Stokastik bir süreç modeli oluşturmaya bir örnek. Ekonomide stokastik model. Deterministik ve stokastik modeller. Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi

Stokastik bir modelin oluşturulması, incelenen süreci tanımlayan denklemler kullanılarak sistem davranışının geliştirilmesini, kalite değerlendirmesini ve incelenmesini içerir.

Bunun için gerçek bir sistemle özel bir deney yapılarak ilk bilgiler elde edilir. Bu durumda, bir deney planlama yöntemleri, sonuçları işleme ve ayrıca matematiksel istatistiklerin dağılım, korelasyon, regresyon analizi vb. bölümlerine dayanarak elde edilen modelleri değerlendirme kriterleri kullanılır.

Teknolojik süreci tanımlayan istatistiksel bir model oluşturma yöntemleri (Şekil 6.1) bir "kara kutu" kavramına dayanmaktadır. Bunun için girdi faktörlerinin çoklu ölçümleri mümkündür: x 1 ,x 2 ,…,x k ve çıkış parametreleri: y 1 ,y 2 ,…,y p, hangi bağımlılıkların kurulduğu sonuçlara göre:

İstatistiksel modellemede, problem (1) formüle edildikten sonra, sürecin gidişatını etkileyen çok sayıda girdi değişkeninden en az önemli faktörler taranır (2). Daha fazla araştırma için seçilen girdi değişkenleri, faktörlerin bir listesini oluşturur. x 1 ,x 2 ,…,x k(6.1), çıkış parametrelerini kontrol etmenin mümkün olduğunu kontrol ederek y n. Deney ve veri işleme maliyetini azaltmak için model çıktılarının sayısı da mümkün olduğunca azaltılmalıdır.

İstatistiksel bir model geliştirirken, yapısı (3) genellikle deneysel verilere yaklaşan kullanımı kolay işlevler biçiminde keyfi olarak ayarlanır ve ardından modelin yeterliliğinin değerlendirilmesine dayalı olarak rafine edilir.

Modelin polinom formu en yaygın olarak kullanılır. Yani, ikinci dereceden bir fonksiyon için:

(6.2)

nerede b 0 , ben , b ij , b ii regresyon katsayılarıdır.

Genellikle kendimizi ilk önce (6.2)'deki en basit doğrusal modelle sınırlandırırız. b ii =0, b ij =0. Yetersizliği durumunda, model, faktörlerin etkileşimini dikkate alan terimlerin tanıtılmasıyla karmaşıklaşır. x ben , x j ve (veya) ikinci dereceden terimler .

Devam eden deneylerden elde edilen bilgileri en üst düzeye çıkarmak ve sayılarını azaltmak için deneyler planlanır (4) yani. Problemi belirli bir doğrulukla çözmek için gerekli ve yeterli deneyleri yapmak için sayı ve koşulların seçimi.

İstatistiksel modeller oluşturmak için iki tür deney kullanılır: pasif ve aktif. Pasif deneyİstatistiksel analiz için geniş bir veri yelpazesi toplamayı mümkün kılan, kontrolsüz bir sürecin seyrinin uzun süreli gözlemi şeklinde gerçekleştirilir. V aktif deney deneylerin koşullarını kontrol etmek mümkündür. Gerçekleştirildiğinde, en etkili olanı, faktörlerin etkileşimini belirlemeyi ve deney sayısını azaltmayı mümkün kılan, belirli bir plana göre tüm faktörlerin büyüklüğünün aynı anda değişmesidir.

Deneylerin (5) sonuçlarına dayanarak, regresyon katsayıları (6.2) hesaplanır ve istatistiksel anlamlılıkları tahmin edilir, bu da modelin (6) yapımını tamamlar. Model (7)'nin yeterliliğinin ölçüsü varyanstır, yani. hesaplanan değerlerin deneysel olanlardan standart sapması. Elde edilen varyans, deneylerin elde edilen doğruluğu ile kabul edilebilir olanla karşılaştırılır.

4. Stokastik modeller oluşturma şeması

Stokastik bir modelin oluşturulması, incelenen süreci tanımlayan denklemler kullanılarak sistem davranışının geliştirilmesini, kalite değerlendirmesini ve incelenmesini içerir. Bunun için gerçek bir sistemle özel bir deney yapılarak ilk bilgiler elde edilir. Bu durumda, bir deney planlama yöntemleri, sonuçları işleme ve ayrıca matematiksel istatistiklerin dağılım, korelasyon, regresyon analizi vb. bölümlerine dayanarak elde edilen modelleri değerlendirme kriterleri kullanılır.

Stokastik bir modelin gelişim aşamaları:

Sorunun formülasyonu

faktör ve parametre seçimi

model tipi seçimi

deney planlaması

Deneyin plana göre uygulanması

istatistiksel bir model oluşturmak

model doğrulama (8, 9, 2, 3, 4 ile ilgili)

model ayarı

bir modelle süreç keşfi (11 ile bağlantılı)

optimizasyon parametrelerinin ve kısıtlamaların tanımı

bir modelle süreç optimizasyonu (10 ve 13 ile bağlantılı)

otomasyon ekipmanının deneysel bilgileri

bir modelle süreç kontrolü (12 ile bağlantılı)

1'den 9'a kadar olan adımları birleştirmek bize bir bilgi modeli verir, 1'den 11'e kadar olan adımlar bize bir optimizasyon modeli verir ve tüm öğeleri birleştirmek bize bir kontrol modeli verir.

5. Modelleri işlemek için araçlar

CAE sistemlerini kullanarak, modelleri işlemek için aşağıdaki prosedürleri gerçekleştirebilirsiniz:

bir 3B model üzerinde bir sonlu eleman ağının üst üste bindirilmesi,

ısı stresli durum sorunları; akışkanlar dinamiği problemleri;

ısı ve kütle transferi problemleri;

iletişim görevleri;

kinematik ve dinamik hesaplamalar, vb.

Kuyruk modelleri ve Petri ağlarına dayalı karmaşık üretim sistemlerinin simülasyon modellemesi

Tipik olarak, CAE modülleri, görüntüleri renklendirme ve gri tonlamalı, orijinal ve deforme olmuş parçaları üst üste bindirme, sıvı ve gaz akışlarını görselleştirme yeteneği sağlar.

FEM'e göre fiziksel büyüklük alanlarını modellemek için sistem örnekleri: Nastran, Ansys, Cosmos, Nisa, Moldflow.

Makro düzeyde dinamik süreçleri modellemek için sistem örnekleri: Adams ve Dyna - mekanik sistemlerde, Spice - elektronik devrelerde, PA9 - çok yönlü modelleme için, yani. ilkeleri çeşitli nitelikteki fiziksel süreçlerin karşılıklı etkisine dayanan modelleme sistemleri için.

