Ang isa sa mga pinakamahalagang kaso ng mga chain ng Markov ay kilala bilang proseso ng kamatayan at pagpaparami. Ang prosesong ito ay maaaring may discrete o tuluy-tuloy na oras, at ang kondisyon na tinutukoy na ang mga transition ay pinapayagan lamang sa mga kalapit na estado.

Isaalang-alang ang proseso ng kamatayan at pagpaparami sa patuloy na oras. Ang ganitong proseso ay isang modelo ng mga pagbabago sa populasyon.

Ang proseso ay nasa isang estado Sa kanya, Kung ang dami ng populasyon (numero) ay katumbas ng; Paglipat sa kondisyon EC. tumutugma sa pagkamatay ng isang miyembro ng populasyon, at ang paglipat sa estado EC +. - Kapanganakan.

Ang prosesong ito ay maaaring matingnan bilang isang modelo ng SMO kung saan EC.tumutugma sa to. mga application sa system, at ang paglipat sa isang estado Ek- O. EC +. - Pangangalaga ng application mula sa system o pagdating nito.

Para sa proseso ng kamatayan at pagpaparami sa maramihang mga estado 0, 1.2, ... ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat gumanap:

Dito P (+ i; bt; k) - Probability. i. Mga kapanganakan para sa oras bt. sa kondisyon na ang numero ng populasyon ay pantay to.; P (-i; bt; k) - Probability. i. Pagkamatay sa ilalim ng parehong mga kondisyon.

Ayon sa mga kundisyong ito, maraming kapanganakan, maraming kamatayan at sabay-sabay na kapanganakan at kamatayan para sa isang maliit na tagal ng panahon ay ipinagbabawal sa diwa na ang posibilidad ng maraming mga kaganapan ay may pagkakasunud-sunod ng maliit na maliit (6G). Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng pamamahagi ng exponential, tulad ng ipinapakita nang mas maaga.

Nakita namin ang posibilidad na ang dami ng populasyon sa ilang punto sa oras ay pantay sa p (k, t) \u003d P.

Isaalang-alang ang pagbabago sa dami ng populasyon sa agwat ng oras (T, T. + 5 /). Sa oras ng oras t + bt. Magagawa ang proseso sa, Kung ang isa sa tatlong kapwa eksklusibong bawat isa ay naganap at bumubuo ng isang buong pangkat ng mga kaganapan:

• 1) sa oras ng oras t. Ang dami ng populasyon ay katumbas ng: at sa panahon bt. Ang kalagayan ay hindi nagbago;
• 2) sa oras ng oras t. Ang dami ng populasyon ay pantay sa - 1 at sa panahon bt.ang isang miyembro ng populasyon ay ipinanganak;
• 3) sa oras ng oras t. Ang dami ng populasyon ay pantay to. + 1 at sa panahon bt.namatay ang isang miyembro ng populasyon.

Pagkatapos ay ang posibilidad na sa oras ng oras t + bt. Magagawa ang proseso Ek, pantay

Ang nabawasan na pagkakapantay-pantay ay may katuturan lamang kung kailan k\u003e Oh, dahil ang populasyon ay hindi maaaring binubuo ng (-1) na miyembro. Pagkakapantay-pantay ng hangganan to. \u003d O may form:

Bilang karagdagan, ang kondisyon ng normalisasyon ay dapat isagawa

Paglalaan sa mga equation (49.3) at (49.5) p (k) at pagbabahagi sa BK. Tumanggap

Lumipat sa limitasyon kung kailan bt. -\u003e 0, mayroon kami:

Kaya, ang probabilistic na proseso na pinag-uusapan ay inilarawan ng sistema ng linear differential equation. Ang mga equation na ito ay maaaring makuha nang direkta batay sa tsart ng estado (Larawan 49.2).

Larawan. 49.2.

kondisyon EK na tinutukoy ng hugis-itlog kung saan isinulat ang bilang sa.Ang mga transition sa pagitan ng mga estado ay tinutukoy ng mga arrow kung saan ipinakita ang mga intensidad ng mga transisyon.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng intensity na kung saan ang sistema ay pumapasok sa estado Ek, At ang intensity na kung saan ito dahon ito ay dapat na katumbas ng intensity ng daloy ng pagbabago sa estado na ito.

Stream intensity sa estado

Daloy intensity mula sa estado ~

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng epektibong intensity ng probability stream sa isang estado

Ang solusyon sa sistemang ito ay karaniwang imposible. Ang modelo kahit na isang simpleng sistema ay lubhang kumplikado at mahirap na pinag-aralan. Kung isaalang-alang namin ang SMO mas kumplikadong species, pagkatapos ay ang mga problema sa computational ay magiging mas mataas. Samakatuwid, ang mga solusyon sa sistema (49.3) - (49.4) ay karaniwang itinuturing (49.4) sa matatag na mode t. -\u003e oo, p "(k; t) -> 0, p (k, t) -> p (k) \u003d const.

Proseso ng purong pag-aanak

Para sa prosesong ito P * \u003d O, A * \u003d A \u003d const. Maaari itong matingnan bilang isang modelo ng daloy ng mga application na natanggap sa SMO. Ang sistema ng mga equation para sa prosesong ito ay may form:

Hayaan ang mga unang kondisyon ay ang mga sumusunod:

Pagkatapos at para sa k \u003d. 1 Nakukuha namin: ejr.

Ang solusyon sa equation na ito ay. r.(; /) \u003d A / exp (-d sa induction ay maaaring makuha na

Kaya, ang mga probabilidad ay ipinamamahagi sa ilalim ng batas ng Poisson.

Ang proseso ng Poisson ay tumatagal ng gitnang lugar sa mga pag-aaral ng SMO. Ito ay dahil, una, na may simplifying analytical at probabilistic properties; Pangalawa, inilalarawan nito ang maraming mga tunay na proseso na kinahinatnan ng pinagsama-samang epekto ng isang malaking bilang ng mga indibidwal na kaganapan.

