görüntülü interkom 

Stokastik etkileşim modelleri. Ekonomide stokastik model. Deterministik ve stokastik modeller. Modelleme yöntemlerinin ve modellerin sınıflandırılması, modellerin detay derecesine göre, özelliklerin niteliğine göre, kapsama göre yapılabilir.

Stokastik bir modelin oluşturulması, incelenen süreci tanımlayan denklemler kullanılarak sistem davranışının geliştirilmesini, kalite değerlendirmesini ve incelenmesini içerir.

Bunun için gerçek bir sistemle özel bir deney yapılarak ilk bilgiler elde edilir. Bu durumda, bir deney planlama yöntemleri, sonuçları işleme ve ayrıca matematiksel istatistiklerin dağılım, korelasyon, regresyon analizi vb. bölümlerine dayanarak elde edilen modelleri değerlendirme kriterleri kullanılır.

Teknolojik süreci tanımlayan istatistiksel bir model oluşturma yöntemleri (Şekil 6.1) bir "kara kutu" kavramına dayanmaktadır. Bunun için girdi faktörlerinin çoklu ölçümleri mümkündür: x 1 ,x 2 ,…,x k ve çıkış parametreleri: y 1 ,y 2 ,…,y p, hangi bağımlılıkların kurulduğu sonuçlara göre:

İstatistiksel modellemede, problem (1) formüle edildikten sonra, sürecin gidişatını etkileyen çok sayıda girdi değişkeninden en az önemli faktörler taranır (2). Daha fazla araştırma için seçilen girdi değişkenleri, faktörlerin bir listesini oluşturur. x 1 ,x 2 ,…,x k(6.1), çıkış parametrelerini kontrol etmenin mümkün olduğunu kontrol ederek y n. Deney ve veri işleme maliyetini azaltmak için model çıktılarının sayısı da mümkün olduğunca azaltılmalıdır.

İstatistiksel bir model geliştirirken, yapısı (3) genellikle deneysel verilere yaklaşan kullanımı kolay işlevler biçiminde keyfi olarak ayarlanır ve ardından modelin yeterliliğinin değerlendirilmesine dayalı olarak rafine edilir.

Modelin polinom formu en yaygın olarak kullanılır. Yani, ikinci dereceden bir fonksiyon için:

(6.2)

nerede b 0 , ben , b ij , b ii regresyon katsayılarıdır.

Genellikle kendimizi ilk önce (6.2)'deki en basit doğrusal modelle sınırlandırırız. b ii =0, b ij =0. Yetersizliği durumunda, model, faktörlerin etkileşimini dikkate alan terimlerin tanıtılmasıyla karmaşıklaşır. x ben , x j ve (veya) ikinci dereceden terimler.

Devam eden deneylerden elde edilen bilgileri en üst düzeye çıkarmak ve sayılarını azaltmak için deneyler planlanır (4) yani. Problemi belirli bir doğrulukla çözmek için gerekli ve yeterli deneyleri yapmak için sayı ve koşulların seçimi.

İstatistiksel modeller oluşturmak için iki tür deney kullanılır: pasif ve aktif. Pasif deneyİstatistiksel analiz için geniş bir veri yelpazesi toplamayı mümkün kılan, kontrolsüz bir sürecin seyrinin uzun süreli gözlemi şeklinde gerçekleştirilir. İÇİNDE aktif deney deneylerin koşullarını kontrol etmek mümkündür. Gerçekleştirildiğinde, en etkili olanı, faktörlerin etkileşimini belirlemeyi ve deney sayısını azaltmayı mümkün kılan, belirli bir plana göre tüm faktörlerin büyüklüğünün aynı anda değişmesidir.

Deneylerin (5) sonuçlarına dayanarak, regresyon katsayıları (6.2) hesaplanır ve istatistiksel anlamlılıkları tahmin edilir, bu da modelin (6) yapımını tamamlar. Model (7)'nin yeterliliğinin ölçüsü varyanstır, yani. hesaplanan değerlerin deneysel olanlardan standart sapması. Elde edilen varyans, deneylerin elde edilen doğruluğu ile kabul edilebilir olanla karşılaştırılır.

4. Stokastik modeller oluşturma şeması

Stokastik bir modelin oluşturulması, incelenen süreci tanımlayan denklemler kullanılarak sistem davranışının geliştirilmesini, kalite değerlendirmesini ve incelenmesini içerir. Bunun için gerçek bir sistemle özel bir deney yapılarak ilk bilgiler elde edilir. Bu durumda, bir deney planlama yöntemleri, sonuçları işleme ve ayrıca matematiksel istatistiklerin dağılım, korelasyon, regresyon analizi vb. bölümlerine dayanarak elde edilen modelleri değerlendirme kriterleri kullanılır.

Stokastik bir modelin gelişim aşamaları:

    Sorunun formülasyonu

    faktör ve parametre seçimi

    model tipi seçimi

    deney planlaması

    Deneyin plana göre uygulanması

    istatistiksel bir model oluşturmak

    model doğrulama (8, 9, 2, 3, 4 ile ilgili)

    model ayarı

    bir modelle süreç keşfi (11 ile bağlantılı)

    optimizasyon parametrelerinin ve kısıtlamaların tanımı

    bir modelle süreç optimizasyonu (10 ve 13 ile bağlantılı)

    otomasyon ekipmanının deneysel bilgileri

    model ile süreç kontrolü (12 ile bağlantılı)

1'den 9'a kadar olan adımları birleştirmek bize bir bilgi modeli verir, 1'den 11'e kadar olan adımlar bize bir optimizasyon modeli verir ve tüm öğeleri birleştirmek bize bir yönetim modeli verir.

5. Modelleri işlemek için araçlar

CAE sistemlerini kullanarak, modelleri işlemek için aşağıdaki prosedürleri gerçekleştirebilirsiniz:

    bir 3B model üzerinde bir sonlu eleman ağının üst üste bindirilmesi,

    ısı stresli durum sorunları; akışkanlar dinamiği problemleri;

    ısı ve kütle transferi problemleri;

    iletişim görevleri;

    kinematik ve dinamik hesaplamalar, vb.

    Kuyruk modelleri ve Petri ağlarına dayalı karmaşık üretim sistemlerinin simülasyon modellemesi

Tipik olarak, CAE modülleri, görüntüleri renklendirme ve gri tonlamalı, orijinal ve deforme olmuş parçaları üst üste bindirme, sıvı ve gaz akışlarını görselleştirme yeteneği sağlar.

FEM'e göre fiziksel büyüklük alanlarını modellemek için sistem örnekleri: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Makro düzeyde dinamik süreçleri modellemek için sistem örnekleri: Adams ve Dyna - mekanik sistemlerde, Spice - elektronik devrelerde, PA9 - çok boyutlu modelleme için, yani. ilkeleri çeşitli nitelikteki fiziksel süreçlerin karşılıklı etkisine dayanan modelleme sistemleri için.

6. Matematiksel modelleme. Analitik ve simülasyon modelleri

Matematiksel model - tasarlanan teknik nesnenin bazı (temel) özelliklerini yeterince yansıtan bir dizi matematiksel nesne (sayılar, değişkenler, kümeler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkiler. Matematiksel modeller geometrik, topolojik, dinamik, mantıksal vb. olabilir.

- simüle edilen nesnelerin temsilinin yeterliliği;

Yeterlilik alanı, model hatalarının kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı parametre uzayındaki alandır.

- ekonomi (hesaplama verimliliği)- kaynakların maliyetine göre belirlenir,
modelin uygulanması için gerekli (bilgisayar zamanı, kullanılan bellek, vb.);

- kesinlik - hesaplanan ve gerçek sonuçların çakışma derecesini belirler (nesnenin aynı adının özelliklerinin tahminleri ile model arasındaki yazışma derecesi).

Matematiksel modelleme- matematiksel modeller oluşturma süreci. Aşağıdaki adımları içerir: sorunu ayarlama; model oluşturma ve analizi; model üzerinde tasarım çözümleri elde etmek için yöntemlerin geliştirilmesi; model ve yöntemlerin deneysel olarak doğrulanması ve düzeltilmesi.

Oluşturulan matematiksel modellerin kalitesi büyük ölçüde problemin doğru formülasyonuna bağlıdır. Çözülmekte olan problemin teknik ve ekonomik hedeflerini belirlemek, tüm ilk bilgileri toplamak ve analiz etmek, teknik sınırlamaları belirlemek için gereklidir. Model oluşturma sürecinde sistem analizi yöntemleri kullanılmalıdır.

Modelleme süreci, kural olarak, her yineleme adımında model geliştirmenin önceki aşamalarında alınan önceki kararların iyileştirilmesini sağlayan doğası gereği yinelemelidir.

Analitik Modeller -çıktı parametrelerinin iç ve dış parametrelere açık bağımlılıkları olarak temsil edilebilen sayısal matematiksel modeller. Simülasyon modelleri - sistem üzerindeki dış etkilerin varlığında sistemdeki süreçleri görüntüleyen sayısal algoritmik modeller. Algoritmik modeller, çıktı, iç ve dış parametreler arasındaki ilişkinin bir modelleme algoritması şeklinde örtük olarak belirtildiği modellerdir. Simülasyon modelleri genellikle sistem tasarımı düzeyinde kullanılır. Simülasyon modellemesi, model zamanında aynı anda veya sırayla meydana gelen olayların yeniden üretilmesiyle gerçekleştirilir. Simülasyon modelinin bir örneği, bir kuyruk sistemini simüle etmek için bir Petri ağının kullanılması olarak düşünülebilir.

