นทุนของทรัพยากรเพื่อให้ได้คุณภาพที่สอดคล้องกันระหว่างแบบจำลองกับกระบวนการทำงานของระบบ รุ่นที่ใช้
เมื่อสร้างมันจำเป็นต้องได้รับคำแนะนำจากแนวทางที่เป็นระบบหลายประการ:

ความก้าวหน้าตามลำดับตามสัดส่วนผ่านขั้นตอนและทิศทางของการสร้างแบบจำลอง

การประสานงานของข้อมูล ทรัพยากร ความน่าเชื่อถือ และลักษณะอื่นๆ

อัตราส่วนที่ถูกต้องของแต่ละระดับของลำดับชั้นในระบบการสร้างแบบจำลอง

ความสมบูรณ์ของขั้นตอนที่แยกออกมาแต่ละขั้นของการสร้างแบบจำลอง

การวิเคราะห์วิธีการที่ใช้ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์หรืออนุพันธ์จำนวนเต็มที่มีอนุพันธ์ย่อยบางส่วนทำได้โดยใช้วิธีเชิงตัวเลข วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการแยกส่วนของตัวแปรอิสระ - การแสดงโดยชุดค่าที่ จำกัด ที่จุดสำคัญที่เลือกของพื้นที่ภายใต้การศึกษา จุดเหล่านี้ถือเป็นโหนดของบางกริด

ในบรรดาวิธีกริดนั้น มีการใช้สองวิธีอย่างแพร่หลายที่สุด: วิธีไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์ (FDM) และวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) โดยปกติเราจะแยกตัวแปรอิสระเชิงพื้นที่ กล่าวคือ โดยใช้ตารางเชิงพื้นที่ ในกรณีนี้ การแยกย่อยส่งผลให้เกิดระบบสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา ซึ่งจะถูกลดขนาดลงเป็นระบบสมการพีชคณิตโดยใช้เงื่อนไขขอบเขต

ให้จำเป็นต้องแก้สมการ LV(z) = ฉ(z)

ด้วยเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด MV(z) = .(z),

ที่ไหน หลี่และ ม-ตัวดำเนินการส่วนต่าง วี(z) - ตัวแปรเฟส z= (x 1, x 2, x 3, t) - เวกเตอร์ของตัวแปรอิสระ ฉ(z) และ ψ.( z) ได้รับหน้าที่ของตัวแปรอิสระ

ใน MKRพีชคณิตของอนุพันธ์เทียบกับพิกัดเชิงพื้นที่ขึ้นอยู่กับการประมาณของอนุพันธ์โดยนิพจน์ความแตกต่างจำกัด เมื่อใช้วิธีนี้ คุณต้องเลือกขั้นตอนกริดสำหรับแต่ละพิกัดและประเภทของเทมเพลต แม่แบบเข้าใจว่าเป็นชุดของจุดปมซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่ใช้ในการประมาณอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง

FEMอยู่บนพื้นฐานของการประมาณไม่ใช่ของอนุพันธ์ แต่จากการประมาณของสารละลายเอง วี(z). แต่เนื่องจากไม่เป็นที่รู้จัก การประมาณจึงดำเนินการโดยนิพจน์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

ในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงการประมาณของโซลูชันภายในองค์ประกอบจำกัด และเมื่อคำนึงถึงขนาดที่เล็ก เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการใช้นิพจน์การประมาณที่ค่อนข้างง่าย (เช่น พหุนามดีกรีต่ำ) อันเป็นผลมาจากการทดแทน พหุนามดังกล่าวในสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมและการดำเนินการสร้างความแตกต่าง ค่าของตัวแปรเฟสจะได้รับตามจุดที่กำหนด

การประมาณพหุนาม การใช้วิธีการมีความเกี่ยวข้องกับความเป็นไปได้ของการประมาณฟังก์ชันที่ราบรื่นด้วยพหุนาม จากนั้นจึงใช้พหุนามการประมาณเพื่อประมาณพิกัดของจุดที่เหมาะสมที่สุด เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการดำเนินการตามแนวทางนี้อย่างมีประสิทธิภาพคือ ความเป็นเอกภาพและความต่อเนื่อง ทำงานภายใต้การศึกษา ตามทฤษฎีบทการประมาณของ Weierstrass หากฟังก์ชันต่อเนื่องกันในช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง ก็สามารถประมาณค่าความแม่นยำระดับใดก็ได้โดยใช้พหุนามของลำดับที่สูงเพียงพอ ตามทฤษฎีบท Weierstrass คุณภาพของการประมาณพิกัดจุดที่เหมาะสมที่สุดที่ได้รับโดยใช้พหุนามการประมาณสามารถปรับปรุงได้สองวิธี: โดยใช้พหุนามลำดับที่สูงกว่าและโดยการลดช่วงการประมาณ เวอร์ชันที่ง่ายที่สุดของการประมาณค่าพหุนามคือการประมาณกำลังสอง ซึ่งขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันที่ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดภายในของช่วงเวลาต้องเป็นกำลังสองเป็นอย่างน้อย

วินัย "แบบจำลองและวิธีการวิเคราะห์โซลูชันการออกแบบ" (Kazakov Yu.M. )

การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ระดับนามธรรมของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ข้อกำหนดสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

แบบแผนสำหรับการสร้างแบบจำลองสุ่ม

เครื่องมือประมวลผลแบบจำลอง

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองการวิเคราะห์และการจำลอง

หลักการพื้นฐานในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

การวิเคราะห์วิธีการประยุกต์ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

1. การจำแนกตัวแบบทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ (MM) ของอ็อบเจกต์ทางเทคนิคคือชุดของออบเจกต์ทางคณิตศาสตร์ (ตัวเลข ตัวแปร เมทริกซ์ ชุด ฯลฯ) และความสัมพันธ์ระหว่างกัน ซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติของออบเจกต์ทางเทคนิคที่สนใจวิศวกรที่กำลังพัฒนาออบเจกต์นี้อย่างเพียงพอ

โดยธรรมชาติของการแสดงคุณสมบัติของวัตถุ:

การทำงาน - ออกแบบมาเพื่อแสดงกระบวนการทางกายภาพหรือข้อมูลที่เกิดขึ้นในระบบทางเทคนิคระหว่างการทำงาน แบบจำลองการทำงานทั่วไปคือระบบของสมการที่อธิบายกระบวนการทางไฟฟ้า ความร้อน ทางกล หรือกระบวนการแปลงข้อมูล

โครงสร้าง - แสดงคุณสมบัติโครงสร้างของวัตถุ (ทอพอโลยี, เรขาคณิต) . ตัวแบบโครงสร้างมักแสดงเป็นกราฟ

