Markov zincirlerinin en önemli vakalarından biri, ölüm ve çoğaltma süreci olarak bilinir. Bu işlem ayrık veya sürekli zamanlı olabilir ve bunları belirleyen durum, geçişlerin yalnızca komşu durumlara izin verilmesidir.

Sürekli zamanla ölüm ve çoğaltma sürecini düşünün. Böyle bir işlem bir nüfus değişikliği modelidir.

İşlem bir durumda Ona, Hacim (sayı) popülasyonu eşitse; Duruma geçiş EC nüfusun bir üyesinin ölümüne ve devlete geçişe karşılık gelir EC +. - Doğum.

Bu işlem bir SMO modeli olarak görülebilir. ECkarşılık vermek için Sistemdeki uygulamalar ve bir devlete geçiş EK veya EC +. - Uygulamanın sistemden veya varıştan bakımı.

Ölüm ve çoğaltma süreci için, birden fazla eyalette 0, 1.2, ... Aşağıdaki koşullar yapılmalıdır:

Buraya P (+ i; bt; k) - Olasılık bEN. Zaman için doğumlar bT. Nüfus sayısının eşit olması şartıyla için; P (-i; bt; k) - Olasılık bEN. Aynı koşullar altında ölümler.

Bu şartlara göre, bu çoklu etkinliklerin olasılığının (6G) sırasına sahip olduğu anlamında, çoklu doğum, çoklu ölüm ve eşzamanlı doğum ve küçük bir zaman dilimi için ölüm yasaktır. Bu özellik daha önce gösterildiği gibi üstel dağılımın özelliklerinden takip eder.

Nüfusun hacmindeki bir noktada bir noktada eşit olduğu ihtimalini buluyoruz. p (k, t) \u003d P.

Zaman aralığında nüfusun hacminde bir değişiklik düşünün (T, t + 5 /). Zaman zaman t + bt. Süreç yapabilecek için Karşılıklı münhasır olan üç kişiden biri oluşuyorsa ve tam bir etkinlik grubu oluşturulduysa:

• 1) Zamanın anında t. Nüfusun hacmi eşittir: ve sırasında bT. Durum değişmedi;
• 2) Zamanın anında t. Nüfusun hacmi eşitti - 1 ve sırasında bT.nüfusun bir üyesi doğdu;
• 3) Zamanın anında t. Nüfusun hacmi eşitti için + 1 ve sırasında bT.nüfusun bir üyesi öldü.

Sonra zaman zamanın olasılığı t + bt. Süreç yapabilecek EK, eşit

Azaltılmış eşitlik sadece ne zaman anlamlıdır k\u003e Oh, nüfus (-1) üyeden oluşamadığından. Sınır eşitliği için \u003d O formu var:

Ek olarak, normalleşmenin durumu gerçekleştirilmelidir.

Denklemlerde tahsis (49.3) ve (49.5) p (k) ve paylaşımı Bk Teslim almak

Ne zaman sınıra geçmek bT. -\u003e 0, biz var:

Böylece, söz konusu olasılıksal süreç, doğrusal diferansiyel denklemler sistemi tarafından açıklanmaktadır. Bu denklemler doğrudan devlet tablosu temelinde elde edilebilir (Şekil 49.2).

İncir. 49.2.

şart EK sayının yazıldığı oval tarafından gösterildi için.Devletler arasındaki geçişler, geçiş yoğunluğunun sunulduğu oklarla gösterilir.

Sistemin devlete girdiği yoğunluk arasındaki fark EK, ve bıraktığı yoğunluğu, bu durumda akış değişikliğinin yoğunluğuna eşit olmalıdır.

Devlete akış yoğunluğu

Devletten akış yoğunluğu ~

Aralarındaki fark, olasılık akışının bir devlete etkili yoğunluğuna eşittir.

Bu sistemin çözümü genellikle imkansızdır. Model basit bir sistem bile son derece karmaşık ve analiz edilmesi zordur. SMO daha karmaşık türleri göz önünde bulundurursak, hesaplamalı zorluklar daha da yüksek olacaktır. Bu nedenle, sistem çözeltileri (49.3) - (49.4) genellikle sabit modda (49.4) olarak kabul edilir. t. -\u003e oo, p "(K; t) -> 0, P (k, t) -> p (k) \u003d Const.

Saf üreme süreci

Bu işlem için p * \u003d o, a * \u003d a \u003d const. SMO'da alınan uygulamaların akışının bir modeli olarak görülebilir. Bu işlem için denklem sistemi şöyledir:

İlk koşulların aşağıdaki gibi olmasına izin verin:

Sonra ve için k \u003d. 1 biz alırız: ejr

Bu denklemin çözümü r(; /) \u003d A / exp (indüksiyona göre -D) elde edilebilir.

Böylece, olasılıklar Poisson Kanunu uyarınca dağıtılmaktadır.

Poisson işlemi SMO çalışmalarında merkezi bir yer alır. Bu, öncelikle, analitik ve olasılıksal özellikleri basitleştirmekle; İkincisi, çok sayıda bireysel olayın toplam etkisinin bir sonucu olan birçok gerçek işlemi açıklar.

