Números de fibonacci negativos. "Proporción áurea" y números de Fibonacci. Explicación de la proporción áurea

basado en el libro de B. Biggs "el coberturista salió de la niebla"

Números de Fibonacci

Fibonacci vivió una vida larga, especialmente para su época, que dedicó a resolver una serie de problemas matemáticos, formulándolos en su voluminosa obra "El libro del ábaco" (principios del siglo XIII). Siempre estuvo interesado en el misticismo de los números; probablemente no fue menos brillante que Arquímedes o Euclides. Los problemas relacionados con las ecuaciones cuadráticas fueron planteados y parcialmente resueltos ante Fibonacci, por ejemplo, por el famoso Omar Khayyam, un científico y poeta; sin embargo, Fibonacci formuló el problema de la cría de conejos, cuyas conclusiones no permitieron que su nombre se perdiera durante siglos.

En resumen, la tarea es la siguiente. Se colocó una pareja de conejos en un lugar cercado por todos lados por una pared, y cada pareja de conejos paría otra pareja cada mes, a partir del segundo mes de su existencia. La reproducción de los conejos en el tiempo se describirá mediante la secuencia: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, etc. Desde un punto de vista matemático, la secuencia resultó ser simplemente única, ya que tenía una serie de propiedades destacadas:

• la suma de dos números consecutivos cualesquiera es el siguiente número de la secuencia;

• la razón de cada número en la secuencia, comenzando desde el quinto, hasta el anterior, es 1.618;

• la diferencia entre el cuadrado de cualquier número y el cuadrado del número dos posiciones a la izquierda será el número de Fibonacci;

• la suma de los cuadrados de los números adyacentes será el número de Fibonacci, que está dos posiciones después del mayor de los números al cuadrado

De estas conclusiones, la segunda es la más interesante, ya que utiliza el número 1.618, conocido como Proporción Áurea. Este número era conocido por los antiguos griegos, que lo usaron en la construcción del Partenón (por cierto, según algunas fuentes, el Banco Central servía a los griegos). Igualmente interesante es el hecho de que el número 1.618 se puede encontrar en la naturaleza tanto a micro como a macroescala, desde giros en espiral en el caparazón de un caracol hasta grandes espirales de galaxias cósmicas.

Las pirámides de Giza, creadas por los antiguos egipcios, durante su construcción también contenían varios parámetros de la serie Fibonacci a la vez. Un rectángulo, un lado del cual es 1.618 veces más grande que el otro, parece más agradable a la vista; esta proporción fue utilizada por Leonardo da Vinci para sus pinturas y, en un sentido más cotidiano, se utilizó para crear ventanas o puertas. Incluso una onda, como en la figura al principio del artículo, puede representarse como una espiral de Fibonacci.

En la naturaleza viva, la secuencia de Fibonacci no aparece con menos frecuencia: se puede encontrar en garras, dientes, girasoles, telarañas e incluso en la reproducción de bacterias. Si se desea, la consistencia se encuentra en casi todo, incluido el rostro y el cuerpo humanos. Y sin embargo, muchas afirmaciones que encuentran números de Fibonacci en fenómenos naturales e históricos están claramente equivocadas; este es un mito común que resulta ser un ajuste inexacto del resultado deseado.

Números de Fibonacci en los mercados financieros

Uno de los primeros que participó más de cerca en la aplicación de los números de Fibonacci al mercado financiero fue R. Elliot. Sus escritos no fueron en vano en el sentido de que las descripciones de mercado que utilizan la teoría de Fibonacci a menudo se denominan "ondas de Elliot". El desarrollo de los mercados aquí se basó en el modelo de desarrollo humano de superciclos con tres pasos hacia adelante y dos pasos hacia atrás.

El hecho de que la humanidad se desarrolle de manera no lineal es obvio para casi todos: el conocimiento del Antiguo Egipto y la doctrina atomística de Demócrito se perdió por completo en la Edad Media, es decir, después de unos 2000 años. Sin embargo, incluso si aceptamos la teoría de los pasos y su número como verdaderos, el tamaño de cada paso sigue sin estar claro, lo que hace que las ondas de Elliot sean comparables al poder predictivo de caras y cruces. El punto de partida y el cálculo correcto del número de ondas fueron y probablemente serán la principal debilidad de la teoría.

Sin embargo, la teoría tuvo éxitos locales. Bob Pretcher, a quien se puede considerar un estudiante de Elliot, predijo correctamente el mercado alcista de principios de los 80 y 1987, como un año crucial. De hecho sucedió, después de lo cual Bob obviamente se sintió como un genio; al menos a los ojos de los demás, definitivamente se convirtió en un gurú de las inversiones.

La suscripción a Elliott Wave Theorist de Prechter aumentó a 20.000 ese año.sin embargo, disminuyó a principios de la década de 1990, ya que la predicción de "pesimismo" del mercado estadounidense decidió posponerse un poco. Sin embargo, funcionó para el mercado japonés, y varios partidarios de la teoría, que llegaron "tarde" en una ola, perdieron su capital o el capital de los clientes de sus empresas. De la misma manera y con el mismo éxito, a menudo se intenta aplicar la teoría al comercio en el mercado de divisas.

Las ondas de Elliott cubren una variedad de períodos comerciales, desde semanalmente, lo que lo hace relacionado con estrategias de análisis técnico estándar, hasta cálculos durante décadas, es decir, irrumpe en el territorio de las predicciones fundamentales. Esto es posible variando el número de ondas. Las debilidades de la teoría, que se mencionaron anteriormente, permiten a sus seguidores hablar no sobre la inconsistencia de las olas, sino sobre sus propios errores de cálculo, incluida la determinación incorrecta de la posición inicial. Parece un laberinto; incluso si tiene el mapa correcto, solo puede recorrerlo si comprende exactamente dónde se encuentra. De lo contrario, la tarjeta es inútil. En el caso de las ondas de Elliott, hay todos los signos de dudar no solo de la exactitud de su ubicación, sino también de la exactitud de la tarjeta como tal.

conclusiones

La ola de desarrollo de la humanidad tiene una base real: en la Edad Media, las olas de inflación y deflación se alternaban entre sí, cuando las guerras reemplazaron una vida pacífica relativamente tranquila. La observación de la secuencia de Fibonacci en la naturaleza, al menos en algunos casos, también está fuera de toda duda. Por tanto, todo el mundo tiene derecho a dar su propia respuesta a la pregunta de quién es Dios: un matemático o un generador de números aleatorios. Mi opinión personal es que, aunque toda la historia humana y los mercados pueden representarse en un concepto de ola, nadie puede predecir la altura y duración de cada ola.

