หนึ่งในกรณีที่สำคัญที่สุดของโซ่มาร์คอฟเป็นที่รู้จักกันในฐานะกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ กระบวนการนี้สามารถมีช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องและเงื่อนไขที่กำหนดคือการเปลี่ยนผ่านจะได้รับอนุญาตเฉพาะกับรัฐใกล้เคียงเท่านั้น

พิจารณากระบวนการของความตายและการสืบพันธุ์ด้วยเวลาต่อเนื่อง กระบวนการดังกล่าวเป็นแบบจำลองของการเปลี่ยนแปลงประชากร

กระบวนการอยู่ในสถานะ ถึงเธอ, หากประชากรระดับเสียง (จำนวน) เท่ากับ; การเปลี่ยนเป็นเงื่อนไข ec สอดคล้องกับการเสียชีวิตของสมาชิกคนหนึ่งของประชากรและการเปลี่ยนไปสู่รัฐ EC + - เกิด

กระบวนการนี้สามารถดูเป็นแบบจำลอง SMO ซึ่ง ecสอดคล้องกับ ถึง แอปพลิเคชันในระบบและการเปลี่ยนเป็นสถานะ ek- หรือ EC + - ดูแลแอปพลิเคชันจากระบบหรือการมาถึงของมัน

สำหรับกระบวนการของความตายและการสืบพันธุ์กับหลายรัฐ 0, 1.2, ... ต้องดำเนินการตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ที่นี่ p (+ i; bt; k) - ความน่าจะเป็น ผม. เกิดสำหรับเวลา bt. ระบุว่าจำนวนประชากรเท่ากัน ถึง; p (-i; bt; k) - ความน่าจะเป็น ผม. เสียชีวิตภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน

ตามเงื่อนไขเหล่านี้การเกิดหลายครั้งการตายหลายครั้งและการเกิดและการเสียชีวิตพร้อมกันเป็นระยะเวลาเล็กน้อยในแง่ที่ว่าความเป็นไปได้ของเหตุการณ์หลายเหตุการณ์เหล่านี้มีคำสั่งของขนาดเล็กเกี่ยวกับ (6G) คุณสมบัตินี้ดังต่อไปนี้จากคุณสมบัติของการแจกแจงแบบเลขชี้กำลังดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้

เราพบว่าเป็นไปได้ว่าปริมาณของประชากรในบางช่วงเวลาเท่ากัน ถึง P (K, T) \u003d P.

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงในปริมาณของประชากรในช่วงเวลา (t, t + 5 /) ในช่วงเวลาของเวลา t + bt กระบวนการจะสามารถ ถึง, หากหนึ่งในสามเอกสิทธิ์ร่วมกันซึ่งกันและกันเกิดขึ้นและสร้างกลุ่มกิจกรรมเต็มรูปแบบของเหตุการณ์:

• 1) ในช่วงเวลาของเวลา ต. ปริมาณของประชากรเท่ากับ: และระหว่าง bt. เงื่อนไขไม่เปลี่ยนแปลง
• 2) ในช่วงเวลาของเวลา ต. ปริมาณของประชากรเท่ากัน ถึง - 1 และระหว่าง bt.สมาชิกคนหนึ่งของประชากรเกิด;
• 3) ในช่วงเวลาของเวลา ต. ปริมาณของประชากรเท่ากัน ถึง + 1 และระหว่าง bt.เสียชีวิตสมาชิกคนหนึ่งของประชากร

จากนั้นโอกาสที่ในช่วงเวลาของเวลา t + bt กระบวนการจะสามารถ ek, เท่ากัน

ความเท่าเทียมกันที่ลดลงทำให้รู้สึกเมื่อ k\u003e โอ้เนื่องจากประชากรไม่สามารถประกอบด้วย (-1) สมาชิก ความเท่าเทียมกันขอบเขต ถึง \u003d o มีรูปแบบ:

นอกจากนี้เงื่อนไขของการฟื้นฟูควรดำเนินการ

การจัดสรรในสมการ (49.3) และ (49.5) p (k) และแบ่งปันบน bk รับ

ย้ายไปที่ขีด จำกัด เมื่อ bt. -\u003e 0, เรามี:

ดังนั้นกระบวนการที่น่าเชื่อถือในคำถามจึงอธิบายไว้โดยระบบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น สมการเหล่านี้สามารถรับได้โดยตรงบนพื้นฐานของแผนภูมิสถานะ (รูปที่ 49.2)

รูปที่. 49.2

เงื่อนไข ek แสดงให้เห็นโดยวงรีที่เขียนตัวเลข ถึง.การเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐจะถูกแสดงโดยลูกศรที่มีการนำเสนอความเข้มของการเปลี่ยนผ่าน

ความแตกต่างระหว่างความเข้มที่ระบบเข้าสู่สถานะ ek, และความเข้มที่มันออกมาควรเท่ากับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงการไหลในสถานะนี้

สตรีมความเข้มสู่สถานะ

ความเข้มไหลจากสถานะ ~

ความแตกต่างระหว่างพวกเขาเท่ากับความเข้มที่มีประสิทธิภาพของสตรีมน่าจะเป็นของรัฐ

การแก้ปัญหาของระบบนี้เป็นไปไม่ได้โดยทั่วไป รุ่นแม้ระบบง่าย ๆ นั้นซับซ้อนมากและยากต่อการวิเคราะห์ หากเราพิจารณาสปีชีส์ SMO ที่ซับซ้อนมากขึ้นปัญหาการคำนวณจะสูงขึ้น ดังนั้นโซลูชั่นระบบ (49.3) - (49.4) มักจะถือว่า (49.4) ในโหมดคงที่ ต. -\u003e OO, p "(k; t) -> 0, p (k, t) -> p (k) \u003d const

กระบวนการผสมพันธุ์บริสุทธิ์

สำหรับกระบวนการนี้ p * \u003d o, a * \u003d a \u003d const สามารถดูได้เป็นแบบจำลองการไหลของแอปพลิเคชันที่ได้รับใน SMO ระบบสมการสำหรับกระบวนการนี้มีแบบฟอร์ม:

ให้เงื่อนไขเริ่มต้นมีดังนี้:

จากนั้น และสำหรับ k \u003d. 1 เราได้รับ: eJR

การแก้สมการนี้คือ r(; /) \u003d สามารถรับ / exp (-d เพื่อการเหนี่ยวนำสามารถรับได้

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่กระจายอยู่ภายใต้กฎหมายของปัวซอง

กระบวนการปัวซองเป็นสถานที่สำคัญในการศึกษา SMO นี่คือประการแรกด้วยคุณสมบัติการวิเคราะห์และความน่าจะเป็นที่ง่ายขึ้น ประการที่สองมันอธิบายถึงกระบวนการจริงจำนวนมากที่เป็นผลมาจากผลรวมของเหตุการณ์จำนวนมาก

ในกระบวนการปัวซองความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงในช่วงเวลา (t, t ~ \\ ~ h) ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนการเปลี่ยนแปลงสำหรับเวลา (0, t) การวางนัยทั่วไปที่ง่ายที่สุดคือการปฏิเสธสมมติฐานนี้ สมมติว่าตอนนี้ถ้าเป็นเวลา (0, t) มันถูกดำเนินการความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงใหม่สำหรับเวลา (t, t h) เท่ากับ \\ n รวมถึงคำศัพท์ของคำสั่งขนาดเล็กที่สูงขึ้นเมื่อเทียบกับ / g; แทนที่จะเป็นหนึ่งอย่างต่อเนื่อง x ลักษณะกระบวนการเรามีลำดับของค่าคงที่ x0, xj, x2

สะดวกในการแนะนำคำศัพท์ที่ยืดหยุ่นมากขึ้น แทนที่จะบอกว่าการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นในช่วงเวลา (0, t) เราบอกว่าระบบอยู่ในสถานะของ EP การเปลี่ยนแปลงใหม่นั้นเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของ EP-\u003e EP + 1 ในกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์การเปลี่ยนแปลงจาก EP เป็นไปได้เฉพาะใน EP + 1 กระบวนการดังกล่าวมีลักษณะโพสต์ต่อไปนี้

postulates หากในเวลา t ระบบอยู่ในสถานะของ EP (P ~ 0, 1, 2, 2, ... ) จากนั้นโอกาสที่ในช่วงเวลา (t, t -) - h) การเปลี่ยนเป็น EP + 1 เท่ากับ CP / G - | ~ O (a) ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ มีลำดับความคล้ายคลึงกันที่สูงกว่า H

") เนื่องจากเราพิจารณามูลค่าบวก H การพูดอย่างเคร่งครัด RP (T) ใน (2.4) ควรพิจารณาเป็นอนุพันธ์ที่ถูกต้อง แต่ในความเป็นจริงมันเป็นอนุพันธ์ทวิภาคีธรรมดาในความเป็นจริงสมาชิก O (k) ใน สูตร (2.2) มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ T ดังนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงหาก T-T-H. จากนั้นคุณสมบัติ (2.2) แสดงออกถึงความต่อเนื่องและ (2.3) ความแตกต่างในความหมายปกติคำพูดนี้ใช้งานได้และจะ ไม่ซ้ำเลย

คุณสมบัติที่โดดเด่นของสมมติฐานนี้คือเวลาที่ระบบดำเนินการในแต่ละรัฐไม่ได้มีบทบาท: ไม่ว่าระบบจะยังคงอยู่ในสถานะเดียวนานเท่าใดการเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันไปยังรัฐอื่นยังคงเป็นไปได้

ให้ P "(t) เป็นโอกาสที่ในขณะนี้ระบบอยู่ในสถานะของ EP ฟังก์ชั่นของ RP (T) ตอบสนองระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถได้มาโดยใช้อาร์กิวเมนต์ของย่อหน้าก่อนหน้าด้วยการเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวที่ (2.2) ถูกแทนที่ด้วย

RP (T - \\ - H) \u003d RP (0 (1- V0 + RP-1 (0 \\ -ih + 0 (a) - (3.1)

ดังนั้นเราจึงได้รับระบบหลักของสมการเชิงอนุพันธ์:

p "n (t) \u003d -lnpn (t) + ln_xpn_x (t) ("\u003e 1)

p "0 (t) \u003d -l0p0 (t)

เราสามารถคำนวณ P0 (t) แล้วตามลำดับ pn ทั้งหมด (t) หากสถานะของระบบคือจำนวนการเปลี่ยนแปลงสำหรับเวลา (0, () จากนั้นสถานะเริ่มต้นคือ£ 0 ดังนั้น PQ (0) \u003d 1 และดังนั้น P0 (t) - e ~ ถึง "" อย่างไรก็ตาม ไม่จำเป็นต้องใช้ระบบที่ดำเนินการจากรัฐ£ 0 (ดูตัวอย่าง 3, b) หากในเวลา 0 ระบบอยู่ในสถานะของ£;

R. (0) \u003d 1. RP (0) \u003d 0 สำหรับ N F I. (3.3)

เงื่อนไขเริ่มต้นเหล่านี้ระบุโซลูชันเท่านั้น

2) PR [1 ความตายในช่วงเวลา ( ต.,ต.+ Δ ต.) ปริมาณประชากรเท่ากัน ผม.]= ;

3) PR [0 การเกิดในช่วงเวลา ( ต.,ต.+ Δ ต.) ปริมาณประชากรเท่ากัน ผม.]= ;

4) PR [0 ตายในช่วงเวลา ( ต.,ต.+ Δ ต.) ปริมาณประชากรเท่ากัน ผม.]= .

ตามสมมติฐานเหล่านี้การเกิดหลายครั้งการตายหลายครั้งและการเกิดและการตายพร้อมกันสำหรับช่วงเวลาเล็ก ๆ ( ต., ต.+ Δ ต.) ต้องห้ามในแง่ที่ว่าความเป็นไปได้ของเหตุการณ์สั้น ๆ ดังกล่าวมีคำสั่ง เกี่ยวกับ(Δ ต.).

ความเป็นไปได้ที่กระบวนการผสมพันธุ์และการเสียชีวิตอย่างต่อเนื่องในเวลานั้น ต. ตั้งอยู่ในรัฐ E. (ปริมาณประชากรเท่ากับ ผม.) ถูกกำหนดโดยตรงจาก (16) เป็น

เพื่อแก้ไขระบบที่ได้รับของสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีที่ไม่ได้เกิดขึ้นเมื่อความน่าจะเป็น p i.(ต.), ผม.\u003d 0,1,2, ... ขึ้นอยู่กับเวลามีความจำเป็นต้องตั้งค่าการกระจายของความน่าจะเป็นเริ่มต้น p i.(0), ผม.\u003d 0,1,2, ... , เมื่อ ต.\u003d 0 นอกจากนี้เงื่อนไขการฟื้นฟูควรพอใจ

รูปที่ 4 จำนวนการเปลี่ยนแปลงความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย

พิจารณาตอนนี้กระบวนการที่ง่ายที่สุดของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ซึ่งถูกกำหนดเป็นกระบวนการที่ เอ็ม ผม. \u003d 0 สำหรับทั้งหมด ผม.. นอกจากนี้เพื่อให้ง่ายยิ่งขึ้นของงานที่ยิ่งใหญ่ยิ่งขึ้นสมมติว่า l. ผม.=l. สำหรับทุกอย่าง ผม.\u003d 0,1,2, .... การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการ (18) เราได้รับ

เพื่อความเรียบง่ายเรายังคิดว่ากระบวนการเริ่มต้นในช่วงเวลาเป็นศูนย์ที่ศูนย์สมาชิกนั่นคือ:

จากที่นี่เพื่อ p 0(ต.) เราได้รับการตัดสินใจ

พี. 0 (ต.)=อี. - L. ต..