Sa proseso ng Poisson, ang posibilidad ng pagbabago sa panahon (t, t \\ \\ ~ h) ay hindi nakasalalay sa bilang ng mga pagbabago para sa oras (0, t). Ang pinakasimpleng heneralisasyon ay tanggihan ang palagay na ito. Ipagpalagay na ngayon na kung para sa oras (0, t) ito ay isinasagawa, ang posibilidad ng isang bagong pagbabago para sa oras (t, t h) ay katumbas ng \\ nf plus ang termino ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod ng maliit na kumpara sa / g; Sa halip ng isang pare-pareho X, characterizing ang proseso, mayroon kaming isang pagkakasunod-sunod ng pare-pareho x0, xj, x2

Ito ay maginhawa upang ipakilala ang mas nababaluktot na terminolohiya. Sa halip na sabihin na ang mga pagbabago ay naganap sa panahon (0, t), sinasabi namin na ang sistema ay nasa isang estado ng EP. Ang isang bagong pagbabago ay dulot ng paglipat ng EP-\u003e EP + 1. Sa proseso ng dalisay na pagpaparami, ang paglipat mula sa EP ay posible lamang sa EP + 1. Ang ganitong proseso ay nagpapakilala sa mga sumusunod na postulates.

Postulates. Kung sa oras t, ang sistema ay nasa isang estado ng EP (p ~ 0, 1, 2, 2, ...), pagkatapos ay ang posibilidad na sa panahon ng oras (t, t -) - h) paglipat sa ep + 1 ay katumbas ng CP / G - ~ o (a). Ang posibilidad ng iba pang mga pagbabago ay may mas mataas na pagkakasunud-sunod ng maliit kaysa sa h.

") Dahil isinasaalang-alang namin ang positibong halaga, pagkatapos, mahigpit na nagsasalita, ang RP (t) sa (2.4) ay dapat isaalang-alang bilang tamang derivative. Ngunit sa katotohanan ito ay isang ordinaryong bilateral derivative. Sa katunayan, isang miyembro o (k) sa Formula (2.2) Hindi ito nakasalalay sa t at samakatuwid ay hindi magbabago kung ang T ay pinalitan ng T - H. Pagkatapos ang ari-arian (2.2) ay nagpapahayag ng pagpapatuloy, at (2.3) kaugalian, sa karaniwang kahulugan. Ang pangungusap na ito ay naaangkop at gagawin hindi paulit-ulit.

Ang isang natatanging katangian ng palagay na ito ay ang oras na ang sistema ay nagsasagawa sa anumang indibidwal na estado ay hindi naglalaro ng papel: gaano man katagal ang sistema ay nananatili sa isang estado, ang biglaang paglipat sa ibang estado ay nananatiling pareho.

Hayaan p "(t) maging posibilidad na sa sandaling ito t, ang sistema ay nasa isang estado ng EP. Ang mga pag-andar ng RP (T) ay nagbibigay ng kasiyahan sa sistema ng mga kaugalian equation na maaaring makuha gamit ang mga argumento ng nakaraang talata, na may tanging pagbabago na (2.2) ay pinalitan ng

Rp (t - \\ - h) \u003d rp (0 (1- v0 + rp-1 (0 \\ -ih + 0 (a) - (3.1)

Kaya, nakuha namin ang pangunahing sistema ng mga kaugalian equation:

p "n (t) \u003d -lnpn (t) + ln_xpn_x (t) ("\u003e 1),

P "0 (t) \u003d -L0p0 (t).

Maaari naming kalkulahin ang P0 (t) at pagkatapos ay sunud-sunod ang lahat ng PN (t). Kung ang katayuan ng system ay ang bilang ng mga pagbabago para sa oras (0, (), pagkatapos ay ang unang estado ay £ 0, kaya ang PQ (0) \u003d 1 at, samakatuwid, p0 (t) - e ~ sa "". Gayunpaman , hindi kinakailangan ang sistema mula sa estado £ 0 (tingnan ang halimbawa 3, b). Kung sa oras 0, ang sistema ay nasa isang estado ng £;

R. (0) \u003d 1. RP (0) \u003d 0 para sa n F I. (3.3)

Ang mga unang kondisyon na ito ay tumutukoy lamang sa mga solusyon;

2) PR [eksaktong 1 kamatayan sa agwat ng oras ( t.,t.+ Δ t.) | Ang dami ng populasyon ay pantay i.]= ;

3) PR [eksaktong 0 mga kapanganakan sa agwat ng oras ( t.,t.+ Δ t.) | Ang dami ng populasyon ay pantay i.]= ;

4) pr [eksaktong 0 kamatayan sa agwat ng oras ( t.,t.+ Δ t.) | Ang dami ng populasyon ay pantay i.]= .

Ayon sa mga pagpapalagay na ito, maraming kapanganakan, maraming kamatayan at sabay na kapanganakan at kamatayan para sa isang maliit na agwat ng oras ( t., t.+ Δ t.) ay ipinagbabawal sa kahulugan na ang posibilidad ng naturang maikling mga kaganapan ay may order tungkol sa(Δ t.).

Ang posibilidad na ang patuloy na proseso ng pag-aanak at kamatayan sa oras ng oras t. na matatagpuan sa isang estado E I. (dami ng populasyon ay pantay i.) ay determinado nang direkta mula sa (16) bilang.

Upang malutas ang nakuha na sistema ng mga kaugalian equation sa nonstationary kaso, kapag ang mga probabilidad P I.(t.), i.\u003d 0,1,2, ..., depende sa oras, ito ay kinakailangan upang itakda ang pamamahagi ng mga unang probabilidad P I.(0), i.\u003d 0,1,2, ..., kailan t.\u003d 0. Bilang karagdagan, ang kondisyon ng normalisasyon ay dapat nasiyahan.

Fig.4. Bilang ng mga intensidad ng paglipat para sa proseso ng pag-aanak at kamatayan.

Isaalang-alang ngayon ang pinakasimpleng proseso ng dalisay na pagpaparami, na tinukoy bilang isang proseso kung saan m. I. \u003d 0 para sa lahat i.. Bilang karagdagan, para sa mas malaking pagpapadali ng gawain Ipagpalagay na l. I.=l. para sa lahat i.\u003d 0,1,2, .... Substituting ang mga halagang ito sa equation (18) makuha namin

Para sa pagiging simple, ipinapalagay din namin na ang proseso ay nagsisimula sa isang zero na sandali sa mga zero na miyembro, iyon ay:

Mula dito para sa. P 0.(t.) Nakakuha kami ng desisyon

P. 0 (t.)=e. - L. T..

Substituting ang desisyon na ito sa equation (19) sa. i. \u003d 1, dumating sa equation.