La secuencia de Fibonacci, más conocida gracias a la película y al libro "El Código Da Vinci", es una serie de números, deducida por el matemático italiano Pisa Leonardo, más conocido con el seudónimo de Fibonacci, en el siglo XIII. Los seguidores del científico notaron que la fórmula a la que se subordina esta serie de números encuentra su reflejo en el mundo que nos rodea y resuena con otros descubrimientos matemáticos, abriéndonos así la puerta a los secretos del universo. En este artículo, le diremos qué es la secuencia de Fibonacci, consideraremos ejemplos de cómo se muestra este patrón en la naturaleza y también lo compararemos con otras teorías matemáticas.

Formulación y definición del concepto

La serie de Fibonacci es una secuencia matemática, cada elemento de la cual es igual a la suma de los dos anteriores. Designemos un determinado miembro de la secuencia como x n. Así, obtenemos una fórmula válida para toda la serie: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. El orden de la secuencia se verá así: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. El siguiente número será 55, ya que la suma de 21 y 34 es 55. Y así sucesivamente de la misma manera.

Ejemplos en el medio ambiente

Si miramos la planta, en concreto, la corona de hojas, notaremos que florecen en espiral. Se forman ángulos entre hojas adyacentes, que, a su vez, forman la secuencia matemática correcta de Fibonacci. Gracias a esta característica, cada hoja individual que crece en el árbol recibe la máxima cantidad de luz solar y calor.

El rompecabezas matemático de Fibonacci

El famoso matemático presentó su teoría como un acertijo. Suena así. Puede poner un par de conejos en un espacio confinado para saber cuántos pares de conejos nacerán en un año. Dada la naturaleza de estos animales, el hecho de que cada mes una pareja es capaz de producir una nueva pareja, y están listos para reproducirse cuando llegan a los dos meses, como resultado, recibió su famosa serie de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8. , 13, 21, 34, 55, 89, 144, que muestra el número de nuevas parejas de conejos en cada mes.

Secuencia de Fibonacci y razón proporcional

Esta serie tiene varios matices matemáticos que deben tenerse en cuenta. Él, acercándose más y más lentamente (asintóticamente), tiende a una cierta relación proporcional. Pero es irracional. En otras palabras, es un número con una secuencia impredecible e infinita de números decimales en la parte fraccionaria. Por ejemplo, la relación de cualquier elemento de la serie varía alrededor de 1.618, a veces superando, luego alcanzándolo. Lo siguiente se acerca de manera similar a 0.618. Que es inversamente proporcional al número 1.618. Si dividimos los elementos por uno, obtenemos 2.618 y 0.382. Como ya entendiste, también son inversamente proporcionales. Los números resultantes se denominan proporciones de Fibonacci. Ahora expliquemos por qué realizamos estos cálculos.

Proporción áurea

Distinguimos todos los objetos que nos rodean de acuerdo con ciertos criterios. Uno de ellos es la forma. A algunos nos atrae más, a otros menos, ya otros no les gusta nada. Se observa que una persona percibe mucho más fácilmente un objeto simétrico y proporcional y evoca una sensación de armonía y belleza. Una imagen completa siempre incluye partes de diferentes tamaños, que están en cierta proporción entre sí. De ahí la respuesta a la pregunta de qué se llama la Sección Áurea. Este concepto significa la perfección de la relación entre el todo y sus partes en la naturaleza, la ciencia, el arte, etc. Desde un punto de vista matemático, considérese el siguiente ejemplo. Tome un segmento de cualquier longitud y divídalo en dos partes de modo que la parte más pequeña esté relacionada con la más grande como la suma (la longitud de todo el segmento) con la más grande. Entonces, tomemos el segmento desde por valor uno. Parte de ello y será igual a 0.618, la segunda parte segundoresulta que es igual a 0.382. Por lo tanto, cumplimos con la condición de la Sección Dorada. Relación de línea c a una es igual a 1,618. Y la proporción de partes c y segundo - 2.618. Obtenemos los ratios de Fibonacci ya conocidos. El triángulo dorado, el rectángulo dorado y el cuboide dorado se basan en el mismo principio. También vale la pena señalar que la proporción proporcional de las partes del cuerpo humano está cerca de la proporción áurea.

¿Es la secuencia de Fibonacci la base de todo?

Intentemos combinar la teoría de la Sección Áurea y la famosa serie del matemático italiano. Comencemos con dos cuadrados de primer tamaño. Luego agregue otro cuadrado del segundo tamaño en la parte superior. Dibuja junto a él la misma forma con una longitud de lado igual a la suma de los dos lados anteriores. Dibuja un cuadrado de quinto tamaño de la misma manera. Y así puedes continuar indefinidamente hasta aburrirte. Lo principal es que el tamaño del lado de cada cuadrado subsiguiente es igual a la suma de los tamaños de los lados de los dos anteriores. Obtenemos una serie de polígonos, cuyas longitudes laterales son números de Fibonacci. Estas figuras se llaman rectángulos de Fibonacci. Dibujemos una línea suave a través de las esquinas de nuestros polígonos y obtengamos ... ¡una espiral de Arquímedes! Como sabe, el aumento en el paso de una figura dada es siempre uniforme. Si incluye imaginación, entonces el dibujo resultante puede asociarse con una concha de molusco. Por lo tanto, podemos concluir que la secuencia de Fibonacci es la base de proporciones proporcionales y armoniosas de elementos en el mundo circundante.

Secuencia matemática y el universo

Si miras de cerca, entonces la espiral de Arquímedes (en algún lugar explícitamente, pero en algún lugar de manera encubierta) y, por lo tanto, el principio de Fibonacci se puede rastrear en muchos elementos naturales familiares que rodean a una persona. Por ejemplo, la misma concha de una almeja, inflorescencias de brócoli ordinario, una flor de girasol, un cono de coníferas y similares. Si miramos más allá, veremos la secuencia de Fibonacci en un sinfín de galaxias. Incluso una persona, inspirada en la naturaleza y adoptando sus formas, crea objetos en los que se puede rastrear la serie mencionada. Este es el momento de recordar la Sección Dorada. Junto con la ley de Fibonacci, se trazan los principios de esta teoría. Existe una versión de que la secuencia de Fibonacci es una especie de prueba de la naturaleza para adaptarse a una secuencia logarítmica más perfecta y fundamental de la Sección Áurea, que es casi idéntica, pero no tiene principio y es infinita. La regularidad de la naturaleza es tal que debe tener su propio punto de referencia, desde el cual partir para crear algo nuevo. La proporción de los primeros elementos de la serie de Fibonacci está lejos de los principios de la Sección Áurea. Sin embargo, cuanto más avanzamos, más se suaviza esta discrepancia. Para determinar la secuencia, debe conocer tres de sus elementos, que se suceden. Para la secuencia áurea, dos son suficientes. Dado que es tanto una progresión aritmética como geométrica.