แทนที่การตัดสินใจนี้กับสมการ (19) ที่ ผม. \u003d 1 มาที่สมการ

.

การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์นี้เห็นได้ชัดว่ามีรูปแบบ

พี. 1 (ต.)= l.tE - L. ต..

.

นี่คือการกระจายของปัวซองที่คุ้นเคย ดังนั้นกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ด้วยความเข้มคงที่ l. ส่งผลให้เกิดการเกิดของกระบวนการปัวซอง

ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแง่การปฏิบัติเป็นตัวแทนความน่าจะเป็นของรัฐของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายในโหมดคงที่ สมมติว่ากระบวนการนี้มีคุณสมบัติ Ergodic, I.e. มีข้อ จำกัด ให้เราหันไปนิยามความน่าจะเป็น จำกัด p i..

สมการสำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นของโหมดเครื่องเขียนสามารถรับได้โดยตรงจาก (18) ระบุว่า dP I.(ต.)/dt. \u003d 0 ด้วย:

ระบบที่เกิดขึ้นของสมการได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับสภาพปกติ

ระบบของสมการ (21) สำหรับโหมดที่จัดตั้งขึ้นของกระบวนการทำสำเนาและความตายสามารถทำได้โดยตรงผ่านกราฟความเข้มในรูปที่ 4 การใช้หลักการความเท่าเทียมกันของความน่าจะเป็นสตรีมไปยังสถานะของกระบวนการแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่นหากคุณพิจารณาเงื่อนไข อี. ผม. ในโหมดคงที่แล้ว:

ความเข้มของสตรีมน่าจะเป็นในและ

ความเข้มของความน่าจะเป็นไหลจาก .

ในสภาวะสมดุลทั้งสองเธรดเหล่านี้จะต้องเท่ากันดังนั้นจึงได้รับโดยตรง

แต่นี่เป็นเพียงความเท่าเทียมกันครั้งแรกในระบบ (21) ในทำนองเดียวกันคุณสามารถรับความเท่าเทียมกันที่สองของระบบ เหตุผลเดียวกันกับการเก็บรักษาของการไหลซึ่งก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับกระแสของความน่าจะเป็นผ่านเส้นขอบปิดใด ๆ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะจัดสรรแต่ละรัฐและสร้างสมการสำหรับมันคุณสามารถเลือกลำดับ Contour ซึ่งเป็นครั้งแรกที่ครอบคลุมสถานะ e 0ประการที่สอง - เงื่อนไข e 0 และ e 1, ฯลฯ รวมถึงทุกครั้งที่เป็นชายแดนใหม่ครั้งต่อไป จากนั้น ผม.-o Contour (สถานะโดยรอบ e 0, e 1, ..., E. -1 ) เงื่อนไขในการเก็บรักษาความน่าจะเป็นที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบง่าย ๆ ต่อไปนี้:

.

ระบบสมการที่เกิดขึ้นเทียบเท่ากับการลดลงก่อนหน้านี้ ในการรวบรวมระบบสุดท้ายของสมการมีความจำเป็นต้องดำเนินการตามแนวตั้งที่แยกสถานะใกล้เคียงและเทียบเท่าสตรีมผ่านขอบเขตที่เกิดขึ้น

การแก้ปัญหาของระบบ (23) สามารถพบได้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

สำหรับ ผม.\u003d 1 เรามี:

สำหรับ ผม.=2:

สำหรับ ผม.=3:

เป็นต้น

ประเภทของความเท่าเทียมที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาโดยรวมของระบบสมการ (23) มีรูปแบบ

หรือระบุว่าโดยนิยามการทำงานบนชุดที่ว่างเปล่าคือหนึ่ง

ดังนั้นความน่าจะเป็นทั้งหมด p i. สำหรับระบอบการปกครองที่มั่นคงแสดงผ่านค่าคงที่ที่ไม่รู้จักเพียงอย่างเดียว พี. 0 . ความเท่าเทียมกัน (22) ให้เงื่อนไขเพิ่มเติมในการพิจารณา p 0. จากนั้นสรุปทั้งหมด ผม.สำหรับ p 0 เราได้รับ:

ให้เราหันไปหาคำถามของการดำรงอยู่ของความน่าจะเป็นที่อยู่กับที่ p i.. เพื่อให้นิพจน์ที่ได้รับเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นความต้องการมักจะซ้อนทับ พี. 0 \u003e 0. เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการ จำกัด ข้อ จำกัด เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์การทำสำเนาและการเสียชีวิตในสมการนั้น ๆ เป็นหลักจำเป็นต้องให้ระบบบางครั้งว่างเปล่า สภาพเสถียรภาพนี้ดูสมเหตุสมผลมากหากคุณหันไปใช้ตัวอย่างของชีวิตจริง เรากำหนดสองจำนวนต่อไปนี้:

ทุกรัฐ E. กระบวนการทำสำเนาและความตายจะถูก etgodic ถ้าและเมื่อ S 1 < и S 2 \u003d. เฉพาะกรณี ergodic นำไปสู่ความน่าจะเป็นที่กำหนด p i., ผม. \u003d 0, 1, 2, ... และเป็นกรณีนี้ที่น่าสนใจ โปรดทราบว่าเงื่อนไขของ ergodicity จะดำเนินการเฉพาะเมื่อเริ่มต้นจากบางอย่าง ผม.สมาชิกลำดับทั้งหมด () จำกัด อยู่ที่หน่วย i.e. เมื่อมีบางอย่าง ฉัน 0 (และบางคน จาก<1) такое, что для всех ii 0. ความไม่เท่าเทียมจะดำเนินการ:

บทนำ

ในบทความนี้โครงการของโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่องจะได้รับการพิจารณา - สิ่งที่เรียกว่า "แผนภาพการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์"

กระบวนการของการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่มที่มีชุดของรัฐที่นับได้ (จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด) ที่ไหลในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่อง มันเป็นระบบบางอย่างในช่วงเวลาที่สุ่มของเวลาผ่านไปจากสถานะหนึ่งไปยังอีกรัฐหนึ่งและการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐเกิดขึ้นพร้อมกับการกระโดดเมื่อเกิดเหตุการณ์บางอย่าง ตามกฎแล้วเหตุการณ์เหล่านี้มีสองประเภท: หนึ่งในนั้นมีเงื่อนไขที่เรียกว่าการเกิดของวัตถุบางอย่างและที่สองคือการตายของวัตถุนี้

หัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องอย่างมากเนื่องจากความสำคัญสูงของกระบวนการทำมาร์คอฟในการศึกษากระบวนการทางเศรษฐกิจสิ่งแวดล้อมและชีวภาพนอกจากนี้กระบวนการ Markov ยังเป็นหัวใจของทฤษฎีบริการมวลชนซึ่งปัจจุบันใช้ในพื้นที่เศรษฐกิจที่หลากหลาย รวมถึงการจัดการกระบวนการในองค์กร

กระบวนการของมาร์คอฟแห่งความตายและการสืบพันธุ์มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายกระบวนการต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์ชีวมณฑลระบบนิเวศ ฯลฯ ควรสังเกตว่ากระบวนการของ Markov ประเภทนี้ได้รับชื่ออย่างแม่นยำเนื่องจากการใช้งานอย่างกว้างขวางในชีววิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสร้างแบบจำลองการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ของบุคคลที่มีประชากรต่าง ๆ

บทความนี้จะได้รับมอบหมายวัตถุประสงค์ของการกำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย ตัวอย่างของการคำนวณจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบในโหมดเครื่องเขียนและการประมาณการนั้นเกิดขึ้นสำหรับกรณีต่าง ๆ ของกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย

กระบวนการผสมพันธุ์และความตาย

กระบวนการของการสืบพันธุ์และความตายเป็นกรณีพิเศษของกระบวนการสุ่มของ Markov ซึ่งอย่างไรก็ตามมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบที่ไม่ต่อเนื่องด้วยลักษณะการทำงานแบบสุ่ม กระบวนการของการทำสำเนาและความตายเป็นกระบวนการสุ่ม Markov ที่เปลี่ยนจากรัฐ E ฉันอนุญาตเฉพาะในรัฐที่อยู่ติดกันของ E I - 1, E I และ E I + 1 กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายเป็นแบบอย่างที่เพียงพอสำหรับการอธิบายการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในปริมาณของประชากรชีวภาพ ติดตามรุ่นนี้มีการกล่าวกันว่ากระบวนการอยู่ในสถานะของรัฐฉันถ้าปริมาณของประชากรเท่ากับสมาชิก ในกรณีนี้การเปลี่ยนแปลงจากรัฐ E ฉันไปยังสถานะ e i + 1 สอดคล้องกับการเกิดและการเปลี่ยนแปลงจาก e i ถึง e i-1 - ความตายสันนิษฐานว่าปริมาณของประชากรอาจแตกต่างกันไปไม่เกิน หนึ่ง; ซึ่งหมายความว่าการเกิดและ / หรือการตายหลายครั้งไม่อนุญาตให้มีการเพาะพันธุ์และการเสียชีวิต

กระบวนการสืบพันธุ์แบบไม่ต่อเนื่องและความตายนั้นน่าสนใจน้อยกว่าอย่างต่อเนื่องดังนั้นในอนาคตพวกเขาจะไม่ได้รับการพิจารณาในรายละเอียดและมุ่งเน้นไปที่กระบวนการต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามควรสังเกตว่าการคำนวณแบบขนานเกือบสำหรับกระบวนการที่ไม่ต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงของกระบวนการสืบพันธุ์และความตายจากรัฐ E ฉันกลับไปที่รัฐ E ฉันหมายถึงดอกเบี้ยทันทีสำหรับโซ่ที่ไม่ต่อเนื่อง ในกรณีที่ต่อเนื่องความเข้มที่กระบวนการส่งคืนไปยังสถานะปัจจุบันเท่ากับอินฟินิตี้และอินฟินิตี้นี้ได้รับการยกเว้นและถูกกำหนดดังนี้:

ในกรณีของกระบวนการทำสำเนาและเสียชีวิตด้วยเวลาที่ไม่ต่อเนื่องของความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านระหว่างรัฐ

ที่นี่ฉันเป็นโอกาสที่ในขั้นตอนต่อไป (ในแง่ของประชากรชีวภาพ) จะมีความตายหนึ่งที่ช่วยลดปริมาณของประชากรก่อนที่จะให้ปริมาณประชากรเท่ากับขั้นตอนนี้ ในทำนองเดียวกัน B ฉันเป็นโอกาสเกิดในขั้นตอนต่อไปที่นำไปสู่การเพิ่มปริมาณของประชากร มันเป็นโอกาสที่ไม่มีเหตุการณ์เหล่านี้จะเกิดขึ้นและในขั้นตอนต่อไปปริมาณของประชากรจะไม่เปลี่ยนแปลง อนุญาตให้มีความเป็นไปได้ทั้งสามนี้เท่านั้น เป็นที่ชัดเจนว่าเนื่องจากความตายไม่สามารถมาได้หากมีการตายบางชนิด

อย่างไรก็ตามในสัญชาตญาณถนอมได้รับอนุญาตซึ่งสอดคล้องกับความเป็นไปได้ของการเกิดเมื่อไม่มีสมาชิกคนเดียวในประชากร แม้ว่าสิ่งนี้จะถือได้ว่าเป็นการสร้างที่เกิดขึ้นเองหรือการสร้างศักดิ์สิทธิ์ แต่ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่องแบบจำลองนี้เป็นสมมติฐานที่มีความหมายอย่างสมบูรณ์ กล่าวคือรุ่นดังกล่าว: ประชากรคือการไหลเวียนของการเรียกร้องในระบบความตายหมายถึงการดูแลความต้องการของระบบและการเกิดสอดคล้องกับความต้องการใหม่ต่อระบบ เป็นที่ชัดเจนว่าในรูปแบบดังกล่าวมันค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะป้อนข้อกำหนดใหม่ (เกิด) ในระบบฟรี เมทริกซ์ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการทั่วไปของการเพาะพันธุ์และความตายมีรูปแบบต่อไปนี้:

หากโซ่มาร์คอฟเป็นขั้นสุดท้ายบรรทัดหลังของเมทริกซ์จะถูกเขียนในรูปแบบ; สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่อนุญาตให้มีการทำสำเนาหลังจากประชากรถึงโวลุ่มสูงสุด n Matrix T มีสมาชิกเป็นศูนย์เพียงในแนวทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมสองเส้นที่ใกล้เคียงที่สุด เนื่องจากเมทริกซ์ประเภทใดประเภทหนึ่งจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะคาดหวังว่าการวิเคราะห์กระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายไม่ควรทำให้เกิดปัญหา ต่อไปเราจะพิจารณาเฉพาะกระบวนการที่ต่อเนื่องของการสืบพันธุ์และความตายซึ่งการเปลี่ยนจากสถานะ E ฉันเป็นไปได้เฉพาะในรัฐที่อยู่ใกล้เคียง E I-1 (ความตาย) และ e i + 1 (เกิด) แสดงโดยฉันความรุนแรงของการสืบพันธุ์ มันอธิบายความเร็วที่การสืบพันธุ์ในปริมาณของฉันมีประชากรเกิดขึ้น ในทำนองเดียวกันกับฉันเราแสดงถึงความรุนแรงของความตายความเร็วที่ระบุซึ่งความตายเกิดขึ้นในปริมาณของปริมาตร I โปรดทราบว่าความเข้มข้นของการเพาะพันธุ์ที่แนะนำและความตายไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลาและขึ้นอยู่กับสถานะของฉันดังนั้นเราจึงได้รับห่วงโซ่ที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างต่อเนื่องของการผสมพันธุ์และการเสียชีวิตของมาร์คอฟ การกำหนดพิเศษเหล่านี้ได้รับการแนะนำเพราะพวกเขาโดยตรงนำไปสู่การประกาศใช้ในทฤษฎีของระบบที่ไม่ต่อเนื่อง ขึ้นอยู่กับการกำหนดที่ป้อนไว้ก่อนหน้านี้เรามี:

ฉัน \u003d q i, i + 1 และ i \u003d q i, i-1

ความต้องการในการเปลี่ยนผ่านที่ยอมรับได้เฉพาะในรัฐที่อยู่ติดกันที่ใกล้ที่สุดหมายความว่าขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่า

เราได้รับ Q II \u003d - (i + i) ดังนั้นเมทริกซ์ของความเข้มของการเปลี่ยนผ่านกระบวนการที่เป็นเนื้อเดียวกันของการผสมพันธุ์และความตายจะใช้รูปแบบ:

โปรดทราบว่าด้วยข้อยกเว้นของเส้นทแยงมุมหลักและใกล้เคียงและจากด้านบนองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์เป็นศูนย์ กราฟที่สอดคล้องกันของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงจะถูกนำเสนอในรูปที่สอดคล้องกัน (2.1):

รูปที่ 2.1 - นับจำนวนความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการผสมพันธุ์และความตาย

ความมุ่งมั่นที่แม่นยำยิ่งขึ้นของกระบวนการที่ต่อเนื่องของการผสมพันธุ์และความตายมีดังนี้กระบวนการบางอย่างเป็นกระบวนการของการผสมพันธุ์และความตายหากเป็นห่วงโซ่มาร์คอฟที่เป็นเนื้อเดียวกันกับหลายรัฐ (E 0, E 1, E 2, ... ) หากการเกิดและความตายเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ (สิ่งนี้เป็นไปตามคุณสมบัติของมาร์คอฟโดยตรง) และหากเงื่อนไขต่อไปนี้มีความพึงพอใจ:

(การคลอด 1 ครั้งในช่วงเวลา (t, t + dt), ปริมาณประชากรเท่ากับ i);

(1 ความตายในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณประชากรเท่ากับ i);

\u003d (0 เกิดในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i);

\u003d (0 การเสียชีวิตในช่วงเวลา (t, t + dt) | ปริมาณของประชากรเท่ากับ i)

ดังนั้นความแม่นยำในการเกิดความน่าจะเป็นของการเกิดของบุคคลใหม่ในประชากรของบุคคล N ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นของการตายของบุคคลในประชากรนี้ในช่วงเวลานั้น

ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงตอบสนองสมการตรงกันข้ามของ Kolmogorov ดังนั้นความน่าจะเป็นที่กระบวนการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตอย่างต่อเนื่องในเวลา T อยู่ในสถานะ E ฉัน (ปริมาณประชากรเท่ากับ i) ถูกกำหนดในแบบฟอร์ม (2.1):

ในการแก้ปัญหาระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ในกรณีที่ไม่น่าเชื่อถือเมื่อความน่าจะเป็น PI (T), I \u003d 0,1,2, ... ขึ้นอยู่กับเวลาที่จำเป็นต้องระบุการกระจายของความน่าจะเป็นเริ่มต้น PI (0), i \u003d 0,1,2, ... , ที่ t \u003d 0 นอกจากนี้เงื่อนไขการฟื้นฟูควรพอใจ

ตอนนี้เราพิจารณากระบวนการที่ง่ายที่สุดของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นกระบวนการที่ฉัน \u003d 0 สำหรับทุก I นอกจากนี้สำหรับการทำให้ซับซ้อนยิ่งขึ้นของปัญหามากขึ้นสมมติว่าฉัน \u003d สำหรับทั้งหมดฉัน \u003d 0,1,2, .... การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการ (2.1) เราได้รับ (2.2):

เพื่อความเรียบง่ายเรายังคิดว่ากระบวนการเริ่มต้นในช่วงเวลาเป็นศูนย์ที่ศูนย์สมาชิกนั่นคือ:

จากที่นี่สำหรับ p 0 (t) เราได้รับการแก้ไข:

การแทนที่โซลูชันนี้กับสมการ (2.2) ที่ I \u003d 1 เรามาถึงสมการ:

วิธีการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์นี้เห็นได้ชัดว่ามีรูปแบบ:

นี่คือการกระจายของปัวซองที่คุ้นเคย ดังนั้นกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ด้วยความเข้มที่คงที่นำไปสู่ลำดับของการเกิดที่เกิดขึ้นในการไหลของปัวซอง

ความสนใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในแง่การปฏิบัติเป็นตัวแทนความน่าจะเป็นของรัฐของกระบวนการผสมพันธุ์และความตายในโหมดคงที่ สมมติว่ากระบวนการมีคุณสมบัติ Ergodic นั่นคือมีข้อ จำกัด

เราหันไปนิยามของความน่าจะเป็น จำกัด p i สมการสำหรับการกำหนดความน่าจะเป็นของระบอบการปกครองที่อยู่กับที่อยู่กับ (2.1) เนื่องจาก DP i (t) / dt \u003d 0 ด้วย:

ระบบที่เกิดขึ้นของสมการได้รับการแก้ไขเกี่ยวกับเงื่อนไขการทำให้ปกติ (2.4):

ระบบของสมการ (2.3) สำหรับโหมดที่กำหนดไว้ของกระบวนการทำสำเนาและความตายสามารถทำได้โดยตรงจากกราฟของความเข้มของการเปลี่ยนภาพในรูปที่ 2.1 การใช้หลักการของความเท่าเทียมกันของสตรีมความน่าจะเป็นไปตามสถานะของกระบวนการแยกต่างหาก ตัวอย่างเช่นหากคุณพิจารณาสถานะของ E i ในโหมดคงที่แล้ว:

ความเข้มของสตรีมน่าจะเป็นในและ

ความเข้มของความน่าจะเป็นไหลจาก

ในสภาวะสมดุลทั้งสองนี้จะต้องเท่ากันดังนั้นเราจึงได้รับโดยตรง:

แต่นี่เป็นความเสมอภาคแรกในระบบ (2.3) ในทำนองเดียวกันคุณสามารถรับความเท่าเทียมกันที่สองของระบบ เหตุผลเดียวกันกับการเก็บรักษาของการไหลซึ่งก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับกระแสของความน่าจะเป็นผ่านเส้นขอบปิดใด ๆ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเน้นแต่ละรัฐและสร้างสมการสำหรับมันคุณสามารถเลือกลำดับของรูปทรงแรกที่ครอบคลุมสถานะ E 0 ซึ่งเป็นครั้งที่สองคือสถานะ E 0 และ E 1 และอื่น ๆ รวมถึง สถานะต่อไปในแต่ละครั้งในขอบเขตใหม่ จากนั้นสำหรับ Contour I-th (สถานะ Surround E 0, E 1, ... , E I-1) การเก็บรักษาความน่าจะเป็นที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เรียบง่ายต่อไปนี้:

ความเท่าเทียมกัน (2.5) สามารถกำหนดเป็นกฎ: สำหรับระบบการสืบพันธุ์และการเสียชีวิตที่ง่ายที่สุดในโหมดผู้ป่วยในสตรีมความน่าจะเป็นไปได้ระหว่างสองสถานะที่อยู่ติดกันทุกแห่งมีค่าเท่ากัน

ระบบสมการที่เกิดขึ้นเทียบเท่ากับการลดลงก่อนหน้านี้ ในการรวบรวมระบบสุดท้ายของสมการมีความจำเป็นต้องดำเนินการตามแนวตั้งที่แยกสถานะใกล้เคียงและเทียบเท่าสตรีมผ่านขอบเขตที่เกิดขึ้น

การแก้ปัญหาของระบบ (2.5) สามารถพบได้โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

ที่ฉัน \u003d 1 เรามี

ประเภทของความเท่าเทียมที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาโดยรวมของระบบสมการ (2.5) มีรูปแบบ:

หรือระบุว่าตามคำนิยามการทำงานบนชุดที่ว่างเปล่าคือ:

ดังนั้นความน่าจะเป็นทั้งหมด P i สำหรับโหมดคงที่จะแสดงผ่านค่าคงที่ที่ไม่รู้จักเท่านั้น P 0 ความเท่าเทียมกัน (2.4) ให้เงื่อนไขเพิ่มเติมเพื่อตรวจสอบ P 0 จากนั้นสรุปฉันทั้งหมดสำหรับ P 0 เราได้รับ (2.7):

ให้เราหันไปสู่ปัญหาการดำรงอยู่ของความน่าจะเป็นที่อยู่กับฉัน เพื่อให้มีการระบุนิพจน์ที่มีการระบุความน่าจะเป็นความต้องการมักจะซ้อนทับเพื่อที่ P 0\u003e 0 เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการ จำกัด การ จำกัด สัมประสิทธิ์การสืบพันธุ์และความตายในสมการที่เกี่ยวข้อง เป็นหลักจำเป็นต้องให้ระบบบางครั้งว่างเปล่า สภาพเสถียรภาพนี้ดูสมเหตุสมผลมากหากคุณหันไปใช้ตัวอย่างของชีวิตจริง หากมันเติบโตเร็วเกินไปเมื่อเทียบกับมันอาจกลายเป็นว่ามีความน่าจะเป็นในเชิงบวกที่จุดสิ้นสุดในเวลา t กระบวนการจะออกจากพื้นที่เฟส (0.1, ... ) ใน "จุดห่างไกลที่ไม่ จำกัด " (บุคคลในประชากรจะมากเกินไป) กล่าวอีกนัยหนึ่งกระบวนการจะไม่เป็นปกติแล้วความเท่าเทียมกัน (2.4) จะถูกทำลาย เรากำหนดสองจำนวนต่อไปนี้:

สำหรับความสม่ำเสมอของกระบวนการทำสำเนาและความตายมีความจำเป็นและเพียงพอที่จะ S 2 \u003d

สำหรับการดำรงอยู่ของการกระจายนิ่งของมันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่จะ S 1< .

เพื่อให้ทุกรัฐของกระบวนการดำเนินการและการเสียชีวิตเป็น Egodic และการบรรจบกันอย่างเพียงพอของซีรีส์ S 1< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

ความไม่เท่าเทียมนี้สามารถได้รับการตีความง่ายๆ: เริ่มต้นจากบางรัฐ e ฉันและสำหรับทุกรัฐที่ตามมาความเข้มของกระแสของการสืบพันธุ์จะต้องน้อยกว่าความเข้มของการไหลของความตาย

บางครั้งในทางปฏิบัติมีกระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" กระบวนการของการสืบพันธุ์ "บริสุทธิ์" เป็นกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ซึ่งความเข้มของกระแสความตายทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่ (2.2):

รูปที่ 2.2 - กราฟของความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการทำสำเนา "บริสุทธิ์"

ในทำนองเดียวกันแนวคิดของการเสียชีวิต "สะอาด" ถูกนำมาใช้ กระบวนการของการเสียชีวิต "สะอาด" เรียกว่ากระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ดังกล่าวซึ่งความเข้มของกระแสการสืบพันธุ์ทั้งหมดเป็นศูนย์ กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวโดยไม่ จำกัด จำนวนสถานะจะแสดงในรูปที่:

รูปที่ 2.3 - นับความเข้มของการเปลี่ยนแปลงสำหรับกระบวนการ "บริสุทธิ์" เสียชีวิต

ระบบสมการ Kolmogorov สำหรับกระบวนการดังกล่าวสามารถรับได้จากระบบสมการ (2.1) ซึ่งจำเป็นต้องใส่ความเข้มทั้งหมดของกระบวนการไหลของกระบวนการไหลเท่ากับศูนย์:

พิจารณาอีกรูปแบบทั่วไปของโซ่มาร์คอฟแบบต่อเนื่อง - โครงการการตายและการสืบพันธุ์ที่เรียกว่าซึ่งมักพบในงานจริงที่หลากหลาย

กระบวนการ Markov ที่มีสถานะไม่ต่อเนื่อง S 0, S 1, ... , S N เรียกว่ากระบวนการ การตายและการสืบพันธุ์, หากรัฐทั้งหมดสามารถดึงออกมาในโซ่เดียวซึ่งแต่ละรัฐกลาง ( S 1, S 2, ... ,
S N -1) สามารถไปยังรัฐที่อยู่ใกล้เคียงซึ่งในทางกลับกันย้อนกลับไปและรัฐที่รุนแรง ( s 0 และ s n) ไปยังรัฐใกล้เคียง (รูปที่ 3.7)

ชื่อนี้นำมาจากปัญหาทางชีวภาพที่สถานะของประชากร S K หมายถึงการปรากฏตัวในนั้น เค. หน่วยของบุคคล

การเปลี่ยนไปทางด้านขวานั้นเกี่ยวข้องกับการสืบพันธุ์ของหน่วยและไปทางซ้าย - ด้วยความตาย