6. Matematiksel modelleme. Analitik ve simülasyon modelleri

Matematiksel model - tasarlanmış teknik nesnenin bazı (temel) özelliklerini yeterince yansıtan bir dizi matematiksel nesne (sayılar, değişkenler, kümeler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkiler. Matematiksel modeller geometrik, topolojik, dinamik, mantıksal vb. olabilir.

- simüle edilen nesnelerin temsilinin yeterliliği;

Yeterlilik alanı, model hatalarının kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı parametre uzayındaki alandır.

- ekonomi (hesaplama verimliliği)- kaynakların maliyetine göre belirlenir,
modelin uygulanması için gerekli (bilgisayar zamanı, kullanılan bellek, vb.);

- kesinlik - hesaplanan ve gerçek sonuçların çakışma derecesini belirler (nesnenin aynı adının özelliklerinin tahminleri ile model arasındaki yazışma derecesi).

Matematiksel modelleme- matematiksel modeller oluşturma süreci. Aşağıdaki adımları içerir: görevi ayarlama; model oluşturma ve analizi; model üzerinde tasarım çözümleri elde etmek için yöntemlerin geliştirilmesi; model ve yöntemlerin deneysel olarak doğrulanması ve düzeltilmesi.

Oluşturulan matematiksel modellerin kalitesi büyük ölçüde problemin doğru formülasyonuna bağlıdır. Çözülmekte olan problemin teknik ve ekonomik hedeflerini belirlemek, tüm ilk bilgileri toplamak ve analiz etmek, teknik sınırlamaları belirlemek için gereklidir. Model oluşturma sürecinde sistem analizi yöntemleri kullanılmalıdır.

Modelleme süreci, kural olarak, her yineleme adımında model geliştirmenin önceki aşamalarında alınan önceki kararların iyileştirilmesini sağlayan, doğası gereği yinelemelidir.

Analitik Modeller -çıktı parametrelerinin dahili ve harici parametrelere açık bağımlılıkları olarak temsil edilebilen sayısal matematiksel modeller. Simülasyon modelleri - sistem üzerindeki dış etkilerin varlığında sistemdeki süreçleri görüntüleyen sayısal algoritmik modeller. Algoritmik modeller, çıktı, iç ve dış parametreler arasındaki ilişkinin bir modelleme algoritması şeklinde örtük olarak belirtildiği modellerdir. Simülasyon modelleri genellikle sistem tasarımı düzeyinde kullanılır. Simülasyon modellemesi, model zamanında aynı anda veya sırayla meydana gelen olayların yeniden üretilmesiyle gerçekleştirilir. Simülasyon modelinin bir örneği, bir kuyruk sistemini simüle etmek için bir Petri ağının kullanılması olarak düşünülebilir.

7. Matematiksel modeller oluşturmak için temel ilkeler

Klasik (endüktif) yaklaşım. Modellenecek gerçek nesne, ayrı alt sistemlere bölünür, yani. modelleme için ilk veriler seçilir ve modelleme sürecinin belirli yönlerini yansıtan hedefler belirlenir. Ayrı bir başlangıç verisi setine dayanarak, amaç sistemin işleyişinin ayrı bir yönünü modellemektir; bu hedef temelinde, gelecekteki modelin belirli bir bileşeni oluşturulur. Bileşen seti bir modelde birleştirilir.

Böyle bir klasik yaklaşım, gerçek bir nesnenin işleyişinin bireysel yönlerinin ayrılmasının ve karşılıklı olarak bağımsız olarak ele alınmasının mümkün olduğu oldukça basit modeller oluşturmak için kullanılabilir. Özelden genele hareketi uygular.

Sistem yaklaşımı. Dış sistemin analizinden bilinen ilk verilere dayanarak, sisteme yukarıdan veya uygulama olanaklarına dayalı olarak uygulanan kısıtlamalar ve işlevsellik amacı temelinde, başlangıçtaki gereksinimler. sistem modeli oluşturulmuştur. Bu gereksinimlere dayanarak, yaklaşık olarak bazı alt sistemler ve elemanlar oluşturulur ve sentezin en zor aşaması - özel seçim kriterlerinin kullanıldığı sistem bileşenlerinin seçimi - gerçekleştirilir. Sistem yaklaşımı aynı zamanda iki ana tasarım aşamasını ayırt etmekten oluşan belirli bir model geliştirme dizisini de ima eder: makro tasarım ve mikro tasarım.

Makro tasarım aşaması– gerçek sistem ve dış çevre hakkındaki verilere dayanarak, bir dış çevre modeli oluşturulur, bir sistem modeli oluşturmak için kaynaklar ve sınırlamalar belirlenir, gerçek sistemin yeterliliğini değerlendirmek için bir sistem modeli ve kriterler seçilir modeli. Sistemin işleyişinin verimliliği kriteri temelinde bir sistem modeli ve bir dış çevre modeli oluşturduktan sonra, modelleme sürecinde, gerçekleştirmeyi mümkün kılan en uygun kontrol stratejisi seçilir. modelin gerçek bir sistemin işleyişinin belirli yönlerini yeniden üretme olasılığı.

mikro tasarım aşaması büyük ölçüde seçilen belirli model tipine bağlıdır. Simülasyon modeli söz konusu olduğunda bilgi, matematiksel, teknik ve yazılımsal modelleme sistemlerinin oluşturulmasını sağlamak gerekir. Bu aşamada, oluşturulan modelin temel özelliklerini belirlemek, model ile sistem işleyişi süreci arasında belirli bir yazışma kalitesi elde etmek için onunla çalışma süresini ve kaynak maliyetini değerlendirmek mümkündür. kullanılan model
inşa ederken, sistematik bir yaklaşımın bir dizi ilkesine rehberlik etmek gerekir:

model oluşturma aşamaları ve yönleri boyunca orantılı-sıralı ilerleme;

bilgi, kaynak, güvenilirlik ve diğer özelliklerin koordinasyonu;

modelleme sistemindeki bireysel hiyerarşi seviyelerinin doğru oranı;

model oluşturmanın bireysel izole aşamalarının bütünlüğü.

Matematiksel modellemede kullanılan yöntemlerin analizi

Matematiksel modellemede kısmi türevli diferansiyel veya tam diferansiyel denklemlerin çözümü sayısal yöntemlerle yapılır. Bu yöntemler, bağımsız değişkenlerin ayrıklaştırılmasına dayanır - incelenen alanın seçilen düğüm noktalarında sonlu bir değerler kümesiyle temsil edilmeleri. Bu noktalar, bazı ızgaraların düğümleri olarak kabul edilir.

Izgara yöntemleri arasında en yaygın olarak kullanılan iki yöntem vardır: sonlu farklar yöntemi (FDM) ve sonlu elemanlar yöntemi (FEM). Genellikle kişi, uzamsal bağımsız değişkenlerin ayrıklaştırılmasını gerçekleştirir, yani. uzaysal bir ızgara kullanarak. Bu durumda, ayrıklaştırma, daha sonra sınır koşulları kullanılarak bir cebirsel denklem sistemine indirgenen bir adi diferansiyel denklem sistemi ile sonuçlanır.

