Aritmetik nedir? Aritmetiğin ana teoremi. İkili aritmetik. Araştırmanın Eski Doğu Planında Matematiğin Kökeni

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek basittir. Aşağıdaki formu kullanın

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size minnettar olacaklar.

Yayınlanan http://www.allbest.ru/

Giriş

1. İlkel toplumda matematiğin başlangıcı

2. Eski Doğu'da matematiğin kökeni

2.1 Mısır

2.2 Babil

Sonuç

Referans listesi

Giriş

Matematik (Yunanca - bilgi, bilim), gerçek dünyanın mekansal formları ve nicel ilişkiler bilimidir.

Matematiğin kendi konusu ve yöntemi ile özel bir bilim olarak bağımsız konumunun net bir şekilde anlaşılması, ancak yeterince büyük miktarda olgusal materyalin birikiminden sonra mümkün oldu ve ilk kez Dr. 6. ve 5. yüzyıllarda Yunanistan. M.Ö. Matematiğin bu zamana kadarki gelişimi doğal olarak matematikçilerin doğum dönemine ve 6. ve 5. yüzyıllara atfedilebilir. M.Ö. 16. yüzyıla kadar süren ilköğretim matematik döneminin başlangıcına kadar. Bu ilk iki dönem boyunca, matematiksel araştırma temel olarak, ekonomik yaşamın en basit talepleriyle bağlantılı olarak tarihsel gelişimin çok erken aşamalarında ortaya çıkan, nesneleri saymaya, ürün miktarını ölçmeye, arazi alanlarına, büyüklüğünü belirlemeye indirgenmiş çok sınırlı temel kavramlar ile ilgilenir. mimari yapıların ayrı bölümleri, zaman ölçümü, ticari hesaplamalar, navigasyon vb. Arşimet'in (MÖ 3. yüzyıl) sonsuz küçük hesaplama ilkelerini zaten gerektiren bireysel çalışmaları haricinde, mekanik ve fiziğin ilk problemleri, yine de aynı temel matematiksel kavram stokuyla tatmin edilebilirdi. 17. ve 18. yüzyıllarda doğa olaylarının matematiksel çalışmasının geniş gelişiminden çok önce olan tek bilim. matematiğe sistematik olarak kendi özel ve çok büyük gereksinimlerini sundu, örneğin trigonometrinin erken gelişimini tamamen belirleyen astronomi vardı.

17. yüzyılda. Doğa bilimleri ve teknolojinin yeni talepleri matematikçileri, hareketi matematiksel olarak incelemeye, değişen niceliklerin süreçlerine, geometrik şekilleri dönüştürmeye (tasarım sırasında vb.) izin veren yöntemlerin yaratılmasına odaklanmaya zorlar. R. Descartes'ın analitik geometrisinde değişken niceliklerin kullanılması ve diferansiyel ve integral hesabın oluşturulmasıyla değişken niceliklerin matematiği dönemi başlar.

19. yüzyılın başında matematik tarafından incelenen nicel ilişkiler ve uzamsal biçimler yelpazesinin daha da genişlemesi. matematiksel araştırma konusunu genişletme sürecini kasıtlı olarak ele alma ihtiyacı, kendimize sistematik çalışma görevini olası nicel ilişki türleri ve mekansal formlar açısından oldukça genel bir bakış açısıyla belirleme. N.I.'nin yaratılışı. Daha sonra oldukça gerçek uygulamalar alan "hayali geometri" nin Lobaçevski'si bu yöndeki ilk önemli adımdı. Bu tür araştırmaların gelişmesi matematiğin yapısına o kadar önemli özellikler kazandırmıştır ki, 19. ve 20. yüzyıllarda matematik. doğal olarak özel bir modern matematiğe atfedilir.

1. İlkel toplumda matematiğin başlangıcı

Sayı ve form hakkındaki ilk fikirlerimiz, antik Taş Devri'nin - Paleolitik Çağ'ın çok uzak bir dönemine dayanmaktadır. Bu dönemin yüzlerce bin yılı boyunca, insanlar mağaralarda, hayvanların yaşamından pek farklı olmayan koşullarda yaşadılar ve enerjileri, esas olarak yiyecekleri en basit şekilde elde etmek - mümkün olan her yerde toplamak için harcandı. İnsanlar avlanma ve balıkçılık için araçlar yaptılar, birbirleriyle iletişim kurmak için bir dil geliştirdiler ve Paleolitik çağın sonlarında varlıklarını süsleyerek sanat eserleri, figürinler ve çizimler yarattılar. Belki de Fransa ve İspanya mağaralarındaki (yaklaşık 15 bin yıllık) çizimlerin ritüel önemi vardı, ancak şüphesiz harika bir biçim duygusu ortaya koyuyorlar.

Basit gıdanın toplanmasından aktif üretime, avcılık ve balıkçılıktan tarıma geçiş olana kadar, insanlar sayısal değerleri ve mekansal ilişkileri anlamada çok az ilerleme kaydetti. Ancak bu temel dönüm noktasının başlangıcıyla, insanın doğaya karşı pasif tavrının yerini aktif bir tavır aldığında, yeni bir Taş Devrine, Neolitik döneme girebiliriz.

İnsanlık tarihindeki bu büyük olay, yaklaşık on bin yıl önce, Avrupa ve Asya'daki buz tabakasının eriyerek yerini ormanlara ve çöllere bırakmasıyla gerçekleşti. Yavaş yavaş, yiyecek arayan göçebe gezintiler sona erdi. İlkel çiftçiler, balıkçılar ve avcıların yerini giderek daha fazla aldı. Toprağın bereketini korurken tek bir yerde kalan bu tür çiftçiler, daha uzun süre tasarlanmış konutlar inşa ettiler. Köyler kendilerini hava şartlarından ve yağmacı düşmanlardan korumak için ortaya çıkmaya başladı. Bu tür Neolitik yerleşimlerin çoğu kazıldı. Kalıntıları, çömlekçilik, dokuma ve marangozluk gibi basit el sanatlarının nasıl yavaş yavaş geliştiğini gösteriyor. Tahıl ambarları vardı, böylece nüfus fazlalık üreterek kış için ve mahsul kıtlığı durumunda yiyecek depolayabilecekti. Geç Neolitik çağda ekmek pişirdiler, bira yaptılar, eritip bakır ve bronz işlediler. Keşifler yapıldı, çömlekçi çarkı ve araba tekerleği icat edildi, tekneler ve konutlar iyileştirildi. Tüm bu harika yenilikler yalnızca belirli bir bölgede ortaya çıktı ve her zaman onun dışına yayılmadı. Örneğin, Amerikan yerlileri araba tekerleğinin varlığını ancak beyazların gelmesinden sonra öğrendiler. Bununla birlikte, teknolojik ilerlemenin hızı, antik Taş Devri'ne kıyasla muazzam bir ölçüde hızlandı.

Köyler, birbirlerinden yüzlerce kilometre uzaktaki alanlar arasında ticaret bağlantılarının varlığını izleyebilecek kadar gelişmiş olan kendi aralarında önemli ticaret yapıyorlardı. Bu ticari faaliyet, bakır ve bronz eritme tekniğinin keşfi ve önce bakır ve ardından bronz alet ve silahların üretilmesiyle güçlü bir şekilde teşvik edildi. Bu da dillerin daha da oluşmasına katkıda bulundu. Bu dillerin kelimeleri oldukça somut şeyler ve çok az soyut kavram ifade ediyordu, ancak diller zaten basit sayısal terimler ve bazı uzamsal görüntüler için belirli bir kelime dağarcığına sahipti. Avustralya, Amerika ve Afrika'daki birçok kabile beyaz insanlarla ilk tanıştıklarında bu seviyedeydi ve bazı kabileler hala bu koşullarda yaşıyorlar, bu nedenle geleneklerini ve düşüncelerini ifade etme yollarını incelemek mümkün.

Adam Smith D.Ya. Stroyk'un dediği gibi "insan zihninin yaratabildiği en soyut kavramlardan" bazılarını ifade eden sayısal terimler. Matematik tarihinin kısa bir özeti. - M, 1984. - S.23. yavaş yavaş kullanıma girdi. İlk defa, nicel terimlerden çok nitel olarak görünerek, yalnızca bir (veya daha doğrusu, "bir kişi" yerine "bir kişi" - "bir kişi") ve iki ve çok arasındaki farkı ifade ediyorlar. Sayısal kavramların eski niteliksel kökeni, Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerde bulunan özel ikili terimlerle bugün hala açığa çıkmaktadır. Sayı kavramının genişlemesi ile önce büyük sayılar toplanarak oluşturulmuştur: 3'ü 2 ve 1'i, 4'ü 2 ve 2'yi, 5'i 2 ve 3'ü toplayarak.

İşte bazı Avustralya kabilelerini saymanın örnekleri:

Murray Nehri Kabilesi: 1 \u003d enea, 2 \u003d petcheval, 3 \u003d petcheval-enea, 4 \u003d petcheval-petcheval.

Kamilaroi: 1 \u003d küçük, 2 \u003d bulan, 3 \u003d guliba, 4 \u003d bulan-bulan, 5 \u003d bulan-guliba, 6 \u003d guliba-guliba.

Zanaat ve ticaretin gelişmesi, sayı kavramının kristalleşmesine katkıda bulundu. Rakamlar, genellikle bir elin veya iki elin parmakları kullanılarak gruplandırıldı ve büyük birimler halinde birleştirildi - ticarette yaygın bir teknik. Bu, önce beşinci tabanla, sonra da toplama ve bazen çıkarma ile desteklenen on tabanıyla saymaya yol açtı, böylece on iki 10 + 2 ve dokuzun 10 - I2 olarak algılanması sağlandı. Bazen 20 temel alındı \u200b\u200b- el ve ayak parmaklarının sayısı. Eals tarafından incelenen 307 sayı sisteminden 146'sı ondalık, 106'sı beş ve beşi ondalık, geri kalanı yirmiler ve beş yirmilerdi. En karakteristik haliyle, temel yirmi sistemi Meksika'daki Mayalar ve Avrupa'daki Keltler arasında mevcuttu. Sayısal kayıtlar, eski zamanlarda etiketleri kullanan hancı tarafından kullanılanlara çok benzer bir şekilde, salkımlar, çubuklardaki çentikler, iplerdeki düğümler, çakıl taşları veya beşli yığınlar halinde istiflenmiş kabuklar kullanılarak yapılmıştır. Bu tür numaralardan 5, 10, 20 vb. Özel karakterlere geçmek için. sadece bir adımın atılması gerekiyordu ve bu tam da bu tür semboller, yazılı tarihin başlangıcında, sözde uygarlığın şafağında kullanımda buluyoruz.

Etiket kullanımının en eski örneği Paleolitik çağa aittir. Bu, 1937'de Vestonice'de (Moravia) keşfedilen, yaklaşık 17 santimetre uzunluğunda, 55 derin çentikli genç bir kurdun radyal kemiğidir. İlk yirmi beş çentik beşli gruplar halinde yerleştirilir, ardından bu sırayı sonlandırmak için çift uzunluklu bir çentik gelir ve ardından yeni bir çift uzunluklu çentik yeni bir çentik sırası başlatır). Dolayısıyla, Jacob Grimm'de bulduğumuz ve sık sık tekrarlanan, saymanın parmakları sayma gibi ortaya çıktığı eski ifadesinin yanlış olduğu açıktır. Parmak sayma, yani topuklu ve onlarca sayma, yalnızca sosyal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıktı. Ancak buna geldiklerinde, sayıları bir sayı sisteminde ifade etmek mümkün hale geldi ve bu da büyük sayılar oluşturmayı mümkün kıldı. İlkel bir aritmetik bu şekilde ortaya çıkar. On dört, 10 + 4, bazen 15-1 olarak ifade edildi. Çarpma, 20, 10 + 10 olarak değil, 2 x 10 olarak ifade edildiğinde başladı. Binlerce yıldır, özellikle Mısır'da ve İndus'taki Aryan öncesi Mohenjo-Daro kültüründe, toplama ve çarpma arasında bir kesişmeyi temsil eden benzer ikili eylemler gerçekleştirildi. Bölünme, kesirlerin bilinçli kullanımı son derece nadir olmasına rağmen, "yarım gövde" olarak ifade edilmesiyle başladı. Örneğin, Kuzey Amerika kabileleri arasında, kesirlerin kullanımıyla ilgili yalnızca birkaç durum bilinmektedir ve neredeyse her zaman bu yalnızca bir kesirdir, ancak bazen meydana gelseler de

Çok büyük sayılar tarafından götürülmeleri ilginçtir; bu, belki de, sürü veya öldürülen düşmanların sayısını abartmaya yönelik ortak bir insan arzusundan kaynaklanmıştır; Bu önyargının kalıntıları İncil'de ve diğer dini kitaplarda görülebilir.