7. Matematiksel modeller oluşturmak için temel ilkeler

Klasik (endüktif) yaklaşım. Modellenecek gerçek nesne, ayrı alt sistemlere bölünür, yani. modelleme için ilk veriler seçilir ve modelleme sürecinin belirli yönlerini yansıtan hedefler belirlenir. Ayrı bir başlangıç ​​verisi setine dayanarak, amaç sistemin işleyişinin ayrı bir yönünü modellemektir; bu hedef temelinde, gelecekteki modelin belirli bir bileşeni oluşturulur. Bileşen seti bir modelde birleştirilir.

Böyle bir klasik yaklaşım, gerçek bir nesnenin işleyişinin bireysel yönlerinin ayrılmasının ve karşılıklı olarak bağımsız olarak ele alınmasının mümkün olduğu oldukça basit modeller oluşturmak için kullanılabilir. Özelden genele hareketi uygular.

Sistem yaklaşımı. Dış sistemin analizinden bilinen ilk verilere dayanarak, sisteme yukarıdan veya uygulama olanaklarına dayalı olarak uygulanan kısıtlamalar ve işlevsellik amacı temelinde, başlangıçtaki gereksinimler. sistem modeli oluşturulmuştur. Bu gereksinimlere dayanarak, yaklaşık olarak bazı alt sistemler ve elemanlar oluşturulur ve sentezin en zor aşaması - özel seçim kriterlerinin kullanıldığı sistem bileşenlerinin seçimi - gerçekleştirilir. Sistem yaklaşımı aynı zamanda iki ana tasarım aşamasını ayırt etmekten oluşan belirli bir model geliştirme dizisini de ima eder: makro tasarım ve mikro tasarım.

Makro tasarım aşaması– gerçek sistem ve dış çevre hakkındaki verilere dayanarak, bir dış çevre modeli oluşturulur, bir sistem modeli oluşturmak için kaynaklar ve sınırlamalar belirlenir, gerçek sistemin yeterliliğini değerlendirmek için bir sistem modeli ve kriterler seçilir modeli. Sistemin işleyişinin verimliliği kriterine dayalı olarak bir sistem modeli ve bir dış çevre modeli oluşturduktan sonra, modelleme sürecinde, olasılığı gerçekleştirmeyi mümkün kılan en uygun kontrol stratejisi seçilir. modelin gerçek bir sistemin işleyişinin belirli yönlerini yeniden üretmesi.

mikro tasarım aşaması büyük ölçüde seçilen belirli model tipine bağlıdır. Simülasyon modeli söz konusu olduğunda bilgi, matematiksel, teknik ve yazılımsal modelleme sistemlerinin oluşturulmasını sağlamak gerekir. Bu aşamada, oluşturulan modelin temel özelliklerini belirlemek, model ile sistem işleyişi süreci arasında belirli bir yazışma kalitesi elde etmek için onunla çalışma süresini ve kaynak maliyetini değerlendirmek mümkündür. kullanılan model
inşa ederken, sistematik bir yaklaşımın bir dizi ilkesine rehberlik etmek gerekir:

    model oluşturma aşamaları ve yönleri boyunca orantılı-sıralı ilerleme;

    bilgi, kaynak, güvenilirlik ve diğer özelliklerin koordinasyonu;

    modelleme sistemindeki bireysel hiyerarşi seviyelerinin doğru oranı;

    model oluşturmanın bireysel izole aşamalarının bütünlüğü.

      Matematiksel modellemede kullanılan yöntemlerin analizi

Matematiksel modellemede kısmi türevli diferansiyel veya tam diferansiyel denklemlerin çözümü sayısal yöntemlerle yapılır. Bu yöntemler, bağımsız değişkenlerin ayrıklaştırılmasına dayanır - incelenen alanın seçilen düğüm noktalarında sonlu bir değerler kümesiyle temsil edilmeleri. Bu noktalar, bazı ızgaraların düğümleri olarak kabul edilir.

Izgara yöntemleri arasında en yaygın olarak kullanılan iki yöntem vardır: sonlu farklar yöntemi (FDM) ve sonlu elemanlar yöntemi (FEM). Genellikle kişi, uzamsal bağımsız değişkenlerin ayrıklaştırılmasını gerçekleştirir, yani. uzaysal bir ızgara kullanarak. Bu durumda, ayrıklaştırmanın sonucu, daha sonra sınır koşulları kullanılarak bir cebirsel denklem sistemine indirgenen bir adi diferansiyel denklem sistemidir.

Denklemi çözmek için gerekli olsun AG(z) = F(z)

verilen sınır koşulları ile OG(z) = .(z),

nerede L Ve M- diferansiyel operatörler, V(z) - faz değişkeni, z= (x 1, x 2, x 3, T) - bağımsız değişkenlerin vektörü, F(z) ve ψ.( z) bağımsız değişkenlerin fonksiyonları verilmiştir.

İÇİNDE MKR Türevlerin uzamsal koordinatlara göre cebirleştirilmesi, türevlerin sonlu fark ifadeleri ile yaklaştırılmasına dayanır. Yöntemi kullanırken, her koordinat ve şablon türü için ızgara adımlarını seçmeniz gerekir. Bir şablon, belirli bir noktada türevi yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılan değişkenlerin değerleri olan bir dizi düğüm noktası olarak anlaşılır.

fem türevlerin değil, çözümün kendisinin yaklaşımına dayanır V(z). Ancak bilinmediği için yaklaşıklık katsayıları belirsiz ifadelerle yapılır.

Bu durumda, sonlu elemanlar içinde çözümün yaklaşımlarından bahsediyoruz ve küçük boyutlarını dikkate alarak, nispeten basit yaklaşım ifadeleri (örneğin, düşük dereceli polinomlar) kullanmaktan bahsedebiliriz. Yer değiştirme sonucu bu tür polinomlar orijinal diferansiyel denkleme dönüştürülerek ve türev işlemleri yapılarak, verilen noktalarda faz değişkenlerinin değerleri elde edilir.

Polinom yaklaşımı. Yöntemlerin kullanımı, bir polinom tarafından düzgün bir fonksiyona yaklaşma ve daha sonra optimum noktanın koordinatını tahmin etmek için bir yaklaşım polinomu kullanma olasılığı ile ilişkilidir. Bu yaklaşımın etkin bir şekilde uygulanması için gerekli koşullar şunlardır: tek biçimlilik ve süreklilik incelenen fonksiyon. Weierstrass yaklaşım teoremine göre, eğer bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, o zaman yeterince yüksek dereceli bir polinom ile herhangi bir doğruluk derecesinde yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Weierstrass teoremine göre, yaklaşık polinom kullanılarak elde edilen optimum nokta koordinat tahminlerinin kalitesi iki şekilde geliştirilebilir: daha yüksek mertebeden bir polinom kullanarak ve yaklaşım aralığını azaltarak. Polinom interpolasyonunun en basit versiyonu, aralığın iç noktasında minimum değeri alan fonksiyonun en az ikinci dereceden olması gerektiği gerçeğine dayanan ikinci dereceden yaklaşımdır.

Disiplin "Tasarım çözümlerinin modelleri ve analiz yöntemleri" (Kazakov Yu.M.)

    Matematiksel modellerin sınıflandırılması.

    Matematiksel modellerin soyutlama seviyeleri.

    Matematiksel modeller için gereksinimler.

    Stokastik modeller oluşturmak için şema.

    Model işleme araçları.

    Matematiksel modelleme. Analitik ve simülasyon modelleri.

    Matematiksel modeller oluşturmak için temel ilkeler.

    Matematiksel modellemede uygulanan yöntemlerin analizi.

1. Matematiksel modellerin sınıflandırılması

Matematiksel model Teknik bir nesnenin (MM), bu nesneyi geliştiren bir mühendisin ilgisini çeken teknik bir nesnenin özelliklerini yeterince yansıtan bir dizi matematiksel nesne (sayılar, değişkenler, matrisler, kümeler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkilerdir.

Nesnenin özelliklerini görüntülemenin doğası gereği:

    İşlevsel - teknik sistemlerde operasyonları sırasında meydana gelen fiziksel veya bilgi süreçlerini görüntülemek için tasarlanmıştır. Tipik bir fonksiyonel model, ya elektriksel, termal, mekanik süreçleri ya da bilgi dönüşüm süreçlerini tanımlayan bir denklem sistemidir.

    Yapısal - nesnenin yapısal özelliklerini gösterir (topolojik, geometrik). . Yapısal modeller çoğunlukla grafiklerle temsil edilir.

Hiyerarşik düzeye ait olarak:

    Mikro seviye modelleri - sürekli uzay ve zamanda fiziksel süreçlerin gösterimi. Modelleme için matematiksel fizik denklemleri aparatı kullanılır. Bu tür denklemlere örnek olarak kısmi diferansiyel denklemler verilebilir.

    makro düzey modeller. Genişleme, mekanın detaylandırılması temel olarak kullanılmaktadır. Makro düzeydeki fonksiyonel modeller, cebirsel veya adi diferansiyel denklem sistemleridir, bunların türetilmesi ve çözümü için uygun sayısal yöntemler kullanılır.

    Metolevel modelleri. İncelenen nesnelerin genişletilmiş açıklaması. Üst düzeyde matematiksel modeller - adi diferansiyel denklem sistemleri, mantıksal denklem sistemleri, kuyruk sistemlerinin simülasyon modelleri.