Denklemi çözmek için gerekli olsun AG(z) = F(z)

verilen sınır koşulları ile OG(z) = .(z),

nerede L ve M- diferansiyel operatörler, V(z) - faz değişkeni, z= (x 1, x 2, x 3, T) - bağımsız değişkenlerin vektörü, F(z) ve ψ.( z) bağımsız değişkenlerin fonksiyonları verilmiştir.

V MKR Türevlerin uzamsal koordinatlara göre cebirleştirilmesi, türevlerin sonlu fark ifadeleri ile yaklaştırılmasına dayanır. Yöntemi kullanırken, her koordinat ve şablon türü için ızgara adımlarını seçmeniz gerekir. Bir şablon, belirli bir noktada türevi yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılan değişkenlerin değerleri olan bir dizi düğüm noktası olarak anlaşılır.

fem türevlerin değil, çözümün kendisinin yaklaşımına dayanır V(z). Ancak bilinmediği için yaklaşıklık katsayıları belirsiz ifadelerle yapılır.

Bu durumda, sonlu elemanlar içinde çözümün yaklaşımlarından bahsediyoruz ve küçük boyutlarını dikkate alarak, nispeten basit yaklaşım ifadeleri (örneğin, düşük dereceli polinomlar) kullanmaktan bahsedebiliriz. Yer değiştirme sonucu bu tür polinomlar orijinal diferansiyel denkleme dönüştürülerek ve türev işlemleri yapılarak, verilen noktalarda faz değişkenlerinin değerleri elde edilir.

Polinom yaklaşımı. Yöntemlerin kullanımı, bir polinom tarafından düzgün bir fonksiyona yaklaşma ve daha sonra optimum noktanın koordinatını tahmin etmek için bir yaklaşım polinomu kullanma olasılığı ile ilişkilidir. Bu yaklaşımın etkin bir şekilde uygulanması için gerekli koşullar şunlardır: tek biçimlilik ve süreklilik incelenen fonksiyon. Weierstrass yaklaşım teoremine göre, eğer bir fonksiyon bir aralıkta sürekli ise, o zaman yeterince yüksek dereceli bir polinom ile herhangi bir doğruluk derecesinde yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Weierstrass teoremine göre, yaklaşık polinom kullanılarak elde edilen optimum nokta koordinat tahminlerinin kalitesi iki şekilde geliştirilebilir: daha yüksek mertebeden bir polinom kullanarak ve yaklaşım aralığını azaltarak. Polinom interpolasyonunun en basit versiyonu, aralığın iç noktasında minimum değeri alan fonksiyonun en az ikinci dereceden olması gerektiği gerçeğine dayanan ikinci dereceden yaklaşımdır.

Disiplin "Tasarım çözümlerinin modelleri ve analiz yöntemleri" (Kazakov Yu.M.)

Matematiksel modellerin sınıflandırılması.

Matematiksel modellerin soyutlama seviyeleri.

Matematiksel modeller için gereksinimler.

Stokastik modeller oluşturmak için şema.

Model işleme araçları.

Matematiksel modelleme. Analitik ve simülasyon modelleri.

Matematiksel modeller oluşturmak için temel ilkeler.

Matematiksel modellemede uygulanan yöntemlerin analizi.

1. Matematiksel modellerin sınıflandırılması

Matematiksel model Teknik bir nesnenin (MM), bu nesneyi geliştiren bir mühendisin ilgisini çeken teknik bir nesnenin özelliklerini yeterince yansıtan bir dizi matematiksel nesne (sayılar, değişkenler, matrisler, kümeler vb.) ve bunlar arasındaki ilişkilerdir.

Nesnenin özelliklerini görüntülemenin doğası gereği:

İşlevsel - teknik sistemlerde operasyonları sırasında meydana gelen fiziksel veya bilgi süreçlerini görüntülemek için tasarlanmıştır. Tipik bir fonksiyonel model, ya elektriksel, termal, mekanik süreçleri ya da bilgi dönüşüm süreçlerini tanımlayan bir denklem sistemidir.

Yapısal - nesnenin yapısal özelliklerini gösterir (topolojik, geometrik). . Yapısal modeller çoğunlukla grafiklerle temsil edilir.

Hiyerarşik düzeye ait olarak:

Mikro düzey modelleri - sürekli uzay ve zamanda fiziksel süreçlerin gösterimi. Modelleme için matematiksel fizik denklemleri aparatı kullanılır. Bu tür denklemlere örnek olarak kısmi diferansiyel denklemler verilebilir.

makro düzey modeller. Genişleme, mekanın detaylandırılması temel olarak kullanılmaktadır. Makro düzeydeki fonksiyonel modeller, cebirsel veya adi diferansiyel denklem sistemleridir, bunların türetilmesi ve çözümü için uygun sayısal yöntemler kullanılır.

Metolevel modelleri. İncelenen nesnelerin genişletilmiş açıklaması. Üst düzeyde matematiksel modeller - adi diferansiyel denklem sistemleri, mantıksal denklem sistemleri, kuyruk sistemlerinin simülasyon modelleri.

Model nasıl alınır:

Teorik - çalışma kalıpları temelinde inşa edilmiştir. Ampirik modellerin aksine, teorik modeller çoğu durumda daha evrenseldir ve daha geniş bir görev yelpazesine uygulanabilir. Teorik modeller doğrusal ve doğrusal olmayan, sürekli ve ayrık, dinamik ve istatistikseldir.

ampirik

CAD'deki matematiksel modeller için temel gereksinimler:

simüle edilen nesnelerin temsilinin yeterliliği;

Model, nesnenin verilen özelliklerini kabul edilebilir bir doğrulukla yansıtırsa ve yansıtılan özellikler ve yeterlilik alanları listesi ile değerlendirilirse yeterlilik gerçekleşir. Yeterlilik alanı, model hatalarının kabul edilebilir sınırlar içinde kaldığı parametre uzayındaki alandır.

ekonomi (hesaplama verimliliği)– modeli uygulamak için gereken kaynakların maliyetine göre belirlenir (bilgisayar süresi, kullanılan bellek, vb.);

kesinlik- hesaplanan ve gerçek sonuçların çakışma derecesini belirler (nesnenin aynı adının özelliklerinin tahminleri ile model arasındaki yazışma derecesi).

Matematiksel modellere bir dizi başka gereksinim de uygulanır:

hesaplanabilirlik, yani bir nesnenin (sistem) işleyişinin nitel ve nicel modellerini incelemek için manuel veya bilgisayar yardımıyla olasılığı.

modülerlik, yani model yapılarının nesnenin (sistemin) yapısal bileşenlerine uygunluğu.

algoritmalanabilirlik, yani uygun bir algoritma ve bir bilgisayarda matematiksel bir model uygulayan bir program geliştirme olasılığı.

görünürlük, yani modelin uygun görsel algısı.