Conclusión

Aún así, en base a lo anterior, puedes hacer preguntas bastante lógicas: "¿De dónde vinieron estos números? ¿Quién es este autor del dispositivo del mundo entero, que trató de hacerlo perfecto? ¿Fue todo siempre como él quería? Si es así, ¿por qué falló?" ¿Qué pasará después?" Al encontrar la respuesta a una pregunta, obtiene la siguiente. Resuelto: aparecen dos más. Una vez resueltos, obtienes tres más. Habiendo tratado con ellos, recibirá cinco sin resolver. Luego ocho, luego trece, veintiuno, treinta y cuatro, cincuenta y cinco ...

Secuencia de números de Fibonacci... ¿Es la primera vez que escuchas sobre esto y ni siquiera imaginas de qué área de conocimiento es? Resulta que la regularidad de los fenómenos naturales, la estructura y variedad de los organismos vivos en nuestro planeta, todo lo que nos rodea, impactando la imaginación con su armonía y orden, las leyes del universo, el movimiento del pensamiento humano y los logros de la ciencia, todo esto se explica por la suma. secuencia Fibonacci.

La eterna aspiración del hombre a conocerse a sí mismo y al mundo que lo rodea hizo avanzar la ciencia.

Uno de los avances más significativos en matemáticas es la introducción de números arábigos en lugar de números romanos. Pertenece a uno de los estudiosos más notables del siglo XII, Fibonacci (1175). Otro descubrimiento que hizo fue nombrado en su honor: la secuencia de suma: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ... Estos son los llamados números de Fibonacci.

Esta regularidad en las matemáticas interesó a otro científico de la Edad Media: Tomás de Aquino. Impulsado por el deseo de "medir la armonía con el álgebra", el científico concluyó que existe una conexión directa entre las matemáticas y la belleza. Tomás de Aquino explicó los sentimientos estéticos que surgen de la contemplación de objetos armoniosos creados proporcionalmente por la naturaleza con el mismo principio de secuencia sumatoria.

Este principio explica que a partir de 1,1, el siguiente número es la suma de los dos números anteriores. Este patrón es significativo; esta secuencia se vuelve cada vez más lenta, asintóticamente, hacia una proporción constante. Sin embargo, esta actitud es irracional, es decir, tiene una secuencia de números infinita e impredecible en la parte fraccionaria. Su expresión exacta es imposible. Dividiendo cualquier miembro de la secuencia de Fibonacci por el término que lo precede, obtenemos un valor que fluctúa alrededor del valor 1.61803398875 ... (irracional), que a veces no lo alcanzará, luego lo superará cada vez. Incluso la eternidad no es suficiente para determinar con precisión esta proporción. Por brevedad, lo usaremos como 1.618.

El matemático medieval Luca Pacioli llamó a esta relación la Proporción Divina. Kepler llamó a la secuencia de suma "uno de los tesoros de la geometría". En la ciencia moderna, la suma secuencia Fibonacci Tiene varios nombres, no menos poéticos: Proporción de cuadrados giratorios, Media áurea, Proporción áurea. En matemáticas, se denota con la letra griega phi (Ф \u003d 1.618).

La naturaleza asintótica de la secuencia, sus fluctuaciones cercanas al número irracional de Fibonacci, que tienden a desvanecerse, se harán más claras si consideramos las proporciones de los primeros términos de esta secuencia. En el siguiente ejemplo, consideraremos los números de Fibonacci, daremos la razón del segundo al primer término, del tercero al segundo, y así sucesivamente:
1: 1 \u003d 1,0000, que es 0,6180 menos phi
2: 1 \u003d 2.0000, que es 0.3820 phi más
3: 2 \u003d 1.5000, que es 0.1180 menos phi
5: 3 \u003d 1,6667, que es 0,0486 phi más
8: 5 \u003d 1.6000, que es 0.0180 menos phi
Avanzando a lo largo de la secuencia de Fibonacci, cada nuevo miembro dividirá al siguiente, acercándose cada vez más al inalcanzable número F.

Más tarde veremos que algunos números de Fibonaccique componen su secuencia de suma son visibles en la dinámica de precios de diversos bienes; entre los métodos de análisis técnico de Forex se utilizan niveles de Fibonacci... Se pueden encontrar fluctuaciones en la relación alrededor de 1.615 por una u otra cantidad, en las que aparecen en la Regla de alternancia. Subconscientemente, cada persona busca la notoria proporción Divina, que es necesaria para satisfacer el deseo de comodidad.

Si dividimos cualquier término en la secuencia de Fibonacci por el término que le sigue, obtenemos el inverso de 1.618, es decir, 1: 1.618. Este es también un fenómeno bastante inusual, quizás incluso notable. La razón original es una fracción infinita, por lo tanto, esta razón también debe ser infinita.

Otro dato importante es el siguiente. El cuadrado de cualquier miembro de la secuencia de Fibonacci es igual al número frente a él en la secuencia, multiplicado por el número que lo sigue, más o menos.
5 2 \u003d (3 x 8) + 1
8 2 \u003d (5 x 13) - 1
13 2 \u003d (8 x 21) + 1
Más y menos siempre se alternan, y esta es una manifestación de parte de la teoría de ondas de Elliott llamada Regla de alternancia. Esta regla dice: se intercalan ondas complejas de naturaleza correctiva con ondas simples, ondas fuertes de naturaleza impulsiva se intercalan con ondas débiles de naturaleza correctiva, etc.

Manifestaciones de la proporción divina en la naturaleza

La secuencia matemática descubierta permite calcular un número infinito de constantes. Los miembros de esta secuencia siempre aparecerán en un sinfín de combinaciones.
Con la ayuda de la regularidad establecida, se da una interpretación matemática de los fenómenos naturales. En este sentido, el descubrimiento de la secuencia matemática pertenece a uno de los lugares más significativos del conocimiento histórico.
Podemos referirnos a una serie de teorías interesantes derivadas de una secuencia matemática.