Model nasıl alınır:

    Teorik - çalışma kalıpları temelinde inşa edilmiştir. Ampirik modellerin aksine, teorik modeller çoğu durumda daha evrenseldir ve daha geniş bir görev yelpazesine uygulanabilir. Teorik modeller doğrusal ve doğrusal olmayan, sürekli ve ayrık, dinamik ve istatistikseldir.

    ampirik

CAD'deki matematiksel modeller için temel gereksinimler:

    simüle edilen nesnelerin temsilinin yeterliliği;

Model, nesnenin verilen özelliklerini kabul edilebilir bir doğrulukla yansıtırsa ve yansıtılan özellikler ve yeterlilik alanları listesi ile değerlendirilirse yeterlilik gerçekleşir. Yeterlilik alanı, model hatalarının kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı parametre uzayındaki alandır.

    ekonomi (hesaplama verimliliği)– modeli uygulamak için gereken kaynakların maliyetine göre belirlenir (bilgisayar süresi, kullanılan bellek, vb.);

    kesinlik- hesaplanan ve gerçek sonuçların çakışma derecesini belirler (nesnenin aynı adının özelliklerinin tahminleri ile model arasındaki yazışma derecesi).

Matematiksel modellere bir dizi başka gereksinim de uygulanır:

    hesaplanabilirlik, yani bir nesnenin (sistem) işleyişinin nitel ve nicel modellerini incelemek için manuel veya bilgisayar yardımıyla olasılığı.

    modülerlik, yani model yapılarının nesnenin (sistemin) yapısal bileşenlerine uygunluğu.

    algoritmalanabilirlik, yani uygun bir algoritma ve bir bilgisayarda matematiksel bir model uygulayan bir program geliştirme olasılığı.

    görünürlük, yani modelin uygun görsel algısı.

Tablo. Matematiksel modellerin sınıflandırılması

sınıflandırma işaretleri

Matematiksel model türleri

1. Hiyerarşik bir düzeye ait olmak

    Mikro seviye modeller

    Makro düzey modeller

    Meta seviye modelleri

2. Nesnenin görüntülenen özelliklerinin doğası

    Yapısal

    fonksiyonel

3. Nesne özelliklerini temsil etme yolu

    Analitik

    algoritmik

    simülasyon

4. Model nasıl alınır

    Teorik

    ampirik

5. Nesnenin davranışının özellikleri

    deterministik

    olasılıksal

Mikro düzeyde matematiksel modellerüretim sürecinin, örneğin metalleri keserken meydana gelen fiziksel süreçleri yansıtır. Geçiş düzeyindeki süreçleri tanımlarlar.

Makro düzeyde matematiksel modellerüretim süreci teknolojik süreçleri tanımlar.

Üst düzeyde matematiksel modellerüretim sürecinin teknolojik sistemleri (bölümler, atölyeler, bir bütün olarak işletme) tanımlar.

Yapısal matematiksel modeller nesnelerin yapısal özelliklerini görüntülemek için tasarlanmıştır. Örneğin, CAD TP'de, teknolojik sürecin yapısını, ürün paketlemesini temsil etmek için yapısal-mantıksal modeller kullanılır.

Fonksiyonel matematiksel modellerİşletim ekipmanında, teknolojik süreçler vb. sırasında meydana gelen bilgileri, fiziksel, zamansal süreçleri görüntülemek için tasarlanmıştır.

Teorik matematiksel modeller teorik düzeyde nesnelerin (süreçlerin) incelenmesinin bir sonucu olarak yaratılır.

Ampirik matematiksel modeller deneyler (bir nesnenin özelliklerinin giriş ve çıkıştaki parametrelerini ölçerek dışsal tezahürlerini incelemek) ve sonuçlarının matematiksel istatistik yöntemlerini kullanarak işlenmesi sonucunda oluşturulur.

Deterministik matematiksel modeller bir nesnenin davranışını şimdiki ve gelecekteki tam bir kesinlik açısından tanımlar. Bu tür modellerin örnekleri: fiziksel yasaların formülleri, parçaların işlenmesi için teknolojik süreçler, vb.

Olasılıksal matematiksel modeller rastgele faktörlerin nesnenin davranışı üzerindeki etkisini dikkate alın, yani. geleceğini belirli olayların olasılığı açısından değerlendirir.

Analitik Modeller - çıktı parametrelerinin iç ve dış parametrelere açık bağımlılıkları olarak temsil edilebilen sayısal matematiksel modeller.

Algoritmik matematiksel modellerÇıkış parametreleri ile giriş ve iç parametreler arasındaki ilişkiyi bir algoritma şeklinde ifade eder.

Simülasyon matematiksel modeller- bunlar, süreç (nesne) üzerindeki dış etkileri belirtirken, sürecin gelişimini (incelenen nesnenin davranışı) zamanında yansıtan algoritmik modellerdir. Örneğin, bunlar algoritmik bir biçimde verilen kuyruk sistemleri modelleridir.

"Ekonomi ve Yönetim" Serisi

6. Kondratiev N.D. Büyük konjonktür döngüleri ve öngörü teorisi. - M.: Ekonomi, 2002. 768 s.

7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Tahmin, stratejik planlama ve ulusal programlama. M.: Yayınevi "Ekonomi", 2008. 573 s.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Girişim piyasasının oluşumu ve gelişimi bağlamında inovasyon ekonomisinin modernizasyonu // Sosyal bilimler. M.: Yayınevi "MII Nauka", 2011. No. 1. S. 278-285.

9. Şekerin V.D., Kuznetsova Ö.S. Bir inovasyon proje yönetimi stratejisinin geliştirilmesi // Moskova Devlet İşletme Akademisi Bülteni. Seri: Ekonomi. - 2013. No. 1 (20). - S. 129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.Ş. Rus ekonomisinin yenilikçi kalkınma türüne alternatif yoktur // Yenilikçi ekonominin güncel sorunları. M.: Yayınevi "Bilim"; Rusya Federasyonu Başkanına bağlı Rusya Sanat ve Bilim Akademisi Yönetim ve Pazarlama Enstitüsü, 2012. No. 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Endüstriyel işletmelerin inovasyon odaklı gelişimine çevresel yaklaşımın kullanılması // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Cilt. 11, No.2, - S. 189-194.

12. Düdin M.N. Büyük ve küçük işletmelerin etkileşim biçimlerini belirlemeye yönelik sistematik bir yaklaşım // European Journal of Economic Studies. 2012. Cilt (2), sayı 2, sayfa 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Sosyo-Ekonomik Sistemlerin Yenilikçi Dönüşümü ve Dönüşüm Potansiyeli // Orta Doğu Bilimsel Araştırmalar Dergisi, 2013. Cilt. 17, No. 10. S. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. İş yapılarının stratejik sürdürülebilir gelişiminin yönetimi için bir yöntem olarak yenilikçi öngörü // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Cilt. 26, No. 8. - S. 1086-1089.

15. Şekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

Üretim sürecinin tek parametreli, stokastik modelinin oluşturulması

Doktora Doç. Mordasov Yu.P.

Makine Mühendisliği Üniversitesi, 8-916-853-13-32, [e-posta korumalı] gi

Dipnot. Yazar, bir parametreye bağlı olarak üretim sürecinin matematiksel, stokastik bir modelini geliştirmiştir. Model test edilmiştir. Bunun için üretim, makine yapım sürecinin bir simülasyon modeli, rastgele bozulma-arızaların etkisi dikkate alınarak oluşturulmuştur. Matematiksel ve simülasyon modelleme sonuçlarının karşılaştırılması, matematiksel modelin pratikte uygulanmasının uygunluğunu onaylar.

Anahtar kelimeler: teknolojik süreç, matematiksel, simülasyon modeli, işlemsel kontrol, onaylama, rastgele bozulmalar.

Operasyonel planlama maliyetleri ile planlanan göstergelerin gerçek üretim süreçlerinin göstergeleri ile uyumsuzluğundan kaynaklanan kayıplar arasında optimum olanı bulmanızı sağlayan bir metodoloji geliştirerek operasyonel yönetimin maliyetleri önemli ölçüde azaltılabilir. Bu, geri besleme döngüsünde sinyalin optimal süresini bulmak anlamına gelir. Pratikte bu, montaj birimlerini üretime başlatmak için takvim çizelgelerinin hesaplama sayısında bir azalma ve bu nedenle malzeme kaynaklarından tasarruf anlamına gelir.

Makine mühendisliğinde üretim sürecinin seyri, doğası gereği olasılıklıdır. Sürekli değişen faktörlerin sürekli etkisi, belirli bir perspektif (ay, çeyrek) için üretim sürecinin uzay ve zaman içindeki seyrini tahmin etmeyi mümkün kılmaz. İstatistiksel çizelgeleme modellerinde, belirli bir zaman noktasındaki bir parçanın durumu, farklı işyerlerinde bulunmasının uygun bir olasılığı (olasılık dağılımı) şeklinde verilmelidir. Ancak, işletmenin nihai sonucunun determinizmini sağlamak gerekir. Bu da, deterministik yöntemler kullanarak, üretimde olacak parçalar için belirli koşulları planlama olasılığını ifade eder. Bununla birlikte, deneyimler, gerçek üretim süreçlerinin çeşitli ara bağlantılarının ve karşılıklı geçişlerinin çeşitli ve çok sayıda olduğunu göstermektedir. Deterministik modeller geliştirirken, bu önemli zorluklar yaratır.

Üretimin gidişatını etkileyen tüm faktörleri hesaba katma girişimi, modeli hantal hale getirir ve bir planlama, muhasebe ve düzenleme aracı olarak işlev görmez.

Çok sayıda farklı faktöre bağlı olan karmaşık gerçek süreçlerin matematiksel modellerini oluşturmak için daha basit bir yöntem, hesaba katılması zor hatta imkansız olan stokastik modellerin oluşturulmasıdır. Bu durumda, gerçek bir sistemin çalışma prensiplerini analiz ederken veya bireysel özelliklerini gözlemlerken, bazı parametreler için olasılık dağılım fonksiyonları oluşturulur. Prosesin nicel özelliklerinin yüksek istatistiksel kararlılığı ve bunların küçük dağılımları varlığında, oluşturulan model kullanılarak elde edilen sonuçlar gerçek sistemin performansı ile iyi bir uyum içindedir.