Tablo. Matematiksel modellerin sınıflandırılması

sınıflandırma işaretleri	Matematiksel model türleri
1. Hiyerarşik bir düzeye ait olmak	Mikro seviye modeller Makro düzey modeller Meta seviye modelleri
2. Nesnenin görüntülenen özelliklerinin doğası	Yapısal fonksiyonel
3. Nesne özelliklerini temsil etme yolu	Analitik algoritmik simülasyon
4. Model nasıl alınır	Teorik ampirik
5. Nesnenin davranışının özellikleri	deterministik olasılıksal

Mikro düzeyde matematiksel modellerüretim sürecinin, örneğin metalleri keserken meydana gelen fiziksel süreçleri yansıtır. Geçiş düzeyindeki süreçleri tanımlarlar.

Makro düzeyde matematiksel modellerüretim süreci teknolojik süreçleri tanımlar.

Üst düzeyde matematiksel modellerüretim sürecinin teknolojik sistemleri (bölümler, atölyeler, bir bütün olarak işletme) tanımlar.

Yapısal matematiksel modeller nesnelerin yapısal özelliklerini görüntülemek için tasarlanmıştır. Örneğin, CAD TP'de, teknolojik sürecin yapısını, ürün paketlemesini temsil etmek için yapısal-mantıksal modeller kullanılır.

Fonksiyonel matematiksel modellerİşletim ekipmanında, teknolojik süreçler vb. sırasında meydana gelen bilgileri, fiziksel, zamansal süreçleri görüntülemek için tasarlanmıştır.

Teorik matematiksel modeller teorik düzeyde nesnelerin (süreçlerin) incelenmesinin bir sonucu olarak yaratılır.

Ampirik matematiksel modeller deneyler (bir nesnenin özelliklerinin giriş ve çıkıştaki parametrelerini ölçerek dışsal tezahürlerini incelemek) ve sonuçlarının matematiksel istatistik yöntemlerini kullanarak işlenmesi sonucunda oluşturulur.

Deterministik matematiksel modeller bir nesnenin davranışını şimdiki ve gelecekteki tam bir kesinlik açısından tanımlar. Bu tür modellerin örnekleri: fiziksel yasaların formülleri, parçaların işlenmesi için teknolojik süreçler, vb.

Olasılıksal matematiksel modeller rastgele faktörlerin nesnenin davranışı üzerindeki etkisini dikkate alın, yani. geleceğini belirli olayların olasılığı açısından değerlendirir.

Analitik Modeller - çıktı parametrelerinin dahili ve harici parametrelere açık bağımlılıkları olarak temsil edilebilen sayısal matematiksel modeller.

Algoritmik matematiksel modellerÇıkış parametreleri ile giriş ve iç parametreler arasındaki ilişkiyi bir algoritma şeklinde ifade eder.

Simülasyon matematiksel modeller- bunlar, süreç (nesne) üzerindeki dış etkileri belirtirken, sürecin gelişimini (incelenen nesnenin davranışı) zamanında yansıtan algoritmik modellerdir. Örneğin, bunlar algoritmik bir biçimde verilen kuyruk sistemleri modelleridir.

Bu kitabın son bölümlerinde, stokastik süreçler neredeyse her zaman beyaz gürültü tarafından uyarılan lineer diferansiyel sistemler kullanılarak temsil edilmektedir. Stokastik sürecin bu temsili genellikle aşağıdaki formu alır. farz edelim ki

a beyaz gürültüdür. Stokastik süreç V'nin böyle bir temsilini seçerek, simüle edilebilir. Bu tür modellerin kullanımı aşağıdaki gibi gerekçelendirilebilir.

a) Doğada, bir atalet diferansiyel sistemi üzerinde hızla değişen dalgalanmaların etkisiyle ilişkili stokastik fenomenlerle sıklıkla karşılaşılır. Bir diferansiyel sistem üzerinde etkili olan beyaz gürültünün tipik bir örneği, bir elektronik devredeki termal gürültüdür.

b) Aşağıdakilerden görüleceği gibi, lineer kontrol teorisinde hemen hemen her zaman sadece u'nun ortalama değeri dikkate alınır. Stokastik sürecin kovaryansı. Doğrusal bir model için, ortalama değerin ve kovaryans matrisinin deneysel olarak elde edilen herhangi bir karakteristiğine keyfi bir doğrulukla yaklaşmak her zaman mümkündür.

c) Bazen problem, bilinen bir spektral enerji yoğunluğuna sahip durağan bir stokastik sürecin modellenmesinde ortaya çıkar. Bu durumda, doğrusal bir diferansiyel sistemin çıkışında bir süreç olarak stokastik bir süreç oluşturmak her zaman mümkündür; bu durumda, spektral enerji yoğunlukları matrisi, ilk stokastik sürecin spektral enerji yoğunlukları matrisine keyfi bir doğrulukla yaklaşır.

Örnek 1.36 ve 1.37 ile problem 1.11, modelleme yöntemini göstermektedir.

Örnek 1.36. Birinci dereceden diferansiyel sistem

Durağan olduğu bilinen bir stokastik skaler sürecin ölçülen kovaryans fonksiyonunun üstel fonksiyonla tanımlandığını varsayalım.

Bu süreç, birinci dereceden bir diferansiyel sistemin durumu olarak modellenebilir (bkz. örnek 1.35)

yoğunluk beyaz gürültü nerede - sıfır ortalama ve varyanslı stokastik bir miktar.

Örnek 1.37. karıştırma tankı

Örnek 1.31'deki (Böl. 1.10.3) karıştırma tankını düşünün ve bunun için çıkış değişkeninin varyans matrisini hesaplayın. Şimdi stokastik süreç modellerinin denklemlerini karıştırma tankının diferansiyel denklemine ekleyelim.

Burada, skaler beyaz gürültünün yoğunluğu

sürecin varyansını elde etmek için kabul etmek için eşit bir süreç için benzer bir model kullanıyoruz. Böylece bir denklem sistemi elde ederiz.

480 ovmak. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Tez - 480 ruble, nakliye 10 dakika Günde 24 saat, haftanın yedi günü ve tatiller

Demidova Anastasia Vyacheslavovna Tek aşamalı süreçlerin stokastik modellerini oluşturma yöntemi: tez ... Fizik ve Matematik Bilimleri Adayı: 05.13.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [Savunma Yeri: Rusya Halkların Dostluk Üniversitesi].- Moskova, 2014.- 126 P.