Pirámide de Giza

El diseño de la pirámide se basa en la proporción Φ \u003d 1.618. Este descubrimiento se realizó después de numerosos intentos de desentrañar los secretos de esta pirámide. La propia pirámide de Giza parece ser una especie de mensaje para los descendientes con el fin de transmitir cierto conocimiento de las leyes de la secuencia matemática. En el momento de la construcción de la pirámide, sus constructores no tenían suficientes oportunidades para expresar los patrones que conocían. En ese momento, la escritura no existía y los jeroglíficos aún no se usaban. Sin embargo, los creadores de la pirámide lograron transferir su conocimiento de las leyes matemáticas a las generaciones futuras utilizando la proporción geométrica de su creación.

Los sacerdotes del templo le transmitieron a Herodoto el secreto de la pirámide de Giza. Está construido de tal manera que el área de cada cara es igual al cuadrado de la altura de esta cara.
Área del triángulo: 356 x 440/2 \u003d 78320
Área cuadrada: 280 x 280 \u003d 78400
La cara de la pirámide en Giza tiene 783,3 pies (238,7 m) de largo y 484,4 pies (147,6 m) de alto. Al dividir la longitud de la faceta por la altura, se llega a la relación Ф \u003d 1.618. Una altura de 484,4 pies corresponde a 5813 pulgadas (5-8-13), que no es más que los números de secuencia de Fibonacci. Todas estas observaciones nos llevan a la conclusión de que toda la estructura de la pirámide se basa en la proporción Φ \u003d 1.618.
Son números de la secuencia de Fibonacci. Estas interesantes observaciones sugieren que la construcción de la pirámide se basa en la proporción Φ \u003d 1.618.
Esta información da motivos para creer sobre el alto desarrollo del conocimiento en el campo de las matemáticas y la astrología en ese momento. En estricta conformidad con el número 1.618, esta mayor creación fue erigida no solo por las manos del hombre, sino también por su mente. Las mismas proporciones internas y externas de la pirámide, observadas en estricta conformidad con la ley de la Sección Áurea, son un mensaje para nosotros, los descendientes, de las profundidades de los siglos del mayor conocimiento.

Pirámides mexicanas

Llama la atención que las pirámides de México estén construidas con el mismo principio. Involuntariamente, surge el supuesto de la construcción de las pirámides mexicanas al mismo tiempo que las egipcias, además, los constructores tenían conocimiento de la ley matemática de la Sección Áurea.
La sección transversal de la pirámide revela la forma de una escalera. En su primer nivel hay 16 pasos, el segundo contiene 42 pasos, el tercero - 68 pasos. Los números se basan en la secuencia de Fibnacci de la siguiente manera:
16 x 1,618 \u003d 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 \u003d 42
42 + 26 = 68
El número Ф \u003d 1.618 subyace a las proporciones de la pirámide mexicana. (

¿Alguna vez has escuchado que se llama a las matemáticas "la reina de todas las ciencias"? ¿Está de acuerdo con esta afirmación? Mientras las matemáticas sigan siendo para ti un conjunto de tareas aburridas en un libro de texto, difícilmente podrás sentir la belleza, la versatilidad e incluso el humor de esta ciencia.

Pero hay temas en matemáticas que ayudan a realizar observaciones curiosas de cosas y fenómenos que nos son comunes. E incluso intentar traspasar el velo de los secretos de la creación de nuestro universo. Hay patrones curiosos en el mundo que se pueden describir usando matemáticas.

Introduciendo los números de Fibonacci

Números de Fibonacci se denominan elementos de una secuencia numérica. En él, cada número siguiente de una fila se obtiene sumando los dos números anteriores.

Ejemplo de secuencia: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Puedes escribirlo así:

F 0 \u003d 0, F 1 \u003d 1, F n \u003d F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Puede iniciar una serie de números de Fibonacci con valores negativos norte... En este caso, la secuencia en este caso es de dos caras (es decir, cubre números negativos y positivos) y tiende al infinito en ambas direcciones.

Un ejemplo de tal secuencia: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

La fórmula en este caso se ve así:

F norte \u003d F norte + 1 - F norte + 2 o de lo contrario puedes hacer esto: F -n \u003d (-1) n + 1 Fn.

Lo que ahora conocemos como "números de Fibonacci" era conocido por los antiguos matemáticos indios mucho antes de que se utilizaran en Europa. Y con este nombre en general una anécdota histórica continua. Comencemos con el hecho de que el propio Fibonacci nunca se llamó Fibonacci durante su vida; este nombre se aplicó a Leonardo de Pisa solo varios siglos después de su muerte. Pero hablemos de todo en orden.

Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci

Hijo de un comerciante, que se convirtió en matemático y más tarde recibió el reconocimiento de los descendientes como el primer matemático importante de Europa durante la Edad Media. Sobre todo gracias a los números de Fibonacci (que entonces, recordamos, aún no se llamaban así). El cual describió a principios del siglo XIII en su obra "Liber abaci" ("Libro del ábaco", 1202).

Viajando con su padre a Oriente, Leonardo estudió matemáticas con profesores árabes (y en ese momento estaban en este negocio, y en muchas otras ciencias, uno de los mejores especialistas). Leyó las obras de matemáticos de la Antigüedad y la Antigua India en traducciones al árabe.

Habiendo comprendido adecuadamente todo lo que leyó y conectado su propia mente inquisitiva, Fibonacci escribió varios tratados científicos sobre matemáticas, incluido el ya mencionado "Libro del Ábaco". Además de ella, creó:

• Practica geometriae (Práctica de la geometría, 1220);
• "Flos" ("Flor", 1225 - investigación sobre ecuaciones cúbicas);
• "Liber quadratorum" ("Libro de cuadrados", 1225 - problemas sobre ecuaciones cuadráticas indefinidas).

Era un gran amante de los torneos matemáticos, por lo que en sus tratados prestó mucha atención al análisis de diversos problemas matemáticos.

Hay muy poca información biográfica sobre la vida de Leonardo. En cuanto al nombre de Fibonacci, con el que entró en la historia de las matemáticas, no se le quedó grabado hasta el siglo XIX.

Fibonacci y sus tareas

Después de Fibonacci, quedaron una gran cantidad de problemas, que fueron muy populares entre los matemáticos en los siglos siguientes. Consideraremos el problema de los conejos, en cuya solución se utilizan los números de Fibonacci.

Los conejos no solo son pieles valiosas

Fibonacci estableció las siguientes condiciones: hay un par de conejos recién nacidos (macho y hembra) de una raza tan interesante que regularmente (a partir del segundo mes) producen descendencia, siempre un nuevo par de conejos. Además, como puedes adivinar, hombres y mujeres.