Poisson işleminde, süre boyunca değişim olasılığı (T, T ~ ~ H), (0, T) için değişikliklerin sayısına bağlı değildir. En basit genelleme bu varsayımı reddetmektir. Şimdi (0, t) yapıldığı zaman (0, T) gerçekleştirildiğinde, (T, T,) için yeni bir değişikliğin olasılığı, / g ile karşılaştırıldığında daha yüksek bir küçüklük sırası terimine eşittir; Bir sabit x yerine, işlemi karakterize eden, bir Sabit X0, XJ, X2 dizisine sahibiz.

Daha esnek terminolojiyi tanıtmak uygundur. Zaman boyunca meydana gelen değişikliklerin (0, T) olduğunu söylemek yerine, sistemin bir EP durumunda olduğunu söylüyoruz. Daha sonra EP-\u003e EP + 1'in geçişinden yeni bir değişiklik yapılır. Saf çoğaltma işleminde, EP'den geçiş yalnızca EP + 1'de mümkündür. Böyle bir işlem aşağıdaki varsayımları karakterize eder.

Sonrası. T gün ise, sistem bir EP durumundadır (p ~ 0, 1, 2, 2, ...), daha sonra zaman içerisinde (T, T -) - H) EP + 'ye geçiş olasılığıdır. 1, CP / G - | ~ O (a) 'a eşittir. Başka değişikliklerin olasılığı, H'den daha yüksek bir emniyet sırasına sahiptir.

") H pozitif değeri olduğunu düşündüğümüzden, daha sonra, kesinlikle konuşan, RP (T) (2.4) doğru türevi olarak düşünülmelidir. Ancak gerçekte sıradan bir bilateral türevidir. Aslında, bir Üye O (K) Formül (2.2) T'ye bağlı değildir ve bu nedenle T - H ile değiştirilirse değişmeyecektir. Sonra özelliğin (2.2), olağan anlamda sürekliliği ve (2.3) diferansiyelini ifade eder. Bu açıklamada geçerlidir. tekrarlanmadı.

Bu varsayımın ayırt edici bir özelliği, sistemin herhangi bir bireysel durumda yaptığı zamanın rolünü oynamadığı zamanın rolünü oynamamasıdır: sistem bir durumda ne kadar kalırsa, ani başka bir devlete geçiş mümkün olmaz.

P "(t), T) şu anda, sistemin bir EP durumunda olduğu olasılık olmasına izin verin. RP'nin (t) işlevleri, önceki paragrafın argümanları kullanılarak türetilebilecek diferansiyel denklemler sistemini, (2.2) değiştirildiği tek değişiklikle

RP (T - \\ - H) \u003d RP (0 (0 (1- V0 + RP-1 (0 \\ -IH + 0 (a) - (3.1)

Böylece, ana diferansiyel denklem sistemini elde ediyoruz:

p "n (t) \u003d -lnpn (t) + ln_xpn_x (t) ("\u003e 1),

P "0 (t) \u003d -L0P0 (t).

P0 (T) ve ardından sırayla tüm PN (t) hesaplayabiliriz. Sistem durumu, zaman için değişikliklerin sayısı (0, ()) ise, başlangıç \u200b\u200bdurumu £ 0, böylece pq (0) \u003d 1 ve bu nedenle P0 (t) - e ~ "". , sistemin 19 £ 'dan ilerlediği sistemin gerekli değildir (bkz. Örnek 3, B). Eğer 0 ise, sistem £ bir durumdadır;

R. (0) \u003d 1. rp (0) \u003d 0 için N F I. (3.3)

Bu ilk koşullar yalnızca çözümleri tanımlar;

2) PR [zaman aralığında tam olarak 1 ölüm ( t.,t.+ Δ t.) | Nüfus hacmi eşittir bEN.]= ;

3) PR [Zaman aralığında tam olarak 0 doğum ( t.,t.+ Δ t.) | Nüfus hacmi eşittir bEN.]= ;

4) PR [zaman aralığında tam olarak 0 ölüm ( t.,t.+ Δ t.) | Nüfus hacmi eşittir bEN.]= .

Bu varsayımlara göre, çoklu doğum, çoklu ölüm ve küçük bir zaman aralığı için eşzamanlı doğum ve ölüm ( t., t.+ Δ t.) Bu tür kısa olayların olasılığının emri olduğu anlamında yasaktır hakkında(Δ t.).

Zaman zaman sürekli üreme ve ölüm sürecinin olma olasılığı t. bir devlette bulunur E I. (Nüfus hacmi eşittir bEN.) doğrudan (16) 'den olarak belirlenir

Oldukça durumdaki durumdaki diferansiyel denklem sistemini çözmek için, olasılıklar P i.(t.), bEN.\u003d 0,1,2, ..., zamana bağlı olarak, başlangıç \u200b\u200bolasılıklarının dağılımını ayarlamak gerekir. P i.(0), bEN.\u003d 0,1,2, ..., ne zaman t.\u003d 0. Ek olarak, normalizasyon koşulu tatmin edilmelidir.

Şekil 4. Üreme ve ölüm süreci için geçiş yoğunluğunun sayısı.