Ekonomik süreçlerin istatistiksel modellerini oluşturmak için ana ön koşullar şunlardır:

Karşılık gelen deterministik modelin aşırı karmaşıklığı ve buna bağlı ekonomik verimsizliği;

Model üzerindeki deney sonucunda elde edilen teorik göstergelerin, gerçekten işleyen nesnelerin göstergelerinden büyük sapmaları.

Bu nedenle, stokastik bozulmaların üretim sürecinin küresel özellikleri (ticari çıktı, devam eden iş hacmi, vb.) üzerindeki etkisini tanımlayan basit bir matematiksel aygıta sahip olmak arzu edilir. Yani, az sayıda parametreye bağlı olan ve farklı nitelikteki birçok faktörün üretim sürecinin seyri üzerindeki toplam etkisini yansıtan üretim sürecinin matematiksel bir modelini oluşturmak. Bir araştırmacının bir model oluştururken kendisine vermesi gereken ana görev, gerçek bir sistemin parametrelerinin pasif gözlemi değil, bozulmaların etkisi altındaki herhangi bir sapma ile, görüntülenen parametrelerin parametrelerini getirecek bir modelin inşasıdır. belirli bir mod için işlemler. Yani herhangi bir rastgele faktörün etkisi altında, sistemde planlı bir çözüme yakınsayan bir süreç oluşturulmalıdır. Şu anda, otomatik kontrol sistemlerinde bu işlev, esas olarak, üretim süreçlerinin yönetiminde geri bildirim zincirindeki bağlantılardan biri olan bir kişiye atanır.

Gerçek üretim sürecinin analizine dönelim. Genellikle, planlama döneminin süresi (atölyelere plan verme sıklığı), geleneksel olarak belirlenmiş takvim zaman aralıklarına göre seçilir: vardiya, gün, beş gün, vb. Esas olarak pratik düşünceler tarafından yönlendirilirler. Planlama döneminin minimum süresi, planlanan organların operasyonel yetenekleri tarafından belirlenir. İşletmenin üretim ve sevkiyat departmanı, mağazalara ayarlanmış vardiya görevlerinin verilmesi ile başa çıkıyorsa, her vardiya için hesaplama yapılır (yani, her vardiyada planlanan hedeflerin hesaplanması ve analizi ile ilgili maliyetler yapılır).

Rastgele olasılık dağılımının sayısal özelliklerini belirlemek için

Bir dizi "Ekonomi ve Yönetim" rahatsızlığı, tek bir montaj birimi üretmenin gerçek bir teknolojik sürecinin olasılıklı bir modelini oluşturacaktır. Burada ve bundan sonra, bir montaj ünitesinin imalatının teknolojik süreci, teknolojide belgelenen bir dizi işlem (bu parçaların veya tertibatların imalatı için yapılan işler) anlamına gelir. Ürünlerin teknolojik rotaya uygun olarak üretildiği her teknolojik işlem ancak bir öncekinden sonra gerçekleştirilebilir. Sonuç olarak, bir montaj birimi üretmenin teknolojik süreci, bir dizi olay-operasyondur. Çeşitli stokastik nedenlerin etkisi altında, bireysel bir operasyonun süresi değişebilir. Bazı durumlarda bu vardiyalı işin geçerliliği süresince işlem tamamlanmayabilir. Bu olayların temel bileşenlere ayrılabileceği açıktır: performans ve performans olmama olasılıkları ile de uyumlu hale getirilebilecek bireysel işlemlerin performansı ve gerçekleştirilmemesi.

Belirli bir teknolojik süreç için, K işlemlerinden oluşan bir dizi gerçekleştirme olasılığı aşağıdaki formülle ifade edilebilir:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

burada: P1 - ayrı ayrı alınan 1. işlemi gerçekleştirme olasılığı; r, teknolojik süreçte sıralanan işlem sayısıdır.

Bu formül, belirli bir planlama döneminin stokastik özelliklerini, üretime sunulan ürün yelpazesini ve belirli bir planlama döneminde yapılması gereken işlerin listesini ve bunların ampirik olarak belirlenen stokastik özelliklerini belirlemek için kullanılabilir. , bilinmektedir. Uygulamada, yalnızca yüksek istatistiksel özellik stabilitesine sahip belirli seri üretim türleri, listelenen gereksinimleri karşılar.

Tek bir işlemi gerçekleştirme olasılığı yalnızca dış etkenlere değil, aynı zamanda yapılan işin özel doğasına ve montaj biriminin tipine de bağlıdır.

Yukarıdaki formülün parametrelerini belirlemek için, nispeten küçük bir montaj birimi seti ile bile, üretilen ürün yelpazesinde küçük değişikliklerle, önemli miktarda deneysel veri gereklidir, bu da önemli malzeme ve organizasyon maliyetlerine neden olur ve bu yöntemi aşağıdakiler için yapar: Kesintisiz üretim olasılığının belirlenmesi zor uygulanabilir ürünler.

Elde edilen modeli sadeleştirme olasılığı için çalışmaya tabi tutalım. Analizin ilk değeri, üretim ürünlerinin teknolojik sürecinin bir işleminin hatasız olarak yürütülmesi olasılığıdır. Gerçek üretim koşullarında, her türden işlemi gerçekleştirme olasılıkları farklıdır. Belirli bir teknolojik süreç için bu olasılık şunlara bağlıdır:

Yapılan işlemin türünden;

Belirli bir montaj biriminden;

Paralel olarak üretilen ürünlerden;

dış etkenlerden.

Bir işlemi gerçekleştirme olasılığındaki dalgalanmaların, bu model kullanılarak belirlenen üretim ürünlerinin üretim sürecinin (ticari çıktı hacmi, devam eden iş hacmi vb.) toplu özellikleri üzerindeki etkisini analiz edelim. Çalışmanın amacı, modelde bir işlemi gerçekleştirmenin çeşitli olasılıklarını ortalama değerle değiştirme olasılığını analiz etmektir.

Tüm bu faktörlerin birleşik etkisi, ortalama teknolojik sürecin bir işlemini gerçekleştirmenin ortalama geometrik olasılığını hesaplarken dikkate alınır. Modern üretimin bir analizi, biraz dalgalandığını gösteriyor: pratik olarak 0,9 - 1,0 arasında.

Bir işlemi gerçekleştirme olasılığının ne kadar düşük olduğunun açık bir örneği

telsiz 0,9 değerine karşılık gelir, aşağıdaki soyut örnektir. Diyelim ki yapacak on parçamız var. Her birinin üretim teknolojik süreçleri on işlem içerir. Her işlemin gerçekleşme olasılığı 0,9'dur. Farklı sayıda teknolojik süreç için programın gerisinde kalma olasılıklarını bulalım.

Bir montaj birimini imal etmek için belirli bir teknolojik sürecin programın gerisinde kalacağı gerçeğinden oluşan rastgele bir olay, bu süreçte en az bir işlemin düşük performansına karşılık gelir. Bir olayın tersidir: tüm işlemlerin hatasız yürütülmesi. Olasılığı 1 - 0.910 = 0.65'tir. Program gecikmeleri bağımsız olaylar olduğundan, Bernoulli olasılık dağılımı, farklı sayıda süreç için program gecikme olasılığını belirlemek için kullanılabilir. Hesaplama sonuçları Tablo 1'de gösterilmektedir.

tablo 1

Teknolojik süreç takviminin gerisinde kalma olasılıklarının hesaplanması

C^o0.35k0.651O-k için Toplam

Tablo, 0.92 olasılıkla, beş teknolojik sürecin programın gerisinde kalacağını, yani yarıya düşeceğini göstermektedir. Programın gerisinde kalan teknolojik süreçlerin sayısının matematiksel beklentisi 6,5 olacaktır. Bu, ortalama olarak 10'dan 6,5 montaj ünitesinin programın gerisinde kalacağı, yani ortalama olarak 3 ila 4 parçanın hatasız üretileceği anlamına gelir. Yazar, gerçek üretimde bu kadar düşük düzeyde bir emek örgütlenmesinin örneklerinden habersizdir. Dikkate alınan örnek, bir işlemi hatasız gerçekleştirme olasılığının değerine getirilen kısıtlamanın uygulamayla çelişmediğini açıkça göstermektedir. Tüm bu gereksinimler, makine yapımı üretiminin makine montaj atölyelerinin üretim süreçleri tarafından karşılanmaktadır.

Bu nedenle, üretim süreçlerinin stokastik özelliklerini belirlemek için, bir teknolojik sürecin operasyonel yürütülmesi için bir olasılık dağılımının oluşturulması önerilmiştir; bu, bir montaj biriminin imalatı için bir dizi teknolojik işlemin geometrik ortalama olasılığı aracılığıyla gerçekleştirme olasılığını ifade eder. tek işlem yapmak. Bu durumda K işlemlerini gerçekleştirme olasılığı, (K + T) işlemini gerçekleştirmeme olasılığı ile çakışan teknolojik sürecin geri kalanını gerçekleştirmeme olasılığı ile çarpılan her bir işlemi gerçekleştirme olasılıklarının çarpımına eşit olacaktır. )-th işlemi. Bu durum, herhangi bir işlem yapılmazsa aşağıdaki işlemlerin de yapılamayacağı gerçeğiyle açıklanmaktadır. Son giriş, tüm teknolojik sürecin başarısızlığı olmadan tam geçiş olasılığını ifade ettiği için diğerlerinden farklıdır. Teknolojik sürecin ilk işlemlerinin K gerçekleştirme olasılığı, geri kalan işlemleri gerçekleştirmeme olasılığı ile benzersiz bir şekilde ilişkilidir. Böylece, olasılık dağılımı aşağıdaki forma sahiptir:

PY=0)=p°(1-p),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

burada: ^ - rastgele değer, gerçekleştirilen işlemlerin sayısı;

p, bir işlemi gerçekleştirmenin geometrik ortalama olasılığıdır, n, teknolojik süreçteki işlem sayısıdır.

