Moskova Devlet Basım Üniversitesi. Ders özeti "Sönümlü ve zorlanmış salınımlar. Rezonans" Salınım hareketi. Serbest, zorlanmış ve sönümlü salınımlar
Herhangi bir gerçek salınım sisteminde, genellikle sistemin enerjisinde bir azalmaya yol açan sürtünme kuvvetleri (direnç) vardır. Sürtünme kuvveti aşağıdaki formülle ifade edilir:
burada r sürtünme katsayısıdır ve eksi işareti kuvvetin yönünün her zaman hareket hızına zıt olduğunu gösterir.
Sürtünme kuvveti yoksa formül (2.4) diferansiyel denklemi verir:
şu şekilde bir çözümü var:
burada ω 0 = . Sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda meydana gelen titreşimlere doğal veya serbest titreşim denir. Doğal salınımların frekansı yalnızca sistemin özelliklerine bağlıdır.
Şimdi sisteme etki eden iki kuvvetin olduğunu varsayalım: F UPR ve F TR. Vücudun hareket denklemi şöyle görünecektir:
Bu denklemi vücut kütlesine bölelim ve şunu gösterelim: .
Daha sonra enerjisi zamanla azalan sönümlü salınımların diferansiyel denklemini elde ederiz:
Bu denklem şu fonksiyonla sağlanır: x = A 0 e - d t Cos (wt + j 0),
Bu, artık salınım frekansının ve 'ye bağlı olduğu anlamına gelir. Salınımın genliği zamanla katlanarak değişecektir. Salınım genliğinin zamanla azalma hızını belirleyen miktara sönümleme katsayısı denir. Sönümleme katsayısı ile salınım periyodu T'nin çarpımı, iki bitişik genlik oranının logaritmasına eşittir:
boyutsuz bir miktardır ve logaritmik sönüm azalması olarak adlandırılır. Sürtünme kuvvetlerinin bulunduğu bir sistemde meydana gelen salınımlara sönümlü denir. Bu salınımların sıklığı sistemin özelliklerine ve kayıpların yoğunluğuna bağlıdır (arttıkça frekans azalır). Sönümsüz salınımlar elde etmek için sistemin bazı yasalara göre zaman içinde sürekli değişen bir dış kuvvetin etkisine de maruz kalması gerekir. Özellikle, dış kuvvetin sinüzoidal olduğunu varsayalım:
o zaman vücudun hareket denklemi şöyle olacaktır:
Bu denklemi vücut kütlesine bölüp toplayalım. Bu durumda denklem şu şekli alacaktır:
Denklem, harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında zaten zorlanmış sönümsüz salınımları karakterize eder. Bu denklemin çözümü:
x = A Cos (ωt-φ),
burada A salınımın genliğidir, φ fazdır ve şuna eşittir: φ = arctg.
Sistemin zorlanmış salınımlarının genliği:
sistemin doğal salınımlarının açısal frekansı nerede; – itici kuvvetin açısal frekansı.
Zorla salınımlar sırasında, rezonans olgusu meydana gelir ve salınımların doğal açısal frekansı ile itici kuvvetin açısal frekansı çakıştığında zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artışa neden olur. Zorlanmış salınımlar teknolojide yaygın olarak kullanıldığından, rezonans olgusu her zaman dikkate alınmalıdır çünkü belirli süreçlerde faydalı olabileceği gibi tehlikeli bir olgu da olabilir.
Makine mühendisliğinde önemli bir yer, çeşitli şekillerde elastik gövdelerin mekanik titreşimleri olan titreşimler (Latince titreşim - titreşimden) tarafından işgal edilir. Bu kavram genellikle makine parçalarının, yapıların ve mühendislikte dikkate alınan yapıların mekanik titreşimleriyle ilgili olarak uygulanır.