โดยอยู่ในระดับลำดับชั้น:

แบบจำลองระดับไมโคร - แสดงกระบวนการทางกายภาพในพื้นที่และเวลาต่อเนื่อง สำหรับการสร้างแบบจำลองจะใช้อุปกรณ์ของสมการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ตัวอย่างของสมการดังกล่าวคือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

โมเดลระดับมหภาค ใช้การขยายรายละเอียดของพื้นที่บนพื้นฐานพื้นฐาน แบบจำลองการทำงานที่ระดับมหภาคคือระบบของสมการเชิงพีชคณิตหรือสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สำหรับการได้มาและการแก้ปัญหานั้น จะใช้วิธีการเชิงตัวเลขที่เหมาะสม

รุ่น Metolevel คำอธิบายแบบขยายของวัตถุที่อยู่ระหว่างการพิจารณา แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในระดับเมตาดาต้า - ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา ระบบสมการลอจิคัล แบบจำลองการจำลองระบบการจัดคิว

วิธีรับโมเดล:

ทฤษฎี - สร้างขึ้นบนพื้นฐานของรูปแบบการศึกษา แบบจำลองเชิงทฤษฎีต่างจากแบบจำลองเชิงประจักษ์ โดยส่วนใหญ่แล้ว แบบจำลองเชิงทฤษฎีจะเป็นแบบสากลมากกว่าและใช้ได้กับปัญหาที่หลากหลายกว่า แบบจำลองเชิงทฤษฎีเป็นแบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น ต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง เป็นไดนามิกและเชิงสถิติ

เชิงประจักษ์

ข้อกำหนดหลักสำหรับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ใน CAD:

ความเพียงพอของการแสดงวัตถุจำลอง

ความเพียงพอจะเกิดขึ้นหากแบบจำลองสะท้อนถึงคุณสมบัติที่กำหนดของวัตถุด้วยความแม่นยำที่ยอมรับได้ และประเมินโดยรายการคุณสมบัติที่สะท้อนให้เห็นและพื้นที่ความเพียงพอ พื้นที่ของความเพียงพอคือพื้นที่ในพื้นที่พารามิเตอร์ ซึ่งข้อผิดพลาดของแบบจำลองยังคงอยู่ภายในขอบเขตที่ยอมรับได้

เศรษฐกิจ (ประสิทธิภาพการคำนวณ)– กำหนดโดยต้นทุนของทรัพยากรที่จำเป็นสำหรับการนำแบบจำลองไปใช้ (เวลาของคอมพิวเตอร์ หน่วยความจำที่ใช้ ฯลฯ)

ความแม่นยำ- กำหนดระดับของความบังเอิญของผลลัพธ์ที่คำนวณและเป็นจริง (ระดับของการติดต่อระหว่างการประมาณคุณสมบัติของชื่อเดียวกันของวัตถุและแบบจำลอง)

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดอื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์:

ความสามารถในการคำนวณ, เช่น. ความเป็นไปได้ของการใช้งานด้วยตนเองหรือด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ในการศึกษารูปแบบเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณของการทำงานของวัตถุ (ระบบ)

ความเป็นโมดูล, เช่น. ความสอดคล้องของการสร้างแบบจำลองกับส่วนประกอบโครงสร้างของวัตถุ (ระบบ)

อัลกอริทึม, เช่น. ความเป็นไปได้ในการพัฒนาอัลกอริธึมที่เหมาะสมและโปรแกรมที่ใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์บนคอมพิวเตอร์

ทัศนวิสัย, เช่น. การรับรู้ภาพที่สะดวกของแบบจำลอง

โต๊ะ. การจำแนกแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ป้ายจำแนก	ประเภทของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
1. อยู่ในลำดับชั้น	โมเดลระดับไมโคร โมเดลระดับมาโคร โมเดลระดับเมตา
2. ธรรมชาติของคุณสมบัติที่แสดงของวัตถุ	โครงสร้าง การทำงาน
3. วิธีการแสดงคุณสมบัติของวัตถุ	วิเคราะห์ อัลกอริทึม การจำลอง
4. วิธีรับโมเดล	ทฤษฎี เชิงประจักษ์
5. คุณสมบัติของพฤติกรรมของวัตถุ	กำหนดขึ้น ความน่าจะเป็น

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในระดับจุลภาคของกระบวนการผลิตสะท้อนให้เห็นถึงกระบวนการทางกายภาพที่เกิดขึ้น เช่น เมื่อตัดโลหะ พวกเขาอธิบายกระบวนการในระดับการเปลี่ยนแปลง

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์ในระดับมหภาคกระบวนการผลิตอธิบายกระบวนการทางเทคโนโลยี

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ระดับเมตาของกระบวนการผลิตอธิบายระบบเทคโนโลยี (ส่วน, การประชุมเชิงปฏิบัติการ, องค์กรโดยรวม)

ตัวแบบทางคณิตศาสตร์โครงสร้างออกแบบมาเพื่อแสดงคุณสมบัติโครงสร้างของวัตถุ ตัวอย่างเช่น ใน CAD TP แบบจำลองเชิงโครงสร้าง-ลอจิกถูกนำมาใช้เพื่อแสดงโครงสร้างของกระบวนการทางเทคโนโลยี บรรจุภัณฑ์ของผลิตภัณฑ์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงฟังก์ชันออกแบบมาเพื่อแสดงข้อมูล ทางกายภาพ กระบวนการชั่วคราวที่เกิดขึ้นในอุปกรณ์ปฏิบัติการ ในกระบวนการทางเทคโนโลยี ฯลฯ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีเกิดขึ้นจากการศึกษาวัตถุ (กระบวนการ) ในระดับทฤษฎี

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์ถูกสร้างขึ้นจากการทดลอง (ศึกษาลักษณะภายนอกของคุณสมบัติของวัตถุโดยการวัดพารามิเตอร์ที่อินพุตและเอาต์พุต) และประมวลผลผลลัพธ์โดยใช้วิธีสถิติทางคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดขึ้นได้อธิบายพฤติกรรมของวัตถุจากจุดยืนของความแน่นอนทั้งในปัจจุบันและอนาคต ตัวอย่างของแบบจำลองดังกล่าว: สูตรของกฎหมายทางกายภาพ กระบวนการทางเทคโนโลยีสำหรับการประมวลผลชิ้นส่วน ฯลฯ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโดยคำนึงถึงอิทธิพลของปัจจัยสุ่มที่มีต่อพฤติกรรมของวัตถุ เช่น ประเมินอนาคตในแง่ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง

แบบจำลองเชิงวิเคราะห์ - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เชิงตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นการพึ่งพาพารามิเตอร์เอาต์พุตอย่างชัดเจนกับพารามิเตอร์ภายในและภายนอก

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อัลกอริทึมแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์เอาต์พุตกับพารามิเตอร์อินพุตและพารามิเตอร์ภายในในรูปแบบของอัลกอริทึม

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์จำลอง- เหล่านี้เป็นแบบจำลองอัลกอริธึมที่สะท้อนถึงการพัฒนาของกระบวนการ (พฤติกรรมของวัตถุที่กำลังศึกษา) ในเวลาที่กำหนดอิทธิพลภายนอกต่อกระบวนการ (วัตถุ) ตัวอย่างเช่น เหล่านี้เป็นแบบจำลองของระบบการจัดคิวที่กำหนดในรูปแบบอัลกอริธึม

ในบทสุดท้ายของหนังสือเล่มนี้ กระบวนการสุ่มมักจะแสดงโดยใช้ระบบดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้นที่ตื่นเต้นด้วยเสียงสีขาว การแสดงกระบวนการสุ่มนี้มักใช้รูปแบบต่อไปนี้ มาแสร้งทำเป็นว่า

a คือเสียงสีขาว โดยการเลือกการแสดงแทนกระบวนการสุ่ม V มันสามารถจำลองได้ การใช้แบบจำลองดังกล่าวสามารถให้เหตุผลได้ดังนี้

ก) ในธรรมชาติมักพบปรากฏการณ์สุ่ม ซึ่งสัมพันธ์กับการกระทำของความผันผวนที่เปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วบนระบบความแตกต่างเฉื่อย ตัวอย่างทั่วไปของสัญญาณรบกวนสีขาวที่กระทำต่อระบบดิฟเฟอเรนเชียลคือสัญญาณรบกวนจากความร้อนในวงจรอิเล็กทรอนิกส์

ข) ดังจะเห็นได้จากสิ่งต่อไปนี้ ในทฤษฎีการควบคุมเชิงเส้น มักจะพิจารณาเฉพาะค่าเฉลี่ยของ u เท่านั้น ความแปรปรวนร่วมของกระบวนการสุ่ม สำหรับตัวแบบเชิงเส้น มันเป็นไปได้ที่จะประมาณคุณลักษณะที่ได้จากการทดลองของค่าเฉลี่ยและเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจเสมอ

c) บางครั้งปัญหาเกิดขึ้นจากการสร้างแบบจำลองกระบวนการสุ่มแบบคงที่ด้วยความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมที่ทราบ ในกรณีนี้ เป็นไปได้เสมอที่จะสร้างกระบวนการสุ่มเป็นกระบวนการที่เอาต์พุตของระบบดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้น ในกรณีนี้ เมทริกซ์ของความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมจะใกล้เคียงกับความถูกต้องตามอำเภอใจของเมทริกซ์ของความหนาแน่นของพลังงานสเปกตรัมของกระบวนการสุ่มเริ่มต้น

ตัวอย่าง 1.36 และ 1.37 รวมถึงปัญหาที่ 1.11 แสดงวิธีการสร้างแบบจำลอง

ตัวอย่าง 1.36 ระบบเฟืองท้ายอันดับแรก

สมมติว่าฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมที่วัดได้ของกระบวนการสโตแคสติกสเกลาร์ที่ทราบว่าอยู่นิ่งนั้นอธิบายโดยฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กระบวนการนี้สามารถจำลองเป็นสถานะของระบบดิฟเฟอเรนเชียลอันดับหนึ่ง (ดูตัวอย่าง 1.35)

ความเข้มของสัญญาณรบกวนสีขาวอยู่ที่ไหน - ปริมาณสุ่มที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวน

ตัวอย่าง 1.37 ถังผสม

พิจารณาถังผสมจากตัวอย่าง 1.31 (วินาที 1.10.3) และคำนวณเมทริกซ์ความแปรปรวนของตัวแปรเอาท์พุตสำหรับมัน ให้เราเพิ่มสมการของแบบจำลองกระบวนการสุ่มลงในสมการเชิงอนุพันธ์ของถังผสม เราได้รับ

นี่คือความเข้มของเสียงสีขาวสเกลาร์ถึง

เพื่อให้ได้ความแปรปรวนของกระบวนการเท่ากับการยอมรับ สำหรับกระบวนการเราใช้แบบจำลองที่คล้ายกัน ดังนั้นเราจึงได้ระบบสมการ

480 ถู | 150 UAH | $7.5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> วิทยานิพนธ์ - 480 rubles, shipping 10 นาทีตลอด 24 ชั่วโมง เจ็ดวันต่อสัปดาห์และวันหยุดนักขัตฤกษ์

Demidova Anastasia Vyacheslavovna วิธีการสร้างแบบจำลองสุ่มของกระบวนการขั้นตอนเดียว: วิทยานิพนธ์ ... ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์: 05.13.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [สถานที่ป้องกัน: Peoples' Friendship University of Russia].- มอสโก, 2014.- 126 หน้า

บทนำ

บทที่ 1 ทบทวนผลงานในหัวข้อวิทยานิพนธ์ 14

1.1. ภาพรวมของแบบจำลองพลวัตของประชากร 14

1.2. แบบจำลองประชากรสุ่ม 23

1.3. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน 26

1.4. ข้อมูลเกี่ยวกับ stochastic แคลคูลัส 32

บทที่ 2 วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียว 39

2.1. กระบวนการขั้นตอนเดียว สมการโคลโมโกรอฟ-แชปแมน สมการจลนศาสตร์พื้นฐาน39

2.2. วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียวแบบหลายมิติ 47

2.3. การจำลองเชิงตัวเลข 56

บทที่ 3 การประยุกต์ใช้วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียว 60

3.1. แบบจำลองสุ่มของพลวัตของประชากร 60

3.2. แบบจำลองสุ่มของระบบประชากรที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างและภายในต่างๆ 75

3.3. แบบจำลองสุ่มการแพร่กระจายของเวิร์มเครือข่าย 92

3.4. โมเดลสุ่มของโปรโตคอลเพียร์ทูเพียร์97

บทสรุป 113

วรรณคดี 116

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน

วัตถุประสงค์ประการหนึ่งของวิทยานิพนธ์คือ การเขียนสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มสำหรับระบบ เพื่อให้ศัพท์สุ่มมีความเกี่ยวข้องกับโครงสร้างของระบบที่กำลังศึกษา วิธีแก้ปัญหาหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับปัญหานี้คือการได้ส่วนสุ่มและส่วนที่กำหนดขึ้นเองจากสมการเดียวกัน เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ มันสะดวกที่จะใช้สมการจลนศาสตร์พื้นฐาน ซึ่งสามารถประมาณได้โดยสมการฟ็อกเกอร์-พลังค์ ซึ่งในทางกลับกัน เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่เทียบเท่ากันในรูปแบบของสมการแลงเกวิน