.

Ang solusyon ng kaugalian na equation ay malinaw na may form

P. 1 (t.)= l.te. - L. T..

.

Ito ay isang pamilyar na pamamahagi ng Poisson. Kaya, ang proseso ng dalisay na pagpaparami na may patuloy na intensidad l. nagreresulta sa isang pagkakasunod-sunod ng mga kapanganakan na bumubuo sa proseso ng Poisson.

Ang pinakamalaking interes sa mga praktikal na termino ay kumakatawan sa mga probabilidad ng mga estado ng proseso ng pag-aanak at kamatayan sa matatag na mode. Ipagpapalagay na ang proseso ay may isang ergodic na ari-arian, i.e. May mga limitasyon hayaan nating buksan ang kahulugan ng mga probabilidad sa limitasyon. P I..

Ang mga equation para sa pagtukoy ng mga probabilidad ng isang hindi gumagalaw na mode ay maaaring makuha nang direkta mula sa (18), na ibinigay nito dP I.(t.)/dt. \u003d 0 may:

Ang nagresultang sistema ng mga equation ay nalutas tungkol sa kondisyon ng normalisasyon

Ang sistema ng mga equation (21) para sa itinatag na mode ng proseso ng pagpaparami at kamatayan ay maaaring direktang gawin sa pamamagitan ng intensity graph sa Fig. 4, paglalapat ng prinsipyo ng pagkakapantay-pantay ng mga daluyan ng probabilidad sa isang hiwalay na estado ng proseso. Halimbawa, kung isaalang-alang mo ang kondisyon E. I. Sa matatag na mode, pagkatapos:

ang intensity ng probability stream sa and

ang intensity ng probability flow mula sa. .

Sa isang estado ng punto ng balanse, ang dalawang thread na ito ay dapat na pantay, at samakatuwid ay direktang makuha

Ngunit ito lamang ang unang pagkakapantay-pantay sa sistema (21). Katulad nito, maaari mong makuha ang pangalawang pagkakapantay-pantay ng sistema. Ang parehong pangangatwiran sa pangangalaga ng daloy, na dati nang ipinakita, ay maaaring mailapat sa stream ng mga probabilidad sa pamamagitan ng anumang saradong hangganan. Halimbawa, sa halip na maglaan ng bawat estado at gumawa ng isang equation para dito, maaari mong piliin ang pagkakasunud-sunod ng contour, ang una ay sumasaklaw sa estado E 0.pangalawang - kondisyon E 0. at E 1., atbp, kabilang ang bawat oras ng isang bagong hangganan sa susunod na estado. Pagkatapos ay para sa i.-O contour (nakapalibot na estado E 0., E 1., ..., E I. -1 ) Ang kondisyon ng pagpapanatili ng daloy ng probabilidad ay maaaring nakasulat sa sumusunod na simpleng anyo:

.

Ang nagresultang sistema ng mga equation ay katumbas ng nabawasan nang mas maaga. Upang itala ang huling sistema ng mga equation, kinakailangan upang isakatuparan ang isang vertical na linya na naghihiwalay sa mga kalapit na estado, at katumbas ng mga stream sa pamamagitan ng resultang hangganan.

Ang solusyon ng sistema (23) ay matatagpuan sa pamamagitan ng mathematical induction.

Para sa i.\u003d 1 Mayroon kaming:

para sa i.=2:

para sa i.=3:

atbp.

Ang uri ng pagkakapantay-pantay na nakuha ay nagpapakita na ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga equation (23) ay may form

o, ibinigay na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang trabaho sa isang walang laman na hanay ay isa

Kaya lahat ng mga probabilidad P I. Para sa matatag na rehimen, ipinahayag sa pamamagitan lamang ng hindi kilalang pare-pareho P. 0 . Ang pagkakapantay-pantay (22) ay nagbibigay ng karagdagang kondisyon upang matukoy P 0.. Pagkatapos, summing up sa lahat i.para sa P 0. Nakukuha namin:

Hayaan nating buksan ang tanong ng pagkakaroon ng mga nakatigil na probabilidad. P I.. Para sa mga nakuha na expression upang itakda ang mga probabilidad, ang kinakailangan ay karaniwang superimposed sa P. 0 \u003e 0. Ito ay malinaw na nagpapataw ng isang paghihigpit sa mga coefficients ng pagpaparami at kamatayan sa kani-kanilang mga equation. Mahalagang ito ay kinakailangan na ang sistema ay kung minsan ay walang laman; Ang kalagayan ng katatagan na ito ay tila makatwiran kung bumaling ka sa mga halimbawa ng totoong buhay. Tinutukoy namin ang sumusunod na dalawang halaga:

Lahat ng Estado E I. ang proseso ng pagpaparami at kamatayan ay magiging ergodic kung at tanging kailan S 1. < и S 2. \u003d. Ang tanging kaso ng ergodic ay humahantong sa itinatag na mga probabilidad P I., i. \u003d 0, 1, 2, ..., at ito ang kasong ito na interesado. Tandaan na ang mga kondisyon ng ergodicity ay ginaganap lamang kapag, simula sa ilan i., ang lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod () ay limitado sa yunit, i.e. kapag may ilan i 0. (at ilan Mula sa.<1) такое, что для всех ii 0. Ginagawa ang hindi pagkakapantay-pantay:

Panimula

Sa papel na ito, ang pamamaraan ng tuluy-tuloy na chain ng Markov ay isasaalang-alang - ang tinatawag na "diagram ng kamatayan at pagpaparami"

Ang proseso ng pagpaparami at kamatayan ay isang random na proseso na may countable (may hangganan o walang katapusan) na hanay ng mga estado na dumadaloy sa isang discrete o tuloy-tuloy na oras. Ito ay ang ilang mga sistema sa random sandali ng oras pass mula sa isang estado patungo sa isa pa, at ang mga transition sa pagitan ng mga estado ay nangyari sa isang tumalon kapag ang ilang mga kaganapan mangyari. Bilang isang panuntunan, ang mga pangyayaring ito ay dalawang uri: ang isa sa mga ito ay karaniwang tinatawag na kapanganakan ng ilang bagay, at ang pangalawa ay ang pagkamatay ng bagay na ito.