Ayrıca nesnelerin uzunluğunu ve kapasitesini ölçmeye ihtiyaç vardı. Ölçü birimleri kabaydı ve genellikle insan vücudunun büyüklüğüne dayanıyordu. Bunu parmak, ayak (yani ayak) ve dirsek gibi birimlerle hatırlatıyoruz. Hindistan'daki çiftçilerin veya Orta Avrupa'daki yığma binaların sakinleri gibi evler inşa edilmeye başlandığında, düz çizgilerde ve dik açılarda nasıl inşa edileceğine dair kurallar geliştirilmeye başlandı. İngilizce "düz" kelimesi, bir ipin kullanımını gösteren "streç" fiiliyle ilgilidir. İngilizce "çizgi" kelimesi, dokuma zanaatıyla geometrinin doğuşu arasındaki bağlantıyı gösteren "keten" (keten) kelimesiyle ilgilidir. Bu, matematiksel çıkarların gelişiminin gittiği yollardan biriydi.

Neolitik insan ayrıca keskin bir geometrik şekil anlayışına sahipti. Toprak kapların yakılması ve boyanması, sazlıkların, sepetlerin ve kumaşların yapılması ve daha sonra - metallerin işlenmesi, düzlem ve mekansal ilişkiler fikrini geliştirdi.

Dans eden figürler de kendi rolünü oynamak zorundaydı. Neolitik süslemeler göze hoş geliyordu, eşitliği, simetriyi ve figürlerin benzerliğini ortaya koyuyordu. Üçgen sayıları tasvir eden bazı tarih öncesi süslemelerde olduğu gibi, bu figürlerde sayısal oranlar da görülebilir; diğer tasarımlarda "kutsal" sayılar buluyoruz. Bu tür süslemeler tarihi zamanlarda kullanımda kalmıştır. Minoan ve erken Yunan dönemlerinin dipylon vazolarında, daha sonra Bizans ve Arap mozaiklerinde, İran ve Çin halılarında güzel örnekler görüyoruz. Başlangıçta, ilk süslemelerin dini veya büyülü bir anlamı olabilirdi, ancak zamanla estetik amaçları baskın hale geldi.

Taş Devri dininde doğanın güçleri ile mücadeleye girmeye yönelik ilk girişimleri yakalayabiliriz. Dini ritüellere sihir iyice nüfuz etmişti, sihirli unsur o dönemde var olan sayısal ve geometrik temsillerin bir parçasıydı ve aynı zamanda kendini heykel, müzik ve çizimde de gösteriyordu.

3, 4, 7 gibi sihirli sayılar ve beş köşeli yıldız ve gamalı haç gibi sihirli figürler vardı; hatta bazı yazarlar matematiğin bu yönünün yeniden gelişmede belirleyici bir faktör olduğuna bile inanırlar1), ancak matematiğin modern zamanlarda sosyal kökleri daha az fark edilir hale gelse de, insanlık tarihinin ilk döneminde oldukça açıktır. Modern "numeroloji", Neolitik çağa ve hatta belki de Paleolitik çağa kadar uzanan büyülü ayinlerin kalıntısıdır.

En geri kalmış kabileler arasında bile, bir tür zamanlama ve dolayısıyla Güneş, Ay ve yıldızların hareketi hakkında bazı bilgiler buluyoruz. Bu tür bilgiler, ilk olarak tarım ve ticaret gelişmeye başladığında daha bilimsel bir nitelik kazandı. Ay takviminin kullanımı, insanlık tarihinde çok eski bir döneme kadar uzanmaktadır, çünkü bitki büyümesindeki değişim, ayın evreleri ile ilişkilendirilmiştir. İlkel insanlar hem gündönümüne hem de alacakaranlıkta Pleiades'in yükselişine dikkat ettiler. En eski uygar halklar, astronomik bilgiyi varoluşlarının en uzak, tarih öncesi dönemine bağladılar. Diğer ilkel halklar, simge olarak yelken açarken takımyıldızları kullandılar. Bu astronomi, bir kürenin, dairelerin ve açıların özellikleri hakkında bazı bilgiler sağladı.

İlkel toplumun matematiği çağından bu kısa bilgi, bilimin gelişiminde ille de öğretisini oluşturan tüm aşamalardan geçmediğini göstermektedir. Bilim adamları, düğümler veya süs eşyaları gibi insanlığın bildiği en eski geometrik figürlerden bazılarına ancak son zamanlarda uygun şekilde dikkat ettiler. Öte yandan, matematiğimizin grafik veya temel statik gibi bazı temel dalları nispeten yeni kökenlidir. A. Shpeizer belli bir yakıcılıkla şunları söyledi: "Temel matematiğin geç kökeni için, en azından sıkıcı olmaya meyilli olduğu açıkça ortadadır - görünüşe göre, doğasında bulunan bir özellik - oysa yaratıcı bir matematikçi her zaman ilginç ve güzel problemlerle uğraşmayı tercih edecektir" Kolmogorov A.N. Matematik // Büyük Rus Ansiklopedisi / Ed. B.A. Vvedensky. - M, 1998. - S. 447. ...

2. Eski Doğu'da matematiğin kökeni

2.1 Mısır

Kültürel gelişimin ilk aşamalarında nesneleri saymak, doğal sayıların aritmetiğinin en basit kavramlarının yaratılmasına yol açtı. Yazılı sayı sistemlerinin ortaya çıkması, yalnızca gelişmiş sözlü sayı sistemi temelinde ve doğal sayılar üzerinde dört aritmetik işlemi gerçekleştirme teknikleri yavaş yavaş geliştirilir (bunlardan yalnızca bölümü uzun süre büyük zorluklar yaşadı). Ölçüm ihtiyaçları (tane miktarı, yolun uzunluğu vb.), En basit kesirli sayılar için adların ve tanımların ortaya çıkmasına ve kesirler üzerinde aritmetik işlemlerin gerçekleştirilmesi için tekniklerin geliştirilmesine yol açar. Böylece, materyal birikti ve yavaş yavaş en eski matematik bilimine - aritmetiğe dönüştü. Alanların ve hacimlerin ölçülmesi, inşaat ekipmanlarının ihtiyaçları ve bir şekilde daha sonra astronomi, geometri temellerinin gelişmesine neden olur. Bu süreçler, birçok insanda büyük ölçüde bağımsız ve paralel olarak devam ediyordu. Bilimin daha da gelişmesi için özellikle önemli olan, aritmetik ve geometrik bilginin Dr. Mısır ve Babil. Babil'de, gelişmiş aritmetik hesaplama tekniğine dayanarak, cebirin başlangıcı da ortaya çıktı ve astronominin talepleriyle bağlantılı olarak trigonometrinin başlangıcı oldu.

Hayatta kalan en eski matematiksel metinler Dr. Mısır, MÖ 2. binyılın başına kadar uzanıyor. e., temelde bireysel problemleri çözmek için örneklerden ve en iyi ihtimalle, bunları çözmek için tariflerden oluşur; bu, bazen yalnızca metinlerde verilen sayısal örneklerin analiz edilmesiyle anlaşılabilir; bu kararlara genellikle cevabın doğrulanması eşlik eder. Özellikle belirli türdeki problemleri çözmek için tarifler hakkında konuşmalıyız çünkü Birbiriyle ilişkili ve genel olarak konuşursak, şu ya da bu şekilde kanıtlanabilir genel teoremler sistemi anlamında matematiksel teori, görünüşe göre hiç mevcut değildi. Bu, örneğin, yaklaşık çözümlerden herhangi bir fark olmaksızın kesin çözümlerin kullanılmasıyla kanıtlanır. Bununla birlikte, yerleşik matematiksel gerçekler stoğu, yüksek inşaat teknolojisine uygun olarak, arazi ilişkilerinin karmaşıklığı, doğru bir takvime duyulan ihtiyaç vb. Oldukça büyüktü. Papirüs 1. katına göre. MÖ 2. bin Mısır matematiğinin o zamanki durumu aşağıdaki terimlerle karakterize edilebilir. Örnekten anlaşıldığı gibi, konumsal olmayan ondalık sayı sistemine dayalı olarak tamsayılarla çalışmanın zorluklarının üstesinden gelmek.

Mısırlılar, özel yardımcı tablolar gerektiren kesirlerle eylemler için tuhaf ve oldukça karmaşık bir aygıt yarattılar. Buradaki ana rol, tam sayıları ikiye katlama ve ikiye katlama işlemlerinin yanı sıra kesirlerin birin kesirlerinin toplamları ve ek olarak 2/3 kesirleri şeklinde temsil edilmesi ile oynandı. İkiye katlama ve çatallanma, özel bir eylem türü olarak, bir dizi ara bağlantı yoluyla Orta Çağ Avrupa'sına ulaştı. Bilinmeyen sayıları bulma problemleri sistematik olarak çözüldü ve bu şimdi tek bilinmeyenli bir denklem şeklinde yazılacaktı. Geometri, alanları ve hacimleri hesaplama kurallarına indirgenmiştir. Bir üçgenin ve bir yamuğun alanları, paralel yüzlü ve kare tabanlı bir piramidin hacimleri doğru hesaplandı. Mısırlıların bu yönde bilinen en yüksek başarısı, kesik bir piramidin hacmini hesaplamak için formüle karşılık gelen kare tabanlı bir yöntemin keşfiydi.

Bir dairenin alanını ve bir silindirin ve bir koninin hacmini hesaplama kuralları bazen yaklaşık olarak p \u003d 3 sayısının yaklaşık değerine, bazen çok daha doğru bir değere karşılık gelir.

Kesik bir piramidin hacmini hesaplamak için bir kuralın varlığı, örneğin bir ikizkenar yamuğun alanını eşit alanlı bir dikdörtgene dönüştürerek nasıl hesaplanacağına dair talimatlar ve diğer bazı koşullar, matematiksel tümdengelimsel düşüncenin oluşumunun Mısır matematiğinde zaten ana hatlarının çizildiğini göstermektedir. Eski papirüsün kendisinin bir eğitim amacı vardı ve Mısırlı matematikçilerin bilgi miktarını ve yöntemlerini tam olarak yansıtmıyordu. matematik sayı kesri

2.2 Babil

Mısırlılardan çok Babil'de matematiği yargılamayı mümkün kılan kıyaslanamayacak kadar fazla matematiksel metin var. Babil çivi yazılı matematik metinleri, MÖ 2. binyılın başından itibaren dönemi kapsar. e. (Hammurabi ve Kassites hanedanı dönemi) Yunan matematiğinin ortaya çıkması ve gelişmesinden önce. Bununla birlikte, bu metinlerin ilki bile Babil matematiğinin en parlak dönemine atıfta bulunur, bazı yeni anların varlığına rağmen, diğer metinler, durgunluğundan ziyade genel olarak tanıklık eder. Hammurabi hanedanının Babillileri, Sümer döneminden, gelişmiş bir karma ondalık altıda altılı numaralandırma sistemi aldılar; bu sistem, halihazırda 1 ve 60 ve 10 için işaretler içeren bir konum ilkesi içeriyordu (aynı işaretler, farklı altmış altı basamaklı aynı sayıda birimi gösterir) ... Örneğin:

Altıda bir kesirler benzer şekilde gösterildi. Bu, aynı kurallara göre tam sayılarla ve altmışlık kesirlerle eylemler gerçekleştirmeyi mümkün kıldı. Daha sonraki bir zamanda, belirli bir sayıdaki ara rakamların olmadığını gösteren özel bir işaret de belirir. Karşılıklı sayı tablolarını kullanarak bölme, çarpmaya indirgenmiştir (bu teknik bazen Mısır metinlerinde bulunur). Daha sonraki metinlerde 2 a, З b, 5 g dışındaki karşılıklı sayıların hesaplanması, yani. son altıda bir kesirde ifade edilmez, bazen sekizinci altmışlık işaretine getirilir; bu tür fraksiyonların periyodikliğinin keşfedilmiş olması mümkündür; örneğin, 1/7 durumunda. Karşılıklı sayı tablolarına ek olarak, ürün tabloları, kareler, küpler vb. Vardır. Çok sayıda ekonomik kayıt, tüm bu araçların karmaşık ekonomik saray ve tapınak faaliyetlerinde yaygın olarak kullanıldığını kanıtlamaktadır. Borçlar üzerindeki faiz hesaplamaları da geniş çapta geliştirilmiştir. Ayrıca, Hammurabi hanedanlığının zamanından, modern bir bakış açısıyla birinci, ikinci ve hatta üçüncü derecelerin denklemlerine indirgenmiş problemleri çözmeye adanmış bir dizi metin vardır. İkinci dereceden denklem problemleri, muhtemelen, çoğu durumda soyut matematiksel düşüncenin önemli gelişimine tanıklık eden tamamen pratik geometrik problemleri dönüştürerek ortaya çıktı. Örneğin, bir dikdörtgenin kenarını alanı ve çevresi ile belirleme problemi budur. Bununla birlikte, bu problem üç terimli ikinci dereceden bir denkleme indirgenmedi, ancak görünüşe göre, (x + y) 2 \u003d (xy) 2 + 4xy yazacağımız bir dönüşüm kullanılarak çözüldü, bu da neredeyse anında iki doğrusal denklem sistemine yol açar. iki bilinmeyen. Hipotenüs ve alan verilerinden bacakları belirlemek için eski zamanlardan beri Babil'de bilinen sözde Pisagor teoremi ile ilişkili bir başka sorun, tek bir pozitif kök ile üç terimli bir denklemle temsil edildi. Problemler, köklerin her zaman tamamen pozitif ve çoğunlukla aynı olacağı şekilde seçilir. Bu, hayatta kalan kil tabletlerin öğretici egzersizler olduğunu göstermektedir; öğretim sözlü idi. Ancak Babilliler, karekökün yaklaşık hesaplama yöntemlerini de biliyorlardı, örneğin, belirli bir kenara sahip bir karenin köşegeninin uzunluğu. Böylece, Babil matematiğinin cebirsel bileşeni önemliydi ve yüksek bir seviyeye ulaştı. Bununla birlikte, Babilliler aritmetik ilerlemeleri, en azından en basit sonlu geometrik ilerlemeleri toplamayı biliyorlardı ve hatta 1'den başlayarak ardışık kare sayıları toplama kuralını bile biliyorlardı. Uygulamada doğrudan gerekli olan reçeteyle sınırlı olmayan, ancak problemleri çözmek için genel cebirsel yöntemlerin yaratılmasına yol açan bu tür daha soyut bilimsel ilgi alanlarının, öğrencilerin muhasebe ve ekonomik faaliyetler için hazırlandıkları "yazıcı okullarında" ortaya çıktığı varsayımı vardır. Bu tür metinler daha sonra kaybolur. Öte yandan, çok basamaklı sayılarla hesaplama tekniği, MÖ 1. binyıldaki gelişmeyle bağlantılı olarak daha da gelişmektedir. e. astronomide daha doğru yöntemler. Astronomi temelinde, deneysel olarak bulunan bağımlılıkların ilk kapsamlı tabloları ortaya çıkıyor, burada bir fonksiyon fikrinin prototipini görebiliyorsunuz. Babil çivi yazılı matematik geleneği Asur, Pers devleti ve hatta Helenistik dönemde 1. yüzyıla kadar devam ediyor. M.Ö. Mısırlıların bilgisinin ötesine geçen Babil matematiğinin geometri alanındaki başarıları arasında, astronominin gelişimi ile açıkça ilişkili olan gelişmiş açı ölçümü ve bazı trigonometri ilkelerine dikkat edilmelidir; daha sonra çivi yazısı metinlerinde bir daire içine yazılmış bazı düzenli çokgenler görünür.

Mısır ve Babil matematik bilimlerini düşünme yoluyla karşılaştırırsak, otoriterlik, eleştirisizlik, geleneği takip etme ve bilginin aşırı yavaş evrimi gibi özellikler açısından ortaklıklarını kurmak zor olmayacaktır. Aynı özellikler Doğu felsefesinde, mitolojisinde ve dininde de bulunur. E. Kolman'ın bu konuda yazdığı gibi, "despotun iradesinin kanun olarak kabul edildiği bu yerde, düşünmeye, fenomenin nedenlerini ve gerekçelerini aramaya, özgür tartışmaya çok daha fazla yer yoktu" Kolmogorov AN Matematik // Büyük Rus Ansiklopedisi / Ed. B.A. Vvedensky. - M, 1998. - S.447. ...

Sonuç

Daha önce de belirtildiği gibi, matematik, incelenen nesnelerin uzamsal formlarının (geometrik yön) ve nicel ilişkilerinin (sayısal yön) bilimidir. Aynı zamanda, nesnelerin niteliksel kesinliğinden de soyutlanır, bu nedenle matematiksel sonuçlar evrenseldir, herhangi bir nesneye ve herhangi bir bilimsel soruna uygulanabilir. "20" sayısı, temel amino asitlerin sayısını (biyokimya) temsil edebilir; Evrenin yaşı, milyarlarca yıl (kozmoloji); jeolojik bir çağın süresi, milyonlarca yıl (jeoloji); kişinin yaşı, yılları (antropoloji); firmadaki çalışan sayısı (yönetim); insan beynindeki nöronların sayısı; milyarlarca (fizyoloji); üretim karlılık yüzdesi (ekonomi) vb. Uygulamasının evrenselliği nedeniyle ve herhangi bir sürecin en önemli nicel yönlerinin incelenmesi ile bağlantılı olarak matematiğin tüm bilimlerin ilerlemesindeki rolü son derece yüksektir. Bu, seçkin bilim adamları için uzun zamandır açıktı.

Bu nedenle, bilinen herhangi bir bilimin gelişme seviyesi, öncelikle matematiğin içindeki kullanım derecesi ile belirlenebilir. Bu sadece sayıların kullanımıyla ilgili değil (o zaman tarih en gelişmiş bilim olarak kabul edilebilir), aynı zamanda belirli bilimsel başarıların matematikselleştirme düzeyi ile ilgilidir.

Yerli metodologlar (Akchurin A.I.) bilginin matematikselleştirilmesinin üç seviyesini ayırt eder:

1. Birinci (en düşük) seviye, nicel deneylerin sonuçlarının işlenmesinde matematiğin kullanılmasıdır.

2. İkinci (orta) seviye teorik ve matematiksel modellerin geliştirilmesidir.

3. Üçüncü (en yüksek) seviye, incelenen nesnelerin matematiksel bir teorisinin oluşturulmasıdır.

Hem doğal hem de insani bilimler ve hatta bireysel bilimlerin bazı bölümleri farklı matematikleştirme seviyelerine sahiptir:

1. En düşük düzey, hukuk bilimi, dilbilim (matematiksel dilbilim hariç), tarih yazımı, pedagoji, psikoloji, sosyoloji ve diğerleri gibi bilimlerin özelliğidir.

2. Orta düzey biyofizik, genetik, ekoloji, askeri bilimler, ekonomi, yönetim, jeoloji, kimya vb. Bilimler için tipiktir.

3. En yüksek seviye, astronomi, jeodezi, fizik (özellikle mekanik, akustik, hidrodinamik, elektrodinamik, optik) gibi bilimlerin özelliğidir.

Şu anda en yüksek matematikselleştirmeye sahip olan bilimlere kesin denir. Elbette matematiğin kendisi de tam bir bilimdir.

Dolayısıyla, matematiksel modelleme etkili bir biliş yöntemidir, ancak tüm bilimlerde ve dallarında geçerli değildir, sadece matematik kullanımının yeterince geliştiği yerlerde uygulanabilir.

Referans listesi

1. Demons K. Antik çağlardan yirminci yüzyılın sonuna kadar bilim ve teknoloji tarihi - M: UNITI, 1997. - S. 14-16.

2. Kolmogorov A.N. Matematik // Büyük Rus Ansiklopedisi / Ed. B.A. Vvedensky. - M: TSE, 1998. - S.446-449.

3. Modern doğa bilimi kavramı / Ed. Sİ. Samygin. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1997. - S. 8-12.

4. Lipovko P.O. Modern doğa bilimi kavramı. - Rostov n / a: Phoenix, 2004. - S.41-45.

5. Polikarpov V.S. Bilim ve teknoloji tarihi. - Rostov-on-Don: Phoenix, 1999. - S.56-59.

6. Stroyk D.Ya. Matematik tarihinin kısa bir özeti. - M: Fiziksel ve matematik biliminin ana baskısı, 1984. - S.21-53.

Allbest.ru'da yayınlandı

Benzer belgeler

Gerçek dünyanın mekansal biçimleri ve nicel ilişkiler bilimi olarak 18-19.Yüzyıllar boyunca Rus İmparatorluğu'nda matematiğin tarihsel gelişiminin incelenmesi. Matematiksel eğitim seviyesinin ve gelişiminin Rus bilim adamları tarafından analizi.

Özet, 26/01/2012 eklendi


Eski Mısır'da matematiğin kökeni için ön koşullar. "Aha" hesaplama görevleri. Eski Mısırlıların bilimi. Rynd'in papirüsünden kaynaklanan sorun. Eski Mısır'da Geometri. Matematiğin önemi hakkında büyük bilim adamlarının açıklamaları. Mısır matematiğinin zamanımızdaki önemi.

05.24.2012 tarihinde eklenen özet


Matematiğin, gerçek nesnelerin formlarını sayma, ölçme ve açıklama işlemlerine dayanan yapılar, düzen ve ilişkiler bilimi olarak ortaya çıkışı ve ana aşamaları. Eski Doğu, Babil ve Antik Yunan'da aritmetik ve geometri bilgisinin gelişimi.

sunum eklendi 12/17/2010


Eski Çin'de matematiğin kökeni ve matematiksel yöntemlerin kullanımı üzerine çalışma. Denklemlerin sayısal çözümü için Çin problemlerinin özellikleri ve üçüncü dereceden denklemlere yol açan geometrik problemler. Antik Çin'in seçkin matematikçileri.

özet, eklendi 09.11.2010


Eski uygarlıkların matematiksel kültürünün genel özellikleri. Matematiğin kökeni ve gelişiminin ana kronolojik dönemleri. Antik çağda Mısır, Babil, Hindistan ve Çin'de matematiğin özellikleri. Mesoamerica Kızılderililerinin matematiksel kültürü.

sunum eklendi 09/20/2015


Matematiğin bir bilim olarak oluşum tarihi. İlköğretim matematik dönemi. Değişkenlerin matematiğinin oluşturulma dönemi. Analitik geometri, diferansiyel ve integral hesabın oluşturulması. XVIII-XIX yüzyıllarda Rusya'da matematiğin gelişimi.

özet, 10/09/2008 tarihinde eklendi


Mısır'da fraksiyonların kökeni ve kullanım özellikleri. Altmışlık kesirlerin Babil, Yunan ve Arap matematikçiler ve astronomlarda kullanımının özellikleri. Antik Roma ve Rusya'da kesirlerin ayırt edici özellikleri. Modern dünyada kesirli sayılar.

sunum 04/29/2014 tarihinde eklendi


Robot bilim çocuklarının tarihinde matematiğin önemine atanmıştır. Matematik eğitiminde akademisyenleri öğrenmek için daha yararlı olan bilgiler. Matematiğin gelişimini hızlandırın. Pifagorların sayısının felsefesi. Fizik, kimya ve psikolojide matematiksel formüller.

dönem ödevi, 09/12/2009 eklendi


Matematiğin doğduğu dönem (MÖ 7-5. Yüzyıllara kadar). Sabit değerlerin matematiği zamanı (MÖ VII-V yüzyıllar - MS XVII yüzyıl). Değişkenlerin Matematiği (XVII-XIX yüzyıllar). Matematiğin gelişiminde modern dönem. Bilgisayar matematiğinin özellikleri.

sunum eklendi 09/20/2015


Yunan matematiği. Orta Çağ ve Rönesans. Modern matematiğin başlangıcı. Çağdaş matematik. Matematik mantığa değil, sağlam sezgiye dayanır. Matematiğin temellerinin sorunları felsefi.

18

favorilerden favorilere ekle7

Editoryal önsöz: Antik Mezopotamya'daki kazılar sırasında arkeologlar tarafından bulunan 500 binden fazla kil tabletinden yaklaşık 400'ü matematiksel bilgi içeriyor. Çoğu deşifre edildi ve Babil bilim adamlarının inanılmaz cebirsel ve geometrik başarıları hakkında oldukça net bir fikir edinmenize izin veriyor.

Matematiğin doğum yeri ve zamanıyla ilgili görüşler farklılık gösterir. Bu konudaki çok sayıda araştırmacı, onun yaratılışını farklı insanlara atfediyor ve farklı dönemlere tarihlendiriyor. Antik Yunanlılar, bu konuda henüz birleşik bir bakış açısına sahip değillerdi; bunların arasında, geometrinin Mısırlılar tarafından icat edildiği ve aritmetiğin, ticaret hesaplamaları için bu tür bilgilere ihtiyaç duyan Fenikeli tüccarlar tarafından icat edildiği versiyonunun özellikle yaygın olduğu.