Elde edilen tek parametreli olasılık dağılımının uygulamasının geçerliliği, aşağıdaki akıl yürütmeden sezgisel olarak anlaşılmaktadır. n'nin yeterince büyük olduğu n elemanlı bir örnek üzerinde bir 1 işlem gerçekleştirme olasılığının geometrik ortalamasını hesapladığımızı varsayalım.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

burada: Iy - aynı yürütme olasılığına sahip işlemlerin sayısı; ] - aynı yürütme olasılığına sahip bir grup işlem dizini; m - aynı yürütme olasılığına sahip işlemlerden oluşan grupların sayısı;

^ = - - yürütme olasılığı p^ ile işlemlerin göreceli sıklığı.

Sınırsız sayıda işlemle büyük sayılar yasasına göre, belirli stokastik özelliklere sahip bir işlem dizisinde meydana gelme göreceli sıklığı, olasılıkta bu olayın olasılığına yönelir. Bunu nereden takip ediyor

yeterince büyük iki örnek için = , o zaman:

burada: t1, t2 - sırasıyla birinci ve ikinci numunelerdeki grup sayısı;

1*, I2 - sırasıyla birinci ve ikinci numuneler grubundaki eleman sayısı.

Buradan, parametre çok sayıda test için hesaplanırsa, bu oldukça büyük örnek için hesaplanan P parametresine yakın olacağı görülebilir.

Farklı sayıda proses işlemi gerçekleştirme olasılıklarının gerçek değerine farklı yakınlığa dikkat edilmelidir. Sonuncusu hariç dağılımın tüm unsurlarında bir faktör (I - P) vardır. P parametresinin değeri 0,9 - 1,0 aralığında olduğundan, faktör (I - P) 0 - 0,1 arasında dalgalanır. Bu çarpan, orijinal modeldeki çarpana (I - p;) karşılık gelir. Deneyimler, belirli bir olasılık için bu yazışmanın %300'e kadar hataya neden olabileceğini göstermektedir. Bununla birlikte, pratikte, genellikle herhangi bir sayıda işlemi gerçekleştirme olasılıkları ile değil, teknolojik süreç hatası olmadan tam yürütme olasılığı ile ilgilenilir. Bu olasılık bir faktör (I - P) içermez ve bu nedenle gerçek değerden sapması küçüktür (pratik olarak% 3'ten fazla değildir). Ekonomik görevler için bu oldukça yüksek bir doğruluktur.

Bu şekilde oluşturulan bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, bir montaj biriminin üretim sürecinin stokastik bir dinamik modelidir. Zaman, bir işlemin süresi olarak dolaylı olarak ona katılır. Model, belirli bir süre sonra (karşılık gelen işlem sayısı) bir montaj ünitesinin üretim sürecinin kesintiye uğramama olasılığını belirlemenizi sağlar. Makine yapımı üretiminin mekanik montaj atölyeleri için, bir teknolojik sürecin ortalama işlem sayısı oldukça fazladır (15 - 80). Bu sayıyı bir temel sayı olarak kabul edersek ve ortalama olarak, bir montaj ünitesinin imalatında, küçük bir dizi büyütülmüş iş kullanıldığını varsayarsak (torna, çilingir, freze vb.),

daha sonra ortaya çıkan dağılım, stokastik bozulmaların üretim süreci üzerindeki etkisini değerlendirmek için başarıyla kullanılabilir.

Yazar, bu prensibe dayalı olarak bir simülasyon deneyi yürütmüştür. 0.9 - 1.0 aralığında düzgün bir şekilde dağılmış bir sözde rastgele değişkenler dizisi oluşturmak için, içinde açıklanan bir sözde rastgele sayı üreteci kullanıldı. Deneyin yazılımı COBOL algoritmik dilinde yazılmıştır.

Deneyde, belirli bir teknolojik sürecin tam olarak uygulanmasının gerçek olasılıklarını simüle ederek, oluşturulan rastgele değişkenlerin ürünleri oluşturulur. Aynı dağılımdaki belirli bir rastgele sayı dizisi için hesaplanan geometrik ortalama değeri kullanılarak elde edilen teknolojik işlemi gerçekleştirme olasılığı ile karşılaştırılır. Geometrik ortalama, çarpımdaki faktör sayısına eşit bir güce yükseltilir. Bu iki sonuç arasında yüzde olarak nispi fark hesaplanır. Deney, ürünlerdeki farklı sayıda faktör ve geometrik ortalamanın hesaplandığı sayı sayısı için tekrarlanır. Deney sonuçlarının bir parçası Tablo 2'de gösterilmektedir.

Tablo 2

Simülasyon deney sonuçları:

n geometrik ortalamanın derecesidir; k - ürünün derecesi

n Ürün Sapmasına Ürün Sapmasına Ürün Sapmasına

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Bu simülasyon deneyini kurarken amaç, olasılık dağılımını (2) kullanarak, üretim sürecinin genişletilmiş istatistiksel özelliklerinden birini elde etme olasılığını araştırmaktı - aşağıdakilerden oluşan bir montaj birimini imal etmek için bir teknolojik süreç gerçekleştirme olasılığı. K operasyonları hatasız. Belirli bir teknolojik süreç için bu olasılık, tüm işlemlerini gerçekleştirme olasılıklarının ürününe eşittir. Simülasyon deneyinin gösterdiği gibi, geliştirilen olasılık modeli kullanılarak elde edilen olasılıktan göreli sapmaları %9'u geçmez.

Simülasyon deneyi gerçek olasılık dağılımından daha uygunsuz bir dağılım kullandığından, pratik tutarsızlıklar daha da küçük olacaktır. Ortalama özelliklerden elde edilen değerin hem azalma yönünde hem de aşma yönünde sapmalar görülmektedir. Bu gerçek, tek bir teknolojik sürecin değil, birkaçının hatasız yürütme olasılığının sapmasını düşünürsek, o zaman çok daha az olacağını göstermektedir. Açıkçası, ne kadar küçük olursa, o kadar teknolojik süreçler dikkate alınacaktır. Bu nedenle, simülasyon deneyi, tek parametreli bir matematiksel model kullanılarak elde edilen olasılık ile üretim ürünlerinin teknolojik sürecinin hatasız gerçekleştirme olasılığı arasında iyi bir anlaşma olduğunu göstermektedir.

Ek olarak, simülasyon deneyleri yapıldı:

Olasılık dağılımı parametre tahmininin istatistiksel yakınsamasını incelemek için;

Hatasız gerçekleştirilen işlem sayısının matematiksel beklentisinin istatistiksel kararlılığını incelemek;

Planlanan ve üretim dönemleri zamanında örtüşmüyorsa, minimum planlama döneminin süresini belirleme ve üretim sürecinin planlanan ve gerçekleşen göstergeleri arasındaki tutarsızlığı değerlendirme yöntemlerini analiz etmek.

Deneyler, tekniklerin kullanılmasıyla elde edilen teorik veriler ile simülasyon yoluyla elde edilen ampirik veriler arasında iyi bir uyum olduğunu göstermiştir.

"Ekonomi ve Yönetim" Serisi

Gerçek üretim süreçlerinin bilgisayarı.

Yazar, oluşturulan matematiksel modelin uygulanmasına dayanarak, operasyonel yönetimin verimliliğini artırmak için üç özel yöntem geliştirmiştir. Onayları için ayrı simülasyon deneyleri yapıldı.

1. Planlama dönemi için üretim görevinin rasyonel hacmini belirleme metodolojisi.

2. Operasyonel planlama döneminin en etkili süresini belirleme metodolojisi.

3. Planlanan ve üretim dönemleri arasında zaman uyumsuzluğu olması durumunda uyumsuzluğun değerlendirilmesi.

Edebiyat

1. Mordasov Yu.P. Rastgele rahatsızlıkların etkisi altında minimum operasyonel planlama süresinin belirlenmesi / Bilgisayarlar kullanılarak ekonomik-matematiksel ve simülasyon modellemesi. - M: MIU im. S. Ordzhonikidze, 1984.

2. Naylor T. Ekonomik sistem modelleri ile makine simülasyon deneyleri. -M: Mir, 1975.

Yoğunlaşmadan çeşitlendirmeye geçiş, küçük ve orta ölçekli işletmelerin ekonomisini geliştirmenin etkili bir yoludur.

Prof. Kozlenko N. N. Makine Mühendisliği Üniversitesi

Dipnot. Bu makale, yoğunlaşma stratejisinden çeşitlendirme stratejisine geçiş yoluyla Rus küçük ve orta ölçekli işletmelerinin en etkili gelişimini seçme sorununu ele almaktadır. Çeşitlendirmenin uygunluğu, avantajları, çeşitlendirme yolunu seçme kriterleri dikkate alınır, çeşitlendirme stratejilerinin bir sınıflandırması verilir.

Anahtar kelimeler: küçük ve orta ölçekli işletmeler; çeşitlendirme; stratejik uyum; rekabet avantajları.

Makro ortamın parametrelerinde aktif bir değişiklik (piyasa koşullarındaki değişiklikler, ilgili endüstrilerde yeni rakiplerin ortaya çıkması, genel olarak rekabet düzeyinde bir artış) genellikle küçük ve orta ölçekli stratejik planların yerine getirilmemesine yol açar. -büyük ölçekli işletmeler, küçük işletmelerin faaliyetleri için nesnel koşullar ile yönetim teknolojilerinin seviyesi arasındaki önemli bir boşluk nedeniyle işletmelerin finansal ve ekonomik istikrarının kaybı.