Estos conejos condicionales se colocan en un espacio cerrado y se reproducen con entusiasmo. También se estipula que ningún conejo muere de alguna misteriosa enfermedad del conejo.

Necesitamos calcular cuántos conejos tendremos en un año.

• Al comienzo de 1 mes tenemos 1 par de conejos. Al final del mes, se aparean.
• El segundo mes, ya tenemos 2 pares de conejos (un par tiene padres + 1 par, su descendencia).
• Tercer mes: la primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja se aparea. Total: 3 parejas de conejos.
• Cuarto mes: La primera pareja da a luz a una nueva pareja, la segunda pareja no pierde tiempo y también da a luz una nueva pareja, la tercera pareja solo se está apareando por ahora. Total - 5 parejas de conejos.

El número de conejos en norte-ésimo mes \u003d número de parejas de conejos del mes anterior + número de parejas de recién nacidos (hay el mismo número de parejas de conejos 2 meses antes del presente). Y todo esto se describe mediante la fórmula que ya hemos dado anteriormente: F norte \u003d F norte-1 + F norte-2.

Así, obtenemos una (explicación recurrente sobre recursividad - abajo) una secuencia numérica. En el que cada número siguiente es igual a la suma de los dos anteriores:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Puede continuar la secuencia durante mucho tiempo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... Pero como hemos establecido un período específico - un año, estamos interesados \u200b\u200ben el resultado obtenido en el 12º "movimiento". Aquellos. 13 ° miembro de la secuencia: 377.

La respuesta está en el problema: se obtendrán 377 conejos si se cumplen todas las condiciones establecidas.

Una de las propiedades de la secuencia numérica de Fibonacci es muy interesante. Si toma dos pares consecutivos de una fila y divide el número mayor por el menor, el resultado se acercará gradualmente proporción áurea (puede leer más sobre esto más adelante en el artículo).

En el lenguaje de las matemáticas, "Límite de relación a n + 1a unigual a la proporción áurea ".

Más problemas de teoría de números

1. Encuentra un número que se pueda dividir entre 7. Además, si lo divides entre 2, 3, 4, 5, 6, el resto es uno.
2. Encuentra un número cuadrado. Se sabe de él que si le sumas 5 o le restas 5, obtienes un número cuadrado nuevamente.

Le sugerimos que busque respuestas a estos problemas usted mismo. Puede dejarnos sus opciones en los comentarios de este artículo. Y luego te diremos si tus cálculos fueron correctos.

Una explicación de la recursividad

Recursividad - definición, descripción, imagen de un objeto o proceso, que contiene el objeto o proceso en sí. Es decir, en esencia, un objeto o proceso es parte de sí mismo.

La recursividad se utiliza mucho en matemáticas e informática, e incluso en arte y cultura popular.

Los números de Fibonacci se determinan mediante una relación de recurrencia. Por el numero n\u003e 2 n-el número es (n - 1) + (n - 2).

Explicación de la proporción áurea

Proporción áurea - dividir el todo (por ejemplo, un segmento) en partes que están relacionadas de acuerdo con el siguiente principio: la parte más grande se refiere a la más pequeña, al igual que el valor total (por ejemplo, la suma de dos segmentos) a la parte más grande.

La primera mención de la proporción áurea se puede encontrar en Euclides en su tratado "Comienzos" (alrededor del 300 aC). En el contexto de la construcción de un rectángulo regular.

El término familiar para nosotros fue introducido en circulación por el matemático alemán Martin Ohm en 1835.

Si describimos la proporción áurea aproximadamente, es una división proporcional en dos partes desiguales: aproximadamente 62% y 38%. Numéricamente, la proporción áurea es el número 1,6180339887 .

La proporción áurea encuentra aplicación práctica en las artes visuales (pinturas de Leonardo da Vinci y otros pintores del Renacimiento), arquitectura, cine ("El acorazado Potemkin" de S. Ezenstein) y otras áreas. Durante mucho tiempo se creyó que la proporción áurea es la proporción más estética. Esta opinión es popular hoy. Aunque, según los resultados de la investigación, la mayoría de las personas no perciben visualmente tal proporción como la opción más exitosa y la consideran demasiado alargada (desproporcionada).

• Longitud del segmento desde = 1, y = 0,618, segundo = 0,382.
• Actitud desde a y = 1, 618.
• Actitud desdea segundo = 2,618

Ahora volvamos a los números de Fibonacci. Tomemos dos términos consecutivos de su secuencia. Divida el número mayor por el menor para obtener aproximadamente 1,618. Y ahora usamos el mismo número más grande y el siguiente miembro de la serie (es decir, un número aún mayor): su relación es temprana de 0.618.

Aquí hay un ejemplo: 144, 233, 377.

233/144 \u003d 1.618 y 233/377 \u003d 0.618

Por cierto, si intentas hacer el mismo experimento con números desde el principio de la secuencia (por ejemplo, 2, 3, 5), nada funcionará. Casi. Casi no se sigue la proporción áurea para el inicio de la secuencia. Pero funciona muy bien a medida que avanza por la fila y aumenta los números.

Y para calcular la serie completa de números de Fibonacci, basta con conocer tres miembros de la secuencia que se suceden. ¡Puedes verlo por ti mismo!

Rectángulo dorado y espiral de Fibonacci

Otro curioso paralelo entre los números de Fibonacci y la proporción áurea nos permite trazar el llamado "rectángulo áureo": sus lados están correlacionados en la proporción de 1.618 a 1. Pero ya sabemos cuál es el número 1.618, ¿verdad?

Por ejemplo, tome dos miembros consecutivos de la serie de Fibonacci - 8 y 13 - y construya un rectángulo con los siguientes parámetros: ancho \u003d 8, largo \u003d 13.

Y luego dividimos el rectángulo grande en otros más pequeños. Requisito previo: las longitudes de los lados de los rectángulos deben corresponder a los números de Fibonacci. Aquellos. la longitud del lado del rectángulo más grande debe ser igual a la suma de los lados de los dos rectángulos más pequeños.

La forma en que se hace en esta figura (por conveniencia, las figuras están firmadas en letras latinas).

Por cierto, puedes construir rectángulos en orden inverso. Aquellos. comenzar la construcción con cuadrados con el lado 1. Para lo cual, guiados por el principio anterior, se completan figuras con lados iguales a los números de Fibonacci. En teoría, esto puede continuar indefinidamente; después de todo, la serie de Fibonacci es formalmente infinita.