Tanıtım

Bölüm 1. Tez konusu ile ilgili çalışmaların gözden geçirilmesi 14

1.1. Nüfus dinamiği modellerine genel bakış 14

1.2. Stokastik popülasyon modelleri 23

1.3. Stokastik Diferansiyel Denklemler 26

1.4. Stokastik hesap hakkında bilgi 32

Bölüm 2 Tek Adımlı Süreç Modelleme Yöntemi 39

2.1. Tek adımlı süreçler. Kolmogorov-Chapman denklemi. Temel kinetik denklem 39

2.2. Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi. 47

2.3. Sayısal simülasyon 56

Bölüm 3 Tek aşamalı süreçleri modelleme yönteminin uygulanması 60

3.1. Popülasyon dinamiğinin stokastik modelleri 60

3.2. Çeşitli türler arası ve tür içi etkileşimlere sahip popülasyon sistemlerinin stokastik modelleri 75

3.3. Ağ solucanlarının yayılmasının stokastik modeli. 92

3.4. Eşler arası protokollerin stokastik modelleri 97

Sonuç 113

edebiyat 116

Stokastik diferansiyel denklemler

Tezin amaçlarından biri, bir sistem için stokastik bir diferansiyel denklem yazma görevidir, böylece stokastik terim incelenen sistemin yapısı ile ilişkilendirilir. Bu probleme olası bir çözüm, aynı denklemden stokastik ve deterministik kısımları elde etmektir. Bu amaçlar için, Fokker-Planck denklemi ile yaklaşık olarak tahmin edilebilen temel kinetik denklemi kullanmak uygundur, bunun için de Langevin denklemi şeklinde eşdeğer bir stokastik diferansiyel denklem yazılabilir.

Bölüm 1.4. stokastik diferansiyel denklem ile Fokker-Planck denklemi arasındaki ilişkiyi göstermek için gerekli temel bilgileri ve ayrıca stokastik hesabın temel kavramlarını içerir.

İkinci bölüm, rastgele süreçler teorisinden temel bilgiler sağlar ve bu teori temelinde, tek adımlı süreçleri modellemek için bir yöntem formüle edilir.

Bölüm 2.1, rastgele tek adımlı süreçler teorisinden temel bilgiler sağlar.

Tek adımlı işlemler, geçiş matrisi yalnızca bitişik bölümler arasında geçişlere izin veren tamsayılar bölgesinde değerler alan sürekli zamanlı Markov işlemleri olarak anlaşılır.

Çok boyutlu tek adımlı bir süreci ele alıyoruz Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ), (0.1) Є , X() işleminin belirtildiği zaman aralığının uzunluğu nerede. G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1, rastgele bir işlemin alabileceği ayrık değerler kümesidir.

Bu tek adımlı süreç için, sırasıyla Xj durumundan Xj__i ve Xj_i durumuna s+ ve s birim zaman başına geçiş olasılıkları tanıtılır. Bu durumda, x durumundan birim zaman başına iki veya daha fazla adıma geçiş olasılığının çok küçük olduğu kabul edilir. Bu nedenle, sistemin Xj durum vektörünün Г( uzunluğundaki adımlarla değiştiğini söyleyebiliriz ve daha sonra x'ten Xj+i ve Xj_i'ye geçişler yerine, sırasıyla X'ten X + Гі ve X - Гі'ya geçişleri düşünebiliriz. .

Sistem elemanlarının etkileşimi sonucunda zamansal evrimin meydana geldiği sistemleri modellerken, ana kinetik denklemi (başka bir isim ana denklemdir ve İngiliz literatüründe Ana denklem olarak adlandırılır) kullanarak açıklamak uygundur.

Daha sonra, temel kinetik denklemden Langevin denklemi şeklinde bir stokastik diferansiyel denklem yardımıyla, incelenen sistemin tek adımlı süreçlerle açıklanan bir tanımının nasıl elde edileceği sorusu ortaya çıkar. Resmi olarak, yalnızca stokastik fonksiyonları içeren denklemler stokastik denklemler olarak sınıflandırılmalıdır. Bu nedenle, yalnızca Langevin denklemleri bu tanımı karşılar. Ancak bunlar, Fokker-Planck denklemi ve temel kinetik denklem gibi diğer denklemlerle doğrudan ilişkilidir. Dolayısıyla tüm bu denklemleri bir arada düşünmek mantıklı görünüyor. Bu nedenle, bu sorunu çözmek için, Langevin denklemi şeklinde eşdeğer bir stokastik diferansiyel denklem yazmanın mümkün olduğu Fokker-Planck denklemi ile ana kinetik denklemin yaklaşıklaştırılması önerilmiştir.

Bölüm 2.2, çok boyutlu tek adımlı süreçlerle tanımlanan sistemlerin tanımlanması ve stokastik modellemesi için bir yöntem formüle eder.

Ayrıca, Fokker-Planck denklemi için katsayıların, çalışılan sistem için etkileşim şeması, durum değişim vektörü r ve s+ ve s- geçiş olasılıkları için ifadeler yazıldıktan hemen sonra elde edilebileceği gösterilmiştir, yani. Bu yöntemin pratik uygulamasında ana kinetik denklemi yazmaya gerek yoktur.

Bölüm 2.3. Elde edilen sonuçları göstermek için üçüncü bölümde kullanılan stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için Runge-Kutta yöntemi ele alınmıştır.

Üçüncü bölüm, "avcı-av", simbiyoz, rekabet ve bunların etkileşimleri gibi etkileşimli popülasyonların büyümesinin dinamiklerini tanımlayan sistemler örneğini kullanarak, ikinci bölümde açıklanan stokastik modeller oluşturma yönteminin uygulamasının bir gösterimini sunar. değişiklikler. Amaç, bunları stokastik diferansiyel denklemler olarak yazmak ve stokastiği tanıtmanın sistemin davranışı üzerindeki etkisini araştırmaktır.

Bölüm 3.1'de. ikinci bölümde açıklanan yöntemin uygulaması “avcı-avcı” modeli örneği üzerinde gösterilmiştir. “Yırtıcı-avcı” türündeki iki tür popülasyonun etkileşimi olan sistemler, geniş çapta incelenmiştir, bu da elde edilen sonuçların zaten iyi bilinenlerle karşılaştırmasını mümkün kılmaktadır.

Elde edilen denklemlerin analizi, sistemin deterministik davranışını incelemek için elde edilen stokastik diferansiyel denklemin sürüklenme vektörü A'nın kullanılabileceğini göstermiştir, yani. Geliştirilen yöntem hem stokastik hem de deterministik davranışı analiz etmek için kullanılabilir. Ayrıca stokastik modellerin sistemin davranışının daha gerçekçi bir tanımını sağladığı sonucuna varılmıştır. Özellikle, deterministik durumda “avcı-avcı” sistemi için, denklemlerin çözümleri periyodik bir forma sahiptir ve faz hacmi korunurken, stokastiklerin modele dahil edilmesi faz hacminde monoton bir artış sağlar, bu da popülasyonlardan birinin veya her ikisinin kaçınılmaz ölümünü gösterir. Elde edilen sonuçları görselleştirmek için sayısal simülasyon yapılmıştır.