Ekonomik istikrar için ana koşullar ve rekabet avantajlarını koruma olasılığı, yönetim sisteminin zamanında yanıt verme ve iç üretim süreçlerini değiştirme yeteneğidir (çeşitlendirmeyi dikkate alarak ürün çeşitliliğini değiştirin, üretim ve teknolojik süreçleri yeniden oluşturun, yapıyı değiştirin). organizasyon, yenilikçi pazarlama ve yönetim araçları kullanın).

Rus küçük ve orta ölçekli işletmelerinin üretim türü ve hizmet uygulamalarına ilişkin bir araştırma, küçük işletmelerin yoğunlaşmadan çeşitlendirmeye geçişindeki mevcut eğilimle ilgili aşağıdaki özellikleri ve temel neden-sonuç ilişkilerini ortaya çıkarmıştır.

KOBİ'lerin çoğu, yerel veya bölgesel pazarlara hizmet veren küçük, tek boyutlu işletmeler olarak başlar. Faaliyetinin başlangıcında, böyle bir şirketin ürün yelpazesi çok sınırlıdır, sermaye tabanı zayıftır ve rekabetçi konumu kırılgandır. Tipik olarak, bu tür şirketlerin stratejisi, satış büyümesi ve pazar payının yanı sıra

Stokastik model, belirsizliğin olduğu durumu tanımlar. Başka bir deyişle, süreç bir dereceye kadar rastgelelik ile karakterize edilir. "Stokastik" sıfatının kendisi Yunanca "tahmin" kelimesinden gelir. Belirsizlik günlük yaşamın temel bir özelliği olduğundan, böyle bir model her şeyi tanımlayabilir.

Ancak her uyguladığımızda sonuç farklı olacaktır. Bu nedenle, deterministik modeller daha sık kullanılır. Gerçek duruma mümkün olduğu kadar yakın olmasalar da, her zaman aynı sonucu verirler ve durumu anlamayı kolaylaştırırlar, bir takım matematiksel denklemler sunarak basitleştirirler.

Ana Özellikler

Bir stokastik model her zaman bir veya daha fazla rastgele değişken içerir. Gerçek hayatı tüm tezahürleriyle yansıtmaya çalışır. Stokastikten farklı olarak, her şeyi basitleştirmeyi ve bilinen değerlere indirmeyi amaçlamaz. Bu nedenle, belirsizlik onun temel özelliğidir. Stokastik modeller herhangi bir şeyi açıklamak için uygundur, ancak hepsinin aşağıdaki ortak özellikleri vardır:

  • Herhangi bir stokastik model, yaratıldığı problemin tüm yönlerini yansıtır.
  • Her olayın sonucu belirsizdir. Bu nedenle, model olasılıkları içermektedir. Genel sonuçların doğruluğu, hesaplamalarının doğruluğuna bağlıdır.
  • Bu olasılıklar, süreçlerin kendilerini tahmin etmek veya tanımlamak için kullanılabilir.

Deterministik ve stokastik modeller

Bazıları için hayat, diğerleri için bir ardışıklık gibi görünüyor - nedenin sonucu belirlediği süreçler. Aslında, belirsizlik ile karakterizedir, ancak her zaman ve her şeyde değil. Bu nedenle, stokastik ve deterministik modeller arasında net farklılıklar bulmak bazen zordur. Olasılıklar oldukça özneldir.

Örneğin, bir yazı tura durumunu düşünün. İlk bakışta, yazı alma şansı %50 gibi görünüyor. Bu nedenle, deterministik bir model kullanılmalıdır. Bununla birlikte, gerçekte, oyuncuların ellerinin maharetine ve madalyonun dengelenmesinin mükemmelliğine bağlı olduğu ortaya çıktı. Bu, stokastik bir modelin kullanılması gerektiği anlamına gelir. Her zaman bilmediğimiz parametreler vardır. Gerçek hayatta, neden her zaman sonucu belirler, ancak belirli bir derecede belirsizlik de vardır. Deterministik ve stokastik modelleri kullanma arasındaki seçim, neyi bırakmak istediğimize bağlıdır - analizin basitliği veya gerçekçilik.

kaos teorisinde

Son zamanlarda, hangi modelin stokastik olarak adlandırıldığı kavramı daha da bulanıklaştı. Bu, sözde kaos teorisinin gelişmesinden kaynaklanmaktadır. Başlangıç ​​parametrelerinde küçük bir değişiklikle farklı sonuçlar verebilen deterministik modelleri açıklar. Bu, belirsizliğin hesaplanmasına bir giriş gibidir. Hatta birçok bilim insanı bunun zaten stokastik bir model olduğunu kabul etti.

Lothar Breuer, şiirsel görüntülerin yardımıyla her şeyi zarif bir şekilde açıkladı. Şöyle yazdı: “Bir dağ deresi, atan bir kalp, çiçek hastalığı salgını, yükselen duman sütunu - tüm bunlar, göründüğü gibi, bazen şansla karakterize edilen dinamik bir fenomenin bir örneğidir. Gerçekte, bu tür süreçler her zaman bilim adamlarının ve mühendislerin henüz yeni anlamaya başladıkları belirli bir düzene tabidir. Bu sözde determinist kaostur.” Yeni teori kulağa çok mantıklı geliyor, bu yüzden birçok modern bilim adamı onun destekçisi. Bununla birlikte, hala çok az gelişmiş durumda ve istatistiksel hesaplamalarda uygulamak oldukça zor. Bu nedenle, stokastik veya deterministik modeller sıklıkla kullanılır.

Bina

Stokastik, temel sonuçların uzayının seçimi ile başlar. Bu nedenle istatistikte, incelenen süreç veya olayın olası sonuçlarının listesini çağırırlar. Araştırmacı daha sonra temel sonuçların her birinin olasılığını belirler. Genellikle bu belirli bir teknik temelinde yapılır.

Bununla birlikte, olasılıklar hala oldukça öznel bir parametredir. Ardından araştırmacı, problemi çözmek için hangi olayların en ilginç olduğunu belirler. Bundan sonra, sadece olasılıklarını belirler.

Örnek vermek

En basit stokastik modeli oluşturma sürecini düşünün. Diyelim ki bir zar atıyoruz. "Altı" veya "bir" düşerse, kazancımız on dolar olacaktır. Bu durumda stokastik bir model oluşturma süreci şöyle görünecektir:

  • Temel sonuçların uzayını tanımlayalım. Zarfın altı yüzü vardır, yani bir, iki, üç, dört, beş ve altı gelebilir.
  • Zarı ne kadar atarsak atalım, sonuçların her birinin olasılığı 1/6'ya eşit olacaktır.
  • Şimdi bizi ilgilendiren sonuçları belirlememiz gerekiyor. Bu, "altı" veya "bir" numaralı bir yüzün kaybıdır.
  • Son olarak, ilgilendiğimiz olayın olasılığını belirleyebiliriz. 1/3'tür. Bizi ilgilendiren her iki temel olayın olasılıklarını toplarız: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Konsept ve sonuç

Stokastik simülasyon genellikle kumarda kullanılır. Ancak, durumu deterministik olanlardan daha derinden anlamanıza izin verdiği için ekonomik tahminlerde de vazgeçilmezdir. Ekonomide stokastik modeller genellikle yatırım kararlarının alınmasında kullanılır. Belirli varlıklara veya gruplarına yapılan yatırımların karlılığı hakkında varsayımlarda bulunmanıza izin verir.

Modelleme, finansal planlamayı daha verimli hale getirir. Onun yardımıyla yatırımcılar ve tüccarlar varlıklarının dağılımını optimize eder. Stokastik modellemeyi kullanmanın uzun vadede her zaman avantajları vardır. Bazı endüstrilerde, bunu reddetme veya uygulayamama, işletmenin iflasına bile yol açabilir. Bunun nedeni, gerçek hayatta her gün yeni önemli parametrelerin ortaya çıkması ve ortaya çıkmazsa feci sonuçlara yol açabilmesidir.

480 ovmak. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Tez - 480 ruble, nakliye 10 dakika Günde 24 saat, haftanın yedi günü ve tatiller

Demidova Anastasia Vyacheslavovna Tek aşamalı süreçlerin stokastik modellerini oluşturma yöntemi: tez ... Fizik ve Matematik Bilimleri Adayı: 05.13.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [Savunma Yeri: Rusya Halkların Dostluk Üniversitesi].- Moskova, 2014.- 126 P.

Tanıtım

Bölüm 1. Tez konusu ile ilgili çalışmaların gözden geçirilmesi 14

1.1. Nüfus dinamiği modellerine genel bakış 14

1.2. Stokastik popülasyon modelleri 23

1.3. Stokastik Diferansiyel Denklemler 26

1.4. Stokastik hesap hakkında bilgi 32

Bölüm 2 Tek Adımlı Süreç Modelleme Yöntemi 39

2.1. Tek adımlı süreçler. Kolmogorov-Chapman denklemi. Temel kinetik denklem 39

2.2. Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi. 47

2.3. Sayısal simülasyon 56

Bölüm 3 Tek aşamalı süreçleri modelleme yönteminin uygulanması 60

3.1. Nüfus dinamiğinin stokastik modelleri 60

3.2. Çeşitli türler arası ve tür içi etkileşimlere sahip popülasyon sistemlerinin stokastik modelleri 75

3.3. Ağ solucanlarının yayılmasının stokastik modeli. 92

3.4. Eşler arası protokollerin stokastik modelleri 97

Sonuç 113

edebiyat 116

Stokastik diferansiyel denklemler

Tezin amaçlarından biri, bir sistem için stokastik bir diferansiyel denklem yazma görevidir, böylece stokastik terim incelenen sistemin yapısı ile ilişkilendirilir. Bu probleme olası bir çözüm, aynı denklemden stokastik ve deterministik kısımları elde etmektir. Bu amaçlar için, Fokker-Planck denklemi ile yaklaşık olarak tahmin edilebilen temel kinetik denklemi kullanmak uygundur, bunun için de Langevin denklemi şeklinde eşdeğer bir stokastik diferansiyel denklem yazılabilir.