Şimdi bir işlem olarak tanımlanan en basit saf üreme işlemini düşünün. m. BEN. \u003d 0 herkes için bEN.. Ek olarak, görevin daha da basitleştirilmesi için, varsayalım l. BEN.=l. hepsi için bEN.\u003d 0,1,2, .... Bu değerleri denklemde yerine koymak (18)

Sadelik için, sürecin sıfır üyelerin sıfır bir anda başladığını varsayıyoruz, yani:

Buradan P 0(t.) Bir karar alırız

P. 0 (t.)=e. - L. T..

Bu çözeltinin denklemine (19) yerine bEN. \u003d 1, denklemden gel

.

Bu diferansiyel denklemin çözümü açıkça formu var

P. 1 (t.)= l.te - L. T..

.

Bu tanıdık bir Poisson dağıtımıdır. Böylece, sabit yoğunluğa sahip saf üreme süreci l. Poisson işlemini oluşturan doğum dizisi ile sonuçlanır.

Pratik terimlere en büyük ilgi, ıslah sürecinin durumlarının olasılıklarını ve istikrarlı modda ölümünü temsil eder. Sürecin bir Ergodic özelliğine sahip olduğunu varsayarsak, yani. Sınırlar var sınır olasılıklarının tanımına dönelim. P i..

Sabit bir modun olasılıklarını belirlemek için denklemler doğrudan (18) 'den (18)' den elde edilebilir. dP I.(t.)/dt. \u003d 0 ile:

Elde edilen denklem sistemi normalizasyon koşulu ile ilgili olarak çözülür.

Üretim ve ölüm sürecinin belirlenmiş modu için denklemler (21) sistemi, Şekil 4'teki yoğunluk grafiği yoluyla doğrudan yapılabilir. Örneğin, durumu düşünürseniz E. BEN. Kararlı modda, sonra:

olasılık akışının yoğunluğu ve

olasılık akışının yoğunluğu .

Bir denge durumunda, bu iki iplik eşit olmalı ve bu nedenle doğrudan

Ancak bu sadece sistemdeki ilk eşitliktir (21). Benzer şekilde, sistemin ikinci eşitliğini alabilirsiniz. Daha önce gösterilen akışın korunmasında aynı muhakeme, herhangi bir kapalı kenarlıkla olasılık akışına uygulanabilir. Örneğin, her durumu tahsis etmek ve bunun için bir denklem yapmak yerine, önce durumu kapsayan kontur sırasını seçebilirsiniz. E 0İkinci durum E 0 ve E 1.vb., vb., her zaman yeni bir sınır bir sonraki durum dahil. Bundan dolayı bEN.-O kontur (çevre durumu E 0, E 1., ..., E I. -1 ) Olasılık akışını koruma koşulu, aşağıdaki basit biçimde yazılabilir:

.

Elde edilen denklem sistemi, daha önce azaltılmaya eşdeğerdir. Son denklem sistemini derlemek için, komşu durumları ayıran dikey bir çizgi yapılması ve akışları ortaya çıkan sınırla eşitlemek gerekir.

Sistemin çözeltisi (23) matematiksel indüksiyonla bulabilirsiniz.

İçin bEN.\u003d 1 biz var:

için bEN.=2:

için bEN.=3:

vb.

Elde edilen eşitlik türü, Denklem Sisteminin genel çözümünün (23) formu olduğunu göstermektedir.

veya, tanımı gereği, boş bir set üzerindeki çalışmalar bir

Böylece tüm olasılıklar P i. Sabit rejim için, bilinmeyen sabit olarak ifade edilen P. 0 . Eşitlik (22) belirlemek için ek bir durum verir P 0. Sonra, hepsini özetliyor bEN.için P 0 Alıyoruz:

Sabit olasılıkların varlığı sorusuna dönelim. P i.. Elde edilen ifadelerin olasılıkları ayarlaması için, gereksinim genellikle üst üste gelmesidir. P. 0 \u003e 0. Bu, ilgili denklemlerde çoğaltma ve ölüm katsayıları üzerine bir kısıtlama getirir. Esasen sistemin bazen boş olması gerekir; Bu istikrar koşulu, gerçek yaşam örneklerine dönerseniz çok makul görünüyor. Aşağıdaki iki miktarını tanımlarız:

Tüm devletler E I. Üreme ve ölüm süreci, eğer ve sadece ne zaman olursa olsun Ergodi olacaktır. S 1 < и S 2. \u003d. Sadece ergodic vaka, kurulan olasılıklara yol açar P i., bEN. \u003d 0, 1, 2, ... ve bu durum ilgi çekicidir. Ergodicity koşullarının yalnızca, bazılarından başladığında yapıldığını unutmayın. bEN., tüm sekans üyeleri () birim ile sınırlıdır, yani. Bazı olduğunda ben 0. (ve bazı Dan<1) такое, что для всех iI 0. Eşitsizlik yapılır:

Giriş

Bu yazıda, sürekli Markov zincirlerinin şeması dikkate alınacaktır - "ölüm ve çoğaltma diyagramı" olarak adlandırılır.

Üreme ve ölüm süreci, ayrık veya sürekli bir zamanda akan sayılabilir (sonlu veya sonsuz) bir durum kümesiyle rastgele bir işlemdir. Zamanın rastgele anlarındaki bir sistemin bir devletten diğerine geçmesi ve bazı olaylar meydana geldiğinde devletler arasındaki geçişler bir atlama ile gerçekleşir. Kural olarak, bu olaylar iki türdür: bunlardan biri şartlı olarak bazı nesnelerin doğumu denir ve ikincisi bu nesnenin ölümüdür.