Si conectamos las esquinas de los rectángulos obtenidos en la figura con una línea suave, obtenemos una espiral logarítmica. Más bien, su caso especial es la espiral de Fibonacci. Se caracteriza, en particular, por el hecho de que no tiene fronteras y no cambia de forma.

Una espiral similar se encuentra a menudo en la naturaleza. Las conchas de almejas son uno de los ejemplos más llamativos. Además, algunas galaxias que se pueden ver desde la Tierra tienen forma de espiral. Si presta atención a los pronósticos meteorológicos en la televisión, es posible que haya notado que los ciclones tienen una forma de espiral similar cuando se filman desde satélites.

Es curioso que la hélice de ADN también obedezca la regla de la sección áurea: el patrón correspondiente se puede ver en los intervalos de sus curvas.

Tales "coincidencias" asombrosas no pueden sino excitar las mentes y dar lugar a conversaciones sobre un cierto algoritmo unificado que obedece a todos los fenómenos en la vida del Universo. ¿Entiendes ahora por qué este artículo se llama así? ¿Y qué mundos maravillosos pueden abrirte las matemáticas?

Números de Fibonacci en la naturaleza

La conexión entre los números de Fibonacci y la proporción áurea sugiere algunos patrones interesantes. Tan curioso que resulta tentador intentar encontrar secuencias similares a los números de Fibonacci en la naturaleza e incluso en el transcurso de acontecimientos históricos. Y la naturaleza realmente da lugar a tales suposiciones. Pero, ¿se puede explicar y describir todo en nuestra vida utilizando las matemáticas?

Ejemplos de vida silvestre que se pueden describir usando la secuencia de Fibonacci:

• el orden de disposición de las hojas (y ramas) en las plantas: las distancias entre ellas están correlacionadas con los números de Fibonacci (filotaxis);

• ubicación de las semillas de girasol (las semillas están dispuestas en dos filas de espirales, retorcidas en diferentes direcciones: una fila en el sentido de las agujas del reloj, la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj);

• disposición de escamas de piñas;
• pétalos de flor;
• células de piña;
• la proporción de las longitudes de las falanges de los dedos en una mano humana (aproximadamente), etc.

Problemas combinatorios

Los números de Fibonacci se utilizan ampliamente para resolver problemas combinatorios.

Combinatoria Es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de una selección de un determinado número de elementos de un conjunto designado, enumeración, etc.

Veamos ejemplos de problemas combinatorios diseñados para el nivel de secundaria (fuente: http://www.problems.ru/).

Tarea número 1:

Lesha sube las escaleras de 10 escalones. A la vez, salta uno o dos pasos. ¿De cuántas maneras puede Lesha subir las escaleras?

El número de formas en que Lesha puede subir las escaleras desde norte pasos, denotar y N.De ahí se sigue que un 1 = 1, un 2 \u003d 2 (después de todo, Lesha salta uno o dos pasos).

También se estipula que Lesha salta por las escaleras desde n\u003e 2 pasos. Supongamos que dio dos pasos la primera vez. Por tanto, de acuerdo con la condición del problema, necesita saltar sobre otro n - 2 pasos. Luego, el número de formas de completar el ascenso se describe como a n - 2... Y si asumimos que por primera vez Lesha solo saltó un escalón, entonces describimos el número de formas de terminar la escalada como un n - 1.

De ahí obtenemos la siguiente igualdad: una norte \u003d una norte - 1 + una norte - 2 (parece familiar, ¿no?).

Una vez que sepamos un 1y un 2y recuerda que por la condición del problema hay 10 pasos, hemos calculado en orden todos un: a 3 = 3, un 4 = 5, un 5 = 8, un 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.

Respuesta: 89 formas.

Tarea número 2:

Se requiere encontrar el número de palabras de 10 letras de largo, que consisten solo en las letras "a" y "b" y no deben contener dos letras "b" seguidas.

Denotamos por un número de palabras de longitud norteletras que constan solo de las letras "a" y "b" y no contienen dos letras "b" seguidas. Por lo tanto, un 1= 2, un 2= 3.

En secuencia un 1, un 2, <…>, unexpresaremos cada término siguiente a través de los anteriores. Por lo tanto, el número de palabras de longitud norteletras que, además, no contienen una letra doble "b" y comienzan con la letra "a", esta un n - 1... Y si la palabra es larga norteletras comienza con la letra "b", es lógico que la siguiente letra en una palabra así sea "a" (después de todo, no puede haber dos "b" según el enunciado del problema). Por lo tanto, el número de palabras de longitud norteletras en este caso denotamos como a n - 2... Tanto en el primer como en el segundo caso, cualquier palabra (con una longitud de n - 1y n - 2 letras respectivamente) sin "b" doble.

Pudimos fundamentar por qué una norte \u003d una norte - 1 + una norte - 2.

Calculemos ahora a 3= un 2+ un 1= 3 + 2 = 5, un 4= a 3+ un 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8\u003d 144. Y obtenemos la conocida secuencia de Fibonacci.

Respuesta: 144.

Tarea número 3:

Imagina que hay una cinta dividida en celdas. Va hacia la derecha y dura infinitamente. Coloque un saltamontes en el primer cuadrado de la cinta. Cualquiera que sea la celda de la cinta en la que se encuentre, solo puede moverse hacia la derecha: una celda o dos. ¿De cuántas formas puede un saltamontes saltar desde el principio de la cinta hasta nortela celda?

Designemos el número de formas de mover el saltamontes a lo largo del cinturón nortela celda como un... En este caso un 1 = un 2 \u003d 1. También en n + 1-a jaula que un saltamontes puede obtener de norte-th celda, o saltando sobre ella. De aquí a n + 1 = un n - 1 + un... De donde un = F n - 1.

Responder: F n - 1.

Puedes crear problemas similares tú mismo e intentar resolverlos en lecciones de matemáticas con tus compañeros de clase.

Números de Fibonacci en la cultura popular

Por supuesto, un fenómeno tan inusual como los números de Fibonacci no puede dejar de llamar la atención. Sin embargo, hay algo atractivo e incluso misterioso en este patrón estrictamente verificado. No es sorprendente que la secuencia de Fibonacci de alguna manera se "iluminara" en muchas obras de la cultura de masas moderna de varios géneros.

Te contamos algunos de ellos. Intenta buscarte de nuevo. Si lo encuentra, compártalo con nosotros en los comentarios. ¡También tenemos curiosidad!