Bölüm 1.4. stokastik diferansiyel denklem ile Fokker-Planck denklemi arasındaki ilişkiyi göstermek için gerekli temel bilgileri ve ayrıca stokastik hesabın temel kavramlarını içerir.

İkinci bölüm, rastgele süreçler teorisinden temel bilgiler sağlar ve bu teori temelinde, tek adımlı süreçleri modellemek için bir yöntem formüle edilir.

Bölüm 2.1, rastgele tek adımlı süreçler teorisinden temel bilgiler sağlar.

Tek adımlı işlemler, geçiş matrisi yalnızca bitişik bölümler arasında geçişlere izin veren tamsayılar bölgesinde değerler alan sürekli zamanlı Markov işlemleri olarak anlaşılır.

Çok boyutlu tek adımlı bir süreci ele alıyoruz Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ), (0.1) Є , X() işleminin belirtildiği zaman aralığının uzunluğu nerede. G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1, rastgele bir işlemin alabileceği ayrık değerler kümesidir.

Bu tek adımlı süreç için, sırasıyla Xj durumundan Xj__i ve Xj_i durumuna s+ ve s birim zaman başına geçiş olasılıkları tanıtılır. Bu durumda, x durumundan birim zaman başına iki veya daha fazla adıma geçiş olasılığının çok küçük olduğu kabul edilir. Bu nedenle, sistemin Xj durum vektörünün Г( uzunluğundaki adımlarla değiştiğini söyleyebiliriz ve daha sonra x'ten Xj+i ve Xj_i'ye geçişler yerine, sırasıyla X'ten X + Гі ve X - Гі'ya geçişleri düşünebiliriz. .

Sistem elemanlarının etkileşimi sonucunda zamansal evrimin meydana geldiği sistemleri modellerken, ana kinetik denklemi (başka bir isim ana denklemdir ve İngiliz literatüründe Ana denklem olarak adlandırılır) kullanarak açıklamak uygundur.

Daha sonra, temel kinetik denklemden Langevin denklemi şeklinde bir stokastik diferansiyel denklem yardımıyla, incelenen sistemin tek adımlı süreçlerle açıklanan bir tanımının nasıl elde edileceği sorusu ortaya çıkar. Resmi olarak, yalnızca stokastik fonksiyonları içeren denklemler stokastik denklemler olarak sınıflandırılmalıdır. Bu nedenle, yalnızca Langevin denklemleri bu tanımı karşılar. Ancak bunlar, Fokker-Planck denklemi ve temel kinetik denklem gibi diğer denklemlerle doğrudan ilişkilidir. Dolayısıyla tüm bu denklemleri bir arada düşünmek mantıklı görünüyor. Bu nedenle, bu sorunu çözmek için, Langevin denklemi şeklinde eşdeğer bir stokastik diferansiyel denklem yazmanın mümkün olduğu Fokker-Planck denklemi ile ana kinetik denklemin yaklaşıklaştırılması önerilmiştir.

Bölüm 2.2, çok boyutlu tek adımlı süreçlerle tanımlanan sistemlerin tanımlanması ve stokastik modellemesi için bir yöntem formüle eder.

Ayrıca, Fokker-Planck denklemi için katsayıların, çalışılan sistem için etkileşim şeması, durum değişim vektörü r ve s+ ve s- geçiş olasılıkları için ifadeler yazıldıktan hemen sonra elde edilebileceği gösterilmiştir, yani. Bu yöntemin pratik uygulamasında ana kinetik denklemi yazmaya gerek yoktur.

Bölüm 2.3. Elde edilen sonuçları göstermek için üçüncü bölümde kullanılan stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için Runge-Kutta yöntemi ele alınmıştır.

Üçüncü bölüm, "avcı-av", simbiyoz, rekabet ve bunların etkileşimleri gibi etkileşimli popülasyonların büyümesinin dinamiklerini tanımlayan sistemler örneğini kullanarak, ikinci bölümde açıklanan stokastik modeller oluşturma yönteminin uygulamasının bir gösterimini sunar. değişiklikler. Amaç, bunları stokastik diferansiyel denklemler olarak yazmak ve stokastiği tanıtmanın sistemin davranışı üzerindeki etkisini araştırmaktır.

Bölüm 3.1'de. ikinci bölümde açıklanan yöntemin uygulaması “avcı-avcı” modeli örneği üzerinde gösterilmiştir. “Yırtıcı-avcı” türündeki iki tür popülasyonun etkileşimi olan sistemler, geniş çapta incelenmiştir, bu da elde edilen sonuçların zaten iyi bilinenlerle karşılaştırmasını mümkün kılmaktadır.

Elde edilen denklemlerin analizi, sistemin deterministik davranışını incelemek için elde edilen stokastik diferansiyel denklemin sürüklenme vektörü A'nın kullanılabileceğini göstermiştir, yani. Geliştirilen yöntem hem stokastik hem de deterministik davranışı analiz etmek için kullanılabilir. Ayrıca stokastik modellerin sistemin davranışının daha gerçekçi bir tanımını sağladığı sonucuna varılmıştır. Özellikle, deterministik durumda “avcı-avcı” sistemi için, denklemlerin çözümleri periyodik bir forma sahiptir ve faz hacmi korunurken, stokastiklerin modele dahil edilmesi faz hacminde monoton bir artış sağlar, bu da popülasyonlardan birinin veya her ikisinin kaçınılmaz ölümünü gösterir. Elde edilen sonuçları görselleştirmek için sayısal simülasyon yapılmıştır.

Bölüm 3.2. Geliştirilen yöntem, av, simbiyoz, rekabet ve üç popülasyonun etkileşimi modeli arasındaki türler arası rekabeti dikkate alarak "avcı-av" modeli gibi çeşitli stokastik popülasyon dinamikleri modellerini elde etmek ve analiz etmek için kullanılır.

Stokastik hesap hakkında bilgi

Rastgele süreçler teorisinin gelişimi, doğal fenomenlerin incelenmesinde deterministik temsillerden ve popülasyon dinamiği modellerinden olasılıklı olanlara geçişe ve bunun sonucunda matematiksel biyolojide stokastik modellemeye ayrılmış çok sayıda çalışmanın ortaya çıkmasına neden oldu. kimya, ekonomi vb.

Deterministik popülasyon modelleri göz önüne alındığında, çeşitli faktörlerin sistemin evrimi üzerindeki rastgele etkileri gibi önemli noktalar ortaya çıkmamaktadır. Popülasyon dinamiklerini tanımlarken, bireylerin üreme ve hayatta kalmasının rastgele doğasının yanı sıra, çevrede zaman içinde meydana gelen ve sistem parametrelerinde rastgele dalgalanmalara yol açan rastgele dalgalanmalar da dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, bu anları yansıtan olasılıksal mekanizmalar, herhangi bir popülasyon dinamiği modeline dahil edilmelidir.

Stokastik modelleme, hem tüm deterministik faktörleri hem de deterministik modellerden elde edilen sonuçları önemli ölçüde değiştirebilen rastgele etkileri hesaba katarak, popülasyon özelliklerindeki değişikliklerin daha eksiksiz bir tanımını sağlar. Öte yandan, nüfus davranışının niteliksel olarak yeni yönlerini ortaya çıkarmak için kullanılabilirler.

Nüfus durumlarındaki değişimlerin stokastik modelleri, rastgele süreçler kullanılarak tanımlanabilir. Bazı varsayımlar altında, mevcut durumu göz önüne alındığında nüfusun davranışının bu duruma nasıl ulaşıldığına bağlı olmadığını varsayabiliriz (yani, sabit bir şimdi ile gelecek geçmişe bağlı değildir). O. Nüfus dinamiği süreçlerini modellemek için, makalenin ikinci bölümünde ayrıntılı olarak açıklanan Markov doğum-ölüm süreçlerini ve ilgili kontrol denklemlerini kullanmak uygundur.

N. N. Kalinkin, çalışmalarında, etkileşimli elemanlara sahip sistemlerde meydana gelen süreçleri göstermek için etkileşim şemalarını kullanır ve bu şemalara dayanarak, Markov işlemlerinin dallanma aparatını kullanarak bu sistemlerin modellerini oluşturur. Bu yaklaşımın uygulanması, kimyasal, nüfus, telekomünikasyon ve diğer sistemlerdeki modelleme süreçleri örneği ile gösterilmiştir.

Makale, inşası için doğum-ölüm süreçleri aparatının kullanıldığı olasılıksal popülasyon modellerini ve sonuçta ortaya çıkan diferansiyel fark denklem sistemlerini rastgele süreçler için dinamik denklemler olarak ele almaktadır. Makale ayrıca bu denklemlere çözüm bulma yöntemlerini de ele almaktadır.

Popülasyon sayısındaki değişikliklerin dinamiklerini etkileyen çeşitli faktörleri hesaba katan stokastik modellerin oluşturulmasına yönelik birçok makale bulabilirsiniz. Bu nedenle, örneğin, makalelerde, bireylerin zararlı maddeler içeren gıda kaynaklarını tükettiği biyolojik bir topluluğun büyüklüğünün dinamiklerinin bir modeli oluşturulur ve analiz edilir. Ve popülasyon evrimi modelinde, makale popülasyon temsilcilerinin habitatlarına yerleşme faktörünü dikkate almaktadır. Model, kendi kendine tutarlı bir Vlasov denklemleri sistemidir.