Bu konu, Markov süreçlerinin ekonomik, çevresel ve biyolojik süreçlerin çalışmasında yüksek olması nedeniyle son derece alakalıdır, ek olarak, Markov işlemleri, şu anda çeşitli ekonomik alanlarda aktif olarak kullanılmakta olan kütle hizmeti teorisinin kalbindedir. işletmedeki süreçlerin yönetimi dahil.

Markov Ölüm ve Üreme Süreçleri, fizik, biyosfer, ekosistem vb. İçinde meydana gelen çeşitli süreçleri açıklamada yaygın olarak kullanılır. Bu tür bir Markov işlemlerinin adını tam olarak, özellikle çeşitli popülasyonların ölümünü ve çoğaltılmasını modellerken, biyolojideki yaygın kullanım nedeniyle adını tam olarak aldığı belirtilmelidir.

Bu makale, amacı, bazı üreme ve ölüm süreçleri için matematiksel beklentileri tanımlamak için görevlendirilecektir. Sabit modda sistemdeki ortalama uygulama sayısının hesaplanmasının örnekleri ve tahminler çeşitli ıslah ve ölüm süreçleri için yapılmıştır.

Üreme ve ölüm süreçleri

Üreme ve ölüm süreçleri, yine de, işleyişin stokastik yapısına sahip ayrık sistemlerin çalışmasında çok yaygın olarak kullanılan özel bir Markov rastgele işlemleridir. Üreme ve ölüm süreci, E, E - 1, E ve E I ve I + 1'in bitişik durumlarında, ET'nin E - 1, E ve E i + 1 durumlarında izin verilecek bir Markov rastgele işlemidir. Üreme ve ölüm süreci, biyolojik popülasyonların hacminde meydana gelen değişiklikleri tanımlamak için yeterli bir modeldir. Bu modelin ardından, nüfusun hacmi üyelere eşitse, işlemin E durumunda olduğu söylenir. Bu durumda, E DEĞERİNDEN DEĞİŞİMİN ETKİSİNE GÖREĞİNE GERÇEKLEŞTİRİLMESİNE KADİR ve E I-1 - ÖLÜMÜ ÖLÜME, Nüfusun Hacminin Değiştirmeyeceği varsayılmaktadır. bir; Bu, üreme süreçleri ve ölüm için birden fazla eş zamanlı doğum ve / veya ölümün izin verilmediği anlamına gelir.

Ayrık üreme süreçleri ve ölüm sürekliden daha az ilginçtir, bu nedenle gelecekte detaylı olarak kabul edilmezler ve sürekli süreçlere odaklanır. Ancak, neredeyse paralel hesaplamaların ayrık süreçler için geçtiği belirtilmelidir. Üretim sürecinin ve ölüm sürecinin E durumundan geçişi E, e devlete geri döner, sadece ayrık zincirler Markov için derhal ilgiyi temsil eder; Sürekli durumda, işlemin akım durumuna döndüğü yoğunluğu sonsuzluğa eşittir ve bu sonsuzluk hariç tutuldu ve aşağıdaki gibi tanımlandı:

Üretim ve ölüm süreci durumunda, devletler arasındaki geçiş olasılığının ayrık bir süreiyle

Burada d ben bir sonraki adımda (biyolojik nüfus açısından), nüfusun hacminin bu adıma eşit olması şartıyla, nüfusun hacmini azaltan bir ölüm olmanın olasılığıdır. Benzer şekilde, b ben bir sonraki adımda doğum olasılığı, nüfusun hacminde bir artışa yol açar; Bu olayların hiçbirinin gerçekleşmediği ve bir sonraki adımda nüfusun hacmi değişmeyeceği olasılığıdır. Sadece bu üç olasılıklara izin verilir. Bir çeşit ölürse, ölüm gelemediğinden beri açıktır.

Bununla birlikte, karşı ağırlıkta, popülasyonda tek bir üye olmadığında doğum olasılığına karşılık gelen sezgine izin verilir. Bu, kendiliğinden bir doğum veya ilahi yaratma olarak kabul edilebilir olmasına rağmen, ancak ayrık sistemler teorisinde böyle bir model tamamen anlamlı bir varsayımdır. Yani, model böyledir: Nüfus, sistemde iddiaların bir akışıdır, ölüm, sistemin gereksiniminin bakımı anlamına gelir ve doğum, sisteme yeni talebe karşılık gelir. Böyle bir modelde ücretsiz sisteme yeni bir gereklilik (doğum) girmek oldukça mümkün olduğu açıktır. Genel üreme ve ölüm süreci için geçişlerin olasılık matrisi aşağıdaki forma sahiptir:

Markov zinciri final ise, matrisin ikinci satırı formda yazılır; Bu, nüfusun maksimum ses seviyesine ulaştıktan sonra çoğaltılmanın izin verilmediğine karşılık gelir. Matris T, yalnızca ana çapraz köşede ve en yakın iki köşesine sıfır üye içerir. Böyle özel bir matris türü nedeniyle, üreme ve ölüm sürecinin analizinin zorluklara neden olmamasını beklemek doğaldır. Daha sonra, yalnızca, E, E I-1 (ölüm) ve E i + 1 (doğum) 'nın, E Date'ten geçişlerin mümkün olduğu sürekli çoğaltma ve ölüm süreçlerini düşüneceğiz. İ üreme yoğunluğu ile belirtir; I Nüfusundaki reprodüksiyonun ortaya çıktığı hızı açıklar. Benzer şekilde, ben aracılığıyla, ölümün yoğunluğunu, ölümün biriminin hacminde meydana geldiği hızı belirten hızı gösterir. Tanıtılan üreme yoğunluğunun ve ölümün zamana bağlı olmadığını ve bu nedenle E durumuna bağlı olduğuna dikkat edin, bu nedenle, sürekli bir homojen Markov tipi üreme ve ölüm zinciri elde ediyoruz. Bu özel atamalar tanıtılır, çünkü doğrudan ayrık sistemler teorisinde benimsenen gösterime yol açarlar. Önceden girilen atamalara bağlı olarak:

i \u003d q i, i + 1 ve i \u003d q i, i-1.

Sadece en yakın bitişik durumlarda kabul edilebilen geçişlerin gerekliliği, gerçeğine dayanarak

q ii \u003d - (i + i) elde ediyoruz. Böylece, genel bir homojen üreme ve ölüm sürecinin geçiş yoğunluğunun matrisi formu alır:

Ana çapraz köşegen ve komşu hariç ve yukarıdan, matrisin tüm elemanlarının sıfır olduğuna dikkat edin. İlgili geçiş yoğunluğunun karşılık gelen grafiği karşılık gelen Şekil (2.1):

Şekil 2.1 - Üreme ve ölüm süreci için geçiş yoğunluğunun sayısı

Sürekli ıslah sürecinin ve ölüm sürecinin daha doğru bir şekilde belirlenmesi aşağıdaki gibidir: Bazı süreçler, birçok eyalette bir Markov'un homojen bir zinciri ise, bir üreme ve ölüm sürecidir (E 0, E 1, E 2, ... ), doğum ve ölüm bağımsız olaylar ise (bu doğrudan Markov özelliğinden takip eder) ve aşağıdaki koşullar karşılanırsa:

(tam olarak 1 doğum zaman aralığında (T, T + DT), nüfus hacmi i);

(tam olarak 1 ölüm zaman aralığında (T, T + DT) | nüfus hacmi i) i);

(Tam olarak 0 doğum zaman aralığında (T, T + DT) | Nüfusun hacmi i) i);

\u003d (Zaman aralığında tam olarak 0 ölüm (T, T + DT) | Nüfusun hacmi i) i).

Dolayısıyla ,? T Dolahi, n bir Nüfusun Nüfusunda yeni bir bireyin doğum olasılığı, A - bu popülasyondaki bireylerin ölümünün olasılığı zaman içerisinde.

Geçiş olasılıkları, Kolmogorov'un zıt denklemlerini yerine getirir. Böylece, T döneminde sürekli çoğaltma ve ölüm sürecinin durumdayken (i) 'e eşit nüfus hacmi (2.1) olarak belirlenmesi olasılığı:

Düşüngen olmayan durumlarda elde edilen diferansiyel denklem sistemini çözmek için, Olasılıklar PI (T), I \u003d 0,1,2, ..., zamana bağlı olduğunda, ilk olasılıkların dağıtımını belirtmek için gereklidir. (0), i \u003d 0,1,2, ..., t \u003d 0'da. Ek olarak, normalizasyon koşulu tatmin edilmelidir.

Şimdi, I \u003d 0 için I \u003d 0 için bir işlem olarak tanımlanan en basit saf üreme işlemini düşünüyoruz. Ek olarak, sorunun daha da basitleştirilmesi için, olduğumu varsayalım, ben \u003d her şey için i \u003d 0,1,2, .... Bu değerleri denklemde yerine koymak (2.1) (2.2):

Sadelik için, sürecin sıfır üyelerin sıfır bir anda başladığını varsayıyoruz, yani:

Buradan p 0 (t) için bir çözüm alıyoruz:

Bu çözümü denklem (2.2) i \u003d 1 olarak yerine koymak, denklemde varıyoruz:

Bu diferansiyel denklemin çözümü açıkça formu vardır:

Bu tanıdık bir Poisson dağıtımıdır. Böylece, sabit yoğunluklu saf üreme süreci, Poisson akışını oluşturan bir doğum sırasına neden olur.

Pratik terimlere en büyük ilgi, ıslah sürecinin durumlarının olasılıklarını ve istikrarlı modda ölümünü temsil eder. Sürecin ergodik bir özellik olduğunu varsayarsak, yani sınırlar var

sınır olasılıklarının tanımına dönüyoruz. Sabit rejimin olasılıklarının belirlenmesi için denklemler, DP I (T) / DT \u003d 0 ile birlikte verilen (2.1) 'den doğrudan elde edilebilir:

Elde edilen denklem sistemi normalizasyon koşulu ile ilgili olarak çözülür (2.4):

Çoğaltma ve ölüm sürecinin belirlenen modu için denklemler (2.3) sistemi, Şekil 2.1'deki geçişlerin yoğunluğunun grafiğiyle doğrudan yapılabilir, olasılık akışlarının eşitliği prensibini, işlemin ayrı bir durumuna uygulanabilir. Örneğin, E düğmesinin istikrarlı modda olduğunu düşünüyorsanız, o zaman:

olasılık akışının yoğunluğu ve

olasılık akışının yoğunluğu.