• Los números de Fibonacci se mencionan en el bestseller de Dan Brown El código Da Vinci: la secuencia de Fibonacci sirve como código con el que los personajes principales del libro abren la caja fuerte.
• En la película estadounidense de 2009 "Mr. Nobody", en uno de los episodios, la dirección de la casa es parte de la secuencia de Fibonacci: 12358. Además, en otro episodio, el personaje principal debe llamar a un número de teléfono, que es esencialmente el mismo, pero ligeramente distorsionado (un dígito extra después del número 5) la secuencia: 123-581-1321.
• En la serie de 2012 "Comunicación", el personaje principal, un niño con autismo, es capaz de distinguir patrones en los eventos que tienen lugar en el mundo. Incluso mediante números de Fibonacci. Y gestionar estos eventos también a través de números.
• Los desarrolladores del juego java para teléfonos móviles Doom RPG han colocado una puerta secreta en uno de los niveles. El código que lo abre es la secuencia de Fibonacci.
• En 2012, el grupo de rock ruso Spleen lanzó el álbum conceptual "Optical Illusion". La octava pista se llama "Fibonacci". En los versos del líder del grupo, Alexander Vasiliev, se juega la secuencia de números de Fibonacci. Cada uno de los nueve miembros consecutivos tiene el número correspondiente de líneas (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 El tren partió

1 Una articulación hizo clic

1 Una manga se estremeció

2 Todo, consigue las cosas

Todo, consigue las cosas

3 Pidiendo agua hirviendo

El tren va al río

El tren va en la taiga<…>.

• limerick (un poema corto de cierta forma, generalmente cinco líneas, con un cierto esquema de rima, de contenido cómico, en el que la primera y la última línea se repiten o se duplican parcialmente) de James Lyndon también usa una referencia a la secuencia de Fibonacci como motivo humorístico:

La comida densa de Fibonacci

Solo para su beneficio, no de otra manera.

Las esposas pesaron, según el rumor,

Cada uno es como los dos anteriores.

Resumiendo

Esperamos haberle podido contar hoy mucha información interesante y útil. Por ejemplo, ahora puede buscar la espiral de Fibonacci en la naturaleza que lo rodea. De repente, serás tú quien podrá desentrañar el "secreto de la vida, del universo y en general".

Utilice la fórmula de Fibonacci al resolver problemas combinatorios. Puede basarse en los ejemplos de este artículo.

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Números de Fibonacci ... en la naturaleza y la vida.

Leonardo Fibonacci es uno de los más grandes matemáticos de la Edad Media. En una de sus obras, "El libro de los cálculos", Fibonacci describió el sistema de cálculo indoárabe y las ventajas de utilizarlo sobre el romano.

Definición
Los números de Fibonacci o Secuencia de Fibonacci es una secuencia numérica que tiene varias propiedades. Por ejemplo, la suma de dos números adyacentes de la secuencia da el valor del siguiente (por ejemplo, 1 + 1 \u003d 2; 2 + 3 \u003d 5, etc.), lo que confirma la existencia de las llamadas razones de Fibonacci, es decir ratios constantes.

La secuencia de Fibonacci comienza así: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Definición completa de los números de Fibonacci

3.


Propiedades de la secuencia de Fibonacci

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1. La razón de cada número al siguiente tiende cada vez más a 0,618 a medida que aumenta el número ordinal. La relación de cada número al anterior tiende a 1,618 (inverso a 0,618). El número 0.618 se llama (FI).

2. Al dividir cada número por el siguiente, se obtiene el número 0.382; por el contrario, respectivamente 2.618.

3. Al elegir las razones de esta manera, obtenemos el conjunto principal de coeficientes de Fibonacci:… 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

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La conexión entre la secuencia de Fibonacci y la "proporción áurea"

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La secuencia de Fibonacci de forma asintótica (acercándose cada vez más lentamente) tiende a una proporción constante. Sin embargo, esta razón es racional, es decir, es un número con una secuencia infinita e impredecible de dígitos decimales en la parte fraccionaria. Es imposible expresarlo con precisión.

Si algún miembro de la secuencia de Fibonacci se divide por el que le precede (por ejemplo, 13: 8), el resultado será un valor que fluctúe alrededor del valor irracional 1.61803398875 ... y, de vez en cuando, no lo alcanza. Pero incluso habiendo tocado Eternity en él, es imposible saber la proporción exactamente, hasta el último dígito decimal. En aras de la dureza, lo traduciremos como 1.618. Los nombres específicos para esta proporción comenzaron a darse incluso antes de que Luca Pacioli (un matemático de mediados de siglo) la llamara la Proporción Divina. Entre sus nombres modernos se encuentran Proporción áurea, Media áurea y la proporción de cuadrados giratorios. Keplep llamó a esta relación uno de los "tesoros de la geometría". En álgebra, su designación con la letra griega phi es generalmente aceptada.

Imaginemos la proporción áurea usando un segmento de línea como ejemplo.

Considere un segmento con extremos A y B. Sea el punto C divida el segmento AB de modo que,

AC / CB \u003d CB / AB o

AB / CB \u003d CB / AC.

Puedes pensarlo así: A -– C --– B

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La proporción áurea es una división tan proporcional de un segmento en partes desiguales, en la que todo el segmento se refiere a la parte más grande tanto como la parte más grande en sí misma se refiere a la más pequeña; o en otras palabras, el segmento más pequeño se relaciona con el más grande como el más grande con todo.

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Los segmentos de la proporción áurea están expresados \u200b\u200bpor la fracción irracional infinita 0.618 ... si AB se toma como uno, AC \u003d 0.382 .. Como ya sabemos los números 0.618 y 0.382 son los coeficientes de la secuencia de Fibonacci.

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Fibonacci y proporciones áureas en la naturaleza y la historia

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Es importante señalar que Fibonacci, por así decirlo, le recordó su secuencia a la humanidad. Ella era conocida incluso por los antiguos griegos y egipcios. De hecho, desde entonces, en la naturaleza, la arquitectura, las bellas artes, las matemáticas, la física, la astronomía, la biología y muchas otras áreas, se han encontrado patrones descritos por los coeficientes de Fibonacci. Es sorprendente cuántas constantes se pueden calcular usando la secuencia de Fibonacci y cómo aparecen sus miembros en una gran cantidad de combinaciones. Sin embargo, no sería exagerado decir que este no es solo un juego con números, sino la expresión matemática más importante de los fenómenos naturales jamás descubierta.

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Los ejemplos siguientes muestran algunas aplicaciones interesantes de esta secuencia matemática.