Bölüm 5. Dalga süreçlerinin fiziği
Salınımların sönümlenmesi salınım sisteminin enerji kaybından kaynaklanan zamanla titreşim genliğinde bir azalma olarak adlandırılır (örneğin, mekanik sistemlerdeki sürtünme nedeniyle titreşim enerjisinin ısıya dönüştürülmesi). Sönümleme, salınımların periyodikliğini bozar, dolayısıyla bunlar artık periyodik bir süreç değildir. Zayıflama küçükse, o zaman salınım periyodu kavramını şartlı olarak kullanabiliriz - T(Şekil 7.6'da A 0 – salınımların başlangıç genliği).
Şekil 7.6 - Sönümlü salınımların özellikleri
Bir yay sarkacının sönümlü mekanik salınımları iki kuvvetin etkisi altında meydana gelir: elastik kuvvet ve direnç kuvveti:
Nerede R– direnç katsayısı.
Newton'un ikinci yasasının denklemini kullanarak şunları elde edebiliriz:
veya 
Son denklemi şuna böl: M ve gösterimi tanıtın veya
Nerede β sönüm katsayısı, daha sonra denklem şu formu alır:
(7.20)
Bu ifade sönümlü salınımların diferansiyel denklemidir. Bu denklemin çözümü
Bu, sönümlü salınımların üstel doğasını ima eder; salınımların genliği üstel bir yasaya göre azalır (Şekil 7.6):
(7.22)
Bir periyot boyunca salınımların genliğindeki göreceli azalma, şuna eşit bir sönümleme azalması ile karakterize edilir:
(7.23)
veya logaritmik zayıflama azalmasıyla:
(7.24)
Zayıflama katsayısı β zamanla ters orantılı τ bu sırada salınımların genliği azalır e bir kere:
onlar. (7.25)
Sönümlü salınımların frekansı her zaman doğal salınımların frekansından daha azdır ve ifadeden bulunabilir.
(7.26)
burada ω 0 sistemin doğal salınımlarının frekansıdır.
Buna göre sönümlü salınımların periyodu şuna eşittir:
Veya 
(7.27)
Sürtünme arttıkça salınım periyodu artar ve periyot artar.
Sönümsüz salınımlar elde etmek için, maddi noktayı bir yönde veya diğer yönde itecek ve sürtünmenin üstesinden gelmek için harcanan enerji kaybını sürekli olarak telafi edecek olan ek bir değişken dış kuvvete etki etmek gerekir. Bu değişken kuvvete denir zorlamaF dışarı çıkar ve etkisi altında ortaya çıkan sönümsüz salınımlar zoraki.
İtici kuvvet ifadeye göre değişirse, zorlanmış salınımların denklemi şu şekli alacaktır:
(7.28)
(7.29)
burada ω itici kuvvetin döngüsel frekansıdır.
Bu Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi. Çözümü şeklinde yazılabilir. 
Denklem, itici kuvvetin frekansına eşit bir frekansta meydana gelen ve kuvvetin salınımlarına göre φ fazında farklılık gösteren harmonik bir salınımı tanımlar.
Zorunlu salınımın genliği:
(7.30)
Kuvvetin salınımları ile sistem arasındaki faz farkı ifadeden bulunur.
(7.31)
Zorlanmış salınımların grafiği Şekil 7.7'de gösterilmektedir.
Şekil 7.7 – Zorlanmış salınımlar
Zorunlu salınımlar sırasında rezonans gibi bir olay gözlemlenebilir. Rezonans bu, sistemin salınımlarının genliğinde keskin bir artıştır.
Rezonansın hangi koşulda oluştuğunu belirleyelim, bunun için (7.30) denklemini ele alalım. Genliğin maksimum değerini aldığı koşulu bulalım.
Bir fonksiyonun ekstremumunun türevi sıfıra eşit olduğunda olacağı matematikten bilinmektedir.
Diskriminant eşittir
Buradan
Dönüşümden sonra elde ederiz 
Buradan 
– rezonans frekansı.
En basit durumda rezonans, harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında meydana gelir. F frekansa göre değişir ω , sistemin doğal salınımlarının frekansına eşit ω = ω 0 .
Mekanik dalgalar
Sürekli bir ortamda, zaman ve uzayda periyodik olan salınımların yayılma sürecine denir. dalga süreci veya dalga.