Denge durumunda, bu iki akış eşit olmalı ve bu nedenle doğrudan alıyoruz:

Ancak bu tam olarak sistemdeki ilk eşitliktir (2.3). Benzer şekilde, sistemin ikinci eşitliğini alabilirsiniz. Daha önce gösterilen akışın korunmasında aynı muhakeme, herhangi bir kapalı kenarlıkla olasılık akışına uygulanabilir. Örneğin, her durumu vurgulamak ve bunun için bir denklem yapmak yerine, birincisi, E 0'ı kapsayan, ikincisi, ikinci durum e 0 ve e 1, vb. Dahil olmak üzere, konturlar dizisini seçebilirsiniz. Yeni sınırda her seferinde bir sonraki durum. Sonra I-inci konturu için (çevre durumu E 0, E 1, ..., E I-1), olasılık akışının korunması aşağıdaki basit biçimde yazılabilir:

Eşitlik (2.5) kural olarak formüle edilebilir: Uyum modunda en basit çoğaltma ve ölüm sistemi için, herhangi bir iki bitişik durum arasındaki olasılık akışları eşittir.

Elde edilen denklem sistemi, daha önce azaltılmaya eşdeğerdir. Son denklem sistemini derlemek için, komşu durumları ayıran dikey bir çizgi yapılması ve akışları ortaya çıkan sınırla eşitlemek gerekir.

Sistemin çözeltisi (2.5) matematiksel indüksiyonla bulabilirsiniz.

I \u003d 1'de sahibiz

Elde edilen eşitlik türü, Denklem Sisteminin (2.5) genel çözümünün formu olduğunu göstermektedir:

veya, tanımı gereği, boş bir set üzerindeki çalışma birdir:

Dolayısıyla, sabit modun içindeki tüm olasılıklar sadece bilinmeyen sabit P 0 ile ifade edilir. Eşitlik (2.4), p 0 belirlemek için ek bir durum verir. Sonra, tümü özetlemek, P 0 için (2.7):

Sabit olasılıkların varlığı konusundaki sorununa dönelim. Olasılıkların belirtildiği ifadeler için, gereksinim genellikle p 0\u003e 0 olacak şekilde üst üste getirilir. Bu, ilgili denklemlerde çoğaltma katsayıları ve ölümüne bir kısıtlama getirir. Esasen sistemin bazen boş olması gerekir; Bu istikrar koşulu, gerçek yaşam örneklerine dönerseniz çok makul görünüyor. Eğer karşılaştırıldığında çok hızlı büyürse, bitiş noktasında T sonunda pozitif olasılıkla, işlemin faz boşluğunu (0.1, ...) "sonsuz uzak bir noktada mı?" (Nüfusundaki bireyler çok fazla olacaktır). Başka bir deyişle, işlem düzenli olmayacak ve daha sonra eşitlik (2.4) kırılacaktır. Aşağıdaki iki miktarını tanımlarız:

Üreme ve ölüm sürecinin düzenliliği için, gereklidir ve S2 \u003d.

Sabit dağılımının varlığı için, gereklidir ve S 1'e yeterli< .

Söz konusu işlem sürecinin tüm durumları için, söz konusu işlemin ve ölümler ergoodiydi ve SERS 1'in yeterli yakınsamı vardı.< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Bu eşitsizliğin basit bir yorum verilebilir: bazı durumlardan başlayarak ve sonraki tüm durumlar için, üreme akışının yoğunluğu, ölüm akışının yoğunluğundan daha az olmalıdır.

Bazen pratikte "saf" çoğaltma işlemleri vardır. "Saf" çoğaltma işlemi, tüm ölüm akışlarının yoğunluğunun sıfır olduğu bir ölüm ve çoğaltma sürecidir. Devlet sayısını sınırlandırmadan böyle bir işlem durumlarının grafiği Şekil (2.2):

Şekil 2.2 - "Saf" çoğaltma işlemi için geçiş yoğunluğunun grafiği

Benzer şekilde, "temiz" ölüm kavramı tanıtıldı. "Temiz" ölüm süreci, tüm üreme akışlarının yoğunluğunun sıfır olduğu gibi bir ölüm ve çoğaltma süreci denir. Devlet sayısını sınırlamadan böyle bir işlemin durumlarının grafiği Şekilde gösterilir:

Şekil 2.3 - "Saf" ölüm süreci için geçiş yoğunluğunun sayısı

Bu tür işlemler için Kolmogorov denklem sistemi, akış işleminin tüm yoğunluğunu sıfıra eşit hale getirilmesi gereken denklemler (2.1) sisteminden elde edilebilir:.

Çeşitli pratik görevlerde sıklıkla bulunan ölüm ve çoğaltma şeması denilen sürekli Markov zincirlerinin bir tipik şemasını düşünün.

Ayrık devletler ile Markov işlemi S 0, s 1, ..., S denir Ölüm ve Üreme, Tüm eyaletler orta durumların her birinin (her birinin) bir zincir içine çekilebilirse ( S 1, s 2, ...,
S n -1.) Sadece, sırayla, geri dönüp aşırı eyaletlerde komşu eyaletlere gidebilirler ( S 0 ve sn) Sadece komşu durumlara gidin (Şek. 3.7).