Ang paksang ito ay lubhang may kaugnayan dahil sa mataas na kahalagahan ng mga proseso ng Markov sa pag-aaral ng mga proseso ng ekonomiya, kapaligiran at biological, bilang karagdagan, ang mga proseso ng Markov ay nasa gitna ng teorya ng serbisyong masa, na kasalukuyang aktibong ginagamit sa iba't ibang mga lugar sa ekonomiya, kabilang ang pamamahala ng mga proseso sa enterprise.

Ang mga proseso ng kamatayan at pagpaparami ay malawakang ginagamit sa pagpapaliwanag ng iba't ibang mga proseso na nagaganap sa pisika, biosphere, ecosystem, atbp. Dapat pansinin na ang ganitong uri ng mga proseso ng Markov ay natanggap ang pangalan nito dahil sa malawakang paggamit sa biology, lalo na kapag nag-model ng kamatayan at pagpaparami ng mga indibidwal na iba't ibang populasyon.

Ang papel na ito ay tungkulin, ang layunin ng kung saan ay upang tukuyin ang mga inaasahan sa matematika para sa ilang mga proseso ng pag-aanak at kamatayan. Ang mga halimbawa ng mga kalkulasyon ng average na bilang ng mga application sa system sa stationary mode at mga pagtatantya ay ginawa para sa iba't ibang mga kaso ng mga proseso ng pag-aanak at kamatayan.

Proseso ng pag-aanak at kamatayan

Ang mga proseso ng pagpaparami at kamatayan ay isang espesyal na kaso ng mga random na proseso ng Markov, na, gayon pa man, ay napakalawak na ginagamit sa pag-aaral ng mga discrete system na may stochastic na likas na katangian ng paggana. Ang proseso ng pagpaparami at kamatayan ay isang random na proseso ng Markov kung saan ang mga transition mula sa estado at ako ay pinahihintulutan lamang sa mga katabing estado ng E i - 1, at ako at ako + 1. Ang proseso ng pag-aanak at kamatayan ay isang sapat na modelo para sa paglalarawan ng mga pagbabago na nagaganap sa dami ng mga biological populasyon. Kasunod ng modelong ito, sinabi na ang proseso ay nasa estado at ako, kung ang dami ng populasyon ay katumbas ng mga miyembro. Sa kasong ito, ang paglipat mula sa estado at ako sa estado at ako + 1 ay tumutugma sa kapanganakan, at ang paglipat mula sa e i-1 - kamatayan, ito ay ipinapalagay na ang dami ng populasyon ay maaaring mag-iba ng hindi hihigit sa isa; Nangangahulugan ito na ang maraming sabay-sabay na kapanganakan at / o kamatayan ay hindi pinapayagan para sa mga proseso ng pag-aanak at kamatayan.

Ang discrete prosesong pagpaparami at kamatayan ay hindi gaanong kawili-wili kaysa sa patuloy, kaya sa hinaharap ay hindi itinuturing na detalyado at nakatuon sa patuloy na mga proseso. Gayunpaman, dapat itong pansinin na ang halos parallel na kalkulasyon ay pumasa para sa mga discrete process. Ang paglipat ng proseso ng pagpaparami at kamatayan mula sa estado at ako ay bumalik sa estado at ako ay kumakatawan sa agarang interes lamang para sa discrete chain Markov; Sa patuloy na kaso, ang intensity na kung saan ang proseso ay bumalik sa kasalukuyang estado ay katumbas ng kawalang-hanggan, at ang infinity na ito ay hindi kasama at tinukoy bilang mga sumusunod:

Sa kaso ng proseso ng pagpaparami at kamatayan na may isang discrete oras ng posibilidad ng mga transition sa pagitan ng mga estado

Narito ako ay posibilidad na sa susunod na hakbang (sa mga tuntunin ng biological populasyon) magkakaroon ng isang kamatayan na binabawasan ang dami ng populasyon bago ibinigay na ang dami ng populasyon ay katumbas ng hakbang na ito. Katulad nito, ang BE ay posibilidad ng kapanganakan sa susunod na hakbang na humahantong sa isang pagtaas sa dami ng populasyon sa; Ito ay posibilidad na wala sa mga pangyayaring ito ay magaganap at sa susunod na hakbang ang dami ng populasyon ay hindi magbabago. Pinapayagan lamang ang tatlong posibleng posibleng ito. Ito ay malinaw na, dahil ang kamatayan ay hindi maaaring dumating, kung ang ilang mga uri ng mamatay.

Gayunpaman, sa counterweight intuition ay pinapayagan na, na tumutugma sa posibilidad ng kapanganakan, kapag walang isang solong miyembro sa populasyon. Kahit na ito ay maaaring isaalang-alang bilang isang kusang kapanganakan o banal na paglikha, ngunit sa teorya ng discrete system tulad ng isang modelo ay isang ganap na makabuluhang palagay. Namely, ang modelo ay tulad: ang populasyon ay isang daloy ng mga claim sa sistema, ang kamatayan ay nangangahulugan ng pag-aalaga ng pangangailangan ng sistema, at ang kapanganakan ay tumutugma sa bagong demand sa system. Maliwanag na sa ganitong modelo ay posible na magpasok ng isang bagong pangangailangan (kapanganakan) sa libreng sistema. Ang probabilidad matrix ng mga transition para sa pangkalahatang proseso ng pag-aanak at kamatayan ay may sumusunod na form:

Kung ang chain ng Markov ay ang pangwakas, ang huling linya ng matrix ay nakasulat sa form; Ito ay tumutugma sa ang katunayan na walang pagpaparami ay pinapayagan pagkatapos ng populasyon umabot sa pinakamataas na dami n. Ang Matrix T ay naglalaman ng mga zero na miyembro lamang sa pangunahing diagonal at dalawang diagonals na pinakamalapit dito. Dahil sa isang partikular na uri ng matrix t, natural na inaasahan na ang pag-aaral ng proseso ng pag-aanak at kamatayan ay hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap. Susunod, isasaalang-alang lamang natin ang patuloy na mga proseso ng pagpaparami at kamatayan, kung saan ang mga transition mula sa Estado ay posible lamang sa mga kalapit na estado at I-1 (kamatayan) at i + 1 (kapanganakan). Nagpapahiwatig sa pamamagitan ng aking intensity ng pagpaparami; Inilalarawan nito ang bilis kung saan nangyayari ang pagpaparami sa dami ng populasyon ko. Sa katulad na paraan, sa pamamagitan ko, tinutukoy namin ang intensity ng kamatayan, ang pagtukoy ng bilis kung saan ang kamatayan ay nangyayari sa dami ng lakas ng tunog I. Tandaan na ang ipinakilala na intensity ng pag-aanak at kamatayan ay hindi nakasalalay sa oras, at depende sa estado at samakatuwid, nakakuha kami ng tuluy-tuloy na homogenous na kadena ng uri ng pag-aanak at kamatayan. Ang mga espesyal na designasyon ay ipinakilala dahil direktang humantong sa notasyon na pinagtibay sa teorya ng discrete systems. Depende sa mga naunang ipinasok na mga pagtatalaga, mayroon kami:

i \u003d Q i, i + 1 at i \u003d q i, i-1.

Ang kinakailangan sa admissible transition lamang sa pinakamalapit na katabing estado ay nangangahulugan na batay sa katotohanan na

nakukuha namin ang q ii \u003d - (i + i). Kaya, ang matrix ng intensities ng mga transition ng isang pangkalahatang homogenous na proseso ng pag-aanak at kamatayan ay tumatagal ng form:

Tandaan na maliban sa pangunahing diagonal at kalapit at mula sa itaas, ang lahat ng mga elemento ng matrix ay zero. Ang kaukulang graph ng mga intensidad sa paglipat ay iniharap sa kaukulang figure (2.1):

Figure 2.1 - Bilang ng mga intensity ng paglipat para sa proseso ng pag-aanak at kamatayan

Ang isang mas tumpak na pagpapasiya ng patuloy na proseso ng pag-aanak at kamatayan ay ang mga sumusunod: Ang ilang mga proseso ay isang proseso ng pag-aanak at kamatayan, kung ito ay isang homogenous na kadena ng Markov na may maraming mga estado (E 0, E 1, E 2, ... ), Kung ang kapanganakan at kamatayan ay mga independiyenteng mga kaganapan (sumusunod ito nang direkta mula sa ari-arian ng Markov) at kung ang mga sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:

(eksaktong 1 kapanganakan sa agwat ng oras (t, t + dt), ang dami ng populasyon ay katumbas ng i);

(eksaktong 1 kamatayan sa agwat ng oras (t, t + dt) | dami ng populasyon ay katumbas ng i);

\u003d (eksaktong 0 mga kapanganakan sa agwat ng oras (t, t + dt) | Ang dami ng populasyon ay katumbas ng i);

\u003d (eksaktong 0 pagkamatay sa agwat ng oras (t, t + dt) | Ang dami ng populasyon ay katumbas ng i).

Kaya, t katumpakan sa may posibilidad ng kapanganakan ng isang bagong indibidwal sa isang populasyon ng mga indibidwal na n, A - ang posibilidad ng pagkamatay ng mga indibidwal sa populasyon na ito sa panahon.

Ang mga probabilidad ng paglipat ay nakakatugon sa kabaligtaran ng mga equation ng Kolmogorov. Kaya, ang posibilidad na ang patuloy na proseso ng pagpaparami at kamatayan sa oras t ay nasa estado at ako (dami ng populasyon na katumbas ng i) ay tinutukoy sa form (2.1):

Upang malutas ang nakuha na sistema ng mga kaugalian equation sa nonstationary kaso, kapag ang probabilities Pi (t), i \u003d 0,1,2, ..., depende sa oras, ito ay kinakailangan upang tukuyin ang pamamahagi ng mga unang probabilities pi (0), i \u003d 0,1,2, ..., sa t \u003d 0. Bilang karagdagan, ang kondisyon ng normalisasyon ay dapat nasiyahan.

Isinasaalang-alang namin ngayon ang pinakasimpleng proseso ng dalisay na pagpaparami, na tinukoy bilang isang proseso kung saan ako \u003d 0 para sa lahat I. Bilang karagdagan, para sa mas higit na pagpapadali ng problema, ipagpalagay na ako \u003d para sa lahat i \u003d 0,1,2, .... Substituting ang mga halagang ito sa equation (2.1) makuha namin (2.2):

Para sa pagiging simple, ipinapalagay din namin na ang proseso ay nagsisimula sa isang zero na sandali sa mga zero na miyembro, iyon ay:

Mula dito para sa P 0 (t) nakakakuha kami ng solusyon:

Substituting ang solusyon na ito sa equation (2.2) sa i \u003d 1, dumating kami sa equation:

Ang solusyon ng kaugalian equation ay malinaw na may form:

Ito ay isang pamilyar na pamamahagi ng Poisson. Kaya, ang proseso ng dalisay na pagpaparami na may patuloy na intensity ay humahantong sa isang pagkakasunod-sunod ng mga kapanganakan na bumubuo sa daloy ng Poisson.

Ang pinakamalaking interes sa mga praktikal na termino ay kumakatawan sa mga probabilidad ng mga estado ng proseso ng pag-aanak at kamatayan sa matatag na mode. Ipagpapalagay na ang proseso ay may isang ergodic na ari-arian, iyon ay, may mga limitasyon

binabaling namin ang kahulugan ng mga probabilidad ng limitasyon p i. Ang mga equation para sa pagtukoy ng mga probabilidad ng nakatigil na rehimen ay maaaring makuha nang direkta mula sa (2.1), na ibinigay na dp i (t) / dt \u003d 0 na may:

Ang nagresultang sistema ng equation ay nalutas tungkol sa kondisyon ng normalisasyon (2.4):

Ang sistema ng mga equation (2.3) para sa itinatag na paraan ng proseso ng pagpaparami at kamatayan ay maaaring direktang gawin sa pamamagitan ng graph ng intensidad ng mga transition sa Figure 2.1, paglalapat ng prinsipyo ng pagkakapantay-pantay ng mga daluyan ng probabilidad sa isang hiwalay na estado ng proseso. Halimbawa, kung isaalang-alang mo ang estado ng e ako sa matatag na mode, pagkatapos:

ang intensity ng probability stream sa and

intensity ng probability flow mula sa.