Bir dalga yayıldığında ortamın parçacıkları dalgayla birlikte hareket etmez, denge konumları etrafında salınır. Dalgayla birlikte yalnızca salınım hareketinin durumu ve enerjisi ortamın parçacıklarından parçacıklarına aktarılır. Bu nedenle dalgaların temel özelliği, doğası ne olursa olsun, madde aktarımı olmadan enerji aktarımı.
Aşağıdaki dalga türleri ayırt edilir:
Elastik(veya mekanik) dalgalar elastik bir ortamda yayılan mekanik bozulmalara denir. Herhangi bir elastik dalgada aynı anda iki tür hareket mevcuttur: ortamın parçacıklarının salınımı ve bozucu etkinin yayılması.
Ortam parçacıklarının titreşimleri ile dalganın yayılmasının aynı yönde meydana geldiği dalgaya denir. boyuna ve ortamın parçacıklarının dalganın yayılma yönüne dik olarak salındığı bir dalgaya denir. enine.
Boyuna dalgalar, sıkıştırma ve çekme deformasyonları sırasında elastik kuvvetlerin ortaya çıktığı ortamlarda yayılabilir; katı, sıvı ve gaz halindeki cisimler. Enine dalgalar, kayma deformasyonu sırasında elastik kuvvetlerin ortaya çıktığı bir ortamda yayılabilir; katılarda. Böylece sıvılarda ve gazlarda yalnızca boyuna dalgalar oluşurken, katılarda hem boyuna hem de enine dalgalar oluşur.
Elastik dalga denir sinüzoidal(veya harmonik), eğer ortam parçacıklarının karşılık gelen titreşimleri harmonik ise.
Aynı fazda titreşen yakındaki parçacıklar arasındaki mesafeye denir dalga boyu λ .
Dalga boyu, dalganın salınım periyoduna eşit bir sürede yayıldığı mesafeye eşittir:
dalga yayılma hızı nerede.
Çünkü (burada ν salınım frekansıdır), o zaman
Salınımların zaman anında ulaştığı noktaların geometrik konumu T, isminde dalga cephesi. Aynı fazda salınan noktaların geometrik konumuna ne ad verilir? dalga yüzeyi.
Azalan genliğe sahip serbest salınımlara sönümlü denir.
Titreşim hareketinin enerjisi yavaş yavaş ısıya, radyasyona vb. dönüşür. Genliğin azalmasının nedeni budur: Titreşim enerjisi genliğin karesiyle orantılıdır.
Mekanik salınımlı bir sistemde enerji kayıpları çoğunlukla sürtünmeyle ilişkilidir. Viskoz ise, düşük hızlarda v sürtünme kuvvetidir; burada r, vücudun şekline ve boyutuna ve ortamın viskozitesine bağlı olarak sürtünme katsayısıdır.
İki kuvvetin etkisi altında oluşan bir noktanın hareket denklemini yazalım: F = -khx (geri getirme kuvveti veya yarı elastik kuvvet) ve sürtünme kuvveti,
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f513- sönümsüz salınımların doğal frekansı), tanım-e">sönümlü salınımların diferansiyel denklemi
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f516.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:) şu forma sahiptir:
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f518.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG: - sönümlü frekans, başlangıç koşullarına göre belirlenir, örneğin, t = 0 zamanında yer değiştirme x ve hız dx/dt değerleri.
def">Sönümlü salınımların genliği
example">r, sönümleme katsayısı ne kadar büyük tanımlanırsa">Sönümlü salınımların frekansı
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f524.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:.
Sönümlü salınımların periyodu
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f526.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:dönem sonsuz hale gelir T = formül" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f528.gif" border="0" align="absmiddle" alt="T periyodu sanal hale gelir ve cismin hareketi periyodik değildir.