รูปที่. 3.7 นับสถานะสำหรับกระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์

l 0 (T), L 1 (T), L 2 (T), ... , L N (T)- การผสมพันธุ์ความเข้มข้น;

m 1 (t), m 2 (t), ... , m n n (t) - ความรุนแรงของความตาย

ว. l. และ μ ดัชนีของรัฐนั้นซึ่งลูกศรออกมา

กับรัฐ S K ค่าที่ไม่ใช่แบบสุ่มเชื่อมต่อกัน x เค: ถ้าระบบ S. ในช่วงเวลาของเวลา ต. ตั้งอยู่ในรัฐ S Kจากนั้นแยกค่าสุ่ม x (t)ที่เกี่ยวข้องกับการทำงานของระบบใช้ค่า เค.. ดังนั้นเราจึงได้รับกระบวนการสุ่ม x (t), ซึ่งเป็นการสุ่มก่อนช่วงเวลาที่ไม่รู้จักของเวลาการกระโดดเปลี่ยนสภาพของมัน

กระบวนการ Markov ตายและสืบพันธุ์ด้วยเวลาต่อเนื่อง มันถูกเรียกว่าเป็นกระบวนการสุ่มที่มีเพียงค่าที่ไม่ใช่ลบอื่น ๆ เท่านั้นที่สามารถทำได้ การเปลี่ยนแปลงในกระบวนการนี้สามารถเกิดขึ้นได้ตลอดเวลา I. ในเวลาใดก็ได้มันสามารถเพิ่มขึ้นโดยหนึ่งหรือลดลงโดยหนึ่งหรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

ในทางปฏิบัติมีกระบวนการของการผสมพันธุ์บริสุทธิ์และความตายที่บริสุทธิ์ กระบวนการทำสำเนาที่บริสุทธิ์เป็นกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ซึ่งความเข้มของกระแสความตายทั้งหมดเป็นศูนย์; คล้ายกับกระบวนการของ "ความตาย" ที่บริสุทธิ์เรียกว่ากระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ดังกล่าวซึ่งความเข้มของกระแสการสืบพันธุ์ทั้งหมดเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 1พิจารณาการทำงานของรถยนต์รุ่นหนึ่งของแบรนด์หนึ่งใน บริษัท ขนส่งขนาดใหญ่ (ในองค์กร) ความเข้มข้นของใบเสร็จรับเงินการขนส่งสินค้าไปยังองค์กรเท่ากัน l (t). รถทุกคันเข้าสู่ บริษัท จะถูกตัดออกในเวลาที่แปลกประหลาด t C.. อายุการใช้งาน ต. กระจายในแง่ของกฎหมายที่บ่งบอกถึงพารามิเตอร์ เอ็ม. กระบวนการทำงานของรถยนต์เป็นกระบวนการสุ่ม a (t) - จำนวนรถยนต์ของแบรนด์นี้ในการดำเนินงานในเวลานั้น ต.. เราพบกฎหมายหนึ่งมิติของการกระจายกระบวนการสุ่ม p i (t) \u003d p (a (t) \u003d i), ถ้า: 1) ไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนเครื่องที่ดำเนินการ 2) ที่องค์กรอาจไม่สามารถดำเนินการได้ น. รถ.

การตัดสินใจ

1. กระบวนการสุ่มของการทำงานของรถยนต์เป็นกระบวนการของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์กราฟที่วางซึ่งนำเสนอในรูปที่ 3.8

รูปที่. 3.8 นับสถานะ

ระบบของสมการ Kolmogorov ที่สอดคล้องกับกราฟนี้มีแบบฟอร์ม

ที่ไหน ผม. = 1, 2, …

ถ้าในช่วงเวลาเริ่มต้นของเวลา ต. \u003d 0 ใน บริษัท ไม่มีรถคันเดียวจากนั้นจำเป็นต้องแก้ปัญหาระบบสมการภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น p 0 (0) = 1, p i (0) = 0 (ผม. \u003d 1, 2, ... ) ถ้า ต. \u003d 0 ในองค์กรคือ เค. รถ ( เค. \u003d 1, 2, ... ) จากนั้นเงื่อนไขเริ่มต้นจะถูกดู

p k (0) = 1, p i (0) = 0 (ผม. = 1, 2, …, ฉัน¹ K).

2. หาก บริษัท สามารถดำเนินการในรูปแบบการเดินเรือที่ไม่มีการเดินเรืออีกต่อไปจากนั้นกระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ด้วยจำนวนรัฐที่ จำกัด กราฟที่ทำเครื่องหมายจะแสดงในรูปที่ 3.9

รูปที่. 3.9 นับสถานะ

ระบบของสมการ kolmogorov สำหรับกราฟที่ทำเครื่องหมายไว้ (รูปที่ 3.9) มีแบบฟอร์ม (3.4)

ระบบนี้จะต้องแก้ไขภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กล่าวถึงข้างต้น โซลูชั่นของระบบสมการ (3.4) และ (3.5) เป็นกฎหมายการแจกจ่ายหนึ่งมิติ p i (t) แนะนำโซลูชั่นของระบบในรูปแบบทั่วไปที่แบบสุ่ม l (t) นำเสนอปัญหาที่สำคัญและไม่มีการใช้งานจริง

ด้วยความเข้มคงที่ของการไหลของความตายและการสืบพันธุ์และจำนวนสุดท้ายของรัฐจะมีระบอบการปกครองที่อยู่กับที่ ระบบ S. ด้วยจำนวนรัฐที่ จำกัด ( น. + 1) ซึ่งกระบวนการของความตายและการสืบพันธุ์ด้วยความเข้มของฟลักซ์ของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์อย่างต่อเนื่องเป็นระบบ Egodic ที่ง่ายที่สุด กราฟที่วางของรัฐสำหรับระบบดังกล่าวจะถูกนำเสนอในรูปที่ 3.9

ความน่าจะเป็นขีด จำกัด (ขั้นสุดท้าย) ของรัฐสำหรับกระบวนการ Ergodic ที่ง่ายที่สุดของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์ซึ่งอยู่ในโหมดนิ่งถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

กฎ. ความน่าจะเป็นได้ เค.- รัฐในรูปแบบของการเสียชีวิตและการสืบพันธุ์นั้นเท่ากับเศษส่วนในตัวเศษที่คุ้มค่ากับผลิตภัณฑ์ของความเข้มข้นทั้งหมดของการสืบพันธุ์ที่หันหน้าไปทางซ้าย S Kและในตัวหาร - การทำงานของความเข้มข้นทั้งหมดของการตายของซ้าย S Kคูณด้วยความน่าจะเป็นของสถานะปิดซ้ายของระบบ p 0

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้สำหรับระบอบการปกครองที่อยู่นิ่งหากความเข้มของสินค้าคงทนถาวร ( l (t) \u003d l \u003d const) จากนั้นความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายของรัฐโดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีข้อ จำกัด เกี่ยวกับจำนวนรถยนต์ในองค์กรเท่ากัน

ในเวลาเดียวกันความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนรถยนต์ที่ดำเนินการเท่ากับการกระจายตัวของมัน:

m \u003d d \u003d l/ม. (3.10)

หากมีการ จำกัด จำนวนรถยนต์ที่องค์กร (ไม่มาก น.) ความน่าจะเป็นขั้นสุดท้ายสามารถเขียนได้ในแบบฟอร์มนี้:

ที่ไหน ρ = l./เอ็ม.