İsim, nüfusun durumunun olduğu biyolojik problemlerden alınır. S K. İçindeki varlığı demektir k. bireylerin birimleri.

Sağdaki geçiş, birimlerin çoğaltılmasıyla ve soluncusu ile ilişkilidir.

İncir. 3.7. Ölüm ve çoğaltma süreci için devletler saymak

l 0 (t), l 1 (t), l 2 (t), ..., l n (t)- üreme yoğunluğu;

m1 (t), m2 (t), ..., m n (t) - ölüm yoğunluğu.

W. l. ve μ bu durumun indeksi, okun çıktığı.

Bir devletle S K. Rasgele olmayan değer bağlı X K.: Eğer sistem S. Zaman zaman t. bir devlette bulunur S K., sonra ayrık rastgele değer X (t)sistemin işleyişiyle ilişkili değeri alır k.. Böylece rastgele bir süreç elde ediyoruz X (t), Rastgele, önceden bilinmeyen zaman anlarında, zıplama durumunu değiştirir.

Markov Süreci sürekli zamanla ölmek ve üreme Sadece diğer negatif olmayan değerlerin alabileceği rastgele bir işlem denir. Bu işlemdeki değişiklikler herhangi bir zamanda, yani herhangi bir zamanda oluşabilir, her zaman, bir tarafından artabilir veya bir tarafından bir azalabilir veya değişmeden kalabilir.

Uygulamada, saf üreme ve saf ölüm süreçleri vardır. Saf üreme süreci, tüm ölüm akışlarının yoğunluğunun sıfır olduğu ölüm ve çoğaltma sürecidir; Saf "ölüm" sürecine benzer şekilde, tüm üreme akışlarının yoğunluğunun sıfır olduğu gibi bir ölüm ve çoğaltma süreci denir.

Örnek 1.Büyük bir nakliye şirketi (işletmede) bir markanın otomobil modellerinin çalışmasını düşünün. Kargo makbuzunun işletmeye yoğunluğu eşittir l (t). Şirkete girilen her araba uygun zamanlarda yazılmıştır. T C.. Hizmet hayatı t. parametre ile gösterge yasası açısından dağıtılmış m.. Araba çalışma süreci rastgele bir süreçtir. A (t) - O zaman zamanda bu markanın arabanın sayısı t.. Rastgele sürecin dağılımının tek boyutlu bir kanunu buluruz. P i (t) \u003d P (a (t) \u003d i), Eğer: 1) işletmede işletilen makinelerin sayısı üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, 2) işletmede çalıştırılamaz n. arabalar.

Karar.

1. Arabaların rastgele çalışma süreci, birleştirilen grafiğin, Şekil 2'de sunulduğu ölüm ve çoğaltma sürecidir. 3.8.

İncir. 3.8. Sayıları saymak

Bu grafiğe karşılık gelen Kolmogorov denklemlerinin sistemi şeklidir.

nerede bEN. = 1, 2, …

İlk zaman anında t. \u003d 0 Şirkette tek bir araba yoktu, sonra bu denklem sistemini ilk koşullar altında çözmek gerekir. P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (bEN. \u003d 1, 2, ...). Eğer t. \u003d 0 işletmede k. arabalar ( k. \u003d 1, 2, ...), sonra ilk koşullar görüntülenecektir

P (0) = 1, P i (0) = 0 (bEN. = 1, 2, …, ben ¹ K.).

2. Şirket, bir markanın daha fazla deniz motomotiv modelinde çalıştırılamazsa, sınırlı sayıda eyalette ölüm ve çoğaltma işlemi, işaretli grafik Şekil 2'de gösterilmiştir. 3.9.

İncir. 3.9. Sayıları saymak

İşaretli grafik için Kolmogorov denklemlerinin sistemi (Şekil 3.9) formu (3.4) sahiptir.

Bu sistem yukarıda tartışılan ilk koşullar altında çözülmelidir. Denklem sistemlerinin (3.4) ve (3.5) çözümleri tek boyutlu dağıtım yasalarıdır. P i (t). Genel formdaki sistemlerin çözümlerini rastgele biçimde tanıtmak l (t) Önemli zorluklar sunar ve pratik bir uygulaması yoktur.

Ölüm ve üreme akışlarının sürekli yoğunlukları ve nihai devlet sayısı ile sabit bir rejim olacaktır. Sistem S. Sonlu sayıda eyalette ( n. + 1), ölüm ve çoğaltma sürecinin sürekli olarak ölüm ve çoğaltma ilerlemelerinin sabit yoğunluğuyla çoğaltılması en basit ergoodik sistemdir. Böyle bir sistem için yerleşik devletlerin grafiği, Şekil 2'de sunulmuştur. 3.9.

Durumların sınır (final) olasılıkları, sabit modda olan en basit ölüm ve çoğaltma işlemi için, aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Kural. Olasılık k.-Görün, ölüm ve üreme planında, sola bakan üremenin tüm yoğunluğunun ürününe değecek sayısına göre fraksiyona eşittir. S K.ve payda - solun ölümünün tüm yoğunluğunun işi S K.sistemin kapalı sol halinin olasılığı ile çarpılır P 0.