Bir noktayla ayrılmış iki bitişik zamandaki genlik değerlerini karşılaştırırsak, yani.gif" border="0" align="absmiddle" alt=", o zaman oranları eşittir
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f532.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:
denir logaritmik sönüm azalması formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f533.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:sistemin toplam salınım sayısını belirlemek için kullanılabilmesidir. rahatlama vakti def-e">yani genliğin e-def">2,7 kat azaldığı süre boyunca
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f534.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:şu örneği izler: ">Rahatlama süresi formülü için N" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f538.gif" border="0" align="absmiddle" alt= " .
Kalite faktörü Q osilatör, salınım sisteminin dönem boyunca enerji kaybını karakterize eder:
itici bir kuvvet tarafından belirlenir ve etkisi altında ortaya çıkan sönümsüz salınımlar zorlanır.
En basit durumda, itici güç sinüs veya kosinüs kanununa göre değişir;
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f541.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:
Sönümlü salınımlar dikkate alınırken kullanılan gösterimi tanıtırsak," src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f545.gif" border="0" align=absmiddle formülü " alt= ", O Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemişu şekli alacaktır:
seçim">homojen değildir. Yüksek matematik dersinden bilindiği gibi, bu denklemin çözümü aşağıdakilerden oluşur:
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f547.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:
genlik A ve önceden bilinmeyen faz kayması ile," src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f552.gif" border="0" align="absmiddle" alt= formülü "(! LANG:
Zayıflamanın yokluğunda (formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f554.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = ".gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:, daha sonra genlik tanımlanan ">rezonans formülü" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f559.gif" border="0" align="'e eşit bir maksimum değere ulaşır. absmiddle " alt = "
İtici kuvvetin belirli bir frekansında salınımların genliğinde keskin bir artışa rezonans denir.
Düşük zayıflamada (formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f563.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "yani sistem, sistemin serbest salınımlarıyla zamanında ayarlanırsa, salınımların genliği keskin bir şekilde artar. Durum böyle değilse kuvvet sallanmaya katkıda bulunmaz ve salınımların genliği küçüktür.
Anlam rezonans genliği
formül" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f562.gif" border = "0" align = "absmiddle" alt = "(! LANG:
sistemin kalite faktörü başka bir fiziksel anlam daha kazanır: rezonans frekansında etki eden bir kuvvetin sabit bir kuvvetten kaç kez daha büyük bir yer değiştirmeye neden olduğunu, yani rezonans yer değiştirmenin statik olandan kaç kez daha büyük olduğunu gösterir.
Soruları ve görevleri test edin
1. Mekanik sönümlü salınımların diferansiyel denklemini yazın. Hangi fiziksel yasayı kullandınız?
2. Sönümlü bir salınımın genliği hangi yasaya göre değişir?
3. Dinlenme zamanı nedir?
4. Logaritmik sönüm azalmasının fiziksel anlamı nedir?
5. Matematiksel sarkacın sönümlü salınımlarının genliği 1 dakikada 3 kat azaldı. 4 dakikada kaç kez azalacağını belirleyin.
6. Hangi salınımlara zorlanmış denir?
7. Salınımlı bir sistemin kalite faktörünün fiziksel anlamı nedir?
8. Zorunlu salınımların sıklığını ne belirler?
9. Yüksek ve düşük kalite faktörlerine sahip bir sistemdeki rezonans arasındaki fark nedir?
10. Hangi zorlanmış salınım moduna sabit denir?
11. Zorlanmış salınımların diferansiyel denkleminin genel çözümünü yazınız. Hangi parçalardan oluşur?
12. Rezonans olgusu nedir? Bu olgunun doğada ve teknolojide kullanımına örnekler verir misiniz?
Gerçek bir mekanik sistemin salınım hareketine, salınım sisteminin enerjisinin hangi kısmının tüketildiğini aşmak için her zaman sürtünme eşlik eder. Dolayısıyla titreşim işlemi sırasında titreşim enerjisi azalarak ısıya dönüşür. Titreşim enerjisi genliğin karesiyle orantılı olduğundan titreşimlerin genliği giderek azalır (Şekil 53; x - yer değiştirme, t - zaman). Salınım enerjisinin tamamı ısıya dönüştüğünde salınım duracaktır (bozunacaktır). Bu tür salınımlara sönümlü denir.