มาตรา 1.4. มีข้อมูลพื้นฐานที่จำเป็นในการระบุความสัมพันธ์ระหว่างสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและสมการฟ็อกเกอร์-พลังค์ ตลอดจนแนวคิดพื้นฐานของแคลคูลัสสุ่ม

บทที่สองให้ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎีของกระบวนการสุ่ม และบนพื้นฐานของทฤษฎีนี้ วิธีการสำหรับการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียว

ส่วนที่ 2.1 ให้ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎีกระบวนการสุ่มขั้นตอนเดียว

กระบวนการแบบขั้นตอนเดียวเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นกระบวนการของมาร์กอฟที่มีเวลาต่อเนื่อง โดยรับค่าในพื้นที่ของจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงซึ่งอนุญาตให้มีการเปลี่ยนเฉพาะระหว่างส่วนที่อยู่ติดกันเท่านั้น

เราพิจารณากระบวนการขั้นตอนเดียวแบบหลายมิติ Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) Є โดยที่คือความยาวของช่วงเวลาที่ระบุกระบวนการ X() ชุด G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1 เป็นชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งกระบวนการสุ่มสามารถรับได้

สำหรับกระบวนการขั้นตอนเดียวนี้ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงต่อหน่วยเวลา s+ และ s จากสถานะ Xj เป็นสถานะ Xj__i และ Xj_i ตามลำดับ ในกรณีนี้ ถือว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนจากสถานะ x เป็นสองขั้นตอนขึ้นไปต่อหน่วยเวลานั้นน้อยมาก ดังนั้น เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์สถานะ Xj ของระบบเปลี่ยนแปลงในขั้นตอนของความยาว Г( จากนั้นแทนที่จะเปลี่ยนจาก x เป็น Xj+i และ Xj_i เราสามารถพิจารณาการเปลี่ยนจาก X เป็น X + Гі และ X - Гі ตามลำดับ .

เมื่อสร้างแบบจำลองระบบที่วิวัฒนาการชั่วขณะเกิดขึ้นจากการทำงานร่วมกันขององค์ประกอบของระบบ จะสะดวกที่จะอธิบายโดยใช้สมการจลนศาสตร์หลัก (ชื่ออื่นคือสมการหลัก และในวรรณคดีอังกฤษเรียกว่าสมการมาสเตอร์)

ต่อไป คำถามที่เกิดขึ้นเกี่ยวกับวิธีการได้คำอธิบายของระบบภายใต้การศึกษา อธิบายโดยกระบวนการขั้นตอนเดียว โดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มในรูปแบบของสมการ Langevin จากสมการจลนศาสตร์พื้นฐาน อย่างเป็นทางการ เฉพาะสมการที่มีฟังก์ชันสุ่มเท่านั้นที่ควรจัดเป็นสมการสุ่ม ดังนั้น เฉพาะสมการ Langevin เท่านั้นที่ตรงตามคำจำกัดความนี้ อย่างไรก็ตาม พวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับสมการอื่นๆ กล่าวคือ สมการฟอกเกอร์-พลังค์ และสมการจลนศาสตร์พื้นฐาน ดังนั้นจึงดูสมเหตุสมผลที่จะพิจารณาสมการทั้งหมดเหล่านี้ร่วมกัน ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหานี้ เสนอให้ประมาณสมการจลนพลศาสตร์หลักโดยสมการฟ็อกเกอร์-พลังค์ ซึ่งเป็นไปได้ที่จะเขียนสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มที่เท่ากันในรูปแบบของสมการแลงเกวิน

ส่วนที่ 2.2 กำหนดวิธีการอธิบายและสร้างแบบจำลองสุ่มของระบบที่อธิบายโดยกระบวนการขั้นตอนเดียวแบบหลายมิติ

นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์สำหรับสมการ Fokker-Planck สามารถรับได้ทันทีหลังจากเขียนสำหรับระบบภายใต้การศึกษารูปแบบปฏิสัมพันธ์ สถานะเปลี่ยนเวกเตอร์ r และนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลง s+ และ s- เช่น ในการประยุกต์ใช้วิธีนี้ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องเขียนสมการจลนศาสตร์หลัก

ส่วนที่ 2.3. วิธี Runge-Kutta สำหรับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มได้รับการพิจารณา ซึ่งใช้ในบทที่สามเพื่อแสดงผลลัพธ์ที่ได้

บทที่สามแสดงภาพประกอบของการประยุกต์ใช้วิธีการสร้างแบบจำลองสุ่มที่อธิบายไว้ในบทที่สอง โดยใช้ตัวอย่างของระบบที่อธิบายพลวัตของการเติบโตของประชากรที่มีปฏิสัมพันธ์ เช่น "เหยื่อผู้ล่า" การอยู่ร่วมกัน การแข่งขัน และ การปรับเปลี่ยน จุดมุ่งหมายคือการเขียนพวกมันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มและเพื่อตรวจสอบผลกระทบของการแนะนำสุ่มต่อพฤติกรรมของระบบ

ในส่วน 3.1. การใช้วิธีการที่อธิบายในบทที่สองนั้นแสดงให้เห็นในตัวอย่างของแบบจำลอง "เหยื่อผู้ล่า" ระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างประชากรสองประเภทที่เป็น "เหยื่อผู้ล่า" ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง ซึ่งทำให้สามารถเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับสิ่งที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

การวิเคราะห์สมการที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าในการศึกษาพฤติกรรมที่กำหนดขึ้นของระบบ เราสามารถใช้เวกเตอร์ลอย A ของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่ได้รับ นั่นคือ วิธีการที่พัฒนาขึ้นนี้สามารถนำมาใช้เพื่อวิเคราะห์พฤติกรรมสุ่มและกำหนดพฤติกรรม นอกจากนี้ สรุปได้ว่าแบบจำลองสุ่มให้คำอธิบายที่สมจริงยิ่งขึ้นเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับระบบ "predator-prey" ในกรณีที่กำหนดขึ้น คำตอบของสมการจะมีรูปแบบเป็นระยะและยังคงปริมาตรของเฟสไว้ ในขณะที่การนำสุ่มเข้าสู่แบบจำลองจะทำให้ปริมาตรเฟสเพิ่มขึ้นซ้ำซากจำเจ บ่งบอกถึงความตายที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของประชากรหนึ่งหรือทั้งสอง เพื่อให้เห็นภาพผลลัพธ์ที่ได้ ได้ดำเนินการจำลองเชิงตัวเลข