Fizik, kimya, biyoloji vb. doğum-ölüm süreçleri gibi doğa bilimlerinde dalgalanmalar teorisine ve stokastik yöntemlerin uygulanmasına ayrılmış çalışmaları belirtmekte fayda var.

“Yırtıcı-av” modeli, doğum-ölüm süreçlerinin gerçekleşmesi olarak düşünülebilir. Bu yorumda, bilimin birçok alanında modeller için kullanılabilirler. 1970'lerde, M. Doi, yaratma-yok etme operatörlerine dayalı bu tür modelleri incelemek için bir yöntem önerdi (ikinci nicemleme ile benzer şekilde). Burada çalışmayı işaretleyebilirsiniz. Ek olarak, bu yöntem şu anda M. M. Gnatich grubunda aktif olarak geliştirilmektedir.

Popülasyon dinamiği modellerini modellemeye ve incelemeye yönelik başka bir yaklaşım, optimal kontrol teorisi ile ilişkilidir. Burada çalışmayı işaretleyebilirsiniz.

Popülasyon süreçlerinin stokastik modellerinin inşasına yönelik çalışmaların çoğunun, diferansiyel fark denklemlerini ve ardından sayısal uygulamayı elde etmek için rastgele süreçler aparatını kullandığı belirtilebilir. Ayrıca, Langevin formundaki stokastik diferansiyel denklemler yaygın olarak kullanılmaktadır; burada stokastik terim, sistemin davranışı hakkındaki genel düşüncelerden eklenmektedir ve rastgele çevresel etkileri tanımlamayı amaçlamaktadır. Modelin daha fazla incelenmesi, kalitatif analizleri veya sayısal yöntemler kullanarak çözüm bulmadır.

Stokastik diferansiyel denklemler Tanım 1. Bir stokastik diferansiyel denklem, bir veya daha fazla terimin stokastik bir süreci temsil ettiği bir diferansiyel denklemdir. Stokastik diferansiyel denklemin (SDE) en çok kullanılan ve iyi bilinen örneği, beyaz gürültüyü tanımlayan ve Wiener süreci Wt, t 0 olarak görülebilen bir terime sahip bir denklemdir.

Stokastik diferansiyel denklemler, çeşitli rastgele bozulmalara maruz kalan dinamik sistemlerin incelenmesi ve modellenmesinde önemli ve yaygın olarak kullanılan bir matematiksel araçtır.

Doğal fenomenlerin stokastik modellemesinin başlangıcı, 1827'de bitki poleninin bir sıvıdaki hareketini incelediği sırada R. Brown tarafından keşfedilen Brown hareketi fenomeninin tanımı olarak kabul edilir. Bu fenomenin ilk titiz açıklaması bağımsız olarak A. Einstein ve M. Smoluchowski tarafından verildi. A. Einstein ve M. Smoluchowski'nin Brownian hareketi üzerine çalışmalarının toplandığı makale koleksiyonunu belirtmekte fayda var. Bu çalışmalar, Brownian hareket teorisinin gelişimine ve deneysel doğrulamasına önemli katkılarda bulunmuştur. A. Einstein, Brownian hareketinin nicel tanımı için moleküler bir kinetik teori yarattı. Elde edilen formüller, 1908-1909'da J. Perrin'in deneyleriyle doğrulandı.

Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi.

Etkileşen elemanlara sahip sistemlerin evrimini tanımlamak için iki yaklaşım vardır - bu deterministik veya stokastik modellerin inşasıdır. Deterministikten farklı olarak, stokastik modeller, incelenen sistemlerde meydana gelen süreçlerin olasılıksal doğasının yanı sıra model parametrelerinde rastgele dalgalanmalara neden olan dış ortamın etkilerinin dikkate alınmasına izin verir.

Çalışmanın konusu, tek aşamalı süreçler kullanılarak tanımlanabilen ve bir durumdan diğerine geçişin sistem öğelerinin etkileşimi ile ilişkili olduğu süreçler olan sistemlerdir. Bir örnek, "avcı-avcı", simbiyoz, rekabet ve bunların modifikasyonları gibi etkileşimli popülasyonların büyüme dinamiklerini tanımlayan modellerdir. Amaç, bu tür sistemler için SDE'yi yazmak ve deterministik davranışı tanımlayan denklemin çözümünün davranışına stokastik kısmın eklenmesinin etkisini araştırmaktır.

Kimyasal kinetik

Etkileşen elemanlara sahip sistemleri tanımlarken ortaya çıkan denklem sistemleri, birçok yönden kimyasal reaksiyonların kinetiğini tanımlayan diferansiyel denklem sistemlerine benzer. Böylece, örneğin, Lotka-Volterra sistemi başlangıçta Lotka tarafından bazı varsayımsal kimyasal reaksiyonları tanımlayan bir sistem olarak çıkarsanmıştı ve ancak daha sonra Volterra onu "avcı-avcı" modelini tanımlayan bir sistem olarak çıkardı.

Kimyasal kinetik, kimyasal reaksiyonları, sözde stokiyometrik denklemler - reaktanların ve kimyasal reaksiyon ürünlerinin nicel oranlarını yansıtan ve aşağıdaki genel forma sahip denklemler yardımıyla tanımlar: burada doğal sayılar mі ve U stokiyometrik katsayılar olarak adlandırılır. Bu, reaktif Xi'nin ti moleküllerinin, Xp reaktifinin ni2 moleküllerinin, ..., tr reaktifinin Xp moleküllerinin, reaksiyona giren, Yї maddesinin u moleküllerini oluşturduğu kimyasal bir reaksiyonun sembolik bir kaydıdır, I2 maddesinin u molekülleri, ..., nq Yq maddesinin molekülleri, sırasıyla .

Kimyasal kinetikte, bir kimyasal reaksiyonun yalnızca reaktiflerin doğrudan etkileşimi ile gerçekleşebileceğine inanılır ve kimyasal reaksiyon hızı, birim hacim başına birim zamanda oluşan partikül sayısı olarak tanımlanır.

Kimyasal kinetiğin temel varsayımı, bir kimyasal reaksiyonun hızının, stokiyometrik katsayılarının güçlerinde tepkenlerin konsantrasyonlarının çarpımı ile doğru orantılı olduğunu söyleyen kütle hareketi yasasıdır. Bu nedenle, karşılık gelen maddelerin konsantrasyonlarını XI ve y I ile gösterirsek, kimyasal reaksiyon sonucunda bir maddenin konsantrasyonundaki zaman içinde değişim hızı için bir denklemimiz olur:

Ayrıca, aşağıdaki ana değişiklikleri yaparak, bu sistemin elemanlarının birbirleriyle etkileşiminin bir sonucu olarak zaman içinde evrimi meydana gelen sistemleri tanımlamak için kimyasal kinetiğin temel fikirlerinin kullanılması önerilmiştir: 1. reaksiyon hızları değil göz önüne alındığında, ancak geçiş olasılıkları; 2. Bir etkileşimin sonucu olan bir durumdan diğerine geçiş olasılığının, bu türden olası etkileşimlerin sayısıyla orantılı olduğu önerilmiştir; 3. Bu yöntemde sistemi tanımlamak için ana kinetik denklem kullanılır; 4. deterministik denklemler stokastik denklemlerle değiştirilir. Bu tür sistemlerin tanımına benzer bir yaklaşım eserlerde bulunabilir. Simüle edilmiş sistemde meydana gelen süreçleri tanımlamak için yukarıda belirtildiği gibi Markov tek adımlı süreçleri kullanması gerekir.

Birbirleriyle çeşitli şekillerde etkileşime girebilen farklı eleman türlerinden oluşan bir sistem düşünün. -th türündeki bir öğeyle, burada = 1 ile ve - ile -th türündeki öğelerin sayısıyla gösterilir.

İzin vermek (), .

Dosyanın bir bölümden oluştuğunu varsayalım. Böylece, dosyayı indirmek isteyen yeni düğüm ile dosyayı dağıtan düğüm arasındaki etkileşimin bir adımında, yeni düğüm tüm dosyayı indirir ve dağıtım düğümü olur.

Let yeni düğümün tanımıdır, dağıtım düğümüdür ve etkileşim katsayısıdır. Yeni düğümler sisteme yoğun bir şekilde girebilir ve dağıtan düğümler yoğun bir şekilde sistemden ayrılabilir. Daha sonra etkileşim şeması ve r vektörü şöyle görünecektir:

Langevin formundaki bir stokastik diferansiyel denklem, karşılık gelen formül (1.15) kullanılarak 100 elde edilebilir. Çünkü sürüklenme vektörü A, sistemin deterministik davranışını tam olarak tanımlar, yeni müşteri ve tohum sayısının dinamiklerini tanımlayan bir adi diferansiyel denklem sistemi elde edebilirsiniz:

Böylece, parametre seçimine bağlı olarak, tekil nokta farklı bir karaktere sahip olabilir. Böylece, /3A 4/I2 için tekil nokta sabit bir odaktır ve ters ilişki için sabit bir düğümdür. Her iki durumda da tekil nokta sabittir, çünkü katsayı değerlerinin seçimi sistem değişkenlerinde iki yörüngeden biri boyunca değişiklikler olabilir. Tekil nokta bir odak ise, sistemde yeni ve dağıtım düğümlerinin sayısında sönümlü salınımlar meydana gelir (bkz. Şekil 3.12). Ve düğüm durumunda, sayıların sabit değerlere yaklaşması, titreşimsiz bir modda gerçekleşir (bkz. Şekil 3.13). Her iki durum için sistemin faz portreleri sırasıyla grafiklerde (3.14) ve (3.15) gösterilmektedir.

hata:İçerik korunmaktadır!!