Sistemin sönümsüz salınımlar yapabilmesi için sürtünme nedeniyle oluşan salınım enerjisi kaybının dışarıdan telafi edilmesi gerekir. Bunun için periyodik olarak değişen bir kuvvetle sistemi etkilemek gerekir.
kuvvetin genlik (maksimum) değeri, kuvvet salınımlarının dairesel frekansı ve zaman nerede. Sistemin sönümsüz salınımlarını sağlayan dış kuvvete itici kuvvet, sistemin salınımlarına ise zorlanmış kuvvet denir. Zorunlu salınımların, itici kuvvetin frekansına eşit bir frekansta meydana geldiği açıktır. Zorlanmış salınımların genliğini belirleyelim.
Hesaplamayı basitleştirmek için, salınan cisme yalnızca iki kuvvetin etki ettiğini varsayarak sürtünme kuvvetini ihmal edeceğiz: itme ve geri getirme.Sonra, Newton'un ikinci yasasına göre,
salınan cismin kütlesi ve ivmesi nerede. Ancak § 27'de gösterildiği gibi, Sonra
salınan cismin yer değiştirmesi nerede. Formül (9)'a göre,
vücudun doğal salınımlarının dairesel frekansı nerede (yani, yalnızca geri getirme kuvvetinin eyleminin neden olduğu salınımlar). Bu yüzden
Denklem (22)'den, zorunlu salınımın genliği şu şekildedir:
Zorlanmış ve doğal salınımların dairesel frekanslarının oranına bağlıdır: Gerçekte sürtünmeden dolayı zorlanmış salınımların genliği ne zaman olacaktır?
nihai kalır. Zorlanmış salınımların frekansı sistemin doğal salınımlarının frekansına yakın olduğunda maksimum değerine ulaşır. Zorla salınımların genliğinde keskin bir artış olgusuna rezonans denir.
Rezonans kullanarak, küçük bir itici kuvvet aracılığıyla büyük genlikli bir salınım oluşturmak mümkündür. Örneğin, ortaya çıkan fiziksel sarkacın (Şekil 54) doğal salınımlarının frekansı, saat mekanizması dengeleyicisinin salınım frekansıyla çakışacak kadar uzun bir ipin üzerine bir cep veya kol saati asalım. Sonuç olarak saatin kendisi denge konumundan 30° açıyla saparak salınmaya başlayacaktır.
Rezonans olgusu, herhangi bir nitelikteki (mekanik, ses, elektriksel vb.) titreşimler sırasında meydana gelir. Akustikte - sesi yükseltmek için, radyo mühendisliğinde - elektriksel titreşimleri yükseltmek vb. için yaygın olarak kullanılır.
Bazı durumlarda rezonans zararlı bir rol oynar. Bu yapılara monte edilen mekanizmaların (makine aletleri, motorlar vb.) çalışması sırasında yapılarda (binalar, destekler, köprüler vb.) kuvvetli titreşime neden olabilir. Bu nedenle yapıları hesaplarken mekanizmaların titreşim frekansları ile yapıların doğal titreşimleri arasında önemli bir farkın olmasını sağlamak gerekir.
Sönümsüz salınımların başka bir türü teknolojide yaygındır - kendi kendine salınımlar olarak adlandırılan bu salınımlar, zorlanmış salınımlardan farklıdır, çünkü bunlarda salınımların enerji kayıpları çok kısa süreler için harekete geçirilen sabit bir enerji kaynağı tarafından yenilenir. (salınım periyoduyla karşılaştırıldığında). Üstelik bu kaynak, salınım sisteminin kendisi tarafından doğru zamanda otomatik olarak "açılır". Kendi kendine salınan sistemin bir örneği saat sarkacıdır. Burada, yükseltilmiş bir ağırlığın (veya deforme olmuş bir yayın) potansiyel enerjisi, bir ankraj mekanizması aracılığıyla devreye sokulur. Başka bir örnek, vakum tüplü kapalı bir salınım devresi olabilir; Bu kendi kendine salınan sistemin hareketini daha sonra öğreneceğiz (bkz. § 112).