มาตรา 3.2. วิธีการที่พัฒนาขึ้นนี้ใช้เพื่อให้ได้มาและวิเคราะห์แบบจำลองสุ่มต่างๆ ของพลวัตของประชากร เช่น แบบจำลอง "เหยื่อผู้ล่า" โดยคำนึงถึงการแข่งขันระหว่างเหยื่อ การสัมพันธ์กัน การแข่งขัน และแบบจำลองปฏิสัมพันธ์ของประชากรทั้งสาม

ข้อมูลเกี่ยวกับแคลคูลัสสุ่ม

การพัฒนาทฤษฎีของกระบวนการสุ่มนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในการศึกษาปรากฏการณ์ทางธรรมชาติจากการแสดงแทนแบบกำหนดและแบบจำลองของพลวัตของประชากรไปสู่ความน่าจะเป็น และด้วยเหตุนี้ การเกิดขึ้นของงานจำนวนมากที่อุทิศให้กับการสร้างแบบจำลองสุ่มในชีววิทยาทางคณิตศาสตร์ , เคมี เศรษฐศาสตร์ ฯลฯ

เมื่อพิจารณาแบบจำลองประชากรที่กำหนดขึ้นเอง ประเด็นสำคัญเช่นอิทธิพลสุ่มของปัจจัยต่างๆ ที่มีต่อวิวัฒนาการของระบบยังไม่เปิดเผย เมื่ออธิบายพลวัตของประชากร เราควรคำนึงถึงธรรมชาติของการสืบพันธุ์และการอยู่รอดของบุคคลโดยสุ่ม ตลอดจนความผันผวนแบบสุ่มที่เกิดขึ้นในสภาพแวดล้อมเมื่อเวลาผ่านไป และนำไปสู่ความผันผวนแบบสุ่มในพารามิเตอร์ของระบบ ดังนั้น กลไกความน่าจะเป็นที่สะท้อนถึงช่วงเวลาเหล่านี้ควรนำมาใช้ในแบบจำลองใดๆ ของพลวัตของประชากร

แบบจำลองสุ่มช่วยให้สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงลักษณะประชากรได้อย่างสมบูรณ์ยิ่งขึ้น โดยคำนึงถึงปัจจัยที่กำหนดขึ้นทั้งหมดและผลกระทบแบบสุ่มที่สามารถเปลี่ยนข้อสรุปจากแบบจำลองที่กำหนดขึ้นได้อย่างมีนัยสำคัญ ในทางกลับกัน สามารถใช้เพื่อเปิดเผยลักษณะใหม่เชิงคุณภาพของพฤติกรรมของประชากร

แบบจำลองสุ่มของการเปลี่ยนแปลงในสถานะของประชากรสามารถอธิบายได้โดยใช้กระบวนการสุ่ม ภายใต้สมมติฐานบางประการ เราสามารถสรุปได้ว่าพฤติกรรมของประชากร เมื่อพิจารณาจากสถานะปัจจุบัน ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าสถานะนี้บรรลุผลได้อย่างไร (กล่าวคือ ด้วยปัจจุบันที่แน่นอน อนาคตไม่ได้ขึ้นอยู่กับอดีต) ที่. ในการสร้างแบบจำลองกระบวนการพลวัตของประชากร สะดวกในการใช้กระบวนการเกิด-ตายของ Markov และสมการควบคุมที่เกี่ยวข้อง ซึ่งมีการอธิบายรายละเอียดไว้ในส่วนที่สองของบทความ

N. N. Kalinkin ในงานของเขาเพื่อแสดงกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบที่มีองค์ประกอบแบบโต้ตอบใช้รูปแบบการโต้ตอบและบนพื้นฐานของโครงร่างเหล่านี้สร้างแบบจำลองของระบบเหล่านี้โดยใช้เครื่องมือของกระบวนการ Markov ที่แยกสาขา การประยุกต์ใช้แนวทางนี้แสดงให้เห็นโดยตัวอย่างของกระบวนการสร้างแบบจำลองในทางเคมี ประชากร โทรคมนาคม และระบบอื่นๆ

บทความนี้จะพิจารณาแบบจำลองประชากรที่น่าจะเป็นไปได้ สำหรับการสร้างเครื่องมือของกระบวนการเกิด-ตาย และระบบผลลัพธ์ของสมการผลต่างเชิงอนุพันธ์คือสมการไดนามิกสำหรับกระบวนการสุ่ม บทความนี้ยังพิจารณาวิธีการหาคำตอบของสมการเหล่านี้ด้วย

คุณจะพบบทความมากมายที่เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองสุ่มที่คำนึงถึงปัจจัยต่างๆ ที่มีอิทธิพลต่อการเปลี่ยนแปลงของจำนวนประชากร ตัวอย่างเช่น ในบทความ ได้มีการสร้างและวิเคราะห์แบบจำลองพลวัตของขนาดของชุมชนทางชีววิทยา ซึ่งบุคคลบริโภคทรัพยากรอาหารที่มีสารอันตราย และในรูปแบบของวิวัฒนาการของประชากร บทความนี้คำนึงถึงปัจจัยของการตั้งรกรากของตัวแทนของประชากรในแหล่งที่อยู่อาศัย แบบจำลองเป็นระบบสมการ Vlasov ที่สม่ำเสมอในตัวเอง

เป็นที่น่าสังเกตว่าผลงานที่อุทิศให้กับทฤษฎีความผันผวนและการประยุกต์ใช้วิธีการสุ่มในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ฯลฯ กระบวนการเกิด-ตาย

เราสามารถพิจารณาแบบจำลอง "เหยื่อผู้ล่า" ว่าเป็นกระบวนการเกิดและตายได้ ในการตีความนี้ พวกเขาสามารถใช้สำหรับแบบจำลองในหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในปี 1970 เอ็ม ดอยเสนอวิธีการศึกษาแบบจำลองดังกล่าวโดยพิจารณาจากตัวดำเนินการสร้างและทำลายล้าง (โดยการเปรียบเทียบกับการหาปริมาณครั้งที่สอง) คุณสามารถทำเครื่องหมายงานได้ที่นี่ นอกจากนี้วิธีการนี้กำลังได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในกลุ่ม M. M. Gnatich

อีกแนวทางหนึ่งในการสร้างแบบจำลองและการศึกษาแบบจำลองพลวัตของประชากรมีความเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด คุณสามารถทำเครื่องหมายงานได้ที่นี่