Sa estado ng punto ng balanse, ang dalawang daluyan na ito ay dapat na pantay, at samakatuwid ay direktang nakukuha namin:

Ngunit ito ay eksaktong unang pagkakapantay-pantay sa system (2.3). Katulad nito, maaari mong makuha ang pangalawang pagkakapantay-pantay ng sistema. Ang parehong pangangatwiran sa pangangalaga ng daloy, na dati nang ipinakita, ay maaaring mailapat sa stream ng mga probabilidad sa pamamagitan ng anumang saradong hangganan. Halimbawa, sa halip na i-highlight ang bawat estado at gumawa ng isang equation para dito, maaari mong piliin ang pagkakasunud-sunod ng mga contours, ang una ay sumasaklaw sa estado e 0, ang pangalawa ay ang estado e 0 at E 1, at iba pa, kabilang ang ang susunod na estado sa bawat oras sa bagong hangganan. Pagkatapos ay para sa i-th contour (ang palibot ng estado e 0, E 1, ..., E I-1), ang pangangalaga ng daloy ng probabilidad ay maaaring nakasulat sa sumusunod na simpleng form:

Ang pagkakapantay-pantay (2.5) ay maaaring formulated bilang isang panuntunan: para sa pinakasimpleng sistema ng pagpaparami at kamatayan sa inpatient mode, ang mga daluyan ng probability sa pagitan ng anumang dalawang katabing estado ay pantay.

Ang nagresultang sistema ng mga equation ay katumbas ng nabawasan nang mas maaga. Upang itala ang huling sistema ng mga equation, kinakailangan upang isakatuparan ang isang vertical na linya na naghihiwalay sa mga kalapit na estado, at katumbas ng mga stream sa pamamagitan ng resultang hangganan.

Ang solusyon ng sistema (2.5) ay matatagpuan sa pamamagitan ng mathematical induction.

Sa i \u003d 1 mayroon kami

Ang uri ng pagkakapantay-pantay na nakuha ay nagpapakita na ang pangkalahatang solusyon ng sistema ng mga equation (2.5) ay may form:

o, ibinigay na, sa pamamagitan ng kahulugan, ang trabaho sa isang walang laman na hanay ay isa:

Kaya, ang lahat ng mga probabilidad p i para sa matatag na mode ay ipinahayag sa pamamagitan ng tanging hindi kilalang PS 0. Ang pagkakapantay-pantay (2.4) ay nagbibigay ng karagdagang kondisyon upang matukoy ang p 0. Pagkatapos, summing sa lahat ako, para sa p 0 makuha namin (2.7):

Hayaan nating buksan ang isyu ng pagkakaroon ng mga nakatigil na probabilidad p i. Para sa mga expression na ang mga probabilidad ay tinukoy, ang kinakailangan ay karaniwang superimposed upang p 0\u003e 0. Ito ay malinaw na nagpapataw ng isang paghihigpit sa mga coefficients ng pagpaparami at kamatayan sa kani-kanilang mga equation. Mahalagang ito ay kinakailangan na ang sistema ay kung minsan ay walang laman; Ang kalagayan ng katatagan na ito ay tila makatwiran kung bumaling ka sa mga halimbawa ng totoong buhay. Kung ito ay lumalaki masyadong mabilis kumpara sa, maaari itong i-out na sa isang positibong posibilidad sa dulo punto sa oras t, ang proseso ay umalis sa phase space (0.1, ...) sa "isang walang hanggan remote point?" (ang mga indibidwal sa populasyon ay masyadong maraming). Sa ibang salita, ang proseso ay hindi magiging regular, at pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay (2.4) ay masira. Tinutukoy namin ang sumusunod na dalawang halaga:

Para sa regularidad ng proseso ng pagpaparami at kamatayan, ito ay kinakailangan at sapat na sa S 2 \u003d.

Para sa pagkakaroon ng hindi maayos na pamamahagi nito, ito ay kinakailangan at sapat na sa 1< .

Para sa lahat ng mga estado ng E i ng proseso ng paglilitis na pinag-uusapan at ang mga pagkamatay ay ergodic, at sapat na tagpo ng serye S 1< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bibigyan ng isang simpleng interpretasyon: simula sa ilang estado at para sa lahat ng kasunod na mga estado, ang intensity ng stream ng pagpaparami ay dapat na mas mababa kaysa sa intensity ng daloy ng kamatayan.

Minsan sa pagsasagawa ay may mga proseso ng "dalisay" na pagpaparami. Ang proseso ng "dalisay" na pagpaparami ay isang proseso ng kamatayan at pagpaparami, kung saan ang intensity ng lahat ng mga daloy ng kamatayan ay zero. Ang graph ng mga estado ng naturang proseso nang hindi nililimitahan ang bilang ng mga estado ay ipinapakita sa Figure (2.2):

Figure 2.2 - Graph ng mga intensity ng paglipat para sa proseso ng "dalisay" na pagpaparami

Katulad nito, ang konsepto ng "malinis" na kamatayan ay ipinakilala. Ang proseso ng "malinis" na kamatayan ay tinatawag na isang proseso ng kamatayan at pagpaparami, kung saan ang mga intensidad ng lahat ng daloy ng pagpaparami ay zero. Ang graph ng mga estado ng naturang proseso nang hindi nililimitahan ang bilang ng mga estado ay ipinapakita sa Figure:

Figure 2.3 - Bilang ng mga intensity ng paglipat para sa proseso ng "dalisay" na kamatayan

Ang Kolmogorov equation system para sa naturang mga proseso ay maaaring makuha mula sa sistema ng mga equation (2.1), kung saan ito ay kinakailangan upang ilagay ang lahat ng mga intensidad ng daloy ng daloy daloy katumbas ng zero :.

Isaalang-alang ang isa pang tipikal na pamamaraan ng tuluy-tuloy na mga chain ng Markov - ang tinatawag na pamamaraan ng kamatayan at pagpaparami, na kadalasang matatagpuan sa iba't ibang mga praktikal na gawain.

Proseso ng Markov na may discrete states. S 0, s 1, ..., s n tinatawag na proseso kamatayan at pagpaparami, Kung ang lahat ng mga estado ay maaaring mahila sa isang kadena, kung saan ang bawat isa sa kalagitnaan ng estado ( S 1, S 2, ...,
S n -1.) Maaari lamang pumunta sa kalapit na mga estado, na, sa turn, bumalik, at matinding estado ( S 0 at S N.) Pumunta lamang sa mga kalapit na estado (Larawan 3.7).