Herhangi bir gerçek salınım sisteminde, hareketi sistemin enerjisinde bir azalmaya yol açan direnç kuvvetleri vardır. Enerji kaybı dış kuvvetlerin çalışmasıyla yenilenmezse salınımlar sönecektir. En basit ve aynı zamanda en sık karşılaşılan durumda direnç kuvveti F*hızla orantılı:
(41.1)
Burada R- direnç katsayısı adı verilen bir sabit. Eksi işareti kuvvetin olmasından kaynaklanmaktadır. F* ve hız v zıt yönlere sahip; bu nedenle eksene olan projeksiyonları X farklı işaretleri var.
Direnç kuvvetlerinin varlığında Newton'un ikinci yasasının denklemi şu şekildedir:
(41.2)
Gösterimi kullanma: (ω 0 ‑ çevre direncinin yokluğunda sistemin serbest salınımlarının meydana gelme sıklığını temsil eder. R= 0), Denklemi (41.2) aşağıdaki gibi yeniden yazalım:
(41.3)
Eğer sönüm çok güçlü değilse bu diferansiyel denklemin genel çözümü şöyledir:
(41.4)
Burada a 0 ve α isteğe bağlı sabitlerdir ve sönümlü salınımların döngüsel frekansıdır. İncirde. 41.1 sönümlü salınım denkleminin bir grafiğini gösterir. Noktalı çizgiler, salınım noktası x'in yer değiştirmesinin içinde bulunduğu sınırları gösterir.
Pirinç. 41.1.
Fonksiyon formuna (41.4) uygun olarak, sistemin hareketi, yasaya göre değişen bir genliğe sahip ω frekansının harmonik bir salınımı olarak düşünülebilir. A(T) = A 0 e ‑ β ∙ T. Şekil 2'deki noktalı eğrilerin üst kısmı. 41.1 fonksiyonun grafiğini verir A(T) ve değer A 0 başlangıçtaki genliği temsil eder. Ofseti başlat X 0 şunlara bağlıdır: A 0, ayrıca başlangıç aşamasından α: X 0 =A 0 ∙ çünkü α .
Salınım sönümleme oranı β = ile belirlenir R/2M zayıflama katsayısı denir. Genliğin azaldığı τ zamanını bulalım. e bir kere. A-tarikatı e ‑ β ∙ τ = e‑1, dolayısıyla β ∙ τ = 1. Sonuç olarak zayıflama katsayısı, genliğin azaldığı zaman periyodunun büyüklüğünün tersidir. e bir kere.
Bir periyotta farklılık gösteren zaman anlarına karşılık gelen genlik değerlerinin oranı eşittir.
Bu orana sönüm azalması adı verilir ve logaritmasına logaritmik sönüm azalması adı verilir: .
Bir salınımlı sistemi karakterize etmek için genellikle logaritmik sönüm azalması λ kullanılır. β'dan λ'ya ve T'ye kadar genliğin zamanla azalması yasası şu şekilde yazılabilir:
(41.5)
Genliğin e kat azaldığı τ süresi boyunca sistem tamamlamayı başarır. hayır= τ / T tereddüt. Koşul (41.5)'ten şu ortaya çıkıyor. Sonuç olarak, logaritmik sönüm azalması, genliğin şu kadar azaldığı süre boyunca gerçekleştirilen salınım sayısının büyüklüğünün tersidir: e bir kere.
Salınımlı bir sistemi karakterize etmek için miktar da sıklıkla kullanılır.salınım sisteminin kalite faktörü denir. Tanımından da anlaşılacağı üzere kalite faktörü salınım sayısıyla orantılıdır. hayır salınımların genliğinin azaldığı τ süresi boyunca sistem tarafından gerçekleştirilir. e bir kere.
Sönümleme katsayısı arttıkça salınım frekansı da artar. β = ω 0'da salınım frekansı kaybolur, yani hareket periyodik olmaktan çıkar.Sonuç olarak, hareket doğası gereği periyodik değildir (periyodik değildir); denge konumundan çıkarılan sistem, salınım yapmadan denge konumuna geri döner.