Bölüm 3.2. Geliştirilen yöntem, av, simbiyoz, rekabet ve üç popülasyonun etkileşimi modeli arasındaki türler arası rekabeti dikkate alarak "avcı-av" modeli gibi çeşitli stokastik popülasyon dinamikleri modellerini elde etmek ve analiz etmek için kullanılır.

Stokastik hesap hakkında bilgi

Rastgele süreçler teorisinin gelişimi, doğal fenomenlerin incelenmesinde deterministik temsillerden ve popülasyon dinamiği modellerinden olasılıklı olanlara geçişe ve bunun sonucunda matematiksel biyolojide stokastik modellemeye ayrılmış çok sayıda çalışmanın ortaya çıkmasına neden oldu. kimya, ekonomi vb.

Deterministik popülasyon modelleri göz önüne alındığında, çeşitli faktörlerin sistemin evrimi üzerindeki rastgele etkileri gibi önemli noktalar ortaya çıkmamaktadır. Popülasyon dinamiklerini tanımlarken, zaman içinde çevrede meydana gelen ve sistem parametrelerinde rastgele dalgalanmalara yol açan rastgele dalgalanmaların yanı sıra bireylerin üreme ve hayatta kalmasının rastgele doğası da dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, bu anları yansıtan olasılıksal mekanizmalar, herhangi bir popülasyon dinamiği modeline dahil edilmelidir.

Stokastik modelleme, hem tüm deterministik faktörleri hem de deterministik modellerden elde edilen sonuçları önemli ölçüde değiştirebilen rastgele etkileri hesaba katarak, popülasyon özelliklerindeki değişikliklerin daha eksiksiz bir tanımını sağlar. Öte yandan, nüfus davranışının niteliksel olarak yeni yönlerini ortaya çıkarmak için kullanılabilirler.

Nüfus durumlarındaki değişimlerin stokastik modelleri, rastgele süreçler kullanılarak tanımlanabilir. Bazı varsayımlar altında, mevcut durumu göz önüne alındığında nüfusun davranışının bu duruma nasıl ulaşıldığına bağlı olmadığını varsayabiliriz (yani, sabit bir şimdi ile gelecek geçmişe bağlı değildir). O. Nüfus dinamiği süreçlerini modellemek için, makalenin ikinci bölümünde ayrıntılı olarak açıklanan Markov doğum-ölüm süreçlerini ve ilgili kontrol denklemlerini kullanmak uygundur.

N. N. Kalinkin, çalışmalarında, etkileşimli elemanlara sahip sistemlerde meydana gelen süreçleri göstermek için etkileşim şemalarını kullanır ve bu şemalara dayanarak, Markov işlemlerinin dallanma aparatını kullanarak bu sistemlerin modellerini oluşturur. Bu yaklaşımın uygulanması, kimyasal, nüfus, telekomünikasyon ve diğer sistemlerdeki modelleme süreçleri örneği ile gösterilmiştir.

Makale, inşası için doğum-ölüm süreçleri aparatının kullanıldığı olasılıksal popülasyon modellerini ve sonuçta ortaya çıkan diferansiyel fark denklem sistemlerini rastgele süreçler için dinamik denklemler olarak ele almaktadır. Makale ayrıca bu denklemlere çözüm bulma yöntemlerini de ele almaktadır.

Nüfus büyüklüğündeki değişikliklerin dinamiklerini etkileyen çeşitli faktörleri hesaba katan stokastik modellerin oluşturulmasına yönelik birçok makale bulabilirsiniz. Bu nedenle, örneğin, makalelerde, bireylerin zararlı maddeler içeren gıda kaynaklarını tükettiği biyolojik bir topluluğun büyüklüğünün dinamiklerinin bir modeli oluşturulur ve analiz edilir. Ve popülasyon evrimi modelinde, makale popülasyon temsilcilerinin habitatlarına yerleşme faktörünü dikkate almaktadır. Model, kendi kendine tutarlı bir Vlasov denklemleri sistemidir.

Fizik, kimya, biyoloji vb. doğum-ölüm süreçleri gibi doğa bilimlerinde dalgalanmalar teorisine ve stokastik yöntemlerin uygulanmasına ayrılmış çalışmaları belirtmekte fayda var.

“Yırtıcı-av” modeli, doğum-ölüm süreçlerinin gerçekleşmesi olarak düşünülebilir. Bu yorumda, bilimin birçok alanında modeller için kullanılabilirler. 1970'lerde, M. Doi, yaratma-yok etme operatörlerine dayalı bu tür modelleri incelemek için bir yöntem önerdi (ikinci niceleme ile benzer şekilde). Burada çalışmayı işaretleyebilirsiniz. Ek olarak, bu yöntem şu anda M. M. Gnatich grubunda aktif olarak geliştirilmektedir.

Popülasyon dinamiği modellerini modellemeye ve incelemeye yönelik başka bir yaklaşım, optimal kontrol teorisi ile ilişkilidir. Burada çalışmayı işaretleyebilirsiniz.

Popülasyon süreçlerinin stokastik modellerinin inşasına yönelik çalışmaların çoğunun, diferansiyel fark denklemlerini ve ardından sayısal uygulamayı elde etmek için rastgele süreçler aparatını kullandığı belirtilebilir. Ayrıca, Langevin formundaki stokastik diferansiyel denklemler yaygın olarak kullanılmaktadır; burada stokastik terim, sistemin davranışı hakkındaki genel düşüncelerden eklenmektedir ve rastgele çevresel etkileri tanımlamayı amaçlamaktadır. Modelin daha fazla incelenmesi, kalitatif analizleri veya sayısal yöntemler kullanarak çözüm bulmadır.

Stokastik diferansiyel denklemler Tanım 1. Bir stokastik diferansiyel denklem, bir veya daha fazla terimin stokastik bir süreci temsil ettiği bir diferansiyel denklemdir. Stokastik diferansiyel denklemin (SDE) en çok kullanılan ve iyi bilinen örneği, beyaz gürültüyü tanımlayan ve Wiener süreci Wt, t 0 olarak görülebilen bir terime sahip bir denklemdir.

Stokastik diferansiyel denklemler, çeşitli rastgele bozulmalara maruz kalan dinamik sistemlerin incelenmesi ve modellenmesinde önemli ve yaygın olarak kullanılan bir matematiksel araçtır.