Tarihte Herodot ve Coğrafyada Strabon Fenikelilere öncelik verdi. Platon ve Diogenes Laertius, Mısır'ı hem aritmetiğin hem de geometrinin anavatanı olarak görüyordu. Bu aynı zamanda matematiğin oradaki rahiplerin boş zamanlarından kaynaklandığına inanan Aristoteles'in görüşüdür. Bu açıklama, her medeniyette pratik zanaatların önce doğduğu, sonra zevke hizmet eden sanatların ve ancak o zaman bilişi hedefleyen bilimlerin doğduğu pasajını takip eder.

Aristoteles'in öğrencisi olan Evdem, seleflerinin çoğu gibi, Mısır'ı da geometrinin doğum yeri olarak görüyordu ve ortaya çıkmasının nedeni, arazi etüdünün pratik ihtiyaçlarıydı. Evdem'e göre, gelişmesinde geometri üç aşamadan geçiyor: arazi etüdünde pratik becerilerin doğuşu, uygulamaya yönelik uygulamalı bir disiplinin ortaya çıkışı ve teorik bir bilime dönüşümü. Görünüşe göre, Evdem'in Mısır'a atfettiği ilk iki aşama ve üçüncüsü - Yunan matematiğine. Doğru, yine de alanları hesaplama teorisinin Babil kökenli ikinci dereceden denklemlerin çözümünden ortaya çıktığını kabul etti.

Tarihçi Josephus Flavius'un ("Ancient Judea", c. 1, ch. 8) kendi görüşü vardır. Mısırlıları ilk olarak adlandırmasına rağmen, Kenan ülkesinin başına gelen kıtlık sırasında Mısır'da saklanan Yahudi İbrahim'in atası İbrahim tarafından aritmetik ve astronomi öğretildiğinden emin. Eh, Yunanistan'daki Mısır etkisi, Yunanlılara benzer bir görüşü dayatacak kadar güçlüydü ve bu fikir, hafif elleriyle, bu güne kadar tarihsel literatürde dolaşıyor. Mezopotamya'da bulunan ve MÖ 2000 yılından kalma, çivi yazılı metinlerle kaplı iyi korunmuş kil tabletler. ve MS 300'den önce, hem biraz farklı bir duruma hem de matematiğin eski Babil'de nasıl olduğuna tanıklık edin. Bu, aritmetik, cebir, geometri ve hatta trigonometrinin başlangıcının oldukça karmaşık bir birleşimiydi.

Matematik yazı okullarında öğretiliyordu ve her mezun o zaman için oldukça ciddi miktarda bilgiye sahipti. Görünüşe göre, 7. yüzyılda Asur kralı Asurbanipal'in bahsettiği şey bu. M.Ö., yazıtlarından birinde bulmayı öğrendiğini bildiriyor

"Karmaşık karşılıklılar ve çarpma".

Hesaplamalara başvurmak için yaşam, Babillileri her adımda zorladı. Ev idaresinde, para alışverişinde bulunurken ve mallar için ödeme yaparken, basit ve bileşik faizi, vergileri ve devlete, tapınağa veya toprak sahibine devredilen hasadın payını hesaplarken aritmetik ve basit cebire ihtiyaç vardı. Matematiksel hesaplamalar ve oldukça karmaşık olanlar, büyük ölçekli mimari projeler, bir sulama sisteminin inşası sırasında mühendislik çalışmaları, balistik, astronomi, astroloji gerektiriyordu. Matematiğin önemli bir görevi, tarımsal işlerin, dini bayramların ve diğer takvim ihtiyaçlarının zamanlamasını belirlemekti. Dicle ve Fırat nehirleri arasındaki antik şehir devletlerinin ne kadar yüksekte olduğu, Yunanlıların daha sonra şaşırtıcı bir şekilde tam olarak μαθημα ("bilgi") olarak adlandıracakları, Mezopotamya kil çivi yazılarının deşifreleri yargılanabilir. Bu arada, Yunanlılar arasında, μαθημα terimi başlangıçta dört bilimin bir listesini gösterdi: aritmetik, geometri, astronomi ve harmonik; matematiği çok sonra uygun şekilde ifade etmeye başladı.

Mezopotamya'da arkeologlar, kısmen Akadça, kısmen Sümerce olmak üzere matematiksel nitelikte kayıtların bulunduğu çivi yazılı tabletler ve ayrıca referans matematik tabloları buldular ve bulmaya devam ediyorlar. İkincisi, günlük olarak yapılması gereken hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırdı, bu nedenle, bir dizi şifresi çözülmüş metin oldukça sık yüzde hesaplamasını içeriyor. Mezopotamya tarihinin daha önceki Sümer döneminin aritmetik işlemlerinin isimleri günümüze kadar gelmiştir. Bu nedenle, toplama işlemi "biriktirme" veya "toplama" olarak adlandırıldı, çıkarıldığında "koparma" fiili kullanıldı ve çarpma terimi "yemek" anlamına geliyordu.

İlginçtir ki, Babil'de daha kapsamlı bir çarpım tablosu kullanmışlar - okulda öğrenmemiz gereken 1'den 180.000'e kadar, yani. 1'den 100'e kadar sayılar için tasarlanmıştır.

Eski Mezopotamya'da, Babillilerin Mısırlılardan önemli ölçüde üstün olduğu çalışma sanatında, aritmetik işlemler için tek tip kurallar sadece tamsayılarla değil, aynı zamanda kesirlerle de yaratıldı. Örneğin Mısır'da, kesirlerle yapılan işlemler uzun süre ilkel bir seviyede kalmaya devam etti, çünkü sadece bölümler (yani, 1'e eşit paylı kesirler) biliyorlardı. Mezopotamya'daki Sümerler zamanından beri, 60 sayısı, Akadlılar arasında kullanımda olan ondalık sayı sistemi de bilinmesine rağmen, tüm ekonomik olaylarda ana sayma birimiydi. Babil matematikçiler altıda altı konumsal (!) Sayma sistemini yaygın olarak kullandılar. Temel olarak, çeşitli hesaplama tabloları derlenmiştir. Çarpım tablolarına ve karşılıklı tablolara ek olarak, hangi bölme işleminin yapıldığı yardımıyla, karekök ve kübik sayı tabloları vardı.

Cebirsel ve geometrik problemlerin çözümü ile ilgili çivi yazısı metinler, Babil matematikçilerinin on bilinmeyenli on adede kadar denklemin yanı sıra belirli kübik denklem çeşitleri ve dördüncü dereceden denklemler de dahil olmak üzere bazı özel problemleri çözebildiklerini göstermektedir. Başlangıçta, ikinci dereceden denklemler esas olarak tamamen pratik amaçlara hizmet etti - terminolojide yansıtılan alanları ve hacimleri ölçmek. Örneğin, iki bilinmeyenli denklemleri çözerken, biri "uzunluk", diğeri "genişlik" olarak adlandırıldı. Bilinmeyen kişilerin çalışmalarına "kare" adı verildi. Şimdi olduğu gibi! Kübik denkleme yol açan problemlerde, üçüncü bir bilinmeyen miktar vardı - "derinlik" ve üç bilinmeyenin ürününe "hacim" adı verildi. Daha sonra cebirsel düşüncenin gelişmesiyle bilinmeyen daha soyut bir şekilde anlaşılmaya başlandı.

Babil'de cebirsel ilişkileri göstermek için bazen geometrik çizimler kullanılmıştır. Daha sonra Antik Yunan'da cebirin ana unsuru haline gelirken, öncelikle cebirsel olarak düşünen Babilliler için çizimler yalnızca bir görselleştirme aracıydı ve "çizgi" ve "alan" terimleri çoğunlukla boyutsuz sayılar olarak anlaşıldı. Bu nedenle, "alan" ın "yan" a eklendiği veya "hacimden" çıkarıldığı vb. Sorunların çözümleri vardı.

Antik çağlarda özellikle önemli olan, tarlaların, bahçelerin, binaların doğru ölçülmesiydi - yıllık nehir taşkınları, tarlaları kaplayan ve aralarındaki sınırları yok eden büyük miktarda silt getirdi ve suyun durgunluğundan sonra arazi araştırıcıları, sahiplerinin emriyle, genellikle tahsisleri yeniden ölçmek zorunda kaldılar. Çivi yazısı arşivlerinde, 4 bin yıldan daha uzun bir süre önce derlenmiş bu tür çok sayıda arazi etüdü haritası bulunmaktadır.

Başlangıçta, ölçüm birimleri çok doğru değildi, çünkü uzunluk farklı insanlar için farklı olan parmaklar, avuç içi, dirseklerle ölçüldü. Durum, büyük değerlerde, bir kamış ve belirli bir boyutta bir ip kullandıkları ölçüm için daha iyiydi. Ancak burada bile ölçüm sonuçları, kimin ve nerede ölçtüğüne bağlı olarak genellikle kendi aralarında farklılık gösterdi. Bu nedenle, Babil'in farklı şehirlerinde farklı uzunluk ölçüleri alındı. Örneğin, Lagash şehrinde "dirsek" 400 mm'ye eşitti ve Nippur ve Babil'de - 518 mm.

Hayatta kalan çivi yazılı materyallerin çoğu, pratik hayatta sıklıkla karşılaşılan çeşitli basit sorunlara çözümler sağlayan Babil okul çocukları için eğitim yardımcılarıydı. Bununla birlikte, öğrencinin bunları kafasında mı çözdüğü yoksa yerde bir dal ile ön hesaplamalar mı yaptığı net değildir - sadece matematiksel problemlerin koşulları ve çözümleri tabletlere yazılmıştır.

Okuldaki matematik dersinin ana kısmı, formülasyonunda belirli nesneler, alanlar ve hacimlerle işlemeye karar verilen aritmetik, cebirsel ve geometrik problemleri çözmeye ayrılmıştı. Çivi yazılı tabletlerden birinde şu sorun korunmuştur: "Bu kumaştan her gün bu kadar çok arşın (bir uzunluk ölçüsü) yapıldığını biliyorsak, belirli bir uzunlukta bir kumaş parçası yapmak kaç gün alabilir?" Diğeri ise inşaat işiyle ilgili görevleri listeler. Örneğin, "Bir set için ne kadar toprak gerekli olacak, boyutları bilinecek ve toplam sayı biliniyorsa her işçi ne kadar toprak sürüklemelidir?" veya "Her işçi belirli bir boyutta bir duvar inşa etmek için ne kadar kil hazırlamalı?"

Öğrenci ayrıca katsayıları hesaplayabilmeli, toplamları hesaplayabilmeli, açıları ölçebilmeli, doğrusal şekillerin alanlarını ve hacimlerini hesaplayabilmelidir - bu, temel geometri için ortak bir setti.

Sümer döneminden kalma geometrik şekillerin isimleri ilginçtir. Üçgene "kama", yamuk "boğanın alnı", daire "çember", kapasite "su", hacim "toprak, kum", alan "tarla" olarak adlandırıldı.

Çivi yazısı metinlerinden biri, barajlar, şaftlar, kuyular, su saatleri ve toprak işleri ile ilgili çözümlerle ilgili 16 problem içeriyor. Bir problem dairesel bir şafta ilişkin bir çizim ile sağlanırken, bir diğeri kesik bir koniyi dikkate alır, yüksekliği üst ve alt taban alanlarının toplamının yarısı ile çarparak hacmini belirler. Babil matematikçileri ayrıca, Pisagor tarafından daha sonra hipotenüs karesinin dik açılı üçgeninde bacakların karelerinin toplamına eşitlik üzerine bir teorem şeklinde formüle edilen dik açılı üçgenlerin özelliklerini kullanarak planimetrik problemleri çözdüler. Başka bir deyişle, ünlü Pisagor teoremi Babilliler tarafından Pisagor'dan en az bin yıl önce biliniyordu.

Planimetrik problemlere ek olarak, çeşitli türdeki alanların, cisimlerin hacminin belirlenmesi ile ilgili stereometrik problemleri de çözdüler, alanların, alanların, tek tek binaların çizim planlarını yaygın olarak uyguladılar, ancak genellikle ölçeklendirmediler.

Matematiğin en önemli başarısı, köşegenin bir karenin kenarına oranının bir tam sayı veya basit bir kesir olarak ifade edilemeyeceği gerçeğinin keşfidir. Böylece irrasyonellik kavramı matematiğe girmiştir.

En önemli irrasyonel sayılardan birinin keşfinin - bir dairenin çevresinin çapına oranını ifade eden ve sonsuz bir kesire \u003d 3.14 ... eşit olan π sayısının Pisagor'a ait olduğuna inanılıyor. Başka bir versiyona göre, π sayısı için, 3.14 değeri ilk kez Arşimet tarafından 300 yıl sonra, 3. c. M.Ö. Bir diğeri, ilk hesaplayan Ömer Hayyam'dı, bu genellikle 11-12 yüzyıldır. Bu oranın ilk olarak 1706'da İngiliz matematikçi William Jones tarafından Yunan harfi letter tarafından belirlendiği ve ancak İsviçreli matematikçi Leonard Euler'in 1737'de ödünç aldıktan sonra genel kabul gördüğü kesin olarak biliniyor.