Zorlanmış titreşimler.
Bir dış periyodik kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir. zoraki.
Bu durumda dış kuvvet pozitif iş yaparak salınım sistemine enerji akışı sağlar. Sürtünme kuvvetlerinin etkisine rağmen titreşimlerin sönmesine izin vermez.
Periyodik bir dış kuvvet, çeşitli yasalara göre zamanla değişebilir. Özellikle ilgi çekici olan, ω frekansı ile harmonik bir yasaya göre değişen bir dış kuvvetin, belirli bir ω 0 frekansında kendi salınımlarını gerçekleştirebilen bir salınım sistemine etki etmesi durumudur.
Sistem parametreleri tarafından belirlenen ω 0 frekansında serbest salınımlar meydana gelirse, o zaman sabit zorlanmış salınımlar her zaman meydana gelirfrekans ω dış kuvvet .
Dış kuvvet salınım sistemine etki etmeye başladıktan sonra bir süre Δ T Zorunlu salınımlar oluşturmak için. Kuruluş süresi, büyüklük sırasına göre, salınım sistemindeki serbest salınımların sönümleme süresine (τ) eşittir.
İlk anda, her iki süreç de salınım sisteminde heyecanlanır - ω frekansında zorlanmış salınımlar ve ω 0 doğal frekansında serbest salınımlar. Ancak sürtünme kuvvetlerinin kaçınılmaz varlığı nedeniyle serbest titreşimler sönümlenir. Bu nedenle, bir süre sonra salınım sisteminde yalnızca harici itici kuvvetin ω frekansındaki sabit salınımlar kalır.
Yay üzerindeki yükün kararlı durum zorlanmış salınımları, yasaya göre dış etkinin frekansında meydana gelir:
|
Zorunlu salınımların genliği X m ve başlangıç fazı θ, ω 0 ve ω frekanslarının oranına ve dış kuvvetin genliğine bağlıdır.
Dış kuvvetin frekansı ω doğal frekans ω 0'a yaklaşırsa, zorlanmış salınımların genliğinde keskin bir artış meydana gelir. Bu fenomene denir rezonans . Genlik bağımlılığı X itici kuvvetin ω frekansından m zorlanmış salınımlara denir rezonans özelliği veya rezonans eğrisi(Şekil 41.2).
Sürtünmenin yokluğunda, rezonans sırasındaki zorlanmış salınımların genliği sınırsız olarak artmalıdır. Gerçek koşullarda, kararlı durum zorlanmış salınımların genliği şu koşula göre belirlenir: salınım periyodu boyunca dış kuvvetin işi, aynı zamanda sürtünmeden dolayı mekanik enerji kaybına eşit olmalıdır. Sürtünme ne kadar az olursa (yani kalite faktörü o kadar yüksek olur) Q salınım sistemi), rezonansta zorlanmış salınımların genliği o kadar büyük olur.
Kalite faktörü çok yüksek olmayan salınımlı sistemlerde rezonans frekansı biraz düşük frekanslara doğru kayar.
Rezonans olgusu, salınımlarının doğal frekansları, örneğin dengesiz bir motorun dönmesi nedeniyle ortaya çıkan, periyodik olarak etki eden bir kuvvetin frekansı ile çakışırsa, köprülerin, binaların ve diğer yapıların tahrip olmasına neden olabilir.
Pirinç. 41.2. Farklı zayıflama seviyelerindeki rezonans eğrileri: 1 – sürtünmesiz salınım sistemi; 2, 3, 4 – farklı kalite faktörlerine sahip salınımlı sistemler için gerçek rezonans eğrileri: Q 2 > Q 3 > Q 4 .
Zorlanmış titreşimler sönümsüz dalgalanmalar. Sürtünmeden kaynaklanan kaçınılmaz enerji kayıpları, periyodik olarak etki eden bir dış kaynaktan enerji temini ile telafi edilir.