Doğal fenomenlerin stokastik modellemesinin başlangıcı, 1827'de bitki poleninin bir sıvıdaki hareketini incelediği sırada R. Brown tarafından keşfedilen Brown hareketi fenomeninin tanımı olarak kabul edilir. Bu fenomenin ilk titiz açıklaması bağımsız olarak A. Einstein ve M. Smoluchowski tarafından verildi. A. Einstein ve M. Smoluchowski'nin Brownian hareketi üzerine çalışmalarının toplandığı makale koleksiyonunu belirtmekte fayda var. Bu çalışmalar, Brownian hareket teorisinin gelişimine ve deneysel doğrulamasına önemli katkılarda bulunmuştur. A. Einstein, Brownian hareketinin nicel tanımı için moleküler bir kinetik teori yarattı. Elde edilen formüller, 1908-1909'da J. Perrin'in deneyleriyle doğrulandı.

Çok boyutlu tek adımlı süreçleri modelleme yöntemi.

Etkileşen elemanlara sahip sistemlerin evrimini tanımlamak için iki yaklaşım vardır - bu deterministik veya stokastik modellerin inşasıdır. Deterministikten farklı olarak, stokastik modeller, incelenen sistemlerde meydana gelen süreçlerin olasılıksal doğasının yanı sıra model parametrelerinde rastgele dalgalanmalara neden olan dış ortamın etkilerinin dikkate alınmasına izin verir.

Çalışmanın konusu, tek aşamalı süreçler kullanılarak tanımlanabilen ve bir durumdan diğerine geçişin sistem öğelerinin etkileşimi ile ilişkili olduğu süreçler olan sistemlerdir. Bir örnek, "avcı-avcı", simbiyoz, rekabet ve bunların modifikasyonları gibi etkileşimli popülasyonların büyüme dinamiklerini tanımlayan modellerdir. Amaç, bu tür sistemler için SDE'yi yazmak ve deterministik davranışı tanımlayan denklemin çözümünün davranışına stokastik kısmın eklenmesinin etkisini araştırmaktır.

Kimyasal kinetik

Etkileşen elemanlara sahip sistemleri tanımlarken ortaya çıkan denklem sistemleri, birçok yönden kimyasal reaksiyonların kinetiğini tanımlayan diferansiyel denklem sistemlerine benzer. Böylece, örneğin, Lotka-Volterra sistemi başlangıçta Lotka tarafından bazı varsayımsal kimyasal reaksiyonları tanımlayan bir sistem olarak çıkarsanmıştı ve ancak daha sonra Volterra onu "avcı-avcı" modelini tanımlayan bir sistem olarak çıkardı.

Kimyasal kinetik, kimyasal reaksiyonları, sözde stokiyometrik denklemler - reaktanların ve kimyasal reaksiyon ürünlerinin nicel oranlarını yansıtan ve aşağıdaki genel forma sahip denklemler yardımıyla tanımlar: burada doğal sayılar mі ve U stokiyometrik katsayılar olarak adlandırılır. Bu, reaktif Xi'nin ti moleküllerinin, Xp reaktifinin ni2 moleküllerinin, ..., tr reaktifinin Xp moleküllerinin, reaksiyona giren, Yї maddesinin u moleküllerini oluşturduğu kimyasal bir reaksiyonun sembolik bir kaydıdır, I2 maddesinin u molekülleri, ..., nq Yq maddesinin molekülleri, sırasıyla .

Kimyasal kinetikte, bir kimyasal reaksiyonun yalnızca reaktiflerin doğrudan etkileşimi ile gerçekleşebileceğine inanılır ve bir kimyasal reaksiyon hızı, birim hacim başına birim zamanda oluşan partikül sayısı olarak tanımlanır.

Kimyasal kinetiğin temel varsayımı, bir kimyasal reaksiyonun hızının, stokiyometrik katsayılarının güçlerinde tepkenlerin konsantrasyonlarının çarpımı ile doğru orantılı olduğunu söyleyen kütle hareketi yasasıdır. Bu nedenle, karşılık gelen maddelerin konsantrasyonlarını XI ve y I ile gösterirsek, kimyasal reaksiyon sonucunda bir maddenin konsantrasyonundaki zaman içinde değişim hızı için bir denklemimiz olur:

Ayrıca, aşağıdaki ana değişiklikleri yaparak, bu sistemin elemanlarının birbirleriyle etkileşiminin bir sonucu olarak zaman içinde evrimi meydana gelen sistemleri tanımlamak için kimyasal kinetiğin temel fikirlerinin kullanılması önerilmiştir: 1. reaksiyon hızları değil göz önüne alındığında, ancak geçiş olasılıkları; 2. Bir etkileşimin sonucu olan bir durumdan diğerine geçiş olasılığının, bu türden olası etkileşimlerin sayısıyla orantılı olduğu önerilmiştir; 3. Bu yöntemde sistemi tanımlamak için ana kinetik denklem kullanılır; 4. deterministik denklemler stokastik denklemlerle değiştirilir. Bu tür sistemlerin tanımına benzer bir yaklaşım eserlerde bulunabilir. Simüle edilmiş sistemde meydana gelen süreçleri tanımlamak için yukarıda belirtildiği gibi Markov tek adımlı süreçleri kullanması gerekir.

Birbirleriyle çeşitli şekillerde etkileşime girebilen farklı eleman türlerinden oluşan bir sistem düşünün. -th türündeki bir öğeyle, burada = 1 ile ve - ile -th türündeki öğelerin sayısıyla belirtin.

İzin vermek (), .

Dosyanın bir bölümden oluştuğunu varsayalım. Böylece, dosyayı indirmek isteyen yeni düğüm ile dosyayı dağıtan düğüm arasındaki etkileşimin bir adımında, yeni düğüm tüm dosyayı indirir ve dağıtım düğümü olur.

Let yeni düğümün tanımıdır, dağıtım düğümüdür ve etkileşim katsayısıdır. Yeni düğümler sisteme yoğun bir şekilde girebilir ve dağıtan düğümler yoğun bir şekilde sistemden ayrılabilir. Daha sonra etkileşim şeması ve r vektörü şöyle görünecektir:

Langevin formundaki bir stokastik diferansiyel denklem, karşılık gelen formül (1.15) kullanılarak 100 elde edilebilir. Çünkü sürüklenme vektörü A, sistemin deterministik davranışını tam olarak tanımlar, yeni müşteri ve tohum sayısının dinamiklerini tanımlayan bir adi diferansiyel denklem sistemi elde edebilirsiniz:

Böylece, parametre seçimine bağlı olarak, tekil nokta farklı bir karaktere sahip olabilir. Böylece, /3A 4/I2 için tekil nokta sabit bir odaktır ve ters ilişki için sabit bir düğümdür. Her iki durumda da tekil nokta sabittir, çünkü katsayı değerlerinin seçimi sistem değişkenlerinde iki yörüngeden biri boyunca değişiklikler olabilir. Tekil nokta bir odak ise, sistemde yeni ve dağıtım düğümlerinin sayısında sönümlü salınımlar meydana gelir (bkz. Şekil 3.12). Ve düğüm durumunda, sayıların sabit değerlere yaklaşması, titreşimsiz bir modda gerçekleşir (bkz. Şekil 3.13). Her iki durum için sistemin faz portreleri sırasıyla grafiklerde (3.14) ve (3.15) gösterilmektedir.