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1. La cáscara está enrollada en espiral. Si lo despliega, obtiene una longitud ligeramente inferior a la longitud de la serpiente. La pequeña concha de 10 centímetros tiene una espiral de 35 cm de largo La forma de la concha enrollada en espiral atrajo la atención de Arquímedes. El punto es que la proporción de medidas de los rizos de la concha es constante e igual a 1.618. Arquímedes estudió la espiral de conchas y derivó la ecuación de la espiral. La espiral extraída de esta ecuación lleva su nombre. El aumento de su paso es siempre uniforme. Actualmente, la espiral de Arquímedes se usa ampliamente en tecnología.

2. Plantas y animales. Incluso Goethe enfatizó la tendencia de la naturaleza a girar en espiral. La disposición helicoidal y en espiral de las hojas en las ramas de los árboles se notó hace mucho tiempo. La espiral se vio en la disposición de las semillas de girasol, en piñas, piñas, cactus, etc. El trabajo conjunto de botánicos y matemáticos ha arrojado luz sobre estos asombrosos fenómenos naturales. Resultó que en la disposición de las hojas en una rama de semillas de girasol, piñas, la serie de Fibonacci se manifiesta y, por lo tanto, la ley de la sección áurea se manifiesta. La araña teje la telaraña en forma de espiral. Un huracán gira en espiral. Una asustada manada de renos se dispersa en espiral. La molécula de ADN está retorcida en una doble hélice. Goethe llamó a la espiral la "curva de la vida".

Entre los pastos al borde de la carretera, crece una planta común: la achicoria. Echémosle un vistazo más de cerca. Se ha formado un proceso a partir del tallo principal. La primera hoja se encuentra allí mismo. El brote hace una fuerte expulsión al espacio, se detiene, suelta una hoja, pero es más corta que la primera, vuelve a hacer una expulsión al espacio, pero con menos fuerza, suelta una hoja de tamaño aún menor y vuelve a expulsar. Si la primera emisión se toma como 100 unidades, entonces la segunda es 62 unidades, la tercera es 38, la cuarta es 24, etc. La longitud de los pétalos también está sujeta a la proporción áurea. En crecimiento, la conquista del espacio, la planta conservó ciertas proporciones. Los impulsos de su crecimiento fueron disminuyendo gradualmente en proporción a la sección áurea.

El lagarto es vivíparo. En un lagarto, a primera vista, se captan proporciones agradables a nuestros ojos: la longitud de su cola está tan relacionada con la longitud del resto del cuerpo como de 62 a 38.

Tanto en el mundo vegetal como en el animal, la tendencia formativa de la naturaleza se rompe constantemente: la simetría con respecto a la dirección del crecimiento y el movimiento. Aquí la proporción áurea aparece en proporciones de partes perpendiculares a la dirección de crecimiento. La naturaleza ha llevado a cabo la división en partes simétricas y proporciones áureas. En las partes se manifiesta la repetición de la estructura del todo.

Pierre Curie a principios de este siglo formuló una serie de profundas ideas de simetría. Argumentó que no se puede considerar la simetría de ningún cuerpo sin considerar la simetría del entorno. Los patrones de simetría áurea se manifiestan en las transiciones de energía de las partículas elementales, en la estructura de algunos compuestos químicos, en los sistemas planetarios y espaciales, en las estructuras genéticas de los organismos vivos. Estos patrones, como se indicó anteriormente, se encuentran en la estructura de los órganos individuales de una persona y el cuerpo en su conjunto, y también se manifiestan en los biorritmos y el funcionamiento del cerebro y la percepción visual.

3. Espacio. Se sabe por la historia de la astronomía que I. Titius, un astrónomo alemán del siglo XVIII, con la ayuda de esta serie (Fibonacci) encontró la regularidad y el orden en las distancias entre los planetas del sistema solar.

Sin embargo, un caso que parecía contradecir la ley: no había ningún planeta entre Marte y Júpiter. La observación concentrada de esta región del cielo llevó al descubrimiento del cinturón de asteroides. Esto sucedió después de la muerte de Tito a principios del siglo XIX.

La serie de Fibonacci se usa ampliamente: se usa para representar la arquitectura de los seres vivos y las estructuras hechas por el hombre y la estructura de las galaxias. Estos hechos evidencian la independencia de la serie numérica de las condiciones de su manifestación, que es uno de los signos de su universalidad.

4. Pirámides. Muchos han tratado de desentrañar los secretos de la pirámide de Giza. A diferencia de otras pirámides egipcias, esta no es una tumba, sino un rompecabezas insoluble de combinaciones de números. El notable ingenio, habilidad, tiempo y labor de los arquitectos de la pirámide, que utilizaron en la construcción del símbolo eterno, indican la extrema importancia del mensaje que querían transmitir a las generaciones futuras. Su era era pre-alfabetizada, pre-jeroglífica y los símbolos eran el único medio de registrar los descubrimientos. La clave del secreto geométrico-matemático de la pirámide en Giza, que había sido un misterio para la humanidad durante tanto tiempo, fue entregada a Herodoto por los sacerdotes del templo, quienes le informaron que la pirámide fue construida de modo que el área de cada una de sus caras fuera igual al cuadrado de su altura.

Área del triángulo

356 x 440/2 \u003d 78320

Área cuadrada

280 x 280 \u003d 78400

La longitud del borde de la base de la pirámide en Giza es de 783,3 pies (238,7 m), la altura de la pirámide es de 484,4 pies (147,6 m). La longitud de la nervadura de la base dividida por la altura da como resultado la relación Ф \u003d 1.618. Una altura de 484,4 pies corresponde a 5813 pulgadas (5-8-13); estos son números de la secuencia de Fibonacci. Estas interesantes observaciones sugieren que la construcción de la pirámide se basa en la proporción Φ \u003d 1.618. Algunos estudiosos modernos se inclinan a interpretar que los antiguos egipcios la construyeron con el único propósito de transmitir conocimientos que querían preservar para las generaciones futuras. Los estudios intensivos de la pirámide en Giza mostraron cuán extenso era el conocimiento de las matemáticas y la astrología en ese momento. En todas las proporciones internas y externas de la pirámide, el número 1.618 juega un papel central.

Pirámides de México. No solo las pirámides egipcias están construidas de acuerdo con las proporciones perfectas de la proporción áurea, el mismo fenómeno se encontró en las pirámides mexicanas. Surge la idea de que las pirámides egipcias y mexicanas fueron erigidas aproximadamente al mismo tiempo por personas de ascendencia común.