Π sayısı eski bir matematik bilmecesidir; bu keşif Eski Mezopotamya'da da aranmalıdır. Babil matematikçileri en önemli irrasyonel sayıların farkındaydı ve bir dairenin alanını hesaplama probleminin çözümü matematiksel içerikli çivi yazısı kil tabletlerinin deşifre edilmesinde de bulunabilir. Bu verilere göre, 3 3'e eşit alınmıştır, ancak bu pratik arazi etüdü amaçları için oldukça yeterliydi. Araştırmacılar, alt-altı sistemin metrolojik nedenlerle Antik Babil'de seçildiğine inanıyor: 60 sayısının birçok bölen var. Tamsayıların altmışlık gösterimi Mezopotamya dışında değil, 17. yüzyıla kadar Avrupa'da dağıtım aldı. hem altmışlık kesirler hem de bir dairenin 360 derecelik olağan bölünmesi yaygın olarak kullanılmıştır. 60 parçaya bölünebilen saat ve dakikalar da Babil'den kaynaklanır. Babillerin, sayıları yazmak için minimum sayıda dijital karakter kullanmalarının ustaca fikri dikkat çekicidir. Örneğin Romalılar, aynı sayının farklı değerleri gösterebileceğini bile düşünmediler! Bunu yapmak için alfabelerinin harflerini kullandılar. Sonuç olarak, dört basamaklı bir sayı, örneğin 2737, on bir harf içeriyordu: MMDCCXXXVII. Ve zamanımızda LXXVIII'yi bir sütunda CLXVI'ya bölebilecek veya CLIX'i LXXIV ile çarpabilecek aşırı matematikçiler olsa da, bu tür matematiksel dengeleme eylemi veya hesaplanmış büyük ölçekli mimari kullanarak karmaşık takvim ve astronomik hesaplamalar yapmak zorunda kalan Ebedi Şehir sakinlerine sadece üzülmeye devam ediyor. projeler ve çeşitli mühendislik nesneleri.

Yunan sayı sistemi de alfabedeki harflerin kullanımına dayanıyordu. Başlangıçta, birimi belirtmek için dikey bir çubuk kullanan Yunanistan'da Attic sistemi benimsendi ve 5, 10, 100, 1000, 10000 (aslında, ondalık bir sistemdi) - Yunanca isimlerinin ilk harfleri. Daha sonra, yaklaşık 3. yüzyılda. M.Ö., Yunan alfabesinin 24 harfinin ve sayıları belirtmek için üç arkaik harfin kullanıldığı İyonik sayı sistemi yaygındı. Ve sayıları kelimelerden ayırmak için, Yunanlılar karşılık gelen harfin üzerine yatay bir çizgi koydu.

Bu anlamda, Babil matematik bilimi daha sonraki Yunanca veya Romalıların üzerinde durdu, çünkü sayı notasyon sistemlerinin geliştirilmesinde en göze çarpan başarılardan birine sahip olan kişidir - aynı sayı işaretinin (sembol) olup olmadığına bağlı olarak farklı anlamlara sahip olduğu konumsallık ilkesi. bulunduğu yer.

Bu arada, Mısır sayı sistemi Babil'den aşağı ve çağdaştı. Mısırlılar, 1'den 9'a kadar olan sayıların karşılık gelen dikey çubuk sayısıyla gösterildiği ve 10 sayısının ardışık güçleri için ayrı hiyeroglif sembollerin tanıtıldığı konumsal olmayan bir ondalık sistem kullandılar. Küçük sayılar için, Babil sayı sistemi temelde Mısırlıya benziyordu. Kama şeklindeki dikey bir çizgi (erken Sümer tabletlerinde - küçük bir yarım daire) bir anlamına geliyordu; bu işaretin ondan az sayıları kaydetmeye hizmet ettiği gerekli sayıda tekrarlandı; 10 sayısını belirlemek için, Mısırlılar gibi Babilliler, yeni bir sembol tanıttılar - sola dönük bir noktaya sahip geniş kama şeklinde bir işaret, şekil olarak bir açılı parantez (erken Sümer metinlerinde - küçük bir daire). Uygun sayıda tekrarlanan bu işaret, 20, 30, 40 ve 50 sayılarını belirtmeye hizmet etti.

Çoğu modern tarihçi, eski bilimsel bilginin tamamen deneysel olduğuna inanır. Gözlemlere dayanan fizik, kimya, doğa felsefesi ile ilgili olarak doğru görünüyor. Ancak bir bilgi kaynağı olarak duyusal deneyim fikri, matematik gibi sembollerle çalışan soyut bir bilim söz konusu olduğunda çözülemeyen bir soruyla karşı karşıya kalır.

Babil matematiksel astronomisinin başarıları özellikle önemliydi. Ancak bu ani sıçrayış Mezopotamyalı matematikçileri faydacı uygulama düzeyinden Güneş'in, Ay'ın ve gezegenlerin, tutulmaların ve diğer gök olaylarının konumlarını tahmin etmek için matematiksel yöntemler kullanmalarına izin veren geniş bir bilgiye yükselttiğini veya gelişimin kademeli olarak ilerlediğini maalesef bilmiyoruz.

Matematiksel bilginin tarihi genel olarak tuhaf görünüyor. Atalarımızın el ve ayak parmaklarını saymayı öğrendiklerini, bir çubuk üzerindeki çentikler, bir ipteki düğümler veya arka arkaya dizilmiş çakıl taşları şeklinde ilkel sayısal kayıtlar yaptığını biliyoruz. Ve sonra - herhangi bir geçiş bağlantısı olmadan - aniden Babilliler, Mısırlılar, Çinliler, Hindular ve diğer eski bilim adamlarının matematiksel başarıları hakkında bilgi, o kadar sağlam ki matematiksel yöntemleri, yakın zamanda sona eren II. Binyılın ortasına kadar, yani daha fazlası için üç bin yıldan fazla ...

Bu bağlantılar arasında ne gizli? Eski bilgeler neden pratik anlamlarına ek olarak matematiği kutsal bilgi olarak gördüler ve tanrıların isimlerini sayılara ve geometrik şekillere verdiler? Sadece bunun arkasında İlim'e karşı saygılı bir tutum var mı?

Belki de arkeologların bu sorulara cevap bulacağı zaman gelecek. Bu arada bekleriz, Oxford'da yaşayan Thomas Bradwardin'in 700 yıl önce söylediklerini unutmayalım:

"Matematiği inkar edecek utanmazlığa sahip olan herkes, bilgeliğin kapısına asla girmeyeceğini en başından beri bilmeliydi."

Belediye özerk eğitim kurumu

ortaokul № 211 L.I. Sidorenko

novosibirsk

Araştırma:

Zihinsel aritmetik bir çocuğun zihinsel yeteneklerini geliştirir mi?

Bölüm "Matematik"

Proje şu kişi tarafından tamamlandı:

Klimova Ruslana

3 "B" sınıfı öğrencisi

MAOU SOSH No. 211

adını L.I. Sidorenko

Proje Müdürü:

Vasilyeva Elena Mikhailovna

Novosibirsk 2017

Giriş 3

2. Teorik kısım

2.1 Aritmetik tarihçesi 3

2.2 4 saymak için ilk cihazlar

2.3 Abaküs 4

2.4 Zihinsel aritmetik nedir? beş

3. Pratik kısım

3.1 Zihinsel aritmetik okulundaki sınıflar 6

3.2 Ders 6 Sonuçlar

4. Projeye ilişkin sonuçlar 7.8

5. Kullanılan literatür listesi 9

1. GİRİŞ

Geçen yaz anneannem ve annem, Astana'dan 9 yaşındaki Daniyar Kurmanbaev'in iki elinin parmaklarıyla manipülasyonlar yaparken zihninde hesap makinesinden daha hızlı saydığı “Bırak konuşsunlar” programını izlediler. Ve programda zihinsel yetenekleri geliştirmenin ilginç bir yönteminden - zihinsel aritmetikten bahsettiler.

Beni etkiledi ve annem ve ben bu teknikle ilgilenmeye başladık.

İlimizde zihinsel olarak sayma görevlerini ve herhangi bir karmaşıklığın örneklerini öğrettikleri 4 okul olduğu ortaya çıktı. Bunlar "Abakus", "AmaKids", "Pythagorka", "Menar" dır. Okullardaki dersler ucuz değil. Ebeveynlerim ve ben eve yakın olması için bir okul seçtik, sınıflar çok pahalı değildi, bu yüzden eğitim programı ve sertifikalı öğretmenler hakkında gerçek geri bildirimler vardı. Menard okulu her bakımdan uygundu.

Annemden beni bu okula kaydettirmesini istedim, çünkü nasıl hızlı sayılacağını öğrenmek, okul performansını geliştirmek ve yeni bir şey keşfetmek istiyordum.

Zihinsel aritmetik yöntemi beş yüz yıldan fazladır. Bu teknik, sözlü bir sayma sistemidir. Zihinsel aritmetik dünyanın birçok ülkesinde öğretilmektedir - Japonya, ABD ve Almanya, Kazakistan'da. Rusya'da, ustalaşmaya yeni başlıyorlar.

Projenin amacı:öğrenmek için:

zihinsel aritmetik bir çocuğun zihinsel yetenekleri gelişir mi?

Proje nesnesi:öğrenci 3 "B" sınıfı MAOU orta öğretim okulu № 211 Klimova Ruslana.

Çalışma konusu: zihinsel aritmetik, sözlü bir sayma sistemidir.

Araştırma hedefleri:

Zihinsel aritmetikte öğrenmenin nasıl yapıldığını öğrenin;

Zihinsel aritmetiğin bir çocuğun düşünme becerilerini geliştirip geliştirmediğini anlamak için?

Evde kendi başınıza zihinsel aritmetiği öğrenip öğrenemeyeceğinizi öğrenin?

2.1 ARİTMETİK TARİHİ

Her durumda, gelişiminin tarihini bilmeniz gerekir.

Aritmetik, Eski Doğu ülkelerinde ortaya çıktı: Babil, Çin, Hindistan, Mısır.

Aritmetik Sayıları ve sayılar üzerindeki eylemleri, bunlarla başa çıkmanın çeşitli kurallarını inceler, onlara sayıları toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye indirgeyen sorunları çözmeyi öğretir.

"Aritmetik" adı Yunanca kelime (aritmos) - sayıdan gelir.

Aritmetiğin ortaya çıkışı, insanların emek faaliyeti ve toplumun gelişmesi ile ilişkilidir.

Matematiğin insanın günlük yaşamındaki önemi büyüktür. Saymadan, sayıları doğru bir şekilde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yeteneği olmadan, insan toplumunun gelişimi düşünülemez. İlkokul sınıflarından başlayarak dört aritmetik işlemi, sözlü ve yazılı hesaplama kurallarını inceliyoruz. Tüm bu kurallar, herhangi bir kişi tarafından icat edilmedi veya keşfedilmedi. Aritmetik, insanların günlük yaşamından kaynaklanmaktadır.

Eski insanlar yiyeceklerini çoğunlukla avcılık yoluyla elde ediyorlardı. Bütün kabilenin büyük bir hayvan - bir bizon ya da bir geyik - avlaması gerekiyordu: tek başına, onunla baş edemezsiniz. Avın gitmesini önlemek için, en azından şu şekilde kuşatılması gerekiyordu: sağda beş kişi, arkada yedi, solda dört kişi. Saymadan yapamazsınız! Ve ilkel kabilenin lideri bu görevle başa çıktı. Bir kişinin "beş" veya "yedi" gibi kelimeleri bilmediği o günlerde bile parmaklarında rakamlar gösterebiliyordu.

Aritmetiğin ana amacı sayıdır.

2.2 İLK MUHASEBE CİHAZLARI

İnsanlar uzun zamandır çeşitli araçlar ve cihazların yardımıyla işleri kendileri için kolaylaştırmaya çalıştılar. İlk, en eski "hesap makinesi" el ve ayak parmaklarıydı. Bu basit cihaz oldukça yeterliydi - örneğin, tüm kabilenin öldürdüğü mamutları saymak için.

Sonra ticaret vardı. Ve eski tüccarlar (Babil ve diğer şehirler), abaküs adı verilen özel bir tahtaya yaymaya başladıkları tahılları, çakılları ve kabukları kullanarak hesaplamalar yaptılar.

Antik Çin'deki abaküs benzeri, eski Çin'de "soroban" adı verilen Japon abaküsü olan "su-anpan" hesaplama cihazıydı.