สังเกตได้ว่างานส่วนใหญ่ที่อุทิศให้กับการสร้างแบบจำลองสุ่มของกระบวนการทางประชากรนั้นใช้เครื่องมือของกระบวนการสุ่มเพื่อให้ได้สมการผลต่างและผลต่างเชิงตัวเลขตามมา นอกจากนี้ สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มในรูปแบบ Langevin ยังถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ซึ่งศัพท์สุ่มถูกเพิ่มจากการพิจารณาทั่วไปเกี่ยวกับพฤติกรรมของระบบ และมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายผลกระทบสิ่งแวดล้อมแบบสุ่ม การศึกษาเพิ่มเติมของแบบจำลองนี้คือการวิเคราะห์เชิงคุณภาพหรือการค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงซ้อน คำจำกัดความ 1 สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีพจน์หนึ่งคำหรือมากกว่านั้นแทนกระบวนการสุ่ม ตัวอย่างที่ใช้กันมากที่สุดและเป็นที่รู้จักมากที่สุดของสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) คือสมการที่มีคำศัพท์ที่อธิบายสัญญาณรบกวนสีขาว และสามารถมองได้ว่าเป็นกระบวนการของ Wiener Wt, t 0

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญและใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาและสร้างแบบจำลองของระบบไดนามิกที่มีการรบกวนแบบสุ่มต่างๆ

จุดเริ่มต้นของการสร้างแบบจำลองสุ่มของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติถือเป็นคำอธิบายของปรากฏการณ์การเคลื่อนที่แบบบราวเนียนซึ่งถูกค้นพบโดยอาร์. บราวน์ในปี พ.ศ. 2370 เมื่อเขาศึกษาการเคลื่อนที่ของละอองเกสรพืชในของเหลว คำอธิบายที่เข้มงวดครั้งแรกของปรากฏการณ์นี้ได้รับจาก A. Einstein และ M. Smoluchowski อย่างอิสระ เป็นที่น่าสังเกตว่าการรวบรวมบทความที่รวบรวมผลงานของ A. Einstein และ M. Smoluchowski เกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของ Brownian การศึกษาเหล่านี้มีส่วนสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีการเคลื่อนที่แบบบราวเนียนและการตรวจสอบการทดลอง A. Einstein ได้สร้างทฤษฎีจลนพลศาสตร์ระดับโมเลกุลสำหรับคำอธิบายเชิงปริมาณของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน สูตรที่ได้รับได้รับการยืนยันโดยการทดลองของ J. Perrin ในปี พ.ศ. 2451-2452

วิธีการสร้างแบบจำลองกระบวนการขั้นตอนเดียวแบบหลายมิติ

เพื่ออธิบายวิวัฒนาการของระบบที่มีองค์ประกอบที่มีปฏิสัมพันธ์ มีสองแนวทาง - นี่คือการสร้างแบบจำลองที่กำหนดขึ้นเองหรือสุ่ม แบบจำลองสุ่มซึ่งแตกต่างจากที่กำหนดขึ้นได้คืออนุญาตให้พิจารณาธรรมชาติความน่าจะเป็นของกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบภายใต้การศึกษา เช่นเดียวกับผลกระทบของสภาพแวดล้อมภายนอกที่ทำให้เกิดความผันผวนแบบสุ่มในพารามิเตอร์แบบจำลอง

หัวข้อของการศึกษาคือระบบ กระบวนการที่เกิดขึ้นซึ่งสามารถอธิบายได้โดยใช้กระบวนการแบบขั้นตอนเดียวและกระบวนการที่การเปลี่ยนสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งเกี่ยวข้องกับปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบของระบบ ตัวอย่างคือแบบจำลองที่อธิบายพลวัตการเติบโตของประชากรที่มีปฏิสัมพันธ์ เช่น "เหยื่อผู้ล่า" การอยู่ร่วมกัน การแข่งขัน และการดัดแปลงของพวกมัน จุดมุ่งหมายคือการเขียน SDE สำหรับระบบดังกล่าวและเพื่อตรวจสอบอิทธิพลของการแนะนำส่วนสุ่มต่อพฤติกรรมของการแก้ปัญหาของสมการที่อธิบายพฤติกรรมที่กำหนดขึ้น

จลนพลศาสตร์เคมี

ระบบของสมการที่เกิดขึ้นเมื่ออธิบายระบบที่มีองค์ประกอบที่มีปฏิสัมพันธ์นั้นคล้ายกับระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายจลนศาสตร์ของปฏิกิริยาเคมีในหลายๆ ด้าน ตัวอย่างเช่น ระบบ Lotka-Volterra เดิมที Lotka อนุมานได้ว่าเป็นระบบที่อธิบายปฏิกิริยาทางเคมีตามสมมุติฐาน และต่อมา Volterra อนุมานได้ว่าเป็นระบบที่อธิบายแบบจำลอง "เหยื่อ-เหยื่อ"

จลนพลศาสตร์เคมีอธิบายปฏิกิริยาเคมีโดยใช้สิ่งที่เรียกว่าสมการปริมาณสัมพันธ์ - สมการที่สะท้อนอัตราส่วนเชิงปริมาณของสารตั้งต้นและผลิตภัณฑ์ของปฏิกิริยาเคมีและมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้ โดยที่ตัวเลขธรรมชาติmіและ U เรียกว่าสัมประสิทธิ์ปริมาณสัมพันธ์ นี่คือบันทึกสัญลักษณ์ของปฏิกิริยาเคมีที่โมเลกุล ti ของรีเอเจนต์ Xi, โมเลกุล ni2 ของรีเอเจนต์ Xp, ..., tr โมเลกุลของรีเอเจนต์ Xp เมื่อเข้าสู่ปฏิกิริยาสร้างโมเลกุล u ของสารYї u โมเลกุลของสาร I2, ..., nq โมเลกุลของสาร Yq ตามลำดับ

ในจลนพลศาสตร์เคมี เชื่อกันว่าปฏิกิริยาเคมีสามารถเกิดขึ้นได้กับปฏิกิริยาโดยตรงของรีเอเจนต์เท่านั้น และอัตราของปฏิกิริยาเคมีถูกกำหนดให้เป็นจำนวนของอนุภาคที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยปริมาตร

หลักการพื้นฐานของจลนพลศาสตร์เคมีคือกฎของการกระทำมวล ซึ่งบอกว่าอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมีเป็นสัดส่วนโดยตรงกับผลคูณของความเข้มข้นของสารตั้งต้นในกำลังของสัมประสิทธิ์ปริมาณสัมพันธ์ของพวกมัน ดังนั้นหากเราแสดงด้วย XI และ y I ความเข้มข้นของสารที่เกี่ยวข้อง เราก็มีสมการสำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของสารในช่วงเวลาหนึ่งอันเป็นผลมาจากปฏิกิริยาเคมี:

นอกจากนี้ยังเสนอให้ใช้แนวคิดพื้นฐานของจลนพลศาสตร์เคมีเพื่ออธิบายระบบที่มีวิวัฒนาการในเวลาอันเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบของระบบนี้กับแต่ละอื่น ๆ โดยทำการเปลี่ยนแปลงหลักดังต่อไปนี้: 1. ไม่ใช่อัตราการเกิดปฏิกิริยา พิจารณา แต่ความน่าจะเป็นการเปลี่ยนแปลง; 2. มีการเสนอว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง ซึ่งเป็นผลมาจากการโต้ตอบ เป็นสัดส่วนกับจำนวนการโต้ตอบที่เป็นไปได้ของประเภทนี้ 3. ในการอธิบายระบบในวิธีนี้ จะใช้สมการจลนศาสตร์หลัก 4. สมการเชิงกำหนดจะถูกแทนที่ด้วยสุ่ม วิธีการที่คล้ายกันในการอธิบายระบบดังกล่าวสามารถพบได้ในผลงาน เพื่ออธิบายกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบจำลอง ควรใช้กระบวนการแบบขั้นตอนเดียวของ Markov ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น

พิจารณาระบบที่ประกอบด้วยองค์ประกอบประเภทต่างๆ ที่สามารถโต้ตอบกันได้ในรูปแบบต่างๆ แสดงโดยองค์ประกอบของประเภท -th โดยที่ = 1 และโดย - จำนวนองค์ประกอบประเภท -th

อนุญาต เป็น (), .

สมมติว่าไฟล์ประกอบด้วยส่วนหนึ่ง ดังนั้นในขั้นตอนเดียวของการโต้ตอบระหว่างโหนดใหม่ที่ต้องการดาวน์โหลดไฟล์และโหนดที่แจกจ่ายไฟล์ โหนดใหม่จะดาวน์โหลดไฟล์ทั้งหมดและกลายเป็นโหนดผู้จัดจำหน่าย

Let คือการกำหนดโหนดใหม่ เป็นโหนดการกระจาย และเป็นสัมประสิทธิ์การโต้ตอบ โหนดใหม่สามารถเข้าสู่ระบบด้วยความเข้มข้น และการกระจายโหนดสามารถปล่อยให้มีความเข้มข้น จากนั้นรูปแบบการโต้ตอบและเวกเตอร์ r จะมีลักษณะดังนี้:

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มในรูปแบบ Langevin สามารถหาได้ 100 โดยใช้สูตรที่สอดคล้องกัน (1.15) เพราะ เวกเตอร์ดริฟท์ A อธิบายพฤติกรรมที่กำหนดขึ้นของระบบอย่างสมบูรณ์ คุณสามารถรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาที่อธิบายพลวัตของจำนวนลูกค้าใหม่และเมล็ดพันธุ์:

ดังนั้น จุดเอกพจน์สามารถมีอักขระที่แตกต่างกันได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการเลือกพารามิเตอร์ ดังนั้น สำหรับ /3A 4/I2 จุดเอกพจน์จึงเป็นจุดโฟกัสที่เสถียร และสำหรับความสัมพันธ์ผกผัน จุดนั้นเป็นโหนดที่เสถียร ในทั้งสองกรณี จุดเอกพจน์จะคงที่ เนื่องจากการเลือกค่าสัมประสิทธิ์ การเปลี่ยนแปลงตัวแปรระบบอาจเกิดขึ้นตามหนึ่งในสองวิถี หากจุดเอกพจน์เป็นจุดโฟกัส การสั่นของจำนวนโหนดใหม่และโหนดกระจายจะเกิดขึ้นในระบบ (ดูรูปที่ 3.12) และในกรณีสำคัญ การประมาณตัวเลขถึงค่าคงที่จะเกิดขึ้นในโหมดไม่สั่น (ดูรูปที่ 3.13) ภาพเฟสของระบบสำหรับแต่ละกรณีจะแสดงเป็นกราฟ (3.14) และ (3.15) ตามลำดับ

แบบจำลองสุ่มอธิบายสถานการณ์เมื่อมีความไม่แน่นอน กล่าวอีกนัยหนึ่ง กระบวนการนี้มีลักษณะเฉพาะในระดับของการสุ่ม คำคุณศัพท์ "stochastic" มาจากคำภาษากรีก "guess" เนื่องจากความไม่แน่นอนเป็นลักษณะสำคัญของชีวิตประจำวัน แบบจำลองดังกล่าวจึงสามารถอธิบายอะไรก็ได้

อย่างไรก็ตามทุกครั้งที่เราใช้ผลลัพธ์จะแตกต่างกัน ดังนั้นจึงมักใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้นเอง แม้ว่าจะไม่ใกล้เคียงกับสถานะจริงของกิจการมากที่สุด แต่ก็ให้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอและทำให้เข้าใจสถานการณ์ได้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนโดยการแนะนำชุดสมการทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติหลัก

โมเดลสุ่มประกอบด้วยตัวแปรสุ่มอย่างน้อยหนึ่งตัว เธอพยายามที่จะสะท้อนชีวิตจริงในทุกรูปแบบ ต่างจาก stochastic ตรงที่ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้ทุกอย่างง่ายขึ้นและลดให้เป็นค่าที่ทราบ ดังนั้นความไม่แน่นอนจึงเป็นลักษณะสำคัญ โมเดลสุ่มเหมาะสำหรับการอธิบายทุกอย่าง แต่ทั้งหมดมีคุณสมบัติทั่วไปดังต่อไปนี้:

• โมเดลสุ่มใด ๆ สะท้อนถึงทุกแง่มุมของปัญหาที่สร้างขึ้น
• ผลของปรากฏการณ์แต่ละอย่างไม่แน่นอน ดังนั้น โมเดลนี้จึงรวมถึงความน่าจะเป็นด้วย ความถูกต้องของผลลัพธ์โดยรวมขึ้นอยู่กับความแม่นยำของการคำนวณ
• ความน่าจะเป็นเหล่านี้สามารถนำมาใช้ในการทำนายหรืออธิบายกระบวนการเองได้