Ang pangalan ay kinuha mula sa mga biological na problema kung saan ang estado ng populasyon S K. Ay nangangahulugang ang pagkakaroon nito k. mga yunit ng mga indibidwal.

Ang paglipat sa kanan ay nauugnay sa pagpaparami ng mga yunit, at sa kaliwa - sa kanilang kamatayan.

Larawan. 3.7. Bilangin ang mga estado para sa proseso ng kamatayan at pagpaparami

l 0 (t), l 1 (t), l 2 (t), ..., l n (t)- Pag-aanak ng intensity;

m 1 (t), m 2 (t), ..., m n (t) - Ang intensity ng kamatayan.

W. l. at μ ang index ng estado na iyon, kung saan lumabas ang arrow.

May isang estado S K. Nakakonekta ang di-random na halaga X K.: Kung ang sistema S. Sa oras ng oras t. na matatagpuan sa isang estado S K., pagkatapos ay discrete random value. X (t)na nauugnay sa paggana ng sistema ay tumatagal ng halaga k.. Kaya, nakakakuha kami ng random na proseso X (t), Alin sa random, sa advance hindi kilalang sandali ng oras, ang pagtalon baguhin ang kondisyon nito.

Proseso ng Markov. mamatay at pagpaparami sa patuloy na oras Ito ay tinatawag na isang random na proseso na ang iba pang mga di-negatibong halaga ay maaaring tumagal. Ang mga pagbabago sa prosesong ito ay maaaring mangyari anumang oras, i.e. Sa anumang oras, maaari itong dagdagan ng isa, o pagbaba ng isa, o mananatiling hindi nagbabago.

Sa pagsasagawa, may mga proseso ng dalisay na pag-aanak at dalisay na kamatayan. Ang proseso ng dalisay na pagpaparami ay ang proseso ng kamatayan at pagpaparami, kung saan ang mga intensidad ng lahat ng daloy ng kamatayan ay zero; Katulad ng proseso ng dalisay na "kamatayan" ay tinatawag na isang proseso ng kamatayan at pagpaparami, kung saan ang mga intensidad ng lahat ng daloy ng pagpaparami ay zero.

Halimbawa 1.Isaalang-alang ang pagpapatakbo ng mga modelo ng mga kotse ng isang tatak sa isang malaking kumpanya ng transportasyon (sa enterprise). Ang intensity ng cargo resibo sa enterprise ay pantay l (t). Ang bawat kotse ay pumasok sa kumpanya ay nakasulat sa walang katapusang oras. T C.. Buhay ng serbisyo t. ibinahagi sa mga tuntunin ng nagpapahiwatig na batas na may parameter m.. Ang proseso ng pagpapatakbo ng mga kotse ay isang random na proseso. A (t) - Ang bilang ng mga kotse ng tatak na ito sa operasyon sa oras t.. Nakahanap kami ng isang-dimensional na batas ng pamamahagi ng random na proseso. P i (t) \u003d p (a (t) \u003d i), Kung: 1) walang mga paghihigpit sa bilang ng mga pinatatakbo machine, 2) sa enterprise ay hindi maaaring pinamamahalaan n. mga kotse.

Desisyon.

1. Ang random na proseso ng pagpapatakbo ng mga kotse ay ang proseso ng kamatayan at pagpaparami, ang inilagay na graph na kung saan ay iniharap sa Fig. 3.8.

Larawan. 3.8. Count States.

Ang sistema ng Kolmogorov equation na naaayon sa graph na ito ay may form

saan i. = 1, 2, …

Kung sa unang sandali ng oras t. \u003d 0 sa kumpanya ay hindi isang solong kotse, pagkatapos ito ay kinakailangan upang malutas ang sistemang ito ng mga equation sa ilalim ng unang mga kondisyon P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (i. \u003d 1, 2, ...). Kung t. \u003d 0 sa enterprise ay. k. mga kotse ( k. \u003d 1, 2, ...), pagkatapos ay makikita ang mga paunang kondisyon

P k (0) = 1, P i (0) = 0 (i. = 1, 2, …, ako ¹ K.).

2. Kung ang kumpanya ay maaaring pinatatakbo sa hindi na mga modelo ng isang nautomotive ng isang tatak, pagkatapos ay ang proseso ng kamatayan at pagpaparami sa isang limitadong bilang ng mga estado, ang minarkahang graph ay ipinapakita sa Fig. 3.9.

Larawan. 3.9. Count States.

Ang sistema ng Kolmogorov equation para sa minarkahang graph (Larawan 3.9) ay may form (3.4).

Ang sistemang ito ay dapat malutas sa ilalim ng mga paunang kondisyon na tinalakay sa itaas. Ang mga solusyon ng mga sistema ng mga equation (3.4) at (3.5) ay isang-dimensional na mga batas sa pamamahagi P i (t). Ipinapakilala ang mga solusyon ng mga sistema sa pangkalahatang anyo sa random na form l (t) Nagtatanghal ng makabuluhang paghihirap at walang praktikal na aplikasyon.

Sa patuloy na intensidad ng daloy ng kamatayan at pagpaparami at ang pangwakas na bilang ng mga estado ay magkakaroon ng isang nakatigil na rehimen. Sistema S. na may limitadong bilang ng mga estado ( n. + 1), kung saan ang proseso ng kamatayan at pagpaparami sa patuloy na intensities ng mga fluxes ng kamatayan at pagpaparami nalikom ay ang pinakasimpleng ergodic system. Ang inilagay na graph ng mga estado para sa naturang sistema ay iniharap sa Fig. 3.9.

Ang limitasyon (pangwakas) probabilidad ng mga estado para sa pinakasimpleng proseso ng ergodic ng kamatayan at pagpaparami, na nasa nakapirming mode, ay tinutukoy ng mga sumusunod na formula:

Panuntunan. Probability. k.-Go estado sa pamamaraan ng kamatayan at pagpaparami ay katumbas ng fraction, sa numerator na kung saan ito ay nagkakahalaga ng produkto ng lahat ng mga intensidad ng pagpaparami nakaharap sa kaliwa S K.at sa denamineytor - ang gawain ng lahat ng intensidad ng kamatayan ng kaliwa S K.multiplied sa pamamagitan ng posibilidad ng sarado na kaliwang estado ng sistema P 0.