Rus abaküsü ilk olarak 16. yüzyılda Rusya'da ortaya çıktı. Üzerine paralel çizgiler çizilmiş bir tahtaydı. Daha sonra tahta yerine tel ve kemikli bir çerçeve kullanmaya başladılar.

2.3 ABACUS

Kelime "abaküs" (abaküs) sayma tahtası anlamına gelir.

Modern abaküse bir göz atalım ...

Hesapları nasıl kullanacağınızı öğrenmek için ne olduklarını bilmeniz gerekir.

Hesaplar şunlardan oluşur:

• bölme şeridi;

  üst kemikler;

  alt kemikler.

Ortada merkez noktası var. Üstteki kemikler beşleri, alttaki kemikler olanları temsil eder. Sağdan sola başlayarak her dikey çukur şeridi, sayı hanelerinden birini gösterir:

• onbinlerce vb.

Örneğin, örneği ertelemek için: 9 - 4 \u003d 5, sağdaki ilk satırda, üst kemiği hareket ettirin (bir beşi belirtir) ve 4 alt kemiği kaldırın. Ardından 4 alt kemiği indirin. Böylece gerekli 5 numarayı alıyoruz.

Çocukların zihinsel yetenekleri, zihinde sayma yeteneği sayesinde gelişir. Her iki yarım küreyi de eğitmek için, aritmetik problemleri çözmeye sürekli olarak katılmanız gerekir. Kısa bir süre sonra, çocuk karmaşık problemleri hesap makinesi kullanmadan çözebilecektir.

2.4 ZİHİNSEL ARİTMETİK NEDİR?

Zihinsel aritmetik 4 ila 14 yaş arası çocukların zihinsel yeteneklerinin geliştirilmesi için bir metodolojidir. Zihinsel aritmetiğin temeli abaküs saymadır. Çocuk abaküse iki eliyle güvenir ve hesaplamaları iki kat daha hızlı yapar. Abaküste çocuklar sadece toplama ve çıkarma yapmakla kalmaz, aynı zamanda çarpmayı ve bölmeyi de öğrenirler.

Zihniyet -bir kişinin düşünme yeteneğidir.

Matematik dersleri sırasında beynin sadece mantıksal düşünmeden sorumlu olan sol yarıküresi gelişir ve sağ yarıküre edebiyat, müzik, çizim gibi konuları geliştirir. Her iki yarıküreyi geliştirmeyi amaçlayan özel öğretim teknikleri vardır. Bilim adamları, başarının beynin her iki yarım küresini de tam olarak geliştiren insanlar tarafından elde edildiğini söylüyor. Çoğu insan daha gelişmiş bir sol yarıküreye ve daha az gelişmiş bir sağa sahiptir.

Zihinsel aritmetiğin, her iki yarıküreyi de kullanmanıza ve değişen karmaşıklıkta hesaplamalar yapmanıza izin verdiği varsayımı vardır.
Abaküsün kullanılması sol hemisferin çalışmasını sağlar - ince motor becerileri geliştirir ve çocuğun sayma sürecini net bir şekilde görmesini sağlar.
Beceriler, basitten karmaşığa geçişle kademeli olarak eğitilir. Sonuç olarak, programın sonunda çocuk zihinsel olarak üç veya dört basamaklı sayıları toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve bölebilir.

Bu nedenle zihinsel aritmetik okulundaki derslere gitmeye karar verdim. Gerçekten hızlı bir şekilde şiir öğrenmeyi, mantığımı geliştirmeyi, adanmışlığı geliştirmeyi ve kişiliğimin bazı niteliklerini geliştirmeyi gerçekten öğrenmek istediğim için.

3.1 ZİHİNSEL ARİTMETİK YÜKSEKOKULU DERSLERİ

Zihinsel aritmetik derslerim bilgisayar, televizyon, beyaz tahta ve büyük bir öğretmen abaküsü ile donatılmış sınıflarda yapılıyordu. Sınıfların yakınında, duvarda, öğretmen diplomaları ve öğretmen sertifikalarının yanı sıra uluslararası zihinsel aritmetik yönteminin kullanımı için patentler var.

Bir deneme dersinde öğretmen bize abacus abacus'u bana ve anneme gösterdi, bunların nasıl kullanılacağını ve sayma prensibini kısaca anlattı.

Eğitim şu şekilde yapılandırılmıştır: Haftada bir 6 kişilik bir grupta 2 saat çalıştım. Sınıfta abaküs (abaküs) kullandık. Abaküs üzerindeki kemikleri parmaklarımızla hareket ettirerek (ince motor becerileri) fiziksel olarak aritmetik işlemleri yapmayı öğrendik.

Derse zihinsel bir ısınma katıldı. Ve her zaman bir şeyler atıştırabileceğimiz, su içebileceğimiz veya oyun oynayabileceğimiz aralar oluyordu. Evde, her zaman evde bağımsız çalışma örnekleri içeren çarşaflar verildi.

1 aylık çalışma I:

hesaplarıyla tanıştı. Sayarken ellerimi nasıl doğru kullanacağımı öğrendim: iki elimin başparmağı ile abaküs üzerindeki eklemleri kaldırıyoruz, işaret parmakları ile eklemleri indiriyoruz.

Çalışma I'in 2. ayında:

iki aşamalı örnekleri onlarca saymayı öğrendi. En sağdan ikinci konuşmada onlarca kişi var. Onlarca sayarken, sol elin başparmağını ve işaret parmağını zaten kullanıyoruz. İşte sağ el ile aynı teknik: büyük olanı kaldır, bir indeksi alçalt.

Çalışmanın 3. ayında, ben:

abaküste birler ve onlarla çıkarma ve toplama örneklerini çözdüm - üç aşamalı.

Binde biri ile çözülmüş çıkarma ve toplama örnekleri - iki adım

Çalışmanın 4. ayında:

Zihinsel haritayla tanıştım. Haritaya baktığımda, eklemleri zihinsel olarak hareket ettirmek ve cevabı görmek zorunda kaldım.

Ayrıca sınıfta zihinsel aritmetik üzerine bilgisayar üzerinde çalışma eğitimi aldım. Sayım için sayı sayısının ayarlandığı bir program kurulu. Ekranlarının frekansı 2 saniye, izliyorum, hatırlıyorum ve sayıyorum. Ben hesaplara güvenirken. 3, 4 ve 5 numara verin. Rakamlar hala net.

Zihinsel aritmetikte, hatırlanması gereken hesaplamalar için (yakın akraba, bir erkek kardeşin yardımı, bir arkadaştan yardım vb.) 20'den fazla formül kullanılır.

3.2 DERSİN SONUÇLARI

4 ay boyunca haftada 2 saat, günde 5-10 dakika tek başıma yaptım.

Eğitimin ilk ayı	Dördüncü ay
1. Abaküste 1 sayfa sayıyorum (30 örnek)
2. Zihinsel olarak 1 sayfa sayıyorum (10 örnek)
3. Bir şiir öğrenmek (3 dörtlük)
	20-30 dakika
4. Ödev yapmak (matematik: bir problem, 10 örnek)
40-50 dakika

4. PROJEYE İLİŞKİN SONUÇLAR

1) Farkları bulmak için mantık bulmacaları, bulmacalar, bulmacalar, oyunlarla ilgileniyordum. Daha titiz, daha dikkatli ve daha birikimli oldum. Hafızam gelişti.

2) Zihinsel matematiğin amacı çocuğun beynini geliştirmektir. Zihinsel aritmetik yaparak becerilerimizi geliştiririz:

Önce gerçek bir abaküs üzerinde matematiksel işlemler yaparak, sonra da zihnimizdeki abaküsü hayal ederek mantık ve hayal gücü geliştiririz. Ve ayrıca sınıftaki mantıksal sorunları çözme.

Hayali abaküste çok sayıda sayının aritmetik sayımını yaparak dikkat konsantrasyonunu iyileştiriyoruz.

Hafıza gelişir. Sonuçta, matematiksel işlemler gerçekleştirdikten sonra sayıları olan tüm resimler bellekte saklanır.

Düşünme hızı. Tüm "zihinsel" matematiksel işlemler, çocuklar için rahat olan, giderek artan ve beyin "hızlanan" bir hızda gerçekleştirilir.

3) Merkezdeki sınıfta öğretmenler özel bir oyun atmosferi yaratıyor ve bazen çocuklar kendi istekleri dışında bile bu heyecan verici ortama dahil oluyorlar.

Ne yazık ki, sınıflara böyle bir ilgi kendi başınıza ders verirken gerçekleştirilemez.

İnternette ve YouTube kanalında bir abaküse nasıl güveneceğinizi anlayabileceğiniz birçok video kursu var.

Bu tekniği kendi başına öğrenebilirsin ama çok zor olacak! İlk olarak, anne veya babanın zihinsel aritmetiğin özünü anlaması - toplama, çıkarma, çarpma ve kendilerini nasıl bölmeyi öğrenmeleri gerekir. Kitaplar ve videolar onlara bu konuda yardımcı olabilir. Eğitici video, abaküs ile nasıl çalışılacağını yavaş bir hızda gösterir. Elbette videolar üzerinde her şey açıkça gösterildiği için kitaplara tercih edilir. Ve sonra bunu çocuğa açıkladılar. Ancak yetişkinler çok meşgul, bu yüzden bu bir seçenek değil.

Öğretmen-eğitmen olmadan zor! Sonuçta, sınıftaki öğretmen her iki elin de çalışmasının doğruluğunu izler, gerekirse düzeltir. Aynı zamanda son derece önemlidir - sayma tekniğinin doğru ayarlanması ve yanlış becerilerin zamanında düzeltilmesi.

10 seviyeli program 2-3 yıl için tasarlanmıştır, hepsi çocuğa bağlıdır. Tüm çocuklar farklıdır, bazıları hızlı bir şekilde verilirken, diğerleri programda ustalaşmak için biraz daha zamana ihtiyaç duyar.

Okulumuzun artık zihinsel aritmetik dersleri de var - bu, adını aldığı MAOU orta öğretim okulundaki "Formula Aykyu" merkezidir №211 L.I. Sidorenko. Bu merkezdeki zihinsel aritmetik yöntemi Novosibirsk öğretmenleri ve programcıları tarafından Novosibirsk Bölgesi Eğitim Bölümü'nün desteğiyle geliştirildi! Genelde benim için uygun olduğu için okulda derslere katılmaya başladım.

Benim için bu teknik hafızamı geliştirmenin, konsantrasyonu arttırmanın ve kişilik özelliklerimi geliştirmenin ilginç bir yolu. Ve zihinsel aritmetik yapmaya devam edeceğim!

Ve belki çalışmam diğer çocukları zihinsel aritmetik derslerine çekecek ve bu onların akademik performanslarını etkileyecektir.

Edebiyat:

Ivan Yakovlevich Depman. Aritmetiğin tarihi. Öğretmenler için bir rehber. İkinci baskı, revize edildi. M., Eğitim, 1965 - 416 s.

Depman I. Dünya sayıları M. 1966

A. Benjamin. Zihinsel Matematiğin Sırları. 2014. - 247 s. - ISBN: Yok

"Zihinsel aritmetik. Toplama ve çıkarma ”Bölüm 1. 4-6 yaş arası çocuklar için ders kitabı.

G.I. Glazer. Matematik Tarihi, Moskova: Eğitim, 1982. - 240 s.

Karpushina N.M. Liber abaci, Leonardo Fibonacci. "Okulda Matematik" Dergisi, Sayı 4, 2008. Popüler bilim bölümü.

M. Kutorgi "Eski Yunanlıların Hesapları Üzerine" ("Russian Bulletin", cilt SP, s. 901 ve devamı)

Vygodsky M.L. "Antik dünyada aritmetik ve cebir" M. 1967.

ABACUSxle - zihinsel aritmetik üzerine seminerler.

UCMAS-ASTANA- makaleler.

İnternet kaynakları.

Matematikle tanışmamız, sayı bilimi olan aritmetikle başlar. L.F. tarafından yazılan, aritmetik üzerine ilk Rusça ders kitaplarından biri. en onurlu aritmetikçilerden biri icat etti ve ifade etti. " MV Lomonosov'un dediği gibi aritmetikle “öğrenmenin kapılarına” giriyoruz ve dünyayı anlamak için uzun ve zor ama büyüleyici yolumuza başlıyoruz.