Stokastik model, belirsizliğin olduğu durumu tanımlar. Başka bir deyişle, süreç bir dereceye kadar rastgelelik ile karakterize edilir. "Stokastik" sıfatının kendisi Yunanca "tahmin" kelimesinden gelir. Belirsizlik günlük yaşamın temel bir özelliği olduğundan, böyle bir model her şeyi tanımlayabilir.

Ancak her uyguladığımızda sonuç farklı olacaktır. Bu nedenle, deterministik modeller daha sık kullanılır. Gerçek duruma mümkün olduğu kadar yakın olmasalar da, her zaman aynı sonucu verirler ve durumu anlamayı kolaylaştırırlar, bir takım matematiksel denklemler sunarak basitleştirirler.

Ana Özellikler

Bir stokastik model her zaman bir veya daha fazla rastgele değişken içerir. Gerçek hayatı tüm tezahürleriyle yansıtmaya çalışır. Stokastikten farklı olarak, her şeyi basitleştirmeyi ve bilinen değerlere indirmeyi amaçlamaz. Bu nedenle, belirsizlik onun temel özelliğidir. Stokastik modeller herhangi bir şeyi açıklamak için uygundur, ancak hepsinin aşağıdaki ortak özellikleri vardır:

Herhangi bir stokastik model, yaratıldığı problemin tüm yönlerini yansıtır.
Her olayın sonucu belirsizdir. Bu nedenle, model olasılıkları içermektedir. Genel sonuçların doğruluğu, hesaplamalarının doğruluğuna bağlıdır.
Bu olasılıklar, süreçlerin kendilerini tahmin etmek veya tanımlamak için kullanılabilir.

Deterministik ve stokastik modeller

Bazıları için hayat, diğerleri için bir ardışıklık gibi görünüyor - nedenin sonucu belirlediği süreçler. Aslında, belirsizlik ile karakterizedir, ancak her zaman ve her şeyde değil. Bu nedenle, stokastik ve deterministik modeller arasında net farklılıklar bulmak bazen zordur. Olasılıklar oldukça özneldir.

Örneğin, bir yazı tura durumunu düşünün. İlk bakışta, yazı alma şansı %50 gibi görünüyor. Bu nedenle, deterministik bir model kullanılmalıdır. Bununla birlikte, gerçekte, oyuncuların ellerinin maharetine ve madalyonun dengelenmesinin mükemmelliğine bağlı olduğu ortaya çıktı. Bu, stokastik bir modelin kullanılması gerektiği anlamına gelir. Her zaman bilmediğimiz parametreler vardır. Gerçek hayatta, neden her zaman sonucu belirler, ancak belirli bir derecede belirsizlik de vardır. Deterministik ve stokastik modelleri kullanma arasındaki seçim, neyi bırakmak istediğimize bağlıdır - analizin basitliği veya gerçekçilik.

kaos teorisinde

Son zamanlarda, hangi modelin stokastik olarak adlandırıldığı kavramı daha da bulanıklaştı. Bu, sözde kaos teorisinin gelişmesinden kaynaklanmaktadır. Başlangıç parametrelerinde küçük bir değişiklikle farklı sonuçlar verebilen deterministik modelleri tanımlar. Bu, belirsizliğin hesaplanmasına bir giriş gibidir. Hatta birçok bilim insanı bunun zaten stokastik bir model olduğunu kabul etti.

Lothar Breuer, şiirsel görüntülerin yardımıyla her şeyi zarif bir şekilde açıkladı. Şöyle yazdı: “Bir dağ deresi, atan bir kalp, çiçek hastalığı salgını, yükselen duman sütunu - tüm bunlar, göründüğü gibi, bazen şansla karakterize edilen dinamik bir fenomenin bir örneğidir. Gerçekte, bu tür süreçler her zaman bilim adamlarının ve mühendislerin henüz yeni anlamaya başladıkları belirli bir düzene tabidir. Bu sözde determinist kaostur.” Yeni teori kulağa çok mantıklı geliyor, bu yüzden birçok modern bilim adamı onun destekçisi. Bununla birlikte, hala çok az gelişmiş durumda ve istatistiksel hesaplamalarda uygulamak oldukça zor. Bu nedenle, stokastik veya deterministik modeller sıklıkla kullanılır.

Bina

Stokastik, temel sonuçların uzayının seçimi ile başlar. Bu nedenle istatistikte, incelenen süreç veya olayın olası sonuçlarının listesini çağırırlar. Araştırmacı daha sonra temel sonuçların her birinin olasılığını belirler. Genellikle bu belirli bir teknik temelinde yapılır.

Bununla birlikte, olasılıklar hala oldukça öznel bir parametredir. Ardından araştırmacı, problemi çözmek için hangi olayların en ilginç olduğunu belirler. Bundan sonra, sadece olasılıklarını belirler.

Örnek

En basit stokastik modeli oluşturma sürecini düşünün. Diyelim ki bir zar atıyoruz. "Altı" veya "bir" düşerse, kazancımız on dolar olacaktır. Bu durumda stokastik bir model oluşturma süreci şöyle görünecektir:

Temel sonuçların uzayını tanımlayalım. Zarfın altı yüzü vardır, yani bir, iki, üç, dört, beş ve altı gelebilir.
Zarı ne kadar atarsak atalım, sonuçların her birinin olasılığı 1/6'ya eşit olacaktır.
Şimdi bizi ilgilendiren sonuçları belirlememiz gerekiyor. Bu, "altı" veya "bir" numaralı bir yüzün kaybıdır.
Son olarak, ilgilendiğimiz olayın olasılığını belirleyebiliriz. 1/3'tür. Bizi ilgilendiren her iki temel olayın olasılıklarını toplarız: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Konsept ve sonuç

Stokastik simülasyon genellikle kumarda kullanılır. Ancak, durumu deterministik olanlardan daha derinden anlamanıza izin verdiği için ekonomik tahminlerde de vazgeçilmezdir. Ekonomide stokastik modeller genellikle yatırım kararlarının alınmasında kullanılır. Belirli varlıklara veya gruplarına yapılan yatırımların karlılığı hakkında varsayımlarda bulunmanıza izin verir.

Modelleme, finansal planlamayı daha verimli hale getirir. Onun yardımıyla yatırımcılar ve tüccarlar varlıklarının dağılımını optimize eder. Stokastik modellemeyi kullanmanın uzun vadede her zaman avantajları vardır. Bazı endüstrilerde, bunu reddetme veya uygulayamama, işletmenin iflasına bile yol açabilir. Bunun nedeni, gerçek hayatta her gün yeni önemli parametrelerin ortaya çıkması ve ortaya çıkmaması durumunda feci sonuçlara yol açabilmesidir.