Kargonun yoğunluğu kalıcı ise, sabit bir rejim için önceki örnekte l (t) \u003d l \u003d const), daha sonra devletlerin nihai olasılıkları, işletmedeki otomobil sayısı üzerinde herhangi bir kısıtlama olmaması şartıyla eşittir.

Aynı zamanda, işletilen otomobillerin sayısının matematiksel beklentisi dağılımına eşittir:

M \u003d d \u003d l/m. (3.10)

Eğer işletmedeki araba sayısında bir sınır varsa (daha fazla n.), Nihai olasılıklar bu formda yazılabilir:

nerede ρ = l./m..

nerede k. = 0, 1, 2, ..., n..

Sabit modda işletilen otomobillerin sayısının matematiksel beklentisi

Örnek 2.Akış hattı dört makine içerir. Dört porsiyon personelinin tugamı, her birinin koruyucu onarımını tutar. Tüm tugay için tamirin sonunun sonundaki toplam anların akışı - yoğunluğu olan poisson l (t). Onarımı tamamladıktan sonra, makine kontrol edilir; Olasılıkla R İş yapılabilir (kontrol süresi yeterli değil ve önleme süresi ile karşılaştırıldığında ihmal edilebilir). Makine çalışmaz hale gelmesi durumunda, önlenmesi tekrar (daha önce yapıldığına bağlı olmadığı zaman), vb. İlk anda, tüm makinelerin profilaktik onarımlara ihtiyacı vardır. Gerektirir:

1. Sistem için bir durum grafiği oluşturun S. (Dört makine).

2. Devletlerin olasılığı için diferansiyel denklemler yazın.

3. Makine sayısının matematiksel beklentisini bulun M T., zamana göre önlenmenin izleyicisi t..

Karar.

Sayım durumları, Şekil 2'de gösterilmiştir. 3.10, içinde:

S 0 - Dört makinenin tümü profilaktik onarımlara ihtiyaç duyar;

S 1 - Bir makine başarıyla profilaktik geçti ve üç ihtiyaç profilaktik onarım;

S 2. - İki makine başarıyla profilaksiyi geçti ve iki hastaya profilaktik onarım;

S 3. - Üç makine başarıyla geçti profilaksiyi geçti, birinin önleyici tamir ihtiyacı var;

S 4. - Dört makinenin hepsi başarıyla önleme geçti.

İncir. 3.10. Sistem durumu grafiği

Her önleyici tamir başarıyla bir olasılıkla biter P.Bu eşdeğerdir P.-Bir onarımların sonunun sonuna kadar, sonra poisson kalacak, ancak yoğunluğu olan Pl (t). Bu örnekte, sınırlı sayıda eyalette saf üreme süreci ile uğraşıyoruz.

Kolmogorov denklemleri aşağıdaki gibidir:

Başlangıç \u200b\u200bkoşulları P 0 (0) = 1, P 1 (0) = … = P 4 (0) \u003d 0 sabit yoğunluklu l (t) \u003d l ve olasılıklar aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Disk sayısının matematiksel beklentisi, T, T, eşit, profilaksiyi başarıyla geçti.

nerede n. = 4.

Örnek 3. Fabrikada araba üretimini düşünün. Üretim Akışı - Yoğunluğu olan Durumsuz Poisson l (t). Rastgele süreçle tek boyutlu dağıtım yasasını buluruz X (t) - Zamana göre serbest bırakılan araba sayısı t.Şu anda ise t.\u003d 0 Araba sürümüne başladı.

Karar

Açıkçası, işte devlet sayısına göre sınırlandırılmadan saf üreme sürecidir. l i (t) \u003d l (t)Araba salımının yoğunluğu, ne kadar önce serbest bırakıldıklarına bağlı değildir. Böyle bir işlem durumlarının grafiği, Şekil 2'de gösterilmiştir. 3.11.

İncir. 3.11. Sayıları saymak

Rastgele sürecin dağılımının bir boyutlu yasası X (t) Şekil 2'de gösterilen grafik için. 3.11, aşağıdaki Kolmogorov denklemleri sistemiyle belirlenir:

Araba sayısından bu yana X (t) sabit bir anda t. Parametre ile Poisson yasası tarafından dağıtıldı

M \u003d d \u003d a (t).

Bu örnekte gözden geçirilen işlem X (t) aranan homojen olmayan poisson süreci. Yoğunluk varsa l (t) \u003d l \u003d const, Alırım poisson üniforma süreci. Böyle bir işlem için ne zaman P 0 (0) = 1, P i (0) \u003d 0 (i\u003e 0)

Poisson sürecinin özellikleri olacak

M \u003d d \u003d l × t.

Görev 1.Dört düğümden oluşan bir cihaz var; Başarısızlık akışı en basittir, her bir düğümün sorunsuz çalışmalarının ortalama süresi 11 saattir. Reddedilen düğüm hemen onarılmaya başlar; Düğümün ortalama onarımı 2 saattir. (İyileşme akışı en basit). Dört çalışma düğümünde% 100 ise, aygıtın% 60'ında, aygıtın her iki veya daha azında çalışmadığı takdirde, cihazın ortalama verimliliğini bulun.