ที่ไหน เค. = 0, 1, 2, ..., น..

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนรถยนต์ที่ดำเนินการในโหมดนิ่ง

ตัวอย่างที่ 2สายกระแสมีสี่เครื่อง กองพลน้อยของพนักงานที่ให้บริการสี่คนมีการซ่อมแซมเชิงป้องกันของแต่ละคน กระแสทั้งหมดของช่วงเวลาของการสิ้นสุดการซ่อมแซมสำหรับกองพลทั้งหมด - ปัวซองที่มีความเข้มข้น l (t) หลังจากเสร็จสิ้นการซ่อมแซมเครื่องจะถูกตรวจสอบ; ด้วยความน่าจะเป็น r ปรากฎว่าสามารถทำงานได้ (เวลาตรวจสอบไม่เพียงพอและพวกเขาสามารถละเลยเมื่อเทียบกับเวลาของการป้องกัน) หากเครื่องปรากฎว่าไม่สามารถใช้งานได้การป้องกันของมันจะดำเนินการอีกครั้ง (เวลาที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามันได้รับการดำเนินการก่อนหน้านี้หรือไม่) ฯลฯ ในช่วงเวลาเริ่มต้นเครื่องทั้งหมดต้องการการซ่อมแซม Prophylactic ต้องใช้:

1. สร้างกราฟสถานะสำหรับระบบ S. (สี่เครื่อง)

2. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์เพื่อความน่าจะเป็นของรัฐ

3. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเครื่อง m tผู้ชมของการป้องกันตามเวลา ต..

การตัดสินใจ

สถานะการนับจะแสดงในรูปที่ 3.10 ซึ่ง:

s 0 - ทั้งสี่เครื่องต้องการการซ่อมแซม Prophylactic;

S 1 - เครื่องหนึ่งไหลผ่าน Prophylactic ได้สำเร็จและสามความต้องการการซ่อมแซมการป้องกัน;

S 2 - เครื่องสองเครื่องประสบความสำเร็จผ่านการป้องกันการป้องกันโรคและสองความต้องการการซ่อมแซมการป้องกัน;

s 3 - สามเครื่องประสบความสำเร็จในการส่งต่อการป้องกันโรคหนึ่งต้องการการซ่อมแซมเชิงป้องกัน

s 4. - เครื่องทั้งสี่เครื่องผ่านการป้องกันได้สำเร็จ

รูปที่. 3.10 กราฟสถานะระบบ

การซ่อมแซมเชิงป้องกันแต่ละครั้งประสบความสำเร็จในการสิ้นสุดด้วยความน่าจะเป็น พี.ที่เทียบเท่า พี.- การทำจุดสิ้นสุดของการสิ้นสุดของการซ่อมแซมหลังจากนั้นจะยังคงเป็นปัวซอง แต่มีความเข้มข้น pl (t). ในตัวอย่างนี้เรากำลังเผชิญกับกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์ด้วยจำนวนรัฐที่ จำกัด

สมการ Kolmogorov มีดังนี้:

เงื่อนไขเริ่มต้น p 0 (0) = 1, p 1 (0) = … = p 4 (0) \u003d 0 ด้วยความเข้มคงที่ l (t) \u003d l และความน่าจะเป็นจะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนดิสก์ประสบความสำเร็จในการส่งต่อการป้องกันโรคในขณะนี้เท่ากับ

ที่ไหน น. = 4.

ตัวอย่างที่ 3 พิจารณาการผลิตรถยนต์ที่โรงงาน การไหลของการผลิต - Nonstationary Poisson ที่มีความเข้มข้น l (t) เราพบว่ากฎหมายการกระจายตัวเดียวของกระบวนการสุ่ม x (t) - จำนวนรถยนต์ที่ปล่อยออกมาตามเวลา ต.ถ้าในขณะนี้ ต.\u003d 0 เริ่มต้นรถยนต์ปล่อย

การตัดสินใจ

เห็นได้ชัดว่านี่คือกระบวนการของการสืบพันธุ์ที่บริสุทธิ์โดยไม่ จำกัด จำนวนรัฐในขณะที่ l i (t) \u003d l (t)เนื่องจากความเข้มของการปล่อยรถยนต์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนที่พวกเขาได้รับการปล่อยตัวไปแล้ว กราฟของสถานะของกระบวนการดังกล่าวจะแสดงในรูปที่ 3.11

รูปที่. 3.11 นับสถานะ

กฎหมายหนึ่งมิติของการกระจายของกระบวนการสุ่ม x (t) สำหรับกราฟที่แสดงในรูปที่ 3.11 ถูกกำหนดโดยระบบ Kolmogorov ต่อไปนี้:

ตั้งแต่จำนวนรถยนต์ที่ปล่อยออกมา x (t) ในช่วงเวลาที่แน่นอนใด ๆ ต. แจกจ่ายตามกฎหมายของปัวซองกับพารามิเตอร์

m \u003d d \u003d a (t)

กระบวนการพิจารณาในตัวอย่างนี้ x (t) เรียกว่า กระบวนการที่ไม่สม่ำเสมอของปัวซอง หากความเข้ม l (t) \u003d l \u003d const, ฉันเข้าใจ กระบวนการที่เหมือนกันของปัวซอง. สำหรับกระบวนการดังกล่าวเมื่อ p 0 (0) = 1, P i (0) \u003d 0 (i\u003e 0)

ลักษณะของกระบวนการปัวซองจะเป็น

m \u003d d \u003d l × t

ภารกิจที่ 1มีอุปกรณ์ที่ประกอบไปด้วยสี่โหนด กระแสความล้มเหลวเป็นเวลาที่ง่ายที่สุดคือเวลาเฉลี่ยของการทำงานที่ปราศจากปัญหาของแต่ละโหนดคือ 11 ชั่วโมง โหนดที่ถูกปฏิเสธเริ่มทันทีที่จะได้รับการซ่อมแซม การซ่อมแซมโดยเฉลี่ยของโหนดคือ 2 ชั่วโมง (กระแสการกู้คืนที่ง่ายที่สุด) ค้นหาผลผลิตเฉลี่ยของอุปกรณ์หากเป็น 100% ที่สี่โหนดการทำงานที่สาม 60% ที่สองหรือน้อยกว่าอุปกรณ์ไม่ทำงานเลย