"Aritmetik" kelimesi, "sayı" anlamına gelen Yunan aritminden gelir. Bu bilim, sayılarla ilgili eylemleri, bunlarla başa çıkmanın çeşitli kurallarını inceler, toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya ve sayılara bölmeye indirgeyen problemlerin nasıl çözüleceğini öğretir. Aritmetik genellikle matematikte bir ilk adım olarak düşünülür ve temelde daha karmaşık bölümleri - cebir, matematiksel analiz, vb. Aritmetiğin ana nesnesi olan tam sayılar bile, genel özellikleri ve örüntüleri dikkate alındığında daha yüksek aritmetiğe veya sayı teorisine yönlendirilir. Elbette böyle bir aritmetik görüşünün gerekçeleri vardır - gerçekten "sayma alfabesi" olarak kalır, ancak "en kullanışlı" ve "anlaşılması kolay" alfabe.

Aritmetik ve geometri, insanın eski yoldaşlarıdır. Bu bilimler nesneleri sayma, arazi parçalarını ölçme, üretimi bölme, zamanı takip etme ihtiyacı doğduğunda ortaya çıktı.

Aritmetik, Eski Doğu ülkelerinde ortaya çıktı: Babil, Çin, Hindistan, Mısır. Örneğin, Mısır Rinda papirüsünün (adını sahibi G. Rinda'dan almıştır) 20. yüzyıla kadar uzanır. M.Ö. Diğer bilgilerin yanı sıra, bir kesirin bire eşit bir payla kesirlerin toplamına genişlemesini içerir, örneğin:

Eski Doğu ülkelerinde biriken matematiksel bilginin hazineleri, Antik Yunan bilim adamları tarafından geliştirildi ve sürdürüldü. Tarih, antik dünyada aritmetikle uğraşan birçok bilim adamının adını korumuştur - Anaxagoras ve Zeno, Öklid (bkz. Öklid ve "Başlangıçları"), Arşimet, Eratosthenes ve Diophantus. Pisagor'un adı (MÖ VI.Yüzyıl) burada parlak bir yıldız olarak parıldıyor. Pisagorlular (Pisagor öğrencileri ve takipçileri), dünyanın tüm uyumunu içerdiklerine inanarak sayılara tapıyorlardı. Bireysel sayılara ve sayı çiftlerine özel özellikler atandı. 7 ve 36 sayıları yüksek saygınlık içindeydi, aynı zamanda sözde mükemmel sayılara, dost sayılara vb. Dikkat edildi.

Orta Çağ'da, aritmetiğin gelişimi Doğu ile de ilişkilidir: Hindistan, Arap dünyası ülkeleri ve Orta Asya. Kızılderililerden bize kullandığımız sayılar, sıfır ve konumsal sayı sistemi geldi; Ulugbek'in Semerkand gözlemevinde çalışan el-Kashi'den (XV.Yüzyıl) - ondalık kesirler.

Ticaretin gelişmesi ve XIII.Yüzyıldan bu yana doğu kültürünün etkisi sayesinde. Avrupa'da aritmetiğe ilgi artıyor. "Abaküs Kitabı" adlı eseri Avrupalıları Doğu'daki matematiğin temel başarılarıyla tanıştıran ve aritmetik ve cebir alanındaki birçok çalışmanın başlangıcı olan İtalyan bilim adamı Leonardo of Pisa'nın (Fibonacci) adını hatırlamakta fayda var.

Matbaanın icadıyla birlikte (15. yüzyılın ortaları), ilk basılı matematik kitapları ortaya çıktı. Aritmetik üzerine ilk basılı kitap 1478'de İtalya'da yayınlandı. Alman matematikçi M. Stiefel'in (16. yüzyılın başı) "Tam aritmetik" te zaten negatif sayılar ve hatta logaritma alma fikri var.

Yaklaşık XVI.Yüzyıldan. tamamen aritmetik soruların gelişimi, cebirin ana akımıyla birleştirildi - önemli bir kilometre taşı olarak, Fransa F. Vieta'dan bilim adamının, sayıların harflerle gösterildiği eserlerinin ortaya çıkmasına dikkat çekilebilir. O andan itibaren temel aritmetik kurallar nihayet cebir açısından gerçekleştirildi.

Aritmetiğin ana amacı sayıdır. Doğal sayılar, yani 1, 2, 3, 4, ... vb. sayılar, belirli nesnelerin hesabından ortaya çıktı. İnsanın iki sülün, iki el, iki insan vb. Olduğunu öğrenmesinden önce binlerce yıl geçti. aynı kelime "iki" olarak adlandırılabilir. Aritmetiğin önemli bir görevi, sayılan nesnelerin adlarının belirli anlamlarının üstesinden gelmeyi, dikkatlerini şekillerinden, boyutlarından, renklerinden vb. Uzaklaştırmayı öğrenmektir. Fibonacci'nin zaten bir görevi var: “Yedi yaşlı kadın Roma'ya gidiyor. Her biri 7 katır, her katır 7 çuval taşır, her çuvalda 7 somun, her ekmek 7 bıçak, her bıçak 7 kılıf içerir. Hepsi kaç tane? " Sorunu çözmek için yaşlı kadınları, katırları, çuvalları ve ekmeği bir araya getirmeniz gerekecek.

Sayı kavramının gelişimi - sıfır ve negatif sayıların görünümü, sıradan ve ondalık kesirler, sayı yazma yolları (sayılar, gösterimler, sayı sistemleri) - tüm bunların zengin ve ilginç bir geçmişi vardır.

"Sayılar bilimi iki bilim dalı olarak anlaşılıyor: pratik ve teorik. Pratik çalışmalar sayılarla ilgili bir soru olduğu sürece sayıları inceler. Bu bilim, piyasa ve sivil işlerde kullanılmaktadır. Teorik sayı bilimi, zihin tarafından bedenlerden ve kendini saymaya yarayan her şeyden soyutlanmış, sayıları mutlak anlamda inceler. " el-Farabi

Aritmetikte sayılar toplanır, çıkarılır, çarpılır ve bölünür. Bu işlemleri herhangi bir sayı üzerinde hızlı ve doğru bir şekilde gerçekleştirme sanatı, uzun zamandır aritmetiğin en önemli görevi olarak kabul edildi. Şimdi, zihnimizde veya bir kağıt parçası üzerinde, yalnızca en basit hesaplamaları yapıyoruz, giderek daha karmaşık hesaplama işlerini mikro hesap makinelerine emanet ediyoruz, bunlar yavaş yavaş abaküs, makine ekleme (bkz. Hesaplama), sürgü cetveli gibi aygıtların yerini alıyor. Bununla birlikte, tüm bilgisayarların çalışması - basit ve karmaşık - en basit işleme - doğal sayıların eklenmesine dayanır. En karmaşık hesaplamaların ilaveye indirgenebileceği ortaya çıktı, sadece bu işlemin milyonlarca kez yapılması gerekiyor. Ancak burada, aritmetik - hesaplamalı matematikten kaynaklanan başka bir matematik alanına giriyoruz.

Sayılar üzerindeki aritmetik işlemlerin çeşitli özellikleri vardır. Bu özellikler kelimelerle açıklanabilir, örneğin: "Toplam terimlerin yer değiştirmesinden değişmez", harflerle yazılabilir:, özel terimlerle ifade edilebilir.

Örneğin, bu toplama özelliğine yer değiştirme veya değişme yasası denir. Aritmetik yasalarını, farkına varmadan, çoğu zaman alışkanlığımızın dışında uygularız. Okuldaki öğrenciler sık \u200b\u200bsık soruyorlar: "Neden tüm bu yer değiştirebilir ve birleşik yasaları öğretiyorsunuz, sonuçta, sayıların nasıl toplanıp çarpılacağı zaten çok açık?" XIX yüzyılda. matematik önemli bir adım attı - sistematik olarak sadece sayıları değil, aynı zamanda vektörleri, fonksiyonları, yer değiştirmeleri, sayı tablolarını, matrisleri ve çok daha fazlasını ve hatta sadece harfleri, sembolleri toplamaya ve çarpmaya başladı, özel anlamlarını gerçekten önemsemeden. Ve burada en önemli şeyin, bu işlemlerin hangi yasalara uyduğu olduğu ortaya çıktı. Rasgele nesneler üzerindeki işlemlerin incelenmesi (sayılarla olması gerekmez) zaten bir cebir alanıdır, ancak bu problem aritmetik ve yasalarına dayanmaktadır.

Aritmetik, problem çözmek için birçok kural içerir. Eski kitaplarda "üçlü kural", "orantılı bölme", \u200b\u200b"ağırlık yöntemi", "yanlış kural" vb. İçin sorunlar bulunabilir. Bu kuralların çoğu artık modası geçmiş durumda, ancak onların yardımıyla çözülen görevler hiçbir şekilde modası geçmiş değil. Birkaç boruyla dolu bir havuzun meşhur sorunu en az iki bin yaşında ve okul çocukları için hala kolay değil. Ancak, bu sorunu çözmek için daha önce özel bir kural bilmek gerekliydi, bugünlerde küçük okul çocuklarına, istenen değerin harf tanımını girerek böyle bir sorunu çözmeleri öğretiliyor. Böylece, aritmetik problemler denklem çözme ihtiyacını doğurdu ve bu yine bir cebir problemidir.

PİTAGORALAR (yaklaşık 570-y. 500 BC) Sisamlı Pisagor hakkında hiçbir yazılı belge yoktur ve hayatının ve başarılarının gerçek resmini daha sonraki kanıtlara dayanarak yeniden inşa etmek zordur. Pisagor'un, hükümdarın tiranlığını protesto etmek için Ege Denizi'ndeki Samos adasını Ege Denizi'ndeki Küçük Asya kıyılarında bıraktığı ve daha olgun bir yaşta (40 yaşındaki efsaneye göre) İtalya'nın güneyindeki Yunan şehri Crotone'de ortaya çıktığı biliniyor. Pisagor ve takipçileri - Pisagorlular - İtalya'daki Yunan kolonilerinin yaşamında önemli bir rol oynayan gizli bir ittifak kurdular. Pisagorlular birbirlerini yıldız şeklindeki pentagon - pentagram - ile tanıdılar. Doğu felsefesi ve dini, Pisagor'un öğretilerini büyük ölçüde etkiledi. Doğu ülkelerine çok seyahat etti: Mısır ve Babil'deydi. Orada Pisagor Doğu matematiğiyle de tanıştı. Matematik onun öğretisinin bir parçası ve önemli bir parçası haline geldi. Pisagorcular, dünyanın sırrının sayısal kanunlarda gizli olduğuna inanıyorlardı. Sayılar dünyası Pisagor için özel bir hayat yaşadı, sayıların kendi özel yaşam anlamları vardı. Bölenlerinin toplamına eşit sayılar mükemmel olarak algılandı (6, 28, 496, 8128); her biri diğerinin bölenlerinin toplamına eşit olan sayı çiftlerine dostça denildi (örneğin, 220 ve 284). Pisagor, sayıları çift ve tek, asal ve bileşik olarak bölen ilk kişiydi ve figürlü sayı kavramını tanıttı. Okulunda, Pisagor doğal sayıların üçlüleri, birinin karesinin diğer ikisinin karelerinin toplamına eşit olduğu ayrıntılı olarak ele alındı \u200b\u200b(bkz.Fermat'ın büyük teoremi). Söz, Pisagor'a atfedilir: "Her şey sayıdır." Rakamlara (ve sadece doğal sayıları kastetti), tüm dünyayı ve özellikle matematiği azaltmak istedi. Ancak Pisagor okulunda bu uyumu bozan bir keşif yapıldı. Rasyonel bir sayı olmadığı kanıtlanmıştır, yani. doğal sayılarla ifade edilmez. Doğal olarak, Pisagor'un geometrisi aritmetiğe tabi tutuldu, bu onun adını taşıyan teoremde açıkça ortaya çıktı ve daha sonra geometride sayısal yöntemlerin uygulanmasının temeli oldu. (Daha sonra Öklid, cebiri ona tabi kılarak geometriyi yeniden öne çıkardı.) Görünüşe göre, Pisagorcular doğru bedenleri biliyorlardı: bir dörtyüzlü, bir küp ve bir on iki yüzlü. Pisagor, kanıtların geometriye sistematik olarak sokulması, doğrusal şekillerin planimetrisinin oluşturulması, benzerlik doktrini ile itibar kazanmıştır. Aritmetik, geometrik ve harmonik oranlar doktrini, ortalamalar, Pisagor adıyla ilişkilendirilir. Pisagor'un Dünya'yı Güneş'in etrafında hareket eden bir top olarak gördüğü unutulmamalıdır. XVI.Yüzyılda. kilise, Kopernik'in öğretilerine şiddetle zulmetmeye başladı, bu doktrine ısrarla Pisagor deniyordu.