Sa nakaraang halimbawa para sa isang nakapirming rehimen kung ang intensity ng karga ay permanent ( l (t) \u003d l \u003d const.), pagkatapos ay ang pangwakas na mga probabilidad ng mga estado, sa kondisyon na walang mga paghihigpit sa bilang ng mga kotse sa enterprise ay pantay

Kasabay nito, ang pag-asa sa matematika ng bilang ng mga operated cars ay katumbas ng pagpapakalat nito:

M \u003d d \u003d L./m. (3.10)

Kung may limitasyon sa bilang ng mga kotse sa enterprise (wala nang iba pa n.), ang huling probabilidad ay maaaring nakasulat sa form na ito:

saan ρ = l./m..

saan k. = 0, 1, 2, ..., n..

Pag-asa sa matematika ng bilang ng mga pinatatakbo na mga kotse sa Stationary Mode

Halimbawa 2.Kasama sa stream line ang apat na machine. Ang brigada ng apat na kawani ng paghahatid ay nagtataglay ng pag-aayos ng bawat isa sa kanila. Ang kabuuang stream ng mga sandali ng dulo ng pag-aayos para sa buong brigada - poisson na may intensity l (t). Matapos makumpleto ang pagkumpuni, naka-check ang makina; May posibilidad R. Ito ay nagiging workable (ang oras ng tseke ay hindi sapat, at maaari silang napapabayaan kumpara sa oras ng pag-iwas). Kung ang makina ay lumalabas na hindi magagamit, ang pag-iwas nito ay isinasagawa muli (ang oras na hindi ito nakasalalay sa kung ito ay natupad na mas maaga), atbp. Sa unang sandali, ang lahat ng mga machine ay nangangailangan ng mga pag-aayos ng prophylactic. Nangangailangan ng:

1. Gumawa ng isang graph ng katayuan para sa system. S. (Apat na makina).

2. Sumulat ng kaugalian equation para sa posibilidad ng mga estado.

3. Hanapin ang pag-asa sa matematika ng bilang ng mga machine M T., ang madla ng pag-iwas sa oras t..

Desisyon.

Ang bilang ng mga estado ay ipinapakita sa Fig. 3.10, kung saan:

S 0 - Ang lahat ng apat na machine ay nangangailangan ng mga pag-aayos ng prophylactic;

S 1. - isang machine matagumpay na pumasa sa prophylactic, at tatlong kailangan prophylactic pag-aayos;

S 2. - Dalawang machine matagumpay na pumasa prophylaxis, at dalawang kailangan prophylactic pag-aayos;

S 3. - Matagumpay na naipasa ng tatlong makina ang prophylaxis, kailangan ng isang pag-aayos ng preventive;

S 4. - Ang lahat ng apat na machine ay matagumpay na pumasa sa pag-iwas.

Larawan. 3.10. System status graph

Ang bawat pag-aayos ng preventive ay matagumpay na nagtatapos sa isang posibilidad P.Na katumbas P.-Prapping sa dulo ng dulo ng pag-aayos, pagkatapos kung saan ito ay mananatiling poisson, ngunit may intensity Pl (t). Sa halimbawang ito, nakikipagtulungan tayo sa isang proseso ng dalisay na pagpaparami na may limitadong bilang ng mga estado.

Ang mga equation ng Kolmogorov ay ang mga sumusunod:

Unang kondisyon P 0 (0) = 1, P 1 (0) = … = P 4 (0) \u003d 0. Sa patuloy na intensity l (t) \u003d L. at ang mga probabilidad ay tinutukoy ng mga sumusunod na formula:

Ang pag-asa sa matematika ng bilang ng mga disk, matagumpay na pumasa sa prophylaxis para sa sandali t, pantay

saan n. = 4.

Halimbawa 3. Isaalang-alang ang produksyon ng mga kotse sa pabrika. Daloy ng produksyon - nonstationary poisson na may intensity l (t). Nakikita namin ang isang-dimensional na batas ng pamamahagi sa pamamagitan ng random na proseso X (t) - Bilang ng mga kotse na inilabas ng oras t.Kung sa sandaling ito t.\u003d 0 nagsimula ang paglabas ng kotse.

Desisyon

Malinaw, narito ang proseso ng dalisay na pagpaparami nang walang limitasyon ng bilang ng mga estado, habang l i (t) \u003d l (t)Dahil ang intensity ng release ng kotse ay hindi nakasalalay sa kung magkano ang kanilang inilabas. Ang graph ng mga estado ng naturang proseso ay ipinapakita sa Fig. 3.11.

Larawan. 3.11. Count States.

Isang-dimensional na batas ng pamamahagi ng random na proseso X (t) Para sa graph na ipinapakita sa Fig. 3.11 ay tinutukoy ng sumusunod na sistema ng Kolmogorov equation:

Dahil ang bilang ng mga kotse na inilabas X (t) sa anumang nakapirming sandali t. Ipinamamahagi ng batas ng Poisson sa parameter.

M \u003d d \u003d a (t).

Proseso na isinasaalang-alang sa halimbawang ito X (t) Tinatawag na ang hindi pangkaraniwang proseso ng Poisson. Kung intensity l (t) \u003d l \u003d const., Nakuha ko uniform na proseso ng Poisson.. Para sa ganoong proseso kung kailan P 0 (0) = 1, P i (0) \u003d 0 (i\u003e 0)

Ang mga katangian ng proseso ng Poisson ay magiging

M \u003d d \u003d l × t.

Gawain 1.May isang aparato na binubuo ng apat na node; Ang stream ng pagkabigo ay ang pinakasimpleng, ang average na oras ng walang problema na operasyon ng bawat node ay 11 oras. Ang tumanggi na node ay agad na repaired; Ang average na pag-aayos ng node ay 2 oras. (Pagbawi ng stream ng pinakasimpleng). Hanapin ang average na produktibo ng aparato kung ito ay 100% sa apat na nagtatrabaho nodes, sa tatlong 60%, sa dalawa o mas mababa ang aparato ay hindi gumagana sa lahat.