ตัวแบบกำหนดและสุ่ม

สำหรับบางคน ชีวิตดูเหมือนจะสืบเนื่องมาจากผู้อื่น - กระบวนการที่เหตุกำหนดผล อันที่จริงมันมีลักษณะที่ไม่แน่นอน แต่ไม่เสมอไปและไม่ใช่ในทุกสิ่ง ดังนั้น การค้นหาความแตกต่างที่ชัดเจนระหว่างตัวแบบสุ่มและแบบกำหนดขึ้นเองจึงเป็นเรื่องยากในบางครั้ง ความน่าจะเป็นค่อนข้างอัตนัย

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสถานการณ์การโยนเหรียญ เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่ามีโอกาส 50% ที่จะได้ก้อย ดังนั้น จึงต้องใช้แบบจำลองเชิงกำหนด อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง ปรากฏว่ามากขึ้นอยู่กับความคล่องแคล่วของมือของผู้เล่น และความสมบูรณ์แบบของการทรงตัวของเหรียญ ซึ่งหมายความว่าต้องใช้แบบจำลองสุ่ม มีพารามิเตอร์ที่เราไม่รู้อยู่เสมอ ในชีวิตจริง สาเหตุเป็นตัวกำหนดผลเสมอ แต่ก็มีความไม่แน่นอนในระดับหนึ่งเช่นกัน ทางเลือกระหว่างการใช้แบบจำลองที่กำหนดขึ้นได้และสุ่มขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราเต็มใจจะละทิ้ง - ความเรียบง่ายของการวิเคราะห์หรือความสมจริง

ในทฤษฎีความโกลาหล

เมื่อเร็ว ๆ นี้ แนวคิดของแบบจำลองที่เรียกว่าสุ่มนั้นยิ่งเบลอมากขึ้นไปอีก นี่เป็นเพราะการพัฒนาทฤษฎีความโกลาหลที่เรียกว่า อธิบายรูปแบบที่กำหนดขึ้นซึ่งสามารถให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันโดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพารามิเตอร์เริ่มต้น นี่เป็นเหมือนบทนำเกี่ยวกับการคำนวณความไม่แน่นอน นักวิทยาศาสตร์หลายคนยอมรับว่านี่เป็นแบบจำลองสุ่มแล้ว

Lothar Breuer อธิบายทุกอย่างอย่างหรูหราด้วยความช่วยเหลือของภาพกวี เขาเขียนว่า:“ ลำธารบนภูเขา, หัวใจเต้น, ไข้ทรพิษระบาด, คอลัมน์ของควันที่เพิ่มขึ้น - ทั้งหมดนี้เป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์แบบไดนามิกซึ่งดูเหมือนว่าบางครั้งมีลักษณะโดยบังเอิญ ในความเป็นจริง กระบวนการดังกล่าวมักอยู่ภายใต้คำสั่งบางอย่าง ซึ่งนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรเพิ่งเริ่มเข้าใจ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าความโกลาหลที่กำหนดขึ้นเอง” ทฤษฎีใหม่นี้ฟังดูน่าเชื่อถือมาก ซึ่งเป็นเหตุให้นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่หลายคนสนับสนุนทฤษฎีนี้ อย่างไรก็ตาม มันยังคงพัฒนาเพียงเล็กน้อย และค่อนข้างยากที่จะนำไปใช้ในการคำนวณทางสถิติ ดังนั้นจึงมักใช้แบบจำลองสุ่มหรือแบบกำหนดขึ้นเอง

อาคาร

สุ่มเริ่มต้นด้วยการเลือกพื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น ดังนั้นในสถิติจึงเรียกรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของกระบวนการหรือเหตุการณ์ที่กำลังศึกษา จากนั้นผู้วิจัยจะกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เบื้องต้นแต่ละรายการ โดยปกติจะทำโดยใช้เทคนิคบางอย่าง

อย่างไรก็ตาม ความน่าจะเป็นยังคงเป็นตัวแปรเชิงอัตนัย จากนั้นผู้วิจัยจะพิจารณาว่าเหตุการณ์ใดที่น่าสนใจที่สุดในการแก้ปัญหา หลังจากนั้นก็จะกำหนดความน่าจะเป็นของพวกเขา

ตัวอย่าง

พิจารณาขั้นตอนการสร้างแบบจำลองสุ่มที่ง่ายที่สุด สมมติเราทอยลูกเต๋า หาก "หก" หรือ "หนึ่ง" หลุดออกมา เงินรางวัลของเราจะเป็นสิบเหรียญ ขั้นตอนการสร้างแบบจำลองสุ่มในกรณีนี้จะมีลักษณะดังนี้:

• ให้เรากำหนดพื้นที่ของผลลัพธ์เบื้องต้น แม่พิมพ์มีหกด้าน ดังนั้น หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า และหกสามารถขึ้นมาได้
• ความน่าจะเป็นของแต่ละผลลัพธ์จะเท่ากับ 1/6 ไม่ว่าเราจะทอยลูกเต๋ามากแค่ไหนก็ตาม
• ตอนนี้เราต้องกำหนดผลลัพธ์ที่เราสนใจ นี่คือการสูญเสียใบหน้าที่มีตัวเลข "หก" หรือ "หนึ่ง"
• สุดท้าย เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เราสนใจได้ มันคือ 1/3 เราสรุปความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งสองที่เราสนใจ: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

แนวคิดและผลลัพธ์

การจำลองสุ่มมักใช้ในการพนัน แต่ยังขาดไม่ได้ในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ เนื่องจากช่วยให้คุณเข้าใจสถานการณ์ได้ลึกซึ้งกว่าสถานการณ์ที่กำหนด แบบจำลองสุ่มในทางเศรษฐศาสตร์มักใช้ในการตัดสินใจลงทุน สิ่งเหล่านี้ทำให้คุณสามารถตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับความสามารถในการทำกำไรของการลงทุนในสินทรัพย์บางประเภทหรือกลุ่มของสินทรัพย์เหล่านั้น

การสร้างแบบจำลองทำให้การวางแผนทางการเงินมีประสิทธิภาพมากขึ้น ด้วยความช่วยเหลือนี้ นักลงทุนและผู้ค้าจะปรับการกระจายสินทรัพย์ของตนให้เหมาะสม การใช้แบบจำลองสุ่มมีข้อดีในระยะยาว ในบางอุตสาหกรรม การปฏิเสธหรือไม่สามารถใช้ได้อาจนำไปสู่การล้มละลายขององค์กรได้ นี่เป็นเพราะข้อเท็จจริงที่ว่าในชีวิตจริงพารามิเตอร์สำคัญใหม่ ๆ ปรากฏขึ้นทุกวัน และหากไม่เป็นเช่นนั้น ก็อาจมีผลร้ายตามมาได้