ARŞİMET (yaklaşık MÖ 287-212) Büyük matematikçi ve tamirci olan Arşimet hakkında, diğer antik bilim adamlarından daha fazla şey biliniyor. Her şeyden önce, ölüm yılı güvenilirdir - bilim adamının Romalı bir asker tarafından öldürüldüğü Syracuse'un düşüş yılı. Bununla birlikte, antik dönem Polybius, Livy, Plutarch tarihçileri matematiksel değerleri hakkında çok az şey anlattılar, onlardan zamanımıza Çar Hieron II'nin hizmeti sırasında yapılan bilim adamının mucizevi icatları hakkında bilgi geldi. Kralın altın tacının hikayesi biliniyor. Arşimet, bulduğu kaldırma kuvveti kanunu ve “Eureka!” Ünleminin yardımıyla kompozisyonunun saflığını kontrol etti. "Bulundu!". Başka bir efsane, Arşimet'in bir kişinin yardımıyla devasa gemi "Syrakosia "'yı fırlatabildiği bir blok sistemi inşa ettiğini söyler. Arşimet'in o zaman telaffuz edilen sözleri kanatlandı: "Bana bir dayanak verin, Dünya'yı çevireceğim." Arşimet'in mühendislik dehası, Sicilya adasında zengin bir ticaret şehri olan Syracuse kuşatması sırasında özel bir güçle kendini gösterdi. Roma konsolosu Marcellus'un savaşçıları uzun süre şehir surlarında benzeri görülmemiş makinelerle gözaltına alındı: güçlü mancınıklar taş blokları hedefliyordu, boşluklara fırlatma makineleri yerleştirilmiş, top mermileri yağmuru atmış, kıyı vinçleri duvarların ötesine dönmüş ve düşman gemilerini taş ve kurşun bloklarla fırlatmış, kancalar gemileri kapmış ve içbükey aynalardan oluşan sistemler (bazı hikayelerde - kalkanlar) onları büyük bir yükseklikten aşağı atarak gemileri ateşe verdi. "Marcellus'un Tarihi" nde Plutarch, Romalı askerlerin saflarında hüküm süren dehşeti şöyle anlatıyor: "Kale duvarının arkasından bir ip veya kütüğün gösterildiğini fark eder etmez, Arşimet'in imha için yeni bir makine icat ettiği çığlığıyla kaçtılar." ... Arşimet'in matematiğin gelişimine katkısı muazzamdır. Dönen bir daire içinde hareket eden bir nokta ile tanımlanan Arşimet spirali (bkz.Spiraller), çağdaşları tarafından bilinen sayısız eğriden ayrı duruyordu. Bir sonraki kinematik olarak tanımlanan eğri - sikloid - yalnızca 17. yüzyılda ortaya çıktı. Arşimet spiralinin teğetini bulmayı öğrendi (ve selefleri sadece konik bölümlere teğet nasıl çizileceğini biliyordu), bobinin alanını, elipsin alanını, koninin ve topun yüzeyini, topun hacmini ve küresel segmenti buldu. Özellikle 2: 3 olarak keşfettiği, topun ve çevresinde anlatılan silindir hacminin oranıyla gurur duyuyordu (bkz. Yazılı ve Açıklanmış Şekiller). Arşimet ayrıca çemberin karesini alma sorunuyla da çok uğraştı (bkz.Antik Çağın Ünlü Sorunları). Bilim adamı, çevrenin çapa (sayıya) oranını hesapladı ve bunun ile arasında olduğunu buldu. Bir şeklin çevresini ve alanını hesaplamak için yarattığı yöntem, sadece 2000 yıl sonra ortaya çıkan diferansiyel ve integral hesabın oluşturulması için önemli bir adımdı. Arşimet ayrıca bir payda ile sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını buldu. Matematikte bu sonsuz serinin ilk örneğiydi. Matematiğin gelişmesinde önemli bir rol, mevcut sayı sistemi yardımıyla keyfi olarak büyük sayıları ifade etmenin nasıl mümkün olduğunu gösterdiği "Psammit" - "Kum tanelerinin sayısı üzerine" adlı çalışmasıyla oynandı. Akıl yürütmesinin bir nedeni olarak, görünür evrenin içindeki kum taneciklerinin sayısını sayma problemini kullanıyor. Böylece, gizemli "en büyük sayıların" varlığı hakkındaki o zamanlar var olan görüş çürütüldü.

Aritmetiğin getirdiği önemli kavramlar arasında oranlar ve yüzdeler not edilmelidir. Aritmetik kavram ve yöntemlerinin çoğu, sayılar arasındaki farklı ilişkileri karşılaştırmaya dayanır. Matematik tarihinde, aritmetik ve geometriyi birleştirme süreci yüzyıllar boyunca gerçekleşti.

Aritmetiğin "geometrisini" net bir şekilde izlemek mümkündür: Formüller tarafından ifade edilen karmaşık kurallar ve örüntüler, bunları geometrik olarak tasvir etmek mümkünse daha net hale gelir. Matematiğin kendisinde ve uygulamalarında önemli bir rol, ters işlem tarafından oynanır - görsel, geometrik bilgilerin sayı diline çevrilmesi (bkz.Grafik hesaplamalar). Bu çeviri, Fransız filozof ve matematikçi R. Descartes'ın bir düzlemdeki noktaların koordinatlarla belirlenmesi fikrine dayanmaktadır. Tabii ki, bu fikir ondan önce, örneğin denizcilik işlerinde, bir geminin yerinin yanı sıra astronomi ve jeodezi için gerekli olduğunda zaten kullanılmıştı. Ancak koordinat dilinin matematikte tutarlı bir şekilde uygulanması Descartes ve öğrencilerinden geliyor. Ve zamanımızda, karmaşık süreçleri yönetirken (örneğin, bir uzay aracının uçuşu), tüm bilgileri bir bilgisayar tarafından işlenen sayılar biçiminde almayı tercih ediyorlar. Gerekirse, makine bir kişinin birikmiş sayısal bilgileri resmin diline çevirmesine yardımcı olur.

Görüyorsunuz ki, aritmetikten bahsederken, her zaman sınırlarının ötesine geçiyoruz - cebir, geometri ve matematiğin diğer dallarına.

Aritmetiğin sınırlarını nasıl çizebilirim?

Bu kelime hangi anlamda kullanılıyor?

"Aritmetik" kelimesi şu şekilde anlaşılabilir:

esas olarak rasyonel sayılarla (tam sayılar ve kesirler), bunlarla ilgili eylemlerle ve bu eylemlerin yardımıyla çözülen görevlerle ilgilenen akademik bir konu;

hesaplamalar hakkında çeşitli bilgiler toplayan tarihi matematik yapısının bir parçası;

"Teorik aritmetik" - modern matematiğin çeşitli sayı sistemlerinin (doğal, tam, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar ve bunların genellemeleri) inşasıyla ilgilenen bir bölümü;

"Biçimsel aritmetik" - matematiksel mantığın (bkz. Matematiksel mantık) aksiyomatik aritmetik teorisinin analizi ile ilgilenen bir parçası;

"Yüksek aritmetik" veya sayı teorisi, matematiğin bağımsız olarak gelişen bir parçasıdır.

Matematikle tanışma aritmetikle başlar. Aritmetik ile, MV Lomonosov'un dediği gibi, "öğrenmenin kapılarına" giriyoruz.

"Aritmetik" kelimesi, "sayı" anlamına gelen Yunan aritminden gelir. Bu bilim, sayılarla ilgili eylemleri, bunlarla başa çıkmanın çeşitli kurallarını inceler, toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya ve sayılara bölmeye indirgeyen problemlerin nasıl çözüleceğini öğretir. Aritmetik genellikle matematikte ilk adım olarak düşünülür ve temelde daha karmaşık bölümleri - cebir, matematiksel analiz, vb.Aritmetik, Eski Doğu ülkelerinde ortaya çıktı: Babil, Çin, Hindistan, Mısır. Örneğin, Mısır Rinda papirüsünün (adını sahibi G. Rinda'dan almıştır) 20. yüzyıla kadar uzanır. M.Ö e.

Eski Doğu ülkelerinde biriken matematiksel bilginin hazineleri, Antik Yunan bilim adamları tarafından geliştirildi ve sürdürüldü. Tarih, antik dünyada aritmetikle uğraşan birçok bilim adamının adını korumuştur - Anaxagoras ve Zeno, Euclid, Archimedes, Eratosthenes ve Diophantus. Pisagor'un adı (MÖ VI.Yüzyıl) burada parlak bir yıldız olarak parıldıyor. Pisagorlular, dünyanın tüm uyumunu içerdiklerine inanarak sayılara tapıyorlardı. Bireysel sayılara ve sayı çiftlerine özel özellikler atandı. 7 ve 36 sayıları yüksek saygınlık içindeydi, aynı zamanda sözde mükemmel sayılara, dost sayılara vb. Dikkat edildi.

Orta Çağ'da, aritmetiğin gelişimi Doğu ile de ilişkilidir: Hindistan, Arap dünyası ülkeleri ve Orta Asya. Kızılderililerden bize kullandığımız sayılar, sıfır ve konumsal sayı sistemi geldi; al-Kashi'den (XV yüzyıl), Ulugbek - ondalık kesirler.

Ticaretin gelişmesi ve XIII.Yüzyıldan bu yana doğu kültürünün etkisi sayesinde. Avrupa'da aritmetiğe ilgi artıyor. "Abaküs Kitabı" adlı eseri Avrupalıları Doğu'daki matematiğin temel başarılarıyla tanıştıran ve aritmetik ve cebir alanındaki birçok çalışmanın başlangıcı olan İtalyan bilim adamı Leonardo of Pisa'nın (Fibonacci) adını hatırlamakta fayda var.

Matbaanın icadıyla birlikte (15. yüzyılın ortaları), ilk basılı matematik kitapları ortaya çıktı. Aritmetik üzerine ilk basılı kitap 1478'de İtalya'da yayınlandı. Alman matematikçi M. Stiefel'in (16. yüzyılın başı) "Tam aritmetik" te zaten negatif sayılar ve hatta logaritma alma fikri var.

Yaklaşık XVI.Yüzyıldan. Önemli bir kilometre taşı olarak, tamamen aritmetik soruların gelişimi, sayıların harflerle gösterildiği, Fransa F. Vieta'dan bir bilim adamının çalışmalarının ortaya çıkması olarak not edilebilir. O andan itibaren, temel aritmetik kurallar nihayet cebir açısından gerçekleştirildi.

Aritmetiğin ana amacı sayıdır. Doğal sayılar, yani 1, 2, 3, 4, ... vb. sayılar, belirli nesnelerin hesabından ortaya çıktı. İnsanın iki sülün, iki el, iki insan vb. Olduğunu öğrenmesinden önce binlerce yıl geçti. aynı kelime "iki" olarak adlandırılabilir. Aritmetiğin önemli bir görevi, sayılan nesnelerin adlarının belirli anlamlarının üstesinden gelmeyi, dikkatlerini şekillerinden, boyutlarından, renklerinden vb. Uzaklaştırmayı öğrenmektir. Aritmetikte sayılar toplanır, çıkarılır, çarpılır ve bölünür. Bu işlemleri herhangi bir sayı üzerinde hızlı ve doğru bir şekilde gerçekleştirme sanatı, uzun zamandır aritmetiğin en önemli görevi olarak kabul edildi.Sayılar üzerindeki aritmetik işlemlerin çeşitli özellikleri vardır. Bu özellikler kelimelerle açıklanabilir, örneğin: "Toplam terimlerin yer değiştirmesinden değişmez", harflerle yazılabilir: a + b \u003d b + a, özel terimlerle ifade edilebilir.

Aritmetiğin getirdiği önemli kavramlar arasında oranlar ve yüzdeler not edilmelidir. Aritmetik kavram ve yöntemlerinin çoğu, sayılar arasındaki farklı ilişkileri karşılaştırmaya dayanır. Matematik tarihinde, aritmetik ve geometriyi birleştirme süreci yüzyıllardır devam etmektedir.

"Aritmetik" kelimesi şu şekilde anlaşılabilir:

esas olarak rasyonel sayılarla (tam sayılar ve kesirler), bunlarla ilgili eylemlerle ve bu eylemler kullanılarak çözülen görevlerle ilgilenen akademik bir konu;


hesaplamalar hakkında çeşitli bilgiler toplayan tarihi matematik yapısının bir parçası;


"Teorik aritmetik" - modern matematiğin çeşitli sayı sistemlerinin (doğal, tam, rasyonel, gerçek, karmaşık sayılar ve bunların genellemeleri) inşasıyla ilgilenen bir bölümü;


"Biçimsel aritmetik", aritmetiğin aksiyomatik teorisini analiz eden matematiksel mantığın bir parçasıdır;


Matematikçilerin bağımsız olarak gelişen bir parçası olan "daha yüksek aritmetik" veya sayı teorisive

/ Